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NOTES
sur
QUELQUES POINTS D’ANALYSE ([1]).
§ I. — Démonstration d’un théorème d’Analyse.
Théorème. — Soient et deux fonctions quelconques données ; on aura, quels que soient et ,
étant une fonction déterminée, et une quantité intermédiaire entre et .
Démonstration. — Posons, en effet,
on en déduira
d’où l’on voit que la fonction ne change pas quand on y change en ; d’où il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre et , un ou plusieurs maxima et minima. Soit la valeur de répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment , étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi , étant une autre fonction également déterminée ; ce qui démontre le théorème.
De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité
pour , est nécessairement une fonction de , ce qui démontre, a priori, l’existence des fonctions dérivées.
- ↑ Annales de Mathématiques de M. Gergonne, tome XXI, page 182 (1830-1831). C’est par suite d’une faute d’impression qu’on y lit : Galais, élève à l’École normale, au lieu de Galois. (J. Liouville.)