Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 1)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 159-200).

183. Problème. Étant donnée une forme quelconque $\mathrm {(a,b,a')}$ dont le déterminant soit un nombre $\mathrm {D}$ positif et non quarré, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle $\mathrm {B}$ soit positif et $\mathrm {<{\sqrt {D}}}$, et dans laquelle $\mathrm {A} ,$ s’il est positif ou $\mathrm {-A} ,$ si $\mathrm {A}$ est négatif, soit compris entre $\mathrm {{\sqrt {D}}+B}$ et $\mathrm {{\sqrt {D}}-B} .$

Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile d’en chercher une autre ; et nous observerons qu’aucun des termes extrêmes ne peut être nul, car, sans cela, le déterminant serait un quarré (n^o 171). Cela posé, soit $b'\equiv -b{\pmod {a'}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$ (en prenant le signe supérieur quand $a'$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif) ; il est aisé de démontrer que l’opération est possible, par un raisonnement semblable à celui du n^o 5. Soit ensuite $a''={\frac {b'^{2}-D}{a'}}$, $a''$ sera un nombre entier, parceque $b'^{2}-D\equiv b^{2}-D\equiv aa'\equiv a{\pmod {a'}}$. Si $a''<a'$, on prendra encore $b''\equiv -b'{\pmod {a''}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a''$ (suivant que $a''$ sera positif ou négatif), et $a'''={\frac {b''^{2}-D}{a''}}$ ; si l’on a $a'''<a''$ on prendra encore $b'''\equiv -b{\pmod {a''}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'''$, et $a^{IV}={\frac {b'''^{2}-D}{a'''}}$, etc. On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $a^{(m+1)}$ qui ne soit pas plus petit que le précédent $a^{(m)}$, ce qui doit arriver nécessairement, car autrement une progression de nombres entiers pourrait décroître à l’infini. Alors en faisant $a^{(m)}=A$, $b^{(m)}=B$, $a^{(m+1)}=C$, la forme $(A,B,C)$ satisfera à toutes les conditions. En effet :

1^o. Puisque dans la suite de formes $(a,b,a')$, $(a',b',a'')$, $(a'',b'',a''')$, etc. une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; la dernière $(A,B,C)$ sera proprement équivalente à la première.

2^o. Comme $B$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$, en prenant toujours le signe supérieur quand $A$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif, il est clair que si l’on fait ${\sqrt {D}}-B=p$ et $B-({\sqrt {D}}\mp A)=q$, $p$ et $q$ seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de ${\sqrt {D}}\mp A$. Or on s’assurera aisément que $q^{2}+2pq+2p{\sqrt {D}}=D+A^{2}-B^{2}$ ; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l’est aussi ; et comme $D=B^{2}-AC$, il s’ensuit que $A^{2}-AC>0$ ; mais $A$ n’est pas plus grand que $C$, donc nécessairement $A$ et $C$ sont de signe contraire ; donc aussi, puisque $B^{2}=D+AC$, on a $B^{2}<D$ et $B<{\sqrt {D}}$.

3^o. Puisque $D<B^{2}$ et que $-AC=D-B^{2}$, on a $AC<D$ (abstraction faite du signe) ; et comme $A$ est non $>C$, on a aussi $A<{\sqrt {D}}$ ; donc ${\sqrt {D}}\mp A$ sera positif, et partant, $B$ qui est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$.

4^o. Donc, à plus forte raison, ${\sqrt {D}}+B\mp A>0$ ; et comme ${\sqrt {D}}-B{\sqrt {D}}\pm A=-q$, $\pm A$ sera compris entre les limites ${\sqrt {D}}+B$ et${\sqrt {D}}-B$.

Exemple. Soit la forme $(67,97,140)$ dont le déterminant est $29$ ; on trouvera la suite des formes : $(67,97,140)$, $(140,-97,67)$ $(67,-37,20)$, $(20,-3,-1)$, $(-1,5,4)$. La dernière est la forme cherchée.

Nous appellerons formes réduites les formes $(A,B,C)$, dans lesquelles $A,$ pris positivement, est compris entre ${\sqrt {D}}+B$ et ${\sqrt {D}}-B,$ $B$ étant positif et $<{\sqrt {D}},$ et le déterminant $D$ étant positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de celles dont le déterminant est négatif ; mais à cause de leur grande analogie, nous n’avons pas voulu introduire des dénominations différentes.

184. Si l’on pouvait reconnaître l’équivalence de deux formes réduites de déterminant positif, aussi facilement que nous l’avons fait pour celles de déterminant négatif (n^o 172), on reconnaîtrait sans peine l’équivalence de deux formes quelconques de déterminant négatif : mais ici la chose est bien différente, et il peut arriver qu’un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre elles. Ainsi, avant d’entreprendre cette recherche, il est nécessaire d’examiner plus à fond la nature des formes réduites (de déterminant positif non quarré, ce qu’on doit toujours sous-entendre dans ce que nous aurons à dire).

1^o. Si $(a,b,c)$ est une forme réduite, $a$ et $c$ seront de signe contraire ; car en nommant $D$ le déterminant, on aura $ac=b^{2}-D$ et partant négatif, puisque $b<{\sqrt {D}}$.

2^o. Le nombre $C$ pris positivement, est, ainsi que $a$, compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$ ; car $-c={\frac {D-b^{2}}{a}}$ ; donc, abstraction faite du signe, $c$ sera compris entre ${\frac {D-b^{2}}{{\sqrt {D}}+b}}={\sqrt {D}}-b$ et ${\frac {D-b^{2}}{{\sqrt {D}}-b}}={\sqrt {D}}+b$

3^o. Il suit de là que $(c,b,a)$ est aussi une forme réduite.

4^o. $a$ et $c$ seront $<2{\sqrt {D}}$ ; car chacun d’eux est $<{\sqrt {D}}+b$, et à plus forte raison $<2{\sqrt {D}}$.

5^o. $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$ (en prenant le signe supérieur lorsque $a$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif). En effet, comme $\pm a$ est compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, on aura $\pm a>{\sqrt {D}}-b$, ou $b>{\sqrt {D}}\mp a$ : d’ailleurs $b<{\sqrt {D}}$, donc $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$. On démontrerait absolument de la même manière que $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp c$ (suivant que $c$ est positif ou négatif).

6^o. Pour toute forme réduite $(a,b,c)$, on peut en trouver une également réduite qui lui soit contiguë par l’une ou l’autre partie ; mais on n’en pourra trouver qu’une.

Soit $a'=c$, $b'=-b{\pmod {a'}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$, $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}}$ ; la forme $(a',b',c')$ sera contiguë par la dernière partie, à la forme $(a,b,c)$ ; et il est clair que s’il existe une forme réduite contiguë à la forme $(a,b,c)$ par la dernière partie, elle ne peut être autre que $(a',b',c')$ ; il reste à faire voir que cette forme est effectivement réduite.

(A). Soit fait ${\sqrt {D}}+b\mp a'=p=$ ; $\pm a'-({\sqrt {D}}-b)=q$, ${\sqrt {D}}-b=r\ ;$ il suit de la définition des formes réduites, et de (2^o), que $p$, $q$, $r$ sont positifs ; et si l’on fait encore $b'-({\sqrt {D}}\mp a')=q'$, ${\sqrt {D}}-b'=r'$, $q'$ et $r'$ seront positifs, puisque $b'$ tombe entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$ ; soit enfin $b+b'=\pm ma'$, $m$ sera entier. Or il est clair que $p+q'=b+b'$, d’où il suit que $\pm ma'>0$, et partant $m>0$, et $m-1$ non $<0$ ; et comme on a encore $r+q'=\pm ma'=2b'\pm a'$, d’où l’on tire $2b'=r+q'\pm a'(m-1)$, il s’ensuit que $b'$ est nécessairement positif, et comme $b'={\sqrt {D}}-r'$, que $b'<{\sqrt {D}}$.

(B). Or on a $r\pm ma'={\sqrt {D}}+b$, d’où $r\pm (m-1)a'={\sqrt {D}}+b\mp a'\,;$ donc ${\sqrt {D}}+b>\pm a'\,;$ d’ailleurs $q'=\pm a'-({\sqrt {D}}-b'),$ donc $\pm a'>{\sqrt {D}}-b'\,;$ donc enfin $\pm a'$ est compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b.$

La forme $(a',b',c')$ est donc une forme réduite.

On démontrera de la même manière, que si l’on fait $'a=a,$ $'b\equiv -b{\pmod {'c}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp c$, $'a={\frac {'b^{2}-D}{'c}}$, $('a,'b,'c)$ sera une forme réduite. Il est manifeste d’ailleurs qu’elle est contiguë par la première partie à la forme $(a,b,c)$, et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la même propriété.

Exemple. Soit la forme réduite $(5,11,-14)$ dont le déterminant est $191$, on trouvera les réduites $(-14,3,13)$ $(-22,9,5)$, dont la première est contiguë à $(5,11,-14)$ par la dernière partie, et la seconde par la première partie.

7^o. Si la forme réduite $(a',b',c')$ est contiguë par la dernière partie à la forme $(a,b,c)$, la réduite $(c',b',a')$ sera contiguë par la première partie à la réduite $(c,b,a)$ et si la réduite $('a,'b,'c)$ est contiguë par la première partie à la réduite $(a,b,c)$, la réduite $('c,'b,'a)$ sera contiguë par la dernière partie à la réduite $(c,b,a)$. Or les formes $(-'a,'b,-'c)$, $(-a,b,-c)$, $(-a',b,-c')$ seront des réduites, et la seconde sera contiguë à la première, la troisième à la seconde, par la dernière partie ; ou bien, la première sera contiguë à la seconde, la seconde à la troisième, par la première partie. Il en est de même des formes $(-c',b',-a')$, $(-c,b,-a)$, $(-'c,'b,-'a)$, Ces vérités sont si évidentes, qu’elles n’ont pas besoin d’explication.

185. Le nombre des formes réduites d’un déterminant donné $D$ est toujours fini, et elles peuvent se trouver de deux manières. Représentons indéfiniment par $(a,b,c)$ toutes les formes réduites dont le déterminant est $D$, ensorte qu’il s’agisse de trouver toutes les valeurs de $a$, $b$, $c$.

Première méthode. On prendra pour $a$ tous les nombres plus petits que $2{\sqrt {D}}$ soit positivement, soit négativement, dont $D$ est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de $a$, on fera $b$ égal aux différentes valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}$ comprises entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$, et $c={\frac {b^{2}-D}{a}}$. S’il en résulte quelques formes dans lesquelles $\pm a$ sorte des limites ${\sqrt {D}}+b$ et${\sqrt {D}}-b$, il faudra les rejeter.

Deuxième méthode. On prendra pour $b$ tous les nombres positifs $<{\sqrt {D}}$ pour chaque valeur de $b$, on décomposera $b^{2}-D$ de toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, abstraction faite du signe, et l’on fera l’un d’eux $=a$ et l’autre $=c$. Il est évident que chaque décomposition en facteurs donnera deux formes, car l’un quelconque des deux facteurs peut être pris pour $a$, et l’autre pour $c$.

Exemple. Soit $D=79$ ; par la première méthode, on trouve pour $a$ vingt-deux valeurs : $\pm 1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $9$, $10$, $13$, $14$, $15$, d’où résultent les 19 formes suivantes :

$(1,8,-15)$,	$(2,7,-15)$,	$(3,7,-10)$,	$(3,8,-5)$,	$(5,7,-6)$,
$(5,8,-3)$,	$(6,5,-9)$,	$(6,7,-5)$,	$(7,3,-10)$,	$(7,4,-9)$,
$(9,4,-7)$,	$(9,5,-6)$,	$(10,3,-7)$,	$(10,7,-3)$,	$(13,1,-6)$,
$(14,3,-5)$,	$(15,2,-5)$,	$(15,7,-2)$,	$(15,8,-1)$.

On en trouvera encore autant en changeant les signes des fermes extrêmes, par exemple : $(-1,8,15)$, $(-2,7,+15)$, etc., ensorte qu’on en aura trente-huit en tout. Mais comme $\pm a$ doit être compris entre les limites ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, il faut rejeter les six formes : $(\pm 13,1,\mp 6)$, $(\pm 14,3,\mp 5)$, $(\pm 15,2,\mp 5)$ ; et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites.

Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans l’ordre suivant :

$(\pm 7,3,\mp 10)$,	$(\pm 10,3,\mp 7)$,	$(\pm 7,4,\mp 9)$,	$(\pm 9,4,\mp 7)$,
$(\pm 6,5,\mp 9)$,	$(\pm 9,5,\mp 6)$,	$(\pm 2,7,\mp 15)$,	$(\pm 3,7,\mp 10)$,
$(\pm 5,7,\mp 6)$,	$(\pm 10,7,\mp 5)$,	$(\pm 10,7,\mp 3)$,	$(\pm 15,7,\mp 2)$,
$(\pm 1,8,\mp 15)$,	$(\pm 3,8,\mp 5)$,	$(\pm 5,8,\mp 3)$,	$(15,8,\mp 1)$.

186. Soit $F$ une forme réduite de déterminant D, et la forme réduite $F$ contiguë à $F$ par la dernière partie ; soit de même la réduite $F''$ contiguë à $F'$, $F'''$ à $F''$, etc., il est clair que toutes les formes $F'$, $F''$, $F'''$, etc. sont absolument déterminées, et qu’elles sont proprement équivalentes entre elles et à la forme $F$. Mais comme le nombre des formes réduites de déterminant donné est toujours fini, il est manifeste que toutes les formes $F$, $F'$, $F''$, etc. ne peuvent pas être différentes. Supposons que $F^{(m)}$ et $F^{(m+n)}$ soient identiques, $F^{(n-1)}$ et $F^{(m+n-1)}$ sont réduites et contiguës par la première partie à la même forme réduite ; et partant identiques, on a de même $F^{(m-2)}=F^{(m+n-2)}$, etc., et enfin $F=F^{(n)}$. Ainsi dans la progression $F$, $F'$, $F''$, etc., pourvu qu’on la continue assez loin, on retrouvera enfin la forme $F$ ; et si nous supposons que $F^{(n)}$ soit la première identique avec $F$, c’est-à-dire que toutes les formes $F'$, $F''$,… $F^{(n-1)}$ soient différentes de $F$, il est aisé de voir que toutes les formes $F$, $F'$,… $F^{(n-1)}$ seront différentes entre elles. Nous appellerons l’ensemble de toutes ces formes la période de la forme $F$ ; si donc on continue la suite après la dernière forme de la période, les formes $F'$, $F''$, etc. reparaîtront de nouveau, et la suite entière sera composée de cette période répétée à l’infini.

La progression $F$, $F'$, $F''$, etc. peut aussi être continuée en sens inverse, en plaçant avant la forme $F$ une forme $'F$ qui lui soit contiguë par la première partie, avant celle-ci une forme $F''$, etc. On aura de cette manière une suite de formes infinie dans les deux sens,

$.....\ '''F,\ ''F,\ 'F,\ F,\ F',\ F'',\ F''',\ .....,$

et l’on verra facilement que $'F$ est identique avec $F^{(n-1)}$, $''F$ avec $F^{(n-2)}$, etc. et que parconséquent la suite est aussi formée, vers la gauche, de la période de la forme $F$ répétée à l’infini.

Si l’on attribue aux formes $F$, $F'$, $F''$, etc. $'F$, $''F$, etc. les indices $0$, $1$, $2$, etc. $-1$, $-2$, etc., et généralement à la forme $F^{(m)}$ l’indice $m$, à la forme $^{(m)}F$ l’indice $-m$, il est clair que des formes quelconques de la suite seront identiques ou différentes, selon que leurs indices sont congrus ou incongrus, suivant le module $n$. Il ne faut pas confondre les indices dont il est question ici, avec ceux du n^o 57. Les premiers ne sont que des accens, et les derniers de véritables exposans.

Exemple. La période de la forme $(3,8,-5)$, dont le déterminant est $79$, se trouve ainsi être :

$(3,8,-5),\ (-5,7,6),\ (6,5,-9),\ (-9,4,7),\ (7,3,-10),\ (-10,7,3)\,;$

après la dernière, la première $(3,8,-5)$ reparaît, et l’on a ici $n=6$.

187. Voici encore quelques observations générales sur ces périodes.

1^o. Si les formes $F$, $F'$, $F''$, etc. $'F$, $''F$, etc. sont présentées comme il suit : $(a,b,-a')$, $(-a',b',a'')$, $(a'',b'',-a'')$, etc. $(-'a,'b,c)$, $(''a,''b,-'a)$, $(-''a,''b,''a)$, etc. tous les nombres $a$, $a'$, $a''$, $a'''$, etc. $'a$, $''a$, $'''a$, etc. auront le même signe (n^o 184 —1^o.), et les nombres $b$, $b'$, $b''$, $b'''$, etc. $'b$, $''b$, etc. seront nécessairement positifs.

2^o. Il suit de là que le nombre $n$ des formes de la période est toujours pair ; car le premier terme d’une forme quelconque $F^{n}$ de cette période, aura évidemment le même signe que le premier terme de la forme $F$ si $m$ est pair, et le signe contraire si $m$ est impair ; or $F$ et $F^{n}$ sont identiques, donc $n$ est un nombre pair.

3^o. Dans le calcul indiqué (n^o 184—6^o.), pour trouver les différentes formes $F$, $F'$, $F''$ etc., au lieu des expressions

$a''$	$={\frac {D-b'^{2}}{a'}}$,
$a'''$	$={\frac {D-b''^{2}}{a''}}$,
$a^{IV}$	$={\frac {D-b'''^{2}}{a'''}}$,
etc.

on peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque $D$ est un grand nombre, et qui s’en déduisent facilement :

$a''$	$=$	${\frac {(b+b')(b-b')}{a'}}$	$+a$,
$a'''$	$=$	${\frac {(b'+b'')(b'-b'')}{a''}}$	$+a'$,
$a^{IV}$	$=$	${\frac {(b''+b''')(b''-b''')}{a'''}}$	$+a''$,
etc.

4^o. Une forme quelconque $F^{n}$ contenue dans la période de $F$ conduit à la même période qu’elle ; ensorte que la période de cette forme sera $F^{n}$, $F^{n+1}$…$F^{n-1}$, $F$, $F'$, … $F^{n-1}$, dans laquelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui ne diffère de la première que par le commencement et la fin.

5^o. Il suit de là que toutes les formes réduites de même déterminant $D$ peuvent être distribuées en périodes. On prendra une quelconque $F$ de ces formes, et l’on cherchera sa période que nous désignerons par $P$. Si $P$ ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant est $D$, soit $G$ une des formes qui n’y est pas contenue, et $Q$ sa période, il est clair que $P$ et $Q$ n’ont aucune forme commune, car autrement $G$ serait contenue dans $P$ et les périodes coïncideraient. Si $P$ et $Q$ n’épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période $R$, qui n’aura aucune forme commune avec $P$ et $Q$, et ainsi de suite, jusqu’à ce que toutes les formes réduites soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formes réduites dont le déterminant est $79$ se distribuent en six périodes,

1…	$(1,8,-15),$	$(-15,7,2),$	$(2,7,-15),$	$(-15,8,1).$
2…	$(-1,8,15),$	$(15,7,-2),$	$(-2,7,15),$	$(15,8,-1).$
3…	$(3,8,-5),$	$(-5,7,6),$	$(6,5,-9),$	$(-9,4,7),$
			$(7,3,-10),$	$(-10,7,3).$
4…	$(-3,8,5),$	$(5,7,-6),$	$(-6,5,9),$	$(9,4,-7),$
			$(-7,3,10),$	$(10,7,-3).$
5…	$(5,8,-3),$	$(-3,7,10),$	$(10,3,-7),$	$(-7,4,9),$
			$(9,5,-6),$	$(-6,7,5).$
6…	$(-5,8,3),$	$(3,7,-10),$	$(-10,3,7),$	$(7,4,-9),$
			$(-9,5,6),$	$(6,7,-5).$

6^o. Nous nommerons formes associées, celles qui sont composées des mêmes termes, mais placés dans un ordre inverse, comme $(a,b,-a')$, $(-a',b,a)$. On voit alors facilement (n^o 184, 7^o.) que si la période de la forme réduite $F$ est $F$, $F'$, $F''$ etc., que $f$ soit associée à $F$, $f'$ à $F^{n-1}$, $f''$ à $F^{n-2}$ etc. $f^{n-2}$ à $F''$, $f^{n-1}$ à $F'$, la période de $f$ sera $f$, $f'$, $f''$, …$f^{n-1}$, et contiendra, partant, le même nombre de formes que la période de $F$. Nous nommerons périodes associées celles qui sont ainsi composées de formes associées. Les périodes 3 et 6, 4 et 5 de l’exemple précédent sont dans ce cas-là.

7^o. Mais il peut arriver aussi que la forme $f$ se trouve elle-même dans la période de son associée, comme aux périodes 1 et 2 de notre exemple, et que parconséquent la période de la forme $F$ coïncide avec celle de la forme $f$, c’est-à-dire que la période de la forme $F$ soit elle-même son associée. Toutes les fois que cette circonstance a lieu, la période renferme deux formes ambiguës. Supposons en effet que la période de la forme $F$ contienne $2n$ formes, ou que $F=F^{(2n)}$. Soit $2m+1$ l’indice de la forme $f$ dans la période de $F$ (car $F$ et $f$ ont leurs premiers termes de signe contraire, (2^o.), c’est-à-dire que $F^{(2m+1)}$ et $F$ soient associées ; il est évident qu’alors $F'$ et $F^{(2m)}$ seront aussi associées, de même $F''$ et $F^{(2m-1)}$ etc., et partant $F^{(m)}$ et $F^{(m+1)}$. Soit $F^{(m)}=(a^{(m)},b^{(m)},-a^{(m+1)})$, $F^{(m+1)}=(-a^{(m+1)},b^{(m+1)},a^{(m+2)})$ ; on aura $b^{(m)}+b^{(m+1)}\equiv 0{\pmod {a^{(m+1)}}}$ ; mais par la définition des formes associées $b^{(m)}=b^{(m+1)}$. donc $2b^{(m+1)}\equiv 0{\pmod {a^{(m+1)}}}$ c’est-à-dire que la forme $F^{(m+1)}$ est ambiguë. De même, les formes $F^{(2n)}$ et $F^{(2m+1)}$ sont associées, donc aussi $F^{(2m+2)}$ et $F^{(2n-1)}$, $F^{(2m+3)}$ et $F^{(2n-2)}$, etc. et enfin $F^{(m+n)}$ et$F^{(m+n+1)}$ dont la dernière sera ambiguë, comme on le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme $m+1$ et $m+n+1$ sont incongrus suivant le module $2n$, les formes $F^{(m+1)}$ et $F^{(m+n+1)}$ ne seront pas identiques (n^o 186, où $n$ représente ce que représente ici $2n$), Dans la période 1, les formes $(1,8,-15)$, $(2,7,-15)$ ; dans la période 2, les formes $(-1,8,15)$, $(-2,7,15)$ sont ambiguës.

8^o. Réciproquement, toute période qui renferme une forme ambiguë sera elle-même son associée. En effet, on voit aisément que si $F^{(m)}$ est une forme réduite ambiguë, sa forme associée, qui est aussi réduite, lui sera en même temps contiguë par la première partie, c’est-à-dire que $F^{(m-1)}$ et $F^{(m)}$ sont associées. Mais alors toute la période sera elle-même son associée. Il suit de là que dans une période, il faut nécessairement qu’il y ait plus d’une forme ambiguë ; mais il ne peut y en avoir plus de deux.

En effet, supposons que dans la période de la forme $F$, il se trouve trois formes ambiguës $F^{(\lambda )}$, $F^{(\mu )}$, $F^{(\nu )}$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ étant $<2n$, et inégaux. Alors les formes $F^{(\lambda -1)}$ et $F^{(\lambda )}$ seront associées ; de même $F^{(\lambda -2)}$ et $F^{(\lambda +1)}$, etc. et enfin $F$ et $F^{(2\lambda -1)}$ ; par la même raison, $F$ et $F^{(2\mu -1)}$, $F$ et $F^{(2\nu -1)}$, seront associées. Donc les formes $F^{(2\lambda -1)}$, $F^{(2\mu -1)}$, $F^{(2\nu -1)}$ seront identiques, et partant leurs indices seront congrus suivant le module $2n$ ; donc aussi $\lambda \equiv \mu \equiv \nu {\pmod {2n}}$, ce qui est absurde, puisqu’il est évident qu’il n’y a pas trois nombres différens congrus suivant le module $2n$, et plus petits que lui.

188. Comme toutes les formes de la même période sont proprement équivalentes, on est porté naturellement à chercher si deux formes prises dans des périodes différentes peuvent être équivalentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible, il est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des formes réduites.

Comme dans ce qui va suivre il sera souvent question de la transformation des formes, et afin d’éviter autant qu’il est possible la prolixité, nous nous servirons dorénavant de la manière suivante d’écrire. Si une forme $LY^{2}+2M.XY+NY^{2}$ se change en la forme $lx^{2}+2mxy+ny^{2}$ par la substitution $X=\alpha x+\beta y$, $Y=\gamma x+\delta y$, nous dirons plus simplement que $(L,M,N)$ se change en $(l,m,n)$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. De cette manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des caractères particuliers les indéterminées des formes dont il sera question ; mais il est clair qu’il faut bien distinguer dans toutes les formes la première et la seconde indéterminée.

Soit proposée la forme réduite $(a,b,-a')=f$ et dont le déterminant est $D$ ; on formera comme au n^o 186 une suite de formes réduites qui s’étende indéfiniment dans les deux sens,… $''f$, $'f$, $f$, $f'$, $f''$… ensorte que l’on ait

$f'$	$=(-a',b',a'')$,	—	$f''$	$=(a'',b'',-a'''),$	${\text{etc.}}$
$'f$	$=(-'a,'b,a)$,	—	$''f$	$=(''a,''b,-'a),$	${\text{etc.}}$

Faisons

${\frac {b+b'}{-a'}}=h'$,__	__${\frac {b'+b''}{a''}}=h''$,__	__${\frac {b''+b'''}{-a'''}}=h'''$,	${\text{etc.}}$
${\frac {'b+b}{a}}=h$,__	__${\frac {''b+'b}{-'a}}='h$,__	__${\frac {'''b+''b}{''a}}=''h$,	${\text{etc.}}$

Il est clair que si l’on calcule les nombres $\alpha '$, $\alpha ''$, etc., $\beta '$, $\beta ''$, etc. par le moyen des relations suivantes (comme au n^o 177).

$\alpha '$	$=0$	…	$\beta '$	$=-1$	…	$\gamma '$	$=1$	…	$\delta '$	$=h'$
$\alpha ''$	$=\beta '$	…	$\beta ''$	$=h''\beta '$	…	$\gamma ''$	$=\delta '$	…	$\delta ''$	$=h''\delta '-1$
$\alpha '''$	$=\beta ''$	…	$\beta '''$	$=h'''\beta ''-\beta '$	…	$\gamma '''$	$=\delta ''$	…	$\delta '''$	$=h'''\delta ''-\delta '$
$\alpha ^{(IV)}$	$=\beta '''$	…	$\beta ^{(IV)}$	$=h^{(IV)}\beta '''-\beta ''$	…	$\gamma ^{(IV)}$	$=\delta '''$	…	$\delta ^{(IV)}$	$=h^{(IV)}\delta '''-\delta ''$
	${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$

$f$ se changera en ${\begin{cases}f'\\f''\\f'''\\{\text{etc.}}\end{cases}}$ par la substitution ${\begin{cases}\alpha ',\beta ',\gamma ',\delta '\\\alpha '',\beta '',\gamma '',\delta ''\\\alpha ''',\beta ''',\gamma ''',\delta '''\\{\text{etc.}}\end{cases}}$ et toutes ces transformations seront propres.

Comme $'f$ se change en $f$ par la substitution propre $0$, $1$, $1$, $h$ (n^o 161), $f$ se changera en $'f$ par la substitution propre $h$, $1$, $-1$, $0$ ; par la même raison $'f$ se changera en $''f$ par la substitution propre $'h$, $1$, $-1$, $0$, $''f$ en $'''f$ par la substitution propre $''h$, $1$, $-1$, $0$, etc. ; de là, et au moyen du n^o 159, on déduira comme au n^o 177 les relations suivantes entre $'\alpha$ $''\alpha$, etc. $'\beta$, $''\beta$, etc.

$'\alpha$	$=h$	…	$'\beta$	$=1$	…	$'\gamma$	$=-1$	…	$'\delta$	$=0$
$''\alpha$	$='h'\alpha -1$	…	$''\beta$	$='\alpha$	…	$''\gamma$	$='h'\gamma$	…	$''\delta$	$='\gamma$
$'''\alpha$	$=''h''\alpha -'\alpha$	…	$'''\beta$	$=''\alpha$	…	$'''\gamma$	$=''h''\gamma -'\gamma$	…	$'''\delta$	$=''\gamma$
$^{(IV)}\alpha$	$='''h'''\alpha -''\alpha$	…	$^{(IV)}\beta$	$='''\alpha$	…	$^{(IV)}\gamma$	$='''h'''\gamma -''\gamma$	…	$^{(IV)}\delta$	$='''\gamma$
	${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$

et,

$f$ se changera en

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$'f$

$\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right\}$

par la substitution

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$'\alpha ,$

$'\beta ,$

$'\gamma ,$

$'\delta$

$''f$

$''\alpha ,$

$''\beta ,$

$''\gamma ,$

$''\delta$

$'''f$

$'''\alpha ,$

$'''\beta ,$

$'''\gamma ,$

$'''\delta$

etc.

etc.

et toutes ces transformations seront propres.

Si l’on fait $\alpha =1,$ $\beta =0,$ $\gamma =0,$ $\delta =1,$ ces nombres auront la même relation avec la forme $f$ que $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$ avec la forme $f',$ $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma '',$ $\delta ''$ avec la forme $f'',$ etc., $'\alpha ,$ $'\beta ,$ $'\gamma ,$ $'\delta$ avec $'f,$ etc. C’est-à-dire, que par la substitution $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,$ la forme $f$ se change en $f\,;$ mais alors les suites $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. $'\alpha ,$ $''\alpha ,$ $'''\alpha ,$ etc., par intercalation de $\alpha ,$ se joindront parfaitement, et n’en feront plus qu’une seule allant à l’infini dans les deux sens, et dont tous les termes suivent la même loi …$'''\alpha ,$ $''\alpha ,$ $'\alpha ,$ $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha '''\dots$ La loi de cette suite est celle-ci :

$'''\alpha +'\alpha$	$=''h''\alpha$,	__	$''\alpha +\alpha$	$='h'\alpha$,	__	$'\alpha +\alpha '$	$=h\alpha$,
$\alpha +\alpha ''$	$=h'\alpha '$,	__	$\alpha '+\alpha ''$	$=h''\alpha ''$,	__	etc.

ou généralement, en regardant l’accent négatif écrit à droite comme l’accent positif écrit à gauche, $\alpha ^{(m-1)}+\alpha ^{(m+1)}=h^{(m)}\alpha ^{(m)}.$

De même la suite $''\beta$, $'\beta$, $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc, sera continue, et la loi de ses termes sera $\beta ^{(m-1)}+\beta ^{(m+1)}=h^{(m+1)}\beta ^{(m)}$ ; cette suite est la même que la précédente, en remplaçant $'\alpha$ par $\beta ''$, $\alpha$ par $'\beta$, $\alpha '$par $\beta$, etc.

La loi de la progression $''\gamma ,$ $'\gamma ,$ $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. sera $\gamma ^{(m-1)}+\gamma ^{(m+1)}=h^{(m)}\gamma ^{(m)},$ et celle de la progression : $''\delta ,$ $'\delta ,$ $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta '',$ etc. sera $\delta ^{(m-1)}+\delta ^{(m+1)}=h^{(m+1)}\delta ^{(m)},$ et en outre généralement $\delta ^{(m)}=\gamma ^{(m+1)}.$

Exemple. La forme $(3,8,-5)=f$ se changera ainsi

en————

——————par la substitution,

$^{VII}f$			$=(-10,7,3)$	$......$	$-$	$805$,	—	$-$	$152$,	—	$+$	$143$,	—	$+$	$27$
$^{VI}f$			$=(3,8,-5)$	$......$	$-$	$152$,	—	$+$	$45$,	—	$+$	$27$,	—	$-$	$8$
$^{V}f$			$=(-5,7,6)$	$......$	$+$	$45$,	—	$+$	$17$,	—	$-$	$8$,	—	$-$	$3$
$^{IV}f$			$=(6,5,-9)$	$......$	$+$	$17$,	—	$-$	$11$,	—	$-$	$3$,	—	$+$	$2$
$'''f$			$=(-9,4,7)$	$......$	$-$	$11$,	—	$-$	$6$,	—	$+$	$2$,	—	$+$	$1$
$''f$			$=(7,3,-10)$	$......$	$-$	$6$,	—	$+$	$5$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$1$
$'f$			$=(-10,7,3)$	$......$	$+$	$5$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$1$,	—		$0$
$f$			$=(3,8,-5)$	$......$	$+$	$1$,	—		$0$,	—		$0$,	—	$+$	$1$
	$f'$		$=(-5,7,6)$	$......$		$0$,	—	$-$	$1$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$3$
	$f''$		$=(6,5,-9)$	$......$	$-$	$1$,	—	$-$	$2$,	—	$-$	$3$,	—	$-$	$7$
	$f'''$		$=(-9,4,7)$	$......$	$-$	$2$,	—	$+$	$3$,	—	$-$	$7$,	—	$+$	$10$
	$f^{IV}$		$=(7,3,-10)$	$......$	$+$	$3$,	—	$+$	$5$,	—	$+$	$10$,	—	$+$	$17$
	$f^{V}$		$=(-10,7,3)$	$......$	$+$	$5$,	—	$-$	$8$,	—	$+$	$17$,	—	$-$	$27$
	$f^{VI}$		$=(3,8,-5)$	$......$	$-$	$8$,	—	$-$	$45$,	—	$-$	$27$,	—	$-$	$152$
	$f^{VII}$		$=(-5,7,6)$	$......$	$-$	$45$,	—	$+$	$143$,	—	$-$	$152$,	—	$+$	$483$
					etc.

189. À l’égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs remarques.

1^o. Tous les nombres $a,$ $a',$ $a'',$ etc. $'a,$ $''a,$ etc. auront le même signe, tous les nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc. $'b,$ $''b,$ etc. seront positifs, et les nombres …$''h,$ $'h,$ $h,$ $h',$ $h'',$ etc. seront alternatifs, c’est-à-dire, que si $a,$ $a',$ etc. sont tous positifs, $h^{m}$ ou $^{m}h$ sera positif quand $m$ est pair, et négatif quand $m$ est impair ; et le contraire aura lieu, si $a,$ $a',$ etc. sont tous négatifs.

2^o. Si $a$ est positif et partant $h'<0,$ $h''>0,$ etc., on aura $\alpha ''=-1,$ $<0\,;$ $\alpha '''=h''\alpha '',$ $<0$ et $>$ ou $=\alpha ''\,;$ $\alpha ^{IV}=h'''\alpha '''-\alpha '',$ $>0$ et $>\alpha ''',$ puisque $h'''\alpha '''>0$ et $\alpha ''<0\,;$ $\alpha ^{V}=h^{IV}\alpha ^{IV}-\alpha ''',$$>0$ et $>\alpha ^{IV},$ puisque $h^{IV}\alpha ^{IV}>0$ et $\alpha '''<0,$ etc. On conclut de là facilement que les termes de la suite $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. vont toujours en augmentant, et qu’il y en a toujours deux positifs et deux négatifs alternativement, et de manière que $\alpha ^{m}$ a le signe $+,$ $+,$ $-,$ $-,$ suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}}\,;$ si $a$ est négatif, on trouvera par un raisonnement semblable que les termes vont en augmentant, et que le signe du terme $\alpha ^{m}$ est $+,$ $-,$ $-,$ $+,$ suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}}.$

3^o. On trouve de même que les quatre suites infinies $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. ; $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. ; $\alpha ',$ $\alpha ,$ $'\alpha ,$ $''\alpha ,$ etc. ; $\gamma ,$ $'\gamma ,$ $''\gamma ,$ etc., vont en augmentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentes, $\beta ,$ $\beta ',$ $\beta '',$ etc. ; $'\delta ,$ $\delta$ $\delta ',$ etc. ; $\beta ,$ $'\beta ,$ $''\beta ,$ etc. ; $\delta ,$ $'\delta ,$ $''\delta ,$ etc., et suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}},$ le signe de $\alpha ^{(m)}$ est : $+,$ $\pm ,$ $-,$ $\mp \,;$ celui de $\beta ^{(m)}\,:$ $\pm ,$ $-,$ $\mp ,$ $+\,;$ celui de $\gamma ^{(m)}\,:$ $\pm ,$ $+,$ $\mp ,$ $-\,;$ celui de $\delta ^{(m)}\,:$ $+,$ $\mp ,$ $-,$ $\pm \,;$ celui de $^{(m)}\alpha \,:$ $+,$ $\pm ,$ $-,$ $\mp \,;$ celui de $^{(m)}\beta \,:$ $\mp ,$ $+,$ $\pm ,$ $-\,;$ celui de $^{(m)}\gamma \,:$ $\mp ,$ $-,$ $\pm ,$ $+\,;$ celui de $^{(m)}\delta \,;$ $+,$ $\mp ,$ $-,$ $\pm \,;$ en prenant les signes supérieurs quand $a$ est positif, et les inférieurs quand $a$ est négatif. Il est surtout important de remarquer que $m$ indiquant un accent positif quelconque, $\alpha ^{(m)}$ et $\gamma ^{(m)}$ auront les mêmes signes quand $a$ est positif, et des signes contraires quand $a$ est négatif ; il en est de même pour $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)},$ et le contraire a lieu pour $^{(m)}\alpha$ et $^{(m)}\gamma ,$ $^{(m)}\beta$ et $^{(m)}\delta$.

4^o. On peut présenter, d’après la notation du n^o 32, les valeurs de $\alpha ^{(m)},$ $\beta ^{(m)},$ etc. En posant $\mp h'=k',$ $\pm h''=k'',$ $\mp h'''=k''',$ etc. ; $\pm h=k,$ $\mp 'h='k,$ $\pm ''h=''k,$ etc., de manière que $k',$ $k'',$ etc., $k,$ $'k,$ etc. soient positifs, on aura

$\alpha ^{(m)}$	$=$	$\pm [k'',k''',k^{(IV)}...$	$k^{(m-1)}]$	……	$\beta ^{(m)}$	$=$	$\pm [k'',k''',k^{(IV)},\ldots$	$k^{(m)}]$
$\gamma ^{(m)}$	$=$	$\pm [k',k'',k'''...$	$k^{(m-1)}]$	……	$\delta ^{(m)}$	$=$	$\pm [k',k'',k''',\ldots$	$k^{(m)}]$
$^{(m)}\alpha$	$=$	$\pm [k,'k,''k...$	$^{(m-1)}k]$	……	$^{(m)}\beta$	$=$	$\pm [k,'k,''k,\ldots$	$^{(m-2)}k]$
$^{(m)}\gamma$	$=$	$\pm ['k,''k,'''k...$	$^{(m-1)}k]$	……	$^{(m)}\delta$	$=$	$\pm ['k,''k,'''k,\ldots$	$^{(m-2)}k]$

Quant aux signes, ils doivent être déterminés d’après ce qui vient d’être dit (3^o). Au moyen de ces formules, dont nous omettons la démonstration parcequ’elle est très-facile, le calcul devient extrêmement simple.

190. Lemme. Si $\mathrm {m} ,$ $\mathrm {\mu } ,$ $\mathrm {m'} ,$ $\mathrm {n} ,$ $\mathrm {\nu } ,$ $\mathrm {n'}$ désignent des nombres entiers quelconques, mais tels qu’aucun des trois derniers ne soit $=0,$ que $\mathrm {\frac {\mu }{\nu }}$ soit compris entre $\mathrm {\frac {m}{n}}$ et $\mathrm {\frac {m'}{n'}} ,$ et qu’on ait $\mathrm {mn'-nm'=\mp 1} ,$ le dénominateur $\mathrm {\nu }$ sera plus grand que $\mathrm {n}$ et $\mathrm {n'} .$

En effet $\mu nn'$ sera compris entre $\nu mn'$ et $\nu m'n,$ et partant différera de chacune de ces limites d’une quantité plus petite que leur propre différence, ainsi $\nu mn'-\nu m'n>\mu nn'-\nu mn',$ et $>\mu nn'-\nu m'n$ ; ce qui donne $\nu >n'(\mu n-\nu m)$ et $>n(\mu n'-\nu m)$, et comme $\mu n-\nu m$, ni $\mu n'-\nu m'$ ne peuvent être égaux à zéro, car il en résulterait ${\frac {m}{n}}={\frac {\mu }{\nu }}$, ou ${\frac {m'}{n'}}={\frac {\mu }{\nu }}$, ce qui est contre l’hypothèse, et qu’ils ne peuvent être plus petits que $1$, il s’ensuit qu’on a $\nu >n'$ et $>n$.

Il est donc clair que l’on ne peut avoir $\nu =1$ ; c’est-à-dire que si $mn'-m'n=\pm 1$, aucun nombre entier ne peut être compris entre les fractions ${\frac {m}{n}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$, et qu’à plus forte raison zéro ne peut y être compris, ce qui prouve que ces fractions ne peuvent être de signes contraires.

191. Théorème. Si la forme réduite $\mathrm {(a,b,-a')} ,$ dont le déterminant est $\mathrm {D} ,$ se change en la forme réduite $\mathrm {(A,B,-A')} ,$ de même déterminant, par la transformation $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ : 1^o. $\mathrm {\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombera entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, (pourvu que l’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$, c’est-à-dire que les deux limites soient finies), en prenant le signe supérieur, quand les deux limites sont de même signe que $\mathrm {a} ,$ et le signe inférieur, quand elles sont toutes deux de signe contraire à celui de $\mathrm {a}$^[1] ; 2^o. $\mathrm {\frac {\pm {\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombera entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }},$ (pourvu qu’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$), en prenant les signes comme ci-dessus.

On a les équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma -a'\gamma ^{2}$	$=$	$-$$A$$'$	…(1)
$a\beta ^{2}+2b\beta \delta -a'\delta ^{2}$	$=$	$-A'$	…(2)

d’où l’on tire

${\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha A}{\gamma ^{2}}}\right)}}-b}{a}}\dots \dots \,\;(3)$		${\frac {\beta }{\delta }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha A}{\delta ^{2}}}\right)}}-b}{a}}\dots \dots \,\;(4)$
${\frac {\gamma }{\alpha }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha 'A'}{\alpha ^{2}}}\right)}}+b}{a'}}\dots \dots (5)$		${\frac {\delta }{\beta }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha 'A'}{\beta ^{2}}}\right)}}+b}{a'}}\dots \dots (6)$

Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le dénominateur du premier membre serait nul ; mais il faut déterminer ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il est évident que dans les équations (3) et (4), on doit prendre le signe supérieur quand ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de même signe que $a$, car en prenant le signe inférieur ${\frac {a\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {a\beta }{\delta }}$ deviendraient négatifs ; mais comme $A$ et $A'$ sont de même signe, ${\sqrt {D}}$ tombe entre ${\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha A}{\gamma ^{2}}}\right)}}$ et ${\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha A'}{\delta ^{2}}}\right)}}$, et parconséquent, dans ce cas, ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$ entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$.

On voit de même, dans les équations (5) et (6), qu’il faut prendre nécessairement les signes inférieurs quand ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ sont tous les deux de signes contraires à $a'$ ou $a$, puisqu’en prenant le signe supérieur, les produits ${\frac {a'\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {a'\delta }{\beta }}$ deviendraient positifs d’où il suit sans difficulté que ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe dans ce cas entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$. Si l’on pouvait faire voir avec la même facilité, dans les équations (3) et (4), que l’on doit prendre les signes inférieurs quand ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de signe contraire à $a$, et dans les équations (5) et (6), que l’on doit prendre les signes supérieurs quand ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ sont de même signe que $a'$ ou $a$ ; il s’ensuivrait de la même manière, que dans le premier cas ${\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, et que dans le second ${\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pourrait éviter certains embarras, nous préférons la méthode suivante.

Quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ n’est $=0$, ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$ ont les mêmes signes que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, et l’on sait que si ces deux dernières quantités sont de signes différens à $a'$ ou $a$, ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ ; mais alors les deux quantités ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ seront aussi de signes contraires à $a$, et ${\frac {a'}{-{\sqrt {D}}+b}}$ tombera entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$. Or comme on a $D-b^{2}=aa'$, il en résulte ${\frac {a'}{-{\sqrt {D}}+b}}={\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}$, qui tombe parconséquent entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$. Ainsi la première partie du théorème est démontrée pour le second cas, en supposant que l’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$. De la même manière, quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ n’est $=0$, et que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de même signe que $a$ ou $a'$, ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, et partant ${\frac {a}{{\sqrt {D}}-b}}$ entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ ; d’ailleurs ${\frac {a}{{\sqrt {D}}-b}}={\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$, donc ${\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, qui sont de même signe que $a'$. Ainsi la seconde partie du théorème est démontrée pour le premier cas, en supposant que l’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$.

Il ne reste donc plus qu’à faire voir la vérité de la première partie pour le second cas, même en supposant $\alpha =0$ ou $\beta =0$, et celle de la seconde partie pour le premier cas, même en supposant $\gamma =0$ ou $\delta =0$ ; mais tous ces cas sont impossibles. Supposons en effet, pour la première partie du théorème, qu’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$, que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ soient tous deux de signe contraire à $a$, et qu’on ait en premier lieu $\alpha =0$. Alors l’équation $\alpha \delta -\gamma \beta =\pm 1$ donne $\beta =\pm 1$ et $\gamma =\pm 1$ ; donc l’équation (1) devient $A=-a'$ ; ainsi $A$ et $a'$ et partant $a$ et $A'$ sont de signes contraires, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {aA'}{\delta ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$ ; donc dans l’équation (4), il faut nécessairement prendre le signe inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que ${\frac {\beta }{\delta }}$ aurait le même signe que $a$, et l’on a alors ${\frac {\beta }{\delta }}>{\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}>1$ (puisque, par la définition de la forme réduite, $a<{\sqrt {D}}+b)$. Or ${\frac {\beta }{\delta }}$ ne peut être plus grand que $1$, puisque $\beta =\pm 1$ et que $\delta$ n’est pas égal à zéro. En second lieu, soit $\beta =0$ ; l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\alpha =\pm 1$ et $\delta =\pm 1$ ; donc l’équation (2) devient $a'=A'$ ; ainsi $a$ et $A$ sont de même signe, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {aA}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Donc dans l’équation (3) on doit prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et $a$ seraient de même signe ; on a donc ${\frac {\alpha }{\gamma }}>{\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}>1$, ce qui est absurde par la même raison que ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons qu’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$ ; que ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ aient le même signe que $a'$ et qu’on ait, en premier lieu, $\gamma =0$, l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\alpha =\pm 1$, $\delta =\pm 1$, donc l’équation (1) devient $A=a$, ainsi $a'$ et $A'$ sont de même signe, ce qui rend ${\sqrt {\left(D+{\frac {a'A}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Partant, dans l’équation (6), il faut prendre le signe supérieur, et l’on a ${\frac {\delta }{\beta }}>{\frac {{\sqrt {D}}+b}{a}}>1$, ce qui est absurde puisque $\delta =\pm 1$, et que $\beta$ n’est $=0$. Enfin, en second lieu, si l’on a $\delta =0$, l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\beta =\pm 1$, $\gamma =\pm 1$. Donc l’équation (2) devient $-A'=a$, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {a'A}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Ainsi dans l’équation (5), il faut prendre le signe supérieur, et l’on a ${\frac {\gamma }{\alpha }}>{\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}>1$ ; ce qui est absurde.

Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa généralité.

Puisque la différence entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ est ${\frac {1}{\gamma \delta }}$, la différence entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ ou ${\frac {\beta }{\delta }}$ sera $<{\frac {1}{\gamma \delta }}$. D’ailleurs entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$, ou entre cette quantité et ${\frac {\beta }{\delta }}$, il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur ne soit $>\gamma$ et $>\delta$ (lemme précéd.). De la même manière, la différence entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}+b}{a'}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ ou ${\frac {\delta }{\beta }}$ sera $<{\frac {1}{\alpha \beta }}$, et il ne pourra tomber entre cette quantité et l’une quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénominateur ne soit plus grand que $\alpha$ et $\beta$.

192, De l’application du théorème précédent à l’algorithme du n^o 188, il suit que la quantité ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$, que nous désignerons par $L$, tombe entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$ et ${\frac {\beta '}{\delta '}}$, entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et ${\frac {\beta ''}{\delta ''}}$, entre ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ et ${\frac {\beta '''}{\delta '''}}$, etc. : ou entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$, et ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ etc. ; et l’on déduit sans peine de ce qui a été dit n^o 189 (3^o. à la fin) qu’aucune de ces limites ne sera de signe contraire au signe de $a$, et que partant on doit prendre positivement le radical ${\sqrt {D}}$. Ainsi toutes les fractions dont les accens sont impairs différeront de $L$ dans un sens, et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais comme $\gamma '<\gamma '''$, ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$ tombera hors ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ et $L$, et de même ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ hors ${\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}}$ et $L$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ hors $L$ et ${\frac {\alpha ^{V}}{\gamma ^{V}}}$, etc. ; ainsi ces quantités se trouveront évidemment placées dans l’ordre suivant :

${\frac {\alpha '}{\gamma '}},\ {\frac {\alpha '''}{\gamma '''}},\ {\frac {\alpha ^{V}}{\gamma ^{V}}}......L......{\frac {\alpha ^{VI}}{\gamma ^{VI}}},\ {\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}},\ {\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}\ ;$

d’ailleurs la différence entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ et $L$ sera plus petite que la différence entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ et ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}},$ c’est-à-dire, $<{\frac {1}{\gamma '\gamma ''}}\ ;$ de même la différence entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et $L$ sera $<{\frac {1}{\gamma ''\gamma '''}},$ etc. Ainsi les fractions ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}},$ ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}},$ etc. approcheront de plus en plus de la limite $L,$ et comme $\gamma ',$ $\gamma '',$ $\gamma '',$ etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence de ces fractions à $L$ peut être rendue aussi petite qu’on le voudra.

Il suit du n^o 189, qu’aucune des quantités ${\frac {\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {'\gamma }{'\alpha }},$ ${\frac {''\gamma }{''\alpha }},$ ${\frac {'''\gamma }{'''\alpha }}$ n’aura le même signe que $a\ ;$ on déduit de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, que ces fractions et ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}=L'$ doivent être placées dans l’ordre suivant :

${\frac {\gamma }{\alpha }},\ {\frac {''\gamma }{''\alpha }},\ {\frac {^{IV}\gamma }{^{IV}\alpha }}......L'......{\frac {^{V}\gamma }{^{V}\alpha }},\ {\frac {'''\gamma }{'''\alpha }},\ {\frac {'\gamma }{'\alpha }}.$

D’ailleurs la différence entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et $L'$ est moindre que ${\frac {1}{'\alpha \alpha }}$ la différence entre ${\frac {'\gamma }{'\alpha }}$ et $L'$ est moindre que ${\frac {1}{''\alpha '\alpha }}$, etc. Ainsi les fractions ${\frac {\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {'\gamma }{'\alpha }}$, etc. approchent de $L'$ de plus en plus et continuellement, et la différence peut être rendue plus petite qu’aucune quantité donnée.

Dans l’exemple du n^o 188, on a $L={\frac {{\sqrt {79}}-8}{3}}=0,2960648$, et les fractions convergentes sont : ${\frac {0}{1}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {2}{7}}$, ${\frac {3}{10}}$, ${\frac {5}{17}}$, ${\frac {8}{27}}$, ${\frac {45}{152}}$, ${\frac {143}{483}}$, etc. Or cette dernière est égale à $0,2960662$. De même $L'={\frac {-{\sqrt {79}}+8}{5}}=-0,1776388$, les fractions convergentes sont : ${\frac {0}{1}}$, $-{\frac {1}{5}}$, $-{\frac {1}{6}}$, $-{\frac {2}{11}}$, $-{\frac {3}{17}}$, $-{\frac {8}{46}}$, $-{\frac {27}{152}}$, $-{\frac {143}{805}}$, etc., dont la dernière est égale à $0,1776397$.

193. Théorème. Si les formes réduites $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F}$ sont proprement équivalentes, chacune d’elles est contenue dans la période de l’autre.

Soit $f=(a,b,-a')$, $F=A,B,-A')$, $D$ leur déterminant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre $k$, $l$, $p$, $q$. Je dis qu’en cherchant la période de la forme $f$, et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de $f$ en ces différentes formes, comme au n^o 188, ou bien $k$ sera égal à un des termes de la suite … $''\alpha$, $'\alpha$, $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$…, et en le supposant $=\alpha ^{m}$, on aura $k=\beta ^{m}$, $p=\gamma ^{m}$, $q=\delta ^{m}$ ; ou bien $-k$ sera égal à un certain terme $\alpha ^{m}$, et $-l$, $-p$, $-q$, à $\beta ^{m}$, $\gamma ^{m}$, $\delta ^{m}$, respectivement. Dans l’un ou l’autre cas, $F$ sera évidemment identique avec $f^{m}$.

I. On a quatre équations :

(1)…	$ak^{2}+2bkp-a'p^{2}=A,$-	(2)…	$akl+b(kq+pl)+a'pq=B$,
(3)…	$al^{2}+2blq-a'q^{2}=-A',$-	(4)…	$kq-pl=1,$

considérons d’abord le cas où quelqu’un des nombres $k$, $l$, $p$, $q$ est $=0$.

1^o. Si $k=0$, l’équation (4) donne $lp=-1$, et partant $l=\pm 1$, $p=\pm 1$. Donc l’équation (1) devient $-a'=A$ ; l’équation (2) $-b\pm a'q=B$ ou$B\equiv -b{\pmod {a'\ ou\ A}}$. D’où il suit que la forme $(A,B,-A')$ est contiguë à la forme $(a,b,-a')$ par la dernière partie ; mais puisque $F$ est une forme réduite, elle sera nécessairement identique avec $f'$ (n^o 184, 6^o.). Donc $B=b'$, et partant l’équation (2) donne $b+b'=\pm a'q$ ; et comme d’ailleurs on a ${\frac {b+b'}{-a'}}=h'$, on en tire $q=\mp h'$ ; Il suit de là qu’on a $\mp k$, $\mp l$, $\mp p$, $\mp q=0$, $-1$, $+1$, $h'$, ou $=\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, respectivement.

2^o. Si $l=0$, l’équation (4) donne $k=\pm 1$, $q=\pm 1$ ; l’équation (3) $a'=A'\ ;$ l’équation (2) $b\mp a'p=B$, ou $B\equiv b{\pmod {a'}}$ ; mais comme $f$ et $F$ sont des formes réduites, $B$ et $b$ tomberont entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$, suivant que $a'$ sera positif ou négatif (n^o 184, 5^o.) ; ainsi on aura nécessairement $B=b$ et $p=0$, donc les formes $f$ et $F$ sont identiques, et $\pm k$, $\pm l$, $\pm p$, $\pm q=1$, $0$, $0,$ $1=\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, respectivement.

3^o. Si $p=0$, l’équation (4) donne $k=\pm 1$, $q=\pm 1$ ; l’équation (1) $a=A\,;$ l’équation (2) $\pm al+b=B.$ Mais comme $B$ et $b$ tombent entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a,$ on aura nécessairement $B=b,$ $l=0.$ Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent.

4^o. Si $q=0$, l’équation (4) donne $l=\pm 1$, $p=\mp 1$ ; l’équation (3) $a=-A'$, et l’équation (2) $\pm al-b=B$, ou $B\equiv {-b}{\pmod {a}}$. Ainsi la forme $F$ est contiguë à la forme $f$ par la première partie, et partant elle sera identique avec la forme $'f$ : et comme on a ${\frac {b+b'}{a}}=h$ et $B='b$, on aura $l=h$. Il suit de là que $\pm k$, $\pm l$, $\pm p$, $\pm q=h$, $1$, $-1$, $0='\alpha$, $'\beta$, $'\gamma$, $'\delta$ respectivement.

Il reste donc le cas où aucun des nombres $k$, $l$, $p$, $q$ n’est $=0$. Or par le lemme du n^o 190, les quantités ${\frac {k}{p}}$, ${\frac {l}{q}}$, ${\frac {p}{k}}$, ${\frac {q}{l}}$ auront le même signe, et il en résulte deux cas : celui où leur signe est le même que celui de $a$ et $a'$ et celui où il est contraire.

II. Si ${\frac {k}{l}}$ et ${\frac {l}{q}}$ ont le même signe que $a$, la quantité ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}=L$ tombera entre ces fractions (n^o 191). Nous allons démontrer que ${\frac {k}{p}}$ est égal à quelqu’une des fractions ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$, ${\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}}$, etc., et ${\frac {l}{q}}$ à celle qui la suit immédiatement, c’est-à-dire, que si ${\frac {k}{p}}={\frac {\alpha ^{m}}{\gamma ^{m}}}$, en aura ${\frac {l}{q}}={\frac {\alpha ^{m+1}}{\gamma ^{m+1}}}$. Nous avons fait voir dans le n^o précédent que les quantités ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$, ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$, etc. (que nous désignerons par $\varphi '$, $\varphi ''$, $\varphi '''$, etc.) et $L$ sont placées dans l’ordre suivant:

$\varphi ',\ \varphi ''',\ \varphi ^{V},\ ......L......\varphi ^{VI},\ \varphi ^{IV},\ \varphi ''$, ……(I).

La première de ces quantités est $=0$ (puisque $\alpha '=0$) ; toutes les autres ont le même signe que $L$ ou $a$ ; mais comme par hypothèse ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$ ont le même signe, ils tomberont, par rapport à $\varphi '$, du même côté que $L$, et comme d’ailleurs $L$ tombe entre ces deux mêmes quantités, elles seront l’une à droite, l’autre à gauche de $L$. Mais on peut faire voir aisément que ${\frac {k}{p}}$ ne peut tomber après $\varphi ''$, autrement ${\frac {l}{q}}$ tomberait entre $\varphi '$ et $L$ ; d’où il suivrait, 1^o. que $\varphi ''$ tomberait entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, et que partant le dénominateur de la fraction $\varphi ''$ serait plus grand que $q$ (n^o 190) ; 2^o. que ${\frac {l}{q}}$ tombe entre $\varphi '$ et $\varphi ''$, et que partant $q$ est plus grand que le dénominateur de $\varphi ''$, ce qui implique contradiction.

Supposons que ${\frac {k}{p}}$ ne soit égal à aucune des fractions $\varphi ''$, $\varphi '''$, $\varphi ^{IV}$, etc., et voyons ce qu’il en résulterait. Alors il est évident que si ${\frac {k}{p}}$ est situé à gauche de $L$, il tombera entre $\varphi '$ et $\varphi ''$, ou entre $\varphi '''$ et $\varphi ^{(V)}$, ou entre $\varphi ^{(V)}$ et $\varphi ^{(VII)}$, etc., puisque $L$ est irrationnel et parconséquent différent de ${\frac {k}{p}}$, et que les fractions $\varphi '$, $\varphi '''$, etc. peuvent approcher de $L$ de plus près qu’aucune quantité donnée qui ne serait pas $L$ lui-même. De même, si ${\frac {k}{p}}$ est à droite de $L$, il tombera entre deux fractions consécutives de la suite …$\varphi ^{(VI)}$, $\varphi ^{(IV)}$, $\varphi ''$. Supposons donc que ${\frac {k}{p}}$ tombe entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+2)}$, les fractions ${\frac {k}{p}}$, $\varphi ^{(m)}$, $\varphi ^{(m+1)}$, $\varphi ^{(m+2)}$ se trouveront dans l’ordre suivant :

$\varphi ^{(m)},\ {\frac {k}{p}},\ \varphi ^{(m+2)},\dots \dots L\dots \dots \varphi ^{(m+1)}\dots \dots$(II)^[2],

alors ${\frac {l}{q}}$ sera nécessairement $=\varphi ^{(m+1)}$ ; car il doit être à droite de $L$, et s’il était aussi à droite de $\varphi ^{(m+1)}$, ${\frac {k}{p}}$ tomberait entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, et l'on aurait $\gamma ^{(m+1)}>p$ ; mais comme ${\frac {k}{p}}$ tomberait entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+1)}$, il s’ensuivrait qu’on aurait en même temps $p>\gamma ^{(m+1)}$, ce qui implique contradiction. Si ${\frac {l}{q}}$ était à gauche de $\varphi ^{(m+1)}$, il tomberait entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+1)}$, et alors on aurait $q>\gamma ^{(m+2)}$ ; mais comme $\varphi ^{(m+2)}$ tombe lui-même entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, on aurait en même temps $\gamma ^{(m+2)}>q$, ce qui implique contradiction. On aura donc ${\frac {l}{q}}=\varphi ^{(m+1)}={\frac {\alpha ^{(m+1)}}{\gamma ^{(m+1)}}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}.$

Puisque $kq-lp=1$, $l$ et $q$ seront premiers entre eux, et par la même raison $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ le sont aussi ; d’où l’on voit facilement que l’équation ${\frac {l}{q}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}$ ne peut avoir lieu à moins qu’on n’ait $l=\beta ^{(m)}$ et $q=\delta ^{(m)}$, ou $l=-\beta ^{(m)}$ et $-q=\delta ^{(m)}$. Or comme la forme $f$ se change par la transformation propre $q=\alpha ^{(m)}$, $q=\beta ^{(m)}$, $q=\gamma ^{(m)}$ $q=\delta ^{(m)}$, en la forme $q=f^{(m)}=(\pm a^{(m)},b^{(m)},\mp a^{(m+1)})$ on aura les équations

$a\alpha ^{(m)}\alpha ^{(m)}+2b\alpha ^{(m)}\gamma ^{(m)}$	$-a'\gamma ^{(m)}\gamma ^{(m)}$	$=$	$\pm$	$a^{(m)}$	…(5)
$a\alpha ^{(m)}\beta ^{(m)}+b(\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}+\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)})$	$-a'\gamma ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$=$	$\pm$	$b^{(m)}$	…(6)
$a\beta ^{(m)}\beta ^{(m)}+2b\beta ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$-a'\delta ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$=$	$\mp$	$a^{(m)}$	…(7)
$\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$		$=$		$1$	…(8)

Mais en substituant $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ pour $l$ et $q$ dans l’équation (3), son premier membre devient égal à celui de l’équation (1) ; on a donc $\pm a^{(m+1)}=-A'$. Or^[3] en multipliant l’équation (2) par $\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$, et l’équation (6) par $kq-lp$, et retranchant, on voit facilement par le développement qu’on a

$B-b^{(m)}=$		$(p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})\left(al\beta ^{(m)}+b(q\beta ^{(m)}+l\delta ^{(m)})-a'q\delta ^{(m)}\right)$
	$+$	$(l\delta ^{(m)}-q\beta ^{(m)})\left(ak\alpha ^{(m)}+b(p\alpha ^{(m)}+k\gamma ^{(m)})-a'p\gamma ^{(m)}\right)$	…(9),

ou comme $l=\pm \beta ^{(m)}$ et $q=\pm \delta ^{(m)}$,

	$B-b^{(m)}$	$=$	$\pm (p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})(al^{2}+2blq-a'q^{2})$
		$=$	$\pm (p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})A'$,
ou	$B$	$\equiv$	$b^{(m)}{\pmod {A'}}$ ;

mais $B$ et $b^{(m)}$ tombent entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\pm A'$ ; on aura donc nécessairement $B=b^{(m)}$, partant $p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)}=0$, ou ${\frac {k}{p}}={\frac {\alpha ^{(m)}}{\gamma ^{(m)}}}=\varphi ^{(m)}$.

Ainsi, de la supposition que ${\frac {k}{p}}$ n’est égal à aucune des quantités $\varphi ''$, $\varphi '''$, etc., on fait voir qu’il est égal à l’une d’elles. Si nous avions supposé d’abord ${\frac {k}{p}}=\varphi ^{(m)}$, on aurait eu évidemment $k=\pm \alpha ^{(m)}$, $p=\pm \gamma ^{(m)}$ ; dans les deux cas, la comparaison des équations (1) et (5) donne $A=\pm \alpha ^{(m)}$, et de l’équation (9), $B-b^{(m)}=\pm (l\delta ^{(m)}-q\beta ^{(m)})$, ou $B\equiv b^{(m)}{\pmod {A}}$ ; on conclut de là, comme plus haut, que $B=b^{(m)}$, partant ${\frac {l}{q}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}$, et comme $l$ et $q$, $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ sont premiers entre eux, $l=\pm \beta ^{(m)}$, $q=\delta ^{(m)}$. L’équation (7) donne alors, en la comparant à l’équation (3), $-A'=\mp a^{(m+1)}$, ainsi les formes $F$ et $f^{(m)}$ sont identiques. À l’aide de l’équation $kq-lp=\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$, on prouve sans difficulté que si l’on prend $k$ et $p$ avec le signe $+$ ou avec le signe $-$, il faut prendre $l$ et $q$ de même.

III. Si le signe des quantités ${\frac {k}{p}}$, etc. est opposé à celui de $a$, la démonstration est tellement semblable à la précédente, qu’il suffit d’ajouter seulement les points principaux.

${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombera entre ${\frac {p}{k}}$ et ${\frac {q}{l}}$ ; ${\frac {q}{l}}$ sera égal à une des fractions ${\frac {'\delta }{'\beta }}$, ${\frac {''\delta }{''\beta }}$, ${\frac {'''\delta }{'''\beta }}$, etc., et en supposant donc ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(n)}\gamma }{^{(n)}\alpha }}$, on aura ${\frac {p}{k}}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$. La première de ces deux assertions se prouve comme il suit : si ${\frac {q}{l}}$ n’est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber entre deux ${\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$ et ${\frac {^{(m+1)}\delta }{^{(m+1)}\beta }}$. Or on démontre, comme plus haut, qu’alors ${\frac {p}{k}}$ sera nécessairement $={\frac {^{(m+1)}\delta }{^{(m+1)}\beta }}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$, et partant $p=\pm ^{(m)}\gamma$ et $k=\pm ^{(m)}\alpha$. Mais $f$, par la substitution propre $^{(m)}\alpha$, $^{(m)}\beta$, $^{(m)}\gamma$, $^{(m)}\delta$, se change en $^{(m)}f=(\pm ^{(m)}a,^{(m)}b,\pm ^{(m)}a)$, d’où naissent trois équations qui, jointes à l’équation $^{(m)}\alpha ^{(m)}\delta -^{(m)}\beta ^{(m)}\gamma =1$, et aux équations (1), (2), (3) et (4), prouvent d’abord que le terme $A$ de la forme $F$ est égal au premier terme de la forme $^{(m)}f$, ensuite que le terme moyen de la première est congru à celui de la seconde, suivant le module $A$, et que comme les deux formes sont réduites, chacun d’eux tombe entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\pm A$, ces deux termes moyens sont égaux ; et de là on conclut que ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$. Ainsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la supposition même qu’elle fut fausse.

Or en supposant ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$ on démontre absolument de la même manière et par les mêmes équations, que ${\frac {p}{k}}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$, et au moyen de l’équation $kq-lp=^{(m)}\alpha ^{(m)}\delta -^{(m)}\beta ^{(m)}\gamma$, on prouve que si l’on prend pour $q$ et $l$, $^{(m)}\delta$ et $^{(m)}\beta$ avec le signe $+$ ou le signe $-$, il faudra pour $p$ et $k$ prendre $^{(m)}\gamma$ et $^{(m)}\alpha$ avec le même signe, et partant que les formes $F$ et $^{(m)}f$ sont identiques.

194. Comme les formes que nous avons appelées associées (n^o 187, 6^o.), sont toujours improprement équivalentes (n^o 159, à la fin), il est clair que si les formes réduites $F$ et $f$ sont improprement équivalentes, et que la forme $G$ soit associée à $F,$ les formes $f$ et $G$ seront proprement équivalentes, et partant, la forme 6 sera contenue dans la période de la forme $f$ ; si donc les formes $F$ et $f$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on devra trouver $F$ et $G$ dans la période de $f$. Cette période sera donc elle-même son associée (n^o 187, 7^o.) ; ce qui sert de confirmation au théorème du n^o 165, par lequel nous nous étions convaincus qu’on pouvait trouver une forme ambigue équivalente à deux autres $F$ et $f$.

195. Problème. Étant données deux formes $\Phi$ et $\varphi$ dont le déterminant est le même, distinguer si elles sont équivalentes, ou si elles ne le sont pas.

On cherchera deux formes réduites $F$ et $f$, respectivement et proprement équivalentes aux formes $\Phi$ et $\varphi$ (n^o 183). Selon que ces formes réduites seront seulement proprement ou improprement équivalentes, ou qu’elles le seront des deux manières, ou qu’elles ne le seront point, les proposées le seront proprement, improprement, ou de deux manières, ou ne le seront d’aucune manière. On cherchera la période de l’une de ces deux formes réduites, par exemple de $f$ ; et si la forme $F$ s’y trouve sans que son associée y soit, le premier cas aura lieu ; si cette dernière seule s’y trouve, le second cas aura lieu ; si toutes deux y sont, ce sera le troisième cas ; et le quatrième, quand il n’y aura ni l’une ni l’autre.

Exemple. Soient les formes $(129,92,65),$ $(42,59,81)$ dont le déterminant est $79$ ; on trouve pour réduites équivalentes $(10,7,-3)$, $(5,8,-3).$ La période de la première est

$(0,7,-3),\,(-3,8,5),\,(5,7,-6),\,(-6,5,9),\,(9,4,-7),\,(-7,3,10),$

et comme la forme $(5,8,-3)$ n’y est pas comprise, mais seulement son associée $(-3,8,5)$, les formes proposées sont improprement équivalentes.

Si l’on distribue, comme ci-dessus (n^o 187, 5^o.), toutes les formes réduites d’un déterminant donné en périodes $P,$ $Q,$ $R,$ etc., et qu’on prenne dans chacune d’elles une forme quelconque, $F$ dans $P,$ $G$ dans $Q,$ $H$ dans $R$, etc., il ne pourra y avoir parmi ces formes deux qui soient proprement équivalentes ; mais toute autre forme de même déterminant sera proprement équivalente à une d’elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il y a de périodes, en renfermant dans la première toutes celles qui sont proprement équivalentes à $F$, dans la seconde, toutes celles qui sont proprement équivalentes à $G$, etc. Ainsi toutes les formes renfermées dans la même classe, seraient proprement équivalentes, mais deux formes prises dans des classes différentes ne le seront pas. Au reste nous n’insisterons pas davantage ici sur ce sujet, que nous expliquerons plus bas avec détail.

196. Problème. Étant données deux formes $\Phi$ et $\varphi$ proprement équivalentes, trouver une transformation propre qui change l’une en l’autre.

Par la méthode du n^o 183, on peut trouver deux suites de $\Phi$, $\Phi ',$ $\Phi ''$ …$\Phi ^{(n)},$ $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, … $\varphi ^{(\nu )}$, telles que chacune des formes soit équivalente à celle qui la précède, et que les dernières $\Phi ^{(n)}$ et $\varphi ^{(v)}$ soient des formes réduites ; et comme $\Phi$ et $\varphi$ sont supposées équivalentes, $\Phi ^{(n)}$ doit se trouver dans la période de $\varphi ^{(\nu )}$. Soit $\varphi ^{(\nu )}=f$ et sa période prolongée jusqu’à la forme $\Phi ^{(n)}$ : $f$, $f'$, $f''$, ……$f^{(m-1)}$, $f^{(m)}$, desorte que $\Phi ^{(n)}=f^{(m)}$ ; et désignons par $\Psi$, $\Psi '$, $\Psi ''$ …$\Psi ^{(n)}$ les formes opposées (n^o 159) aux associées des formes $\Phi$, $\Phi '$, $\Phi ''$ …$\Phi ^{(n)}$, respectivement ; alors dans la suite $\varphi ,$ $\varphi ',$ $\varphi '',\dots ,$ $f,$ $f',$ $f'',$ $f^{(n-1)},$ $\Psi ^{(n-1)},$ $\Psi ^{(n-2)}\dots$ $\Psi ,$ chaque forme est contiguë par la dernière partie à celle qui la précède ; d’où, par le n^o 177, on pourra trouver une transformation de la première $\varphi$ en la dernière $\Phi$. Cette liaison entre les formes est évidente depuis $\varphi$ jusqu’à $f^{(m-1)}$, et depuis $\Psi ^{(n-2)}$ jusqu’à $\Phi$. Quant aux formes $f^{(m-1)}$ et $\Psi ^{(n-1)}$, on la prouvera comme il suit : soit $f^{(m-1)}=(g,h,i)$ ; $f^{(m)}=\Phi ^{(n)}=(g',h',i')$, $\Phi ^{(n-1)}=(g'',h'',i'')$. La forme $(g',h',i')$ sera contiguë par la dernière partie à chacune des formes $(g,h,i)$, $(g'',h'',i'')$ ; ainsi $i=g'=i''$, et $-h\equiv h'-h''{\pmod {i=g'=i''}}$ ; donc la forme $(i'',-h'',g'')=\Psi ^{(n-1)}$ est contiguë par la dernière partie à la forme $(g,h,i)=f^{(m-1)}$.

Si les formes $\Phi$ et $\varphi$ sont improprement équivalentes, la forme $\varphi$ sera proprement équivalente à la forme dont $\Phi$ est l’opposée ; ainsi on pourra trouver une transformation de $\varphi$ en cette forme ; et si elle se fait par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on voit facilement que $\varphi$ se change improprement en $\Phi$ par la substitution $\alpha ,-\beta ,\gamma ,-\delta$.

Il suit de là que si $\Phi$ et $\varphi$ sont équivalentes proprement et improprement, on peut trouver deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.

Exemple. Soit la forme $(129,92,65)$ à transformer en la forme $(42,59,81)$ que nous avons trouvé lui être improprement équivalente (n^o précéd.) ; il faudra commencer par trouver la transformation propre de la forme $(129,92,65)$ en la forme $(42,-59,81)$. Pour y parvenir, on établira la suite de formes

$(129,92,65),(65,-27,10),(10,7,-3),(-3,8,5),$

$(5,22,81),(81,59,42),(42,-59,81)$ ;

de là on déduit la transformation propre $-47,56,78,-87$, qui change $(129,92,65)$ en $(42,-59,81)$ ; donc la transformation impropre $-47,-56,73,87$ la changera en $(42,59,81)$.

197. Si l’on connaît une transformation d’une forme $\varphi =(a,b,c)$ en une autre $\Phi$ qui lui est équivalente, on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables, pourvu qu’on connaisse toutes les solutions de l’équation indéterminée $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, dans laquelle $D$ est le déterminant des formes $\Phi$ et $\varphi$, et $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $a,2b,c$ (n^o 162). Nous allons attaquer, en supposant $D$ positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de $D$ négatif. Mais comme il est évident que toute valeur qui satisfera à l’équation, y satisfera aussi avec un signe contraire, il suffira d’assigner les valeurs positives de $t$ et de $u$, et chaque solution en nombres positifs fournira quatre solutions effectives. Pour y parvenir, nous chercherons d’abord les plus petites valeurs de $t$ et $u$ (excepté $t=m$, $u=0$ qui se présentent d’elles-mêmes) ; et celles-ci une fois connues, nous indiquerons le moyen d’en déduire les autres.

198. Problème. Trouver les plus petits nombres qui satisfont à l’équation indéterminée $\mathrm {t^{2}-Du^{2}=m^{2}}$ pourvu qu’il existe une forme $\mathrm {(M,N,P)} ,$ dont le déterminant soit $\mathrm {D} ,$ et que $\mathrm {m}$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $\mathrm {M,\,2N,\,P} .$

On prendra à volonté une forme réduite $f=(a,b,a')$ dont le déterminant soit $D$, et telle que $m$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $a'$, ce qui ne peut manquer d’arriver, puisque l’on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme $(M,N,P)$, et qu’alors (n^o 161) elle jouira de cette propriété. Mais pour la proposition actuelle, on pourra employer une forme réduite quelconque, pourvu qu’elle satisfasse à cette condition. On formera la période de $f$, où nous supposerons qu’il y ait $n$ formes ; en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au n^o 188, on aura $f^{(n)}=(a^{(n)},b^{(n)},-a^{(n+1)})$, parceque $n$ est pair, et $f$ deviendra $f^{(n)}$ par la substitution propre $\alpha ^{(n)}$, $\beta ^{(n)}$, $\gamma ^{(n)}$, $\delta ^{(n)}$ ; mais comme $f$ et $f^{(n)}$ sont identiques, $f$ deviendra aussi $f^{(n)}$ par la substitution propre $1$, $0$, $0$, $1$. De ces deux transformations semblables de $f$ en $f^{(n)}$, on peut déduire, au moyen du n^o 162, une solution en nombres entiers de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ ; savoir, $t={\frac {1}{2}}(\alpha ^{(n)}+\delta ^{(n)})m$ (équation (18), n^o 162), $u={\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}$ (équation (19))^[4]. Désignons par $T$ et $U$ ces valeurs prises positivement, si elles ne se présentent pas telles, et $T$, $U$ seront les plus petites valeurs de $t$, $u$ (excepté $l=m$ et $u=0$, auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ’on ne peut pas avoir $\gamma ^{(n)}=0$.

Supposons en effet qu’il existe des valeurs $\tau$ et $\nu$ plus petites que $T$ et $U$ et parmi lesquelles on n’ait pas $U=0$. Alors, par le n^o 162, la forme $f$ se transforme en elle-même par la substitution propre

${\frac {1}{m}}(\tau -b\nu ),\quad {\frac {1}{m}}a'\nu ,\quad {\frac {1}{m}}a\nu ,\quad {\frac {1}{m}}(\tau +b\nu ).$

Or (n^o 193, II) $\pm {\frac {1}{m}}(\tau -b\nu )$ doit être égal à l’un des nombres

$\alpha '',\;\alpha ''',\;\alpha ^{(IV)}\;{\text{etc.}},\quad =\alpha ^{(\mu )}$, par exemple.

En effet, comme $\tau ^{2}=D\nu ^{2}+m^{2}=b^{2}\nu ^{2}+aa'\nu ^{2}+m^{2},$ on aura $\tau ^{2}=b^{2}\nu ^{2},$ et partant $\tau -b\nu$ positif ; donc la fraction ${\frac {\tau -b\nu }{a\nu }}$ qui répond à la fraction ${\frac {k}{p}}$ (n^o 193), aura le même signe que $a$ ou $a'$, ainsi l’on aura

${\frac {1}{m}}a'\nu ,\ {\frac {1}{m}}a\nu ,\ {\frac {1}{m}}(\tau +b\nu )=\beta ^{(\mu )},\ \gamma ^{(\mu )},\ \delta ^{(\mu )}$ respectivement ;

mais comme on a $\nu <U$, c’est-à-dire, $\nu <{\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}$, et $>0$, on aura $\gamma ^{(\mu )}<\gamma ^{(n)}$ et $>0$ ; d’où il suit que les quantités $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, etc. allant toujours en croissant, $\mu$ tombera entre $0$ et $n$ exclusivement ; mais la forme $f^{(\mu )}$, qui correspond à l’accent $\mu$ est identique avec la forme $f$, ce qui est absurde, puisque toutes les formes $f$, $f'$, $f''$, etc. jusqu’à $f^{(n-1)}$ sont supposées différentes. Donc $T$ et $U$ sont les plus petites valeurs de $t$ et $u$, excepté $m$ et $0$.

Exemple. Si $D=79$ et $m=1$, on pourra employer la forme réduite $(3,8,-5)$, pour laquelle $n=6$ et $\alpha ^{(n)}=-8$, $\gamma ^{(n)}=-27$, $\delta ^{(n)}=-152$ (n^o 188) ; d’où résultent $T=80$ et $U=9$, qui sont les plus petites valeurs de $t$ et $u$ qui satisfassent à l’équation $t^{2}-79u^{2}=1$.

199. On peut trouver des formules encore plus commodes pour la pratique. En effet, on aura $2b\gamma ^{(n)}=-a(\alpha ^{(n)}-\delta ^{(n)})$, en multipliant (n^o ) l’équation (19) par $2b$, l’équation (20) par $a$, et changeant les caractères comme nous l’avons fait, on tire de là $\alpha ^{(n)}+\delta ^{(n)}=2\delta ^{(n)}-{\frac {2b}{a}}\gamma ^{(n)}$, et partant

$\pm T=m\left(\delta ^{(n)}-{\frac {b}{a}}\gamma ^{(n)}\right)$,___$\pm U={\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}.$

On tirera de même des équations (20) et (21)

$\pm T=m\left(\alpha ^{(n)}-{\frac {b}{a}}\beta ^{(n)}\right)$, ___$\pm U={\frac {\beta ^{(n)}m}{a'}}.$

Ces formules deviennent très-commodes, parcequ’on a $\gamma ^{(n)}=\delta ^{(n-1)}$, $\alpha ^{(n)}=\beta ^{(n-1)}$, et qu’en se servant de la première, il suffira de calculer la suite $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta ''$, etc., et qu’en se servant de la seconde, il suffira de calculer la suite $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc. En outre, on déduit facilement du n^o 189, 3^o., que $n$ étant pair, $\alpha ^{(n)}$ et ${\frac {b}{a'}}\beta ^{(n)}$ auront le même signe, ainsi que $\delta ^{(n)}$ et ${\frac {b}{a}}\gamma ^{(n)}$, desorte que dans la première formule, on doit prendre pour $T$ une différence absolue et une somme dans la seconde, sans qu’il soit besoin de faire attention au signe.

Exemple. Pour $D=61$ et $m=2$, on peut employer la forme $(2,7,-6)$ ; on trouve $n=6$, $h'=-2$, $h''=2$, $h'''=-7$, $h{(IV)}=2$, $h{(I)}=-2$, $h{(VI)}=7$. De là $\delta ^{(VI)}=1444$ et $\gamma ^{(VI)}=\delta ^{(V)}=195$ (abstraction faite du signe) ; d’où $T=2(1444-{\frac {7}{2}}.195)=1523$ et $U=195$. On trouve la même chose par l’autre formule.

Au reste, il y a plusieurs autres artifices par lesquels on peut simplifier le calcul mais le désir d’abréger ne nous permet pas d’en parler avec plus d’étendue.

200. Pour tirer toutes les valeurs de $t$ et de $u$ de la connaissance des plus petites, nous mettrons l’équation $T^{2}-DU^{2}=m^{2}$ sous la forme $\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right).\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)=1$ ; d’où l’on tire

$\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}.\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}=1$……(1),

$e$ étant un nombre quelconque. Faisons pour abréger,

${\frac {m}{2}}\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}+$	${\frac {m}{2}}\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}$	$=t^{(e)}$	……
${\frac {m}{2{\sqrt {D}}}}\left({\frac {T}{m}}+{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}-$	${\frac {m}{2{\sqrt {D}}}}\left({\frac {T}{m}}-{\frac {U}{m}}{\sqrt {D}}\right)^{e}$	$=u^{(e)},$

ensorte que ces expressions soient représentées par $t^{0}$ et $u^{0}$ quand $e=0$ (elles sont alors $m$, $0$) ; par$t'$, $u'$ quand $e=1$ (elles sont alors $T$ et $U$) ; par $t''$ et $u''$ quand $e=2$ ; par $t'''$ et $u'''$ quand $e=3$, etc. Nous allons démontrer qu’en prenant pour $e$ tous les nombres entiers positifs depuis $0$ jusqu’à ${\frac {1}{0}}$ : 1^o. toutes les valeurs de ces expressions satisferont à l’équation proposée ; 2^o. toutes ces valeurs sont entières ; 3^o. il n’y a pas de valeurs de $t$ et $u$ qui ne soient contenues dans ces formules.

I. En substituant pour $t^{(e)}$ et $u^{(e)}$ leurs valeurs, on prouve sans peine qu'on a $(t^{(e)}+u^{(e)}{\sqrt {D}})(t^{(e)}-u^{(e)}{\sqrt {D}})=m^{2}$, c’est-à-dire,
$t^{(e)}.t^{(e)}-Du^{(e)}.u^{(e)}=m^{2}.$

II. On démontre facilement de la même manière qu’on a généralement $t^{(e+1)}+t^{(e-1)}={\frac {2T}{m}}t^{(e)}$, et $u^{(e+1)}+u^{(e-1)}={\frac {2T}{m}}u^{(e)}$. Il suit de là que les deux progressions : $t^{0}$, $t'$, $t''$, $t'''$, etc. ; $u^{0}$, $u'$, $u''$, $u'''$, etc. sont récurrentes, et que l’échelle de relation est pour chacune d’elles ${\frac {2T}{m}}$, $-1$, savoir, $t''={\frac {2T}{m}}t'-t$ ; $t'''={\frac {2T}{m}}t''-t'$, etc. $u''={\frac {2T}{m}}u'-u$, etc.

Or, par hypothèse, il existe une forme $(M,N,P)$ dont le déterminant est $D$ et dans laquelle $M$, $2N$, $P$ sont divisibles par $m$, et l’équation $t^{2}=Du^{2}+m^{2}$ donne $T^{2}=(N^{2}-MP)U^{2}+m^{2}$, ainsi $4T^{2}$ sera divisible par $m^{2}$ ; donc ${\frac {2T}{m}}$ est un nombre entier et positif. Comme d’ailleurs $t^{0}=m$, $t'=T$, $u^{0}=0$, $u'=U$, les termes des deux séries sont entiers ; il est clair aussi que $T^{2}$ étant $>m^{2}$, ces mêmes termes sont tous positifs, et vont en augmentant à l’infini.

III. Supposons qu’il y ait d’autres valeurs positives de $t$, $u$ qui ne soient pas contenues dans les progressions $t^{0}$, $t'$, $t''$, etc. $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc. ; $T'$ et $U'$, par exemple. Puisque la série $u^{0}$, $u'$, etc. croît à l’infini, $U'$ sera nécessairement compris entre deux termes consécutifs $u^{n}$ et $u^{n+1}$, ensorte qu’on ait $U'>u^{n}$ et $U'<u^{n+1}$. Pour démontrer l’absurdité de cette supposition, observons que :

1^o. L’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ sera satisfaite en posant $t={\frac {1}{m}}(T't^{(n)}-DU'u^{(n)})$, $t={\frac {1}{m}}(U't^{(n)}-T'u^{(n)})$, ce qui peut se confirmer sans peine par la substitution. Représentons ces valeurs par $\tau$ et $\upsilon$ nous prouverons, comme il suit, que ce sont des nombres entiers. Si $(M,N,P)$ est une forme dont le déterminant est $D$, et que $m$ soit le diviseur commun des nombres $M$, $2N$, $P$, $T'+NU'$ et $t^{(n)}+Nu^{(n)}$ sont divisibles par $m$, et partant $U'(t^{(n)}+Nu^{(n)})-u^{(n)}(T'-NU')=U't^{(n)}-u^{(n)}T'$ l’est aussi ; donc $\upsilon$ sera entier et $\tau$ par suite, puisque $\tau ^{2}=D\upsilon ^{2}+m^{2}$.

2^o Il est clair que $\upsilon$ ne peut être $=0$ ; en effet, il s’ensuivrait $U'^{2}t^{(n)}.u^{(n)}=T'^{2}.u^{(n)}u^{(n)}$, ou

$U'^{2}(Du^{(n)}u^{(n)}+m^{2})=u^{(n)}u^{(n)}(DU'^{2}+m^{2})\ ;$

d’où l’on tire $U'^{2}=u^{(n)}.u^{(n)}$, contre l’hypothèse par laquelle $U'>u^{(n)}$. Mais comme $U'$ est la plus petite valeur de $u$, après zéro, $\upsilon$ ne sera certainement pas $<U$.

3^o. Des valeurs de $t^{(n)}$, $t^{(n+1)}$, $u^{(n)}$, $u^{(n+1)}$, on tire aisément $mU=u^{(n+1)}t^{(n)}-t^{(n+1)}u^{(n)}$ ; donc $U't^{(n)}-T'u^{(n)}$ ne sera pas plus petit que $u^{n+1}t^{n}-t^{n+1}u^{n}$.

4^o. L’équation $T'^{2}-DU'^{2}=m^{2}$ donne ${\frac {T'}{U'}}={\sqrt {\left(D+{\frac {m^{2}}{U'^{2}}}\right)}}$, et l’on a de même ${\frac {t^{(n+1)}}{u^{(n+1)}}}={\sqrt {\left(D+{\frac {m^{2}}{u^{(n+1)}u^{(n+1)}}}\right)}}$ ; d’où l’on conclut facilement que ${\frac {T'}{U'}}>{\frac {t^{(n+1)}}{u^{(n+1)}}}$. De là et de la conclusion précédente, il suit que

$\left(U't^{(n)}-T'u^{(n)}\right)$	$\left(t^{(n)}+u^{(n)}{\frac {T'}{U'}}\right)$
$>$	$\left(u^{(n+1)}t^{(n)}-t^{(n+1)}u^{(n)}\right)\left(t^{(n)}+u^{(n)}{\frac {t^{(n+1)}}{u^{(n+1)}}}\right).$

En développant, et remplaçant $T'^{2}$, $t^{(n)}.t^{(n)}$, $t^{(n+1)}.t^{(n+1)}$ par leurs valeurs $DU'^{2}+m^{2}$, $Du^{(n)}.u^{(n)}+m^{2}$, $Du^{(n+1)}.u^{(n+1)}+m^{2}$, on a

${\frac {1}{U'}}\left(U'^{2}-u^{(n)}u^{(n)}\right)>{\frac {1}{u^{(n+1)}}}\left(u^{(n+1)}u^{(n+1)}-u^{(n)}u^{(n)}\right),$

ou transposant, ce qui est permis puisque les quantités sont positives,

$U'+{\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{u^{(n+1)}}}>u^{(n+1)}+{\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{U'}},$

résultat absurde, puisque $U'<u^{(n+1)}$, et que partant ${\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{u^{(n+1)}}}<{\frac {u^{(n)}u^{(n)}}{U'}}$. Ainsi la supposition ne peut avoir lieu, et les séries $t^{0}$, $t'$, $t''$, etc. ; $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc. ; renferment toutes les valeurs positives de $t$ et $u$.

Exemple. Pour $D=61$ et $m=2$, nous avons trouvé que les plus petites valeurs de $t$ et $u$ étaient $1523$, $195$ ; ainsi toutes les valeurs positives seront données par les formules

$t=$	$\left({\frac {1523}{2}}+{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}+\left({\frac {1523}{2}}-{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}$A.
$u={\frac {1}{\sqrt {61}}}$	$\left\{\left({\frac {1523}{2}}+{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}-\left({\frac {1523}{2}}-{\frac {195}{2}}{\sqrt {61}}\right)^{e}\right\}$

et l’on trouve

$t^{0}$		$=$	$2$,
$t'$		$=$	$1523$,
$t''$	$=1523t'-t^{0}$	$=$	$2319527$,
$t'''$	$=1523t''-t'$	$=$	$3532618098$, etc.
——
$u^{0}$		$=$	$0$,
$u'$		$=$	$195$,
$u''$	$=1523u'-u^{0}$	$=$	$296985$,
$u'''$	$=1523u''-u'$	$=$	$452307960$, etc.

201. Relativement au problème résolu dans les numéros précédens, nous ajouterons encore quelques observations.

I. Comme nous avons appris à résoudre l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, où $m$ est le plus grand diviseur commun des nombres $M$, $2N$, $P$, tels qu’on ait $N^{2}-MP=D$, il est utile d’assigner les nombres qui peuvent être de tels diviseurs, c’est-à-dire, toutes les valeurs de $m$ pour une valeur donnée de $D$.

On fera $D=n^{2}D'$, desorte que $D'$ soit délivré de tout facteur quadratique, ce qu’on obtiendra en prenant pour $n^{2}$ le plus grand quarré qui puisse diviser $D$. Si $D$ ne renfermait aucun facteur quadratique, il faudrait prendre $n=1$.

1^o. Si $D'$ est de la forme $4k+1$, tout diviseur de $2n$ sera une valeur de $m$ et réciproquement. En effet, si $g$ divise $2n$, on aura la forme $\left(g,n,{\frac {-n^{2}(D'-1}{g}}\right)$, dont le déterminant est $D$, et dans laquelle $g$ est évidemment le plus grand diviseur commun entre $g$, $2n$, ${\frac {n^{2}(D'-1)}{g}}$ ; (car ${\frac {n^{2}(D'-1)}{g^{2}}}={\frac {4n^{2}}{g^{2}}}.{\frac {D'-1}{4}}$ est évidemment un nombre entier). Réciproquement, si $g$ est une valeur de $m$, c’est-à-dire, si $g$ est le plus grand commun diviseur des nombres $M$, $2N$, $P$, et qu’on ait $N^{2}-MP=D$, il est évident que $4D$ ou $4n^{2}D'$ sera divisible par $g^{2}$, et il suit de là que $2n$ est nécessairement divisible par $g$ ; car si $g$ ne divisait pas $2n$, $g$ et $2n$ auraient pour plus grand commun diviseur un nombre $\delta <g$, et en faisant $2n=\delta n'$, $g=\delta g',$ ${\frac {n'^{2}D}{g'^{2}}}$ serait un nombre entier ; mais $n'$ est premier avec $g'$, et partant $n'^{2}$ avec $g'^{2}$ ; donc $D'$ serait divisible par $g'^{2}$, contre l’hypothèse, puisque $D'$ est délivré de tout facteur quadratique.

2^o. Si $D'$ est de la forme $4k+2$ ou $4k+3$, tout diviseur de $n$ sera valeur de $m$, et réciproquement toute valeur de $m$ divisera $n$. En effet, si $g$ est diviseur de $n$, on aura la forme $\left(g,0,{\frac {-n^{2}D'}{g}}\right)$, dont le déterminant est $D$, et où $g$ est évidemment le plus grand commun diviseur des nombres $g$, $0$, ${\frac {-n^{2}D'}{g}}$. Réciproquement, si $g$ est supposé valeur de $n$, c’est-à-dire, le plus grand commun diviseur des nombres $M$, $2N$, $P$, pour lesquels on a $N^{2}-MP=D$, on prouvera, comme ci-dessus, que ${\frac {2n}{g}}$ est un nombre entier. Or supposons que ce quotient soit impair, le quarré ${\frac {4n^{2}}{g^{2}}}$ sera $\equiv 1{\pmod {4}}$, et partant ${\frac {4n^{2}D'}{g^{2}}}\equiv D'\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Mais ${\frac {4n^{2}D'}{g^{2}}}={\frac {4D}{g^{2}}}={\frac {4N^{2}}{g^{2}}}-{\frac {4MP}{g^{2}}}\equiv {\frac {4N^{2}}{g^{2}}}{\pmod {4}}$ ; ainsi ${\frac {4N^{2}}{g^{2}}}$ serait $\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$, ce qui est absurde, puisqu’un quarré doit être congru à zéro ou à l’unité, suivant le module $4$. Donc ${\frac {2n}{g}}$ étant pair, ${\frac {n}{g}}$ sera entier et $n$ divisible par $g$.

Ainsi il est clair que $1$ est toujours valeur de $m$, c’est-à-dire que l’équation $t^{2}-Du^{2}=1$ est toujours résoluble par ce qui précède, pour toute valeur de $D$ positive et non quarrée. Le nombre $2$ ne sera valeur de $m$ que dans le cas où $D$ sera de la forme $4k$ ou de la forme $4k+1$.

II. Si $m$ est plus grand que $2$, mais qu’il soit un nombre convenable, la solution de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ pourra être ramenée à celle d’une équation semblable où $m=1$ ou $2$. En effet posons, comme plus haut, $D=n^{2}D'$, si $m$ divise $n$, $m^{2}$ divisera $D$. Alors si l’on suppose que pour l’équation $p^{2}-{\frac {D}{m^{2}}}q^{2}=1$, les plus petites valeurs de $p$ et $q$ soient $p=P$, $q=Q$ les plus petites valeurs de $t$, $u$, dans l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ seront $t=mP$, $u=Q$. Mais si $m$ ne divise pas $n$, il divisera au moins $2n$ ; alors il sera pair, et partant ${\frac {4D}{m^{2}}}$ sera un nombre entier, et si les plus petites valeurs de $p$ et $q$ dans l’équation $p^{2}-{\frac {4D}{m^{2}}}=4$ sont $p=P$, $u=Q$, les plus petites valeurs de $t$, $u$, dans l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, seront $t={\frac {m}{2}}P$, $u=Q$.

Au reste, dans les deux cas, on peut déduire, non-seulement les plus petites valeurs de $t$, $u$, de la connaissance des plus petites valeurs de $p$, $q$, mais toutes les valeurs des premières de toutes les valeurs des secondes.

III. En désignant par $t^{0}$, $u^{0}$ ; $t'$, $u'$ ; $t''$, $u''$, etc. toutes les valeurs positives de $t$, $u$ dans l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, comme dans le n^o précédent, s’il arrive que certaines valeurs dans cette série soient congrues aux premières, suivant un module quelconque donné $r$ ; si, par exemple, on a $t^{(\mu )}\equiv t^{0}\equiv m$, $u^{(\mu )}\equiv u^{0}\equiv 0{\pmod {r}}$, et que les valeurs suivantes le soient aux secondes, $t^{(\mu +1)}\equiv t'$, $u^{(\mu +1)}\equiv u'$ ; on aura de même $t^{(\mu +2)}\equiv t''$, $u^{(\mu +2)}\equiv u''$, etc., ce qui se déduit facilement de la loi même des deux séries. En effet, puisque $t''={\frac {2T}{m}}t'-t''$, et que $t^{(\mu +2)}={\frac {2T}{m}}t^{(\mu +2)}-t^{(\mu )}$, on aura $t''\equiv t^{(\mu +2)}$, et ainsi des autres. Il suit de là qu’on a généralement $t^{(h+\mu )}\equiv t^{(\mu )}$, $u^{(h+\mu )}\equiv u^{(\mu )}{\pmod {r}}$, $h$ étant un nombre quelconque, et plus généralement si $\pi \equiv \nu {\pmod {\mu }}$, on aura $t^{(\pi )}\equiv t^{(\nu )}$ et $u^{(\pi )}\equiv u^{(\nu )}{\pmod {r}}$.

IV. Or on peut toujours satisfaire aux conditions de l’observation précédente, c’est-à-dire, on peut toujours trouver un indice $\mu$ pour lequel on ait $t^{(\mu )}\equiv t^{0}$, $t^{(\mu +1)}\equiv t'$, $u^{(\mu )}\equiv u^{0}$, $u^{(\mu +1)}\equiv u'$, suivant un module quelconque donné $r$. En effet,

1^o. On peut toujours satisfaire à la troisième condition, puisqu’il est aisé de s’assurer, par les caractères présentés dans la première observation, que l’équation est résoluble ; et si les plus petites valeurs de $p$, $q$, sont $p=P$, $q=Q$, on en déduira $t=P$, $u=rQ$ ; ainsi $P$ et $rQ$ seront contenus dans les suites $t^{0}$, $t'$, etc., $u^{0}$, $u'$, etc. ; et si $P=u^{(\lambda )}$, $rQ=u^{(\lambda )}$, on aura $u^{(\lambda )}\equiv 0\equiv u^{0}{\pmod {r}}$. En outre on voit facilement qu’entre $u^{0}$ et $u^{(\lambda )}$ aucun terme ne sera congru à $u^{0}$, suivant le module $r$.

2^o. Il est clair que si dans ce cas les trois autres conditions sont remplies, c’est-à-dire, si $u^{(\lambda +1)}\equiv u'$, $t^{(\lambda )}\equiv t^{0}$, $t^{(\lambda +1)}\equiv t'$, on pourra prendre $\mu =\lambda$ ; mais si l’une de ces conditions manque, on pourra prendre à coup sûr $\mu =2\lambda$. En effet, de l’équation (1) et des formules générales qui donnent $t^{(e)}$ et $u^{(e)}$ dans le n^o précédent, on déduit

$t^{(2\lambda )}={\frac {1}{m}}\left(t^{(\lambda )}t^{(\lambda )}+Du^{(\lambda )}u^{(\lambda )}\right)={\frac {1}{m}}\left(m^{2}+2Du^{(\lambda )}u^{(\lambda )}\right),$

et partant ${\frac {t^{(2\lambda )}-t^{0}}{r}}={\frac {2Du^{(\lambda )}.u^{(\lambda )}}{mr}}$, qui est un nombre entier ; puisque $r$ divise $u^{(\lambda )}$ et que, $m^{2}$ divisant $4D$, à plus forte raison $m$ divisera $2D$. On trouvera de même $u^{(2\lambda )}={\frac {2}{m}}t^{(\lambda )}u^{(\lambda )}$, et comme $4t^{(\lambda )}t^{(\lambda )}=4Du^{(\lambda )}u^{(\lambda )}+4m^{2}$ et est parconséquent divisible par $m^{2}$, $2t^{(\lambda )}$ le sera par $m$, et partant $u^{(2\lambda )}$ par $r$, c’est-à-dire que $u^{(2\lambda )}\equiv u^{0}{\pmod {r}}$. On a encore $t^{(2\lambda +1)}=t'+{\frac {2Du^{(\lambda )}u^{(\lambda +1)}}{m}}$, et comme, par la même raison, ${\frac {2Du^{(\lambda )}}{mr}}$ est un nombre entier, on en déduit $t^{(2\lambda +1)}\equiv t'{\pmod {r}}$ : enfin on trouve $u^{(2\lambda +1)}=u'+{\frac {2t^{(\lambda +1)}u^{(\lambda )}}{m}}$, et comme $2t^{(\lambda +1)}$ est divisible par $m$ et $u^{(\lambda )}$ par $r$, il s’ensuit que $u^{(2\lambda +1)}\equiv u'{\pmod {r}}$.

Au reste, on reconnaîtra par la suite l’usage de ces deux dernières observations.

202. Le cas particulier où l’équation est $t^{2}-Du^{2}=1$ a déjà été traité par les géomètres du siècle dernier. Fermat avait proposé ce problème aux analystes anglais, et Wallis rapporte (Algèb. chap. 98, T. II de ses Œuvres, p. 418), une solution qu’il attribue à Brounker. De son côté, Ozanam prétend qu’elle est de Fermat ; enfin Euler, qui s’en est occupé, (Comm. Petrop. VI, p. 175 ; Comm. Nov. XI, p. 28^[5] ; Algèbre, T. II, p. 226, Opusc. Anal. I, p. 310), dit que Pellius l’a trouvée le premier, ce qui a fait donner par quelques-uns à ce problème, le nom de Pellien. Toutes ces solutions, en n’en regardant que l’esprit, retombent dans celle que nous obtenons, si, dans le n^o 198, nous nous servons d’une forme réduite dans laquelle $a=1$ ; mais personne, avant Lagrange, n’avait démontré rigoureusement^[6] que l’opération qu’elles prescrivent devait nécessairement finir, c’est-à-dire, que le problème était toujours résoluble (Mélanges de la Société de Turin, T. IV, p. 19, et d’une manière plus élégante, Hist, de l’Acad. de Berlin, 1767, p. 237), Cette recherche se trouve encore dans les Supplémens à l’Algèbre d’Euler. Au reste, notre méthode, tirée de principes absolument différens, ne se borne pas au cas de $m=1$, et donne le plus souvent différens moyens de parvenir à la solution, puisque dans le n^o 198, nous pouvons partir d’une forme réduite quelconque $(a,b,-a')$.

203. Problème. Si les formes $\Phi$ et $\varphi$ sont équivalentes, trouver toutes les transformations de l’une en l’autre.

Quand ces formes ne seront équivalentes que d’une seule manière, c’est-à-dire, ou proprement ou improprement, on cherchera, par le n^o 196, une transformation $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ de la forme $\varphi$ en $\Phi$, et il est clair qu’il n’y aura pas d’autres transformations qui ne soient semblables à celle-là. Mais quand $\varphi$ et $\Phi$ seront équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations dissemblables, c’est-à-dire, une propre et une impropre, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, et toute autre transformation sera semblable à l’une d’elles. Si donc $\varphi =(a,b,c)$ et que son déterminant soit $D$, que $m$ soit, à l’ordinaire, le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$ et $t$, $u$ les valeurs indéterminées qui satisfont à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ ; dans le premier cas, toutes les transformations de $\varphi$ en $\Phi$ seront contenues dans la première (1) des formules suivantes, et dans le second cas, dans la première (1) et dans la seconde (2) :

(1)……	${\frac {1}{m}}\left(\alpha t-(\alpha b+\gamma c)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\beta t-(\beta b+\delta c)u\right),$
	${\frac {1}{m}}\left(\gamma t-(\alpha a+\gamma b)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\delta t-(\beta a+\delta b)u\right)$ ;
(2)……	${\frac {1}{m}}\left(\alpha 't-(\alpha 'b+\gamma 'c)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\beta 't-(\beta 'b+\delta 'c)u\right),$
	${\frac {1}{m}}\left(\gamma 't-(\alpha 'a+\gamma 'b)u\right),$	${\frac {1}{m}}\left(\delta 't-(\beta 'a+\delta 'b)u\right).$

Exemple. Ou demande toutes les transformations de la forme $(129,92,60)$ en la forme $(42,59,81)$. Nous avons trouvé (n^o 195) qu’elles étaient improprement équivalentes, et dans le n^o  suivant nous avons eu cette transformation impropre : $-47$, $-56$, $73$, $87$ ; ainsi toutes les transformations semblables seront contenues dans les formules

$-(47t+421u),\quad -(56t+503u),\quad 73t+653u,\quad 87t+780u,$

$t$, $u$ étant les nombres indéterminés qui satisfont à l’équation $t^{2}-79u^{2}$ ; ils sont donnés par les formules

$\pm t=$	${\frac {1}{2}}$	$\{\left(80+9{\sqrt {79}}\right)^{e}$	$-\left(80-9{\sqrt {79}}\right)^{e}\}$
$\pm u=$	${\frac {1}{2{\sqrt {79}}}}$	$\{\left(80+9{\sqrt {79}}\right)^{e}$	$-\left(80-9{\sqrt {79}}\right)^{e}\}$

où l’on doit prendre pour $e$ tous les nombres entiers positifs.

204. Il est évident que la formule générale qui donne toutes les transformations, devient d’autant plus simple, que la transformation initiale d’où elle est tirée l’est elle-même davantage, et comme il est indifférent de quelle transformation on parte, on peut souvent rendre la formule générale plus simple, si de la première qu’on trouve, on déduit une transformation plus simple en attribuant à $t$, $u$ des valeurs déterminées, et si l’on forme avec une autre formule. En faisant, par exemple, dans la formule de l’exemple précédent, $t=80$, $u=-9$, il en résulte une transformation plus simple que celle d’où nous étions partis, savoir, $29$, $47$, $-37$, $-60$ ; d’où l’on déduit la transformation générale

$29t-263u,\quad 47t-424u,\quad -37t+337u,\quad -60t+543u,$

Ainsi, lorsqu’on a trouvé la formule générale au moyen de ce qui précède, on pourra essayer si en attribuant à $t$, $u$ les valeurs déterminées $\pm t'$, $\pm t''$, $\pm t'''$, etc. ; $\pm u'$, $\pm u''$, $\pm u'''$, etc. on obtient une transformation plus simple que celle d’où l’on a déduit la formule, et dans ce cas on pourra trouver une formule plus simple. Au reste, il y a quelque chose d’arbitraire dans le choix, desorte qu’il serait utile de l’amener à une règle certaine et d’assigner dans la progression $t'$, $u'$ ; $t''$, $u''$, etc. des limites après lesquelles on n’obtient que des transformations moins simples, desorte qu’il fût suffisant de faire les essais parmi elles. Cependant comme le plus souvent, par les méthodes que nous avons données, on obtient la transformation la plus simple, soit sur-le-champ, soit en employant les valeurs $\pm t'$, $\pm u'$, nous supprimons cette recherche.

205. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné $\mathrm {M}$ par une forme donnée $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}} ,$ dont le déterminant positif non quarré est $=\mathrm {D} .$

Observons d’abord que la recherche des représentations par des valeurs de $x$, $y$ non premières entre elles, peut se ramener ici absolument de la même manière que pour les formes de déterminant négatif (n^o 181), au cas où ces valeurs sont premières entre elles. Or pour qu’il soit possible de représenter le nombre $M$ par des valeurs premières entre elles, il faut que $D$ soit résidu quadratique de $M$, et si les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ sont : $N$, $-N$, $N'$, $-N'$, etc. qu’on peut prendre telles qu’aucune ne soit ${\displaystyle }$ toute représentation du nombre $M$ par la forme proposée appartiendra à une de ces valeurs. Ainsi, avant tout, on devra chercher les nombres $N$, $N'$, etc. et ensuite les représentations qui appartiennent à chacun d’eux. Il n’y aura pas de représentations appartenantes à la valeur $N$, si les formes $(a,b,c)$, $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ ne sont pas proprement équivalentes ; mais si elles le sont, on cherchera une transformation propres, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ de la première en la seconde, alors on aura, en faisant $x=\alpha$, $y=\gamma$ une représentation du nombre $M$ appartenante à la valeur $N$, et toutes les représentations seront données par les formules

$x={\frac {1}{m}}\left\{\alpha t-(\alpha b+\gamma c)u\right\}\ldots \ldots y={\frac {1}{m}}\left\{\gamma t-(\alpha a+\gamma b)u\right\}.$

Au reste, il est évident que cette formule générale sera d’autant plus simple, que la transformation $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, dont elle est déduite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver, d’après le n^o précédent, la transformation la plus simple de la forme $(a,b,c)$ en la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$. On trouvera absolument de la même manière les formules générales qui donnent les représentations appartenantes aux valeurs $-N$, $N'$, $-N'$, etc., s’il en existe.

Exemple. On cherche les représentations du nombre $585$ par la forme $42x^{2}+62xy+21y^{2}$.

Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de $x$, $y$ non premières entre elles, il est clair qu’il ne peut y en avoir d’autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres $x$, $y$ serait $3$ puisque $9$ est le seul diviseur quadratique de $585$. Ainsi quand on aura les représentations du nombre $65={\frac {585}{9}}$ par la forme $42x'^{2}+62x'y'+21y'^{2}$, dans lesquelles $x'$ et $y'$ sont premiers entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre $585$, par la forme $42x^{2}+62xy+21y^{2}$, en posant $x=3x'$ et $y=3y'$.

Les valeurs de l’expression ${\sqrt {79}}{\pmod {65}}$ sont $\pm 12$, $\pm 27$. On trouve que la représentation du nombre $65$ appartenante à la valeur $-12$, est $x'=2$, $y'=-1$, d’où il suit que toutes les représentations de $65$ appartenantes à la même valeur seront données par la formule $x'=2t-41u$, $y'=-t+53u$, et partant toutes les représentations du nombre $585$, par la formule $x=6t-123u$, $y=-3t+159u$. De la même manière, on trouve que les représentations du nombre $65$ appartenantes à la valeur $12$ sont données par la formule générale $x'=22t-199u$, $y'=-23t+633u$, et celles qui en naissent pour $585$ par $x=66t-597u,$, $y=-69t+633u.$ Mais il n’y a aucune représentation du nombre $65$ appartenante à la valeur $\pm 27$.

Pour trouver les représentations de $585$ par des valeurs de $x$, $y$ premières entre elles, il faut d’abord trouver les valeurs de l’expression ${\sqrt {79}}{\pmod {585}}$ qui sont $\pm 77$, $\pm 103$, $\pm 157$, $\pm 248$. On trouve qu’aucune représentation n’appartient aux valeurs $\pm 77$, $\pm 103$, $\pm 248$. Mais pour la valeur $-157$ on a la représentation $x=3$, $y=1$, d’où l’on tire la formule générale $x=3t-114u$, $y=t+157u$. Pour la valeur $+157$, on a de même la représentation $x=83$, $y=-87$, et la formule qui contient toutes les transformations semblables est $x=83t-746u$, $y=-87t+789u$.

On a donc quatre formules générales, dans lesquelles sont contenues toutes les représentations du nombre $585$ par la forme $42x^{2}+62xy+21y^{2}$,

$x=6t-123u,$	-	$y=-3t+159u,$	-	$x=66t-597u,$	-	$y=-69t+633u,$
$x=3t-114u,$	-	$y=\quad \;t+15u,$	-	$x=83t-746u,$	-	$y=-87t+789u.$

Pour abréger, nous ne nous arrêterons pas davantage aux applications particulières des recherches précédentes, parceque chacun pourra y parvenir de lui-même, en imitant ce qui a été fait n^os 176, 182, et nous passons aux formes de déterminant positif quarré qui nous restent à examiner.

1. Il n’y a pas d’autre supposition à faire, puisqu’on a $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$, et que d’après cela, par le n^o précéd., les limites ne peuvent être nulles toutes deux en même temps, ni de signe contraire.
2. Peu importe que l’ordre de la suite (II) soit le même que celui de la suite (I), ou qu’il lui soit opposé, c’est-à-dire, que $\varphi ^{(m)}$ soit dans la première à gauche ou à droite.
3. Il me semble que le calcul serait plus simple de la manière suivante :

   En remplaçant dans l’équation (8), $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ par $\pm l$ et $\pm q$, elle devient $l\alpha ^{(m)}-q\gamma ^{(m)}=1$ ; si l’on en retranche l’équation (4), on a

   $l(\alpha ^{(m)}\mp k)-q(\gamma ^{(m)}\mp p)=0$, d’où ${\frac {\alpha ^{(m)}\mp k}{\gamma ^{(m)}\mp p}}={\frac {l}{q}}\ ;$

   
   et comme $l$ et $q$ sont premiers entre eux, on a généralement $\alpha ^{(m)}\mp k=rl$, $\gamma ^{(m)}\mp p=rq$, ou $\alpha ^{(m)}=\pm k+rl$, $\gamma ^{(m)}=\pm p+rq$.

   Substituant dans l’équation (6) les valeurs de $\alpha ^{m}$, $\beta ^{m}$, $\gamma ^{m}$, $\delta ^{m}$, il vient

   $\mp \gamma A'=B-b^{m}$.

   
   Or on démontre que $B=b^{m}$ ; donc $r=0$, et $\alpha ^{m}=\pm k$ et $\gamma ^{m}=\pm p.$

   
   De même, pour le paragraphe suivant. (Note du Traducteur).

4. Les quantités qui étaient, au n^o 162, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ ; $A$, $B$, $C$ ; $A'$, $B'$, $C'$ ; $e$ ; sont ici $1$, $0$, $0$, $1$ ; $\alpha ^{(n)}$, $\beta ^{(n)}$, $\gamma ^{(n)}$, $\delta ^{(n)}$ ; $a$, $b$, $-a'$ ; $a$, $b$, $-a'$ ; $1$.
5. Dans ce Mémoire, l’algorithme que nous avons exposé n^o 32, est présenté avec les mêmes signes, ce que nous avons négligé de remarquer alors.
6. Ce que Wallis a avancé à ce sujet (Alg. pp. 427, 428), n’est d’aucun poids. Le paralogisme consiste en ce qu’il suppose qu’étant donnée une quantité $p$ on peut trouver des nombres entiers $a$ et $z$ tels que ${\frac {z}{a}}$ soit $<p$, et que la différence soit plus petite qu’un nombre assigné, ce qui est vrai quand la différence assignée a une valeur déterminée, mais non lorsque, comme dans le cas présent elle est fonction de $a$ et de $z$, et partant variable.