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$=A\cdot AK^{2}+B\times BD^{2}+A(2PL\cdot KL-KL^{2})-B(2CE\cdot CD+CD^{2})\,\!$ qui se réduit à $A\cdot AK^{2}+B\cdot BD^{2}-A\cdot KL^{2}-B\cdot CD^{2}\,\!$, à cause que $CE=PL\,\!$ & $A\cdot KL=B\cdot CD\,\!$.

Fig. 60

On a donc $B\cdot BC^{2}+A\cdot AL^{2}=\,\!$ $A\cdot AK^{2}+B\cdot BD^{2}-A\cdot KL=\,\!$ $B\cdot CD^{2}\,\!$.

Corollaire I.

188. Si $NA\,\!$, $BM\,\!$ sont infiniment petites, c’est-à-dire si les vitesses $AL\,\!$, $BC\,\!$, ne différent qu’infiniment peu de vitesses $AK\,\!$, $BD\,\!$, la conservation des forces vives aura lieu. Car négligeant dans l’équation les lignes $KL\,\!$, $CD\,\!$, on aura $B\cdot BC^{2}+A\cdot AL^{2}=\,\!$ $A\cdot AK^{2}+B\cdot BD^{2}\,\!$.

Corollaire II.

189. Si $NA\,\!$, $BM\,\!$ ne sont pas infiniment petites, & qu’on fasse $CF=CD\,\!$, $LO=LK\,\!$, & en sens contraire, il est aisé de prouver que $BF^{2}=BD^{2}-4CE\cdot CD\,\!$, & $AO^{2}=AK^{2}+4PL\times KL\,\!$. Donc $B\cdot BF^{2}+A\cdot AO^{2}=\,\!$ $B(BD^{2}-2BM\cdot 2CE)+A(AK^{2}+2\cdot AN\times 2PL)=\,\!$ $B\cdot BD^{2}+A\cdot AK^{2}\,\!$, parce que $CE=PL\,\!$ & $A\cdot AN=B\cdot BM\,\!$.

Donc la conservation des forces vives a encore lieu ici. Mais, si l’on y fait attention, ce cas est précisément celui du choc de deux corps élastiques (art. 168).

De la conservation des forces vives dans les corps qui se tirent par des fils ou par des verges inflexibles.

190. Nous avons vû dans l’article précédent, que si