Théorie mathématique de la lumière/1/Chap.04

Henri Poincaré

Théorie mathématique de la lumière

Georges Carré, 1889 (1, p. 99-175).

CHAPITRE IV

DIFFRACTION

76. Équations des mouvements transversaux dans le cas de déplacements périodiques. — Supposons que les composantes $\xi ,\eta ,\zeta$ du déplacement soient des fonctions périodiques du temps ; la valeur de la composante $\xi$ peut alors s’écrire

$\xi =\mathrm {A} \cos {\frac {2\pi \mathrm {V} t}{\lambda }}+\mathrm {B} \sin {\frac {2\pi \mathrm {V} t}{\lambda }}$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions de $x,y,z$ seulement. En remarquant que $\cos z$ est la partie réelle de l’exponentielle $e^{-iz}$ et $\sin z$ la partie réelle de $-ie^{-iz},$ on peut considérer $\xi$ comme la partie réelle de l’exponentielle

$\left(\mathrm {A} -\mathrm {B} i\right)e^{-{\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {V} t},$

ou

$\xi _{0}e^{-{\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {V} t}.$

Or, les équations des mouvements transversaux étant linéaires par rapport aux dérivées secondes de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ si une exponentielle de cette forme satisfait à ces équations, la partie réelle et la partie imaginaire y satisferont séparément. Nous pourrons donc, comme nous l’avons déjà dit (51), chercher les solutions de la forme

$\xi =\xi _{0}e^{-{\frac {2i\pi }{\lambda }}\mathrm {V} t}$

et ensuite prendre pour valeur de la composante du déplacement la partie réelle de cette solution.

Pour simplifier, posons

${\frac {2\pi }{\lambda }}=\alpha$

nous aurons

$\xi =\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}.$

La dérivée seconde de $\xi$ par rapport à $t$ sera,

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

$\xi _{0}$ ne dépendant pas du temps puisque les fonctions $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ n’en dépendent pas. La dérivée seconde par rapport à $x$ est

${\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}={\frac {d^{2}\xi _{0}}{dx^{2}}}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}\,;$

par conséquent on aura

$\Delta \xi =\Delta \xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}.$

Pour que la première équation des mouvements transversaux,

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi$

soit satisfaite, il faut donc que l’on ait

$-\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

c’est-à-dire

(1)

$\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}=0$

Les deux autres équations du mouvement nous donneraient deux nouvelles équations de condition,

(2)

$\Delta \eta _{0}+\alpha ^{2}\eta _{0}=0,$

(3)

$\Delta \zeta _{0}+\alpha ^{2}\zeta _{0}=0.$

En outre, les mouvements étant transversaux, nous devons avoir

$\Theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=0\,;$

et comme,

${\frac {d\xi }{dx}}={\frac {d\xi _{0}}{dx}}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\qquad {\frac {d\eta }{dy}}={\frac {d\eta _{0}}{dy}}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\qquad {\frac {d\zeta }{dz}}={\frac {d\zeta _{0}}{dz}}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

la condition de transversalité devient,

(4)

${\frac {d\xi _{0}}{dx}}+{\frac {d\eta _{0}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{0}}{dz}}=0.$

Telles sont les quatre conditions que doivent remplir $\xi _{0},$ $\eta _{0},$ $\zeta _{0},$ pour que $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ satisfassent aux équations des mouvements transversaux.

77. Intégration de la première des équations de condition. — Dans la recherche des intégrales des équations des mouvements transversaux dans le cas des ondes sphériques, nous avons trouvé (69) pour solution particulière de l’équation

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0,$

l’expression

$\xi ={\frac {e^{-i\alpha \left(r-\mathrm {V} t\right)}}{r}}\cdot$

Par conséquent,

$\xi _{0}={\frac {1}{r}}e^{i\alpha r},$

sera une solution particulière de l’équation de condition (1), $r$ étant la distance du point $x,y,z$ à l’origine. Cette quantité sera encore solution de la même équation quand $r$ désignera la distance du point $x,$ $y,$ $z$ à un point fixe quelconque, car l’équation différentielle conserve la même forme quand on prend pour origine le point fixe.

Soient maintenant $\mathrm {P} _{1},\,\mathrm {P} _{2},\,\mathrm {P} _{3},\,\dots \,\mathrm {P} _{n}$ un certain nombre de points fixes dont les distances au point $\mathrm {M}$ de coordonnées $x,y,z,$ sont $r_{1},\,r_{2},\,r_{3},\,\dots \,r_{n}\,;$ la somme

$\xi _{0}=m_{1}{\frac {e^{i\alpha r_{1}}}{r_{1}}}+m_{2}{\frac {e^{i\alpha r_{2}}}{r_{2}}}+m_{3}{\frac {e^{i\alpha r_{3}}}{r_{3}}}+\dots +m_{n}{\frac {e^{i\alpha r_{n}}}{r_{n}}}$

satisfera à l’équation (1). Si on supposait $\alpha =0,\xi _{0}$ se réduirait à une somme de termes tels que ${\frac {m_{1}}{r_{1}}},$ c’est-à-dire que $\xi _{0}$ serait le potentiel au point $\mathrm {M} ,$ supposé attiré suivant la loi de Newton par des points $\mathrm {P} _{1},$ $\mathrm {P} _{2},$ $\dots$ $\mathrm {P} _{n}$ de masses $m_{1},$ $m_{2},$ $\dots$ $m_{n}.$ Cette analogie va nous permettre de trouver facilement plusieurs solutions particulières de l’équation (1).

Considérons en effet une matière attirante répandue d’une manière quelconque dans l’espace, mais de telle façon que l’attraction, au lieu d’être régie par la loi de Newton, soit représentée par la fonction

${\frac {d}{dr}}\left({\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\right),$

$r$ désignant la distance du point attiré au point attirant. D’après ce qui précède, on voit que le potentiel dû à l’attraction de cette matière satisfera à l’équation (1).

78. Dans la théorie du potentiel, on considère non seulement l’attraction de points isolés, mais encore l’attraction de volumes et de surfaces. En supposant que les points $\mathrm {P} _{1},$ $\mathrm {P} _{2},$ $\dots$ $\mathrm {P} _{n}$ forment un volume on aura pour $\xi _{0}$

(5)

$\xi _{0}=\int {\frac {e^{i\alpha r}\mathrm {X} \,d\tau }{dr}}\cdot$

L’intégrale est étendue à tous les éléments $d\tau$ du volume attirant, et $\mathrm {X}$ est une fonction quelconque des coordonnées de l’élément $d\tau .$ Cette fonction $\mathrm {X}$ représente la densité de la matière attirante.

Il est clair que pour tout point pris en dehors du volume attirant, $\xi _{0}$ satisfera à l’équation (1). L’analogie avec la théorie ordinaire du potentiel suffit pour nous avertir qu’il n’en sera plus de même pour un point appartenant au volume attirant. Démontrons qu’on aura en un point $\mathrm {P}$ de ce volume :

(6)

$\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}+4\pi \mathrm {X} =0,$

$\mathrm {X}$ désigne ici la valeur que prend au point $\mathrm {P}$ la densité de la matière attirante. Il est aisé de reconnaître que si l’on fait $\alpha =0,$ on retombe sur l’équation de Poisson.

Pour démontrer cette équation, décrivons du point $\mathrm {P}$ comme centre une très petite sphère $s,$ et décomposons le volume attirant en deux volumes partiels, à savoir la sphère $s$ et le volume $\mathrm {T}$ situé en dehors de cette sphère. Posons ensuite

$\xi _{0}+\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3},$

où

$\xi _{1}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\tau$	(intégrale étendue au volume $\mathrm {T}$),
$\xi _{2}=\int {\frac {\mathrm {X} }{r}}\,d\tau$	(intégrale étendue à $s$),
$\xi _{3}=\int \mathrm {X} \left({\frac {e^{i\alpha r}-1}{r}}\right)\,d\tau$	(intégrale étendue à $s$).

Le point $\mathrm {P}$ étant en dehors du volume $\mathrm {T} ,$ on aura

$\Delta \xi _{1}+\alpha ^{2}\xi _{1}=0.$

D’ailleurs, l’équation de Poisson nous donne

$\Delta \xi _{2}+4\pi \mathrm {X} =0.$

Le rayon de la sphère $s$ étant très petit, on aura à des infiniment petits près

$\xi _{2}=\xi _{3}=0,\qquad \qquad \qquad \xi _{1}=\xi _{0}.$

D’autre part, si nous considérons l’intégrale qui définit la fonction $\xi _{3},$ nous voyons que la fonction sous le signe $\displaystyle \int$ ne devient pas infinie pour $r=0\,;$ nous en conclurons que $\Delta \xi _{3}$ est du même ordre de grandeur que la sphère $s\,;$ on a donc

$\Delta \xi _{3}=0,\qquad \qquad \qquad \Delta \xi _{0}=\Delta \xi _{1}+\Delta \xi _{2},$

d’où

$\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}+4\pi \mathrm {X} =0.$

79. Envisageons maintenant une surface attirante. Le potentiel dû à l’attraction de cette surface sera représenté par l’intégrale

(7)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

étendue à tous les éléments $d\omega$ de la surface attirante ; $\mathrm {X}$ désigne une fonction quelconque des coordonnées de l’élément $d\omega ,$ et $r$ est la distance de cet élément au point attiré $x,y,z.$

Nous trouverons encore ici la plus grande analogie avec la théorie du potentiel newtonien et en effet si nous posons

$\xi _{0}=\xi _{1}+\xi _{2},$

$\xi _{1}=\int {\frac {\mathrm {X} }{r}}\,d\omega ,\qquad \qquad \qquad \xi _{2}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}-1}{r}}d\omega ,$

la première intégrale est le potentiel ordinaire, la seconde est telle que la fonction sous le signe $\int$ ne devient jamais infinie ; c’est donc une fonction continue ainsi que toutes ses dérivées.

D’après la théorie du potentiel newtonien, $\xi _{1}$ est aussi une fonction continue, il en est donc de même de $\xi _{0}.$ Mais il n’en est pas de même de ses dérivées.

En effet ${\frac {d\xi _{0}}{dx}},{\frac {d\xi _{0}}{dy}},{\frac {d\xi _{0}}{dz}}$ sont les composantes de la force attractive suivant les trois axes ; nous désignerons de même suivant l’usage, par la notation ${\frac {d\xi _{0}}{dn}},$ la projection de cette même force sur la normale à l’élément $d\omega .$ On aura donc

${\frac {d\xi _{0}}{dn}}=l{\frac {d\xi _{0}}{dx}}+m{\frac {d\xi _{0}}{dy}}+n{\frac {d\xi _{0}}{dz}},$

$l,m$ et $n$ désignant les cosinus directeurs de cette normale.

Nous savons que ${\frac {d\xi _{1}}{dn}}$ est une fonction discontinue et que si l’on considère deux points infiniment voisins situés de part et d’autre de l’élément $d\omega ,$ les valeurs de cette fonction en ces deux points différeront d’une quantité égale à $4\pi \mathrm {X} .$ Or ${\frac {d\xi _{2}}{dn}}$ est continu. Donc ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}={\frac {d\xi _{1}}{dn}}+{\frac {d\xi _{2}}{dn}}$ sera discontinu et subira un saut brusque égal à $4\pi \mathrm {X}$ quand on franchira la surface attirante.

80. Il nous reste à étendre au cas qui nous occupe la théorie de la double couche attirante dont le rôle est si grand dans l’étude du potentiel newtonien.

Considérons deux surfaces parallèles infiniment voisines, telles que les normales aux deux surfaces soient les mêmes, et que la distance infiniment petite de ces deux surfaces, comptée sur l’une des normales communes, soit constante.

Imaginons que de la matière attirante soit répandue sur ces deux surfaces, de telle façon que les densités sur deux éléments correspondants des deux surfaces soient égales et de signe contraire.

En considérant le potentiel dû à l’attraction d’une pareille double couche, nous allons trouver de nouvelles solutions particulières de l’équation (1).

Fig. 8. Désignons par $\varepsilon$ la distance qui sépare les deux couches, par $\mathrm {X} _{1}$ et $-\mathrm {X} _{1}$ les valeurs de la densité aux centres de gravité $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ (fig. 8) de deux éléments correspondants $d\omega ,$ et posons

$\mathrm {F} (r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\cdot$

Nous aurons pour le potentiel dû à l’attraction de ces deux éléments sur un point $\mathrm {M}$ situé en dehors de la couche, et dont la distance à l’un des éléments de surface est $r,$

(8)

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}\,d\omega \,\mathrm {F} (r)&-\mathrm {X} _{1}\;d\omega \,\mathrm {F} (r+dr)\\=&-\mathrm {X} _{1}\,d\omega \,dr\,\mathrm {F} '(r).\\\end{aligned}}$

Pour avoir la valeur de $dr$ nous abaisserons du centre $\mathrm {P}$ d’un des éléments une perpendiculaire $\mathrm {PQ}$ sur la droite $\mathrm {MP} '\,;$ la distance $\mathrm {P'Q}$ sera, à un infiniment petit du second ordre près, égale à $dr\,;$ nous aurons donc

$dr=\varepsilon \cos \psi ,$

$\psi$ désignant l’angle de la droite $\mathrm {MP} '$ avec la droite $\mathrm {PP} '$ qui est normale à chacune des couches. En portant cette valeur dans (8) nous obtenons pour le potentiel total,

(9)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{1}\varepsilon \,d\omega \,\cos \psi \,\mathrm {F} '(r).$

Comme la fonction $\mathrm {X} _{1}$ est quelconque, on pourra, sans diminuer la généralité de la solution particulière (9) remplacer $\mathrm {X} _{1}\varepsilon$ par une seule lettre $\mathrm {X} _{2}$ désignant une fonction quelconque de $x,y,z.$ En outre, puisqu’on a posé

$\mathrm {F} (r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}},$

on aura pour la dérivée,

$\mathrm {F} '(r)={\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cdot$

Par conséquent l’expression (9) de $\xi _{0}$ peut s’écrire

(10)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{2}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega .$

Posons encore :

$\xi _{0}=\xi _{1}+\xi _{2},$

$\xi _{1}=-\int {\frac {\mathrm {X} _{2}\cos \psi }{r^{2}}}\,d\omega ,$

$\xi _{2}=\int \mathrm {X} _{2}\cos \psi \left[{\frac {i\alpha e^{i\alpha r}}{r}}-{\frac {e^{i\alpha r}}{r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right]d\omega .$

Nous voyons que $\xi _{1}$ représente le potentiel newtonien d’une double couche. Quant à la seconde intégrale $\xi _{2}$ (comme la fonction sous le signe $\textstyle \int$ ne devient pas infinie) elle sera continue ainsi que toutes ses dérivées.

La théorie du potentiel newtonien nous apprend que ${\frac {d\xi _{1}}{dn}}$ est continu, mais que $\xi _{1}$ est une fonction discontinue. Donc ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ est continu et $\xi _{0}$ sera une fonction discontinue qui subira un saut brusque égal à $4\pi \mathrm {X} _{2}$ quand on franchira la surface attirante.

81. La combinaison des intégrales (7) et (10) nous donne la solution la plus générale de l’équation (1).

En effet si $\mathrm {X} _{1}$ et $\mathrm {X} _{2}$ sont deux fonctions quelconques des coordonnées d’un élément $d\omega$ d’une surface quelconque ; si $r$ est la longueur de la droite qui joint l’élément $d\omega$ au point $x,$ $y,$ $z\,;$ et que $\psi$ désigne l’angle que fait cette droite avec la normale à l’élément $d\omega ,$ l’expression,

(11)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{1}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega +\int \mathrm {X} _{2}\cos \psi {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\,d\omega$

satisfera à l’équation (1). Il nous reste à montrer que c’en est là l’intégrale générale.

Soit $\mathrm {U}$ une fonction quelconque finie et continue ainsi que toutes ses dérivées et satisfaisant à l’équation (1) en dehors d’une certaine surface $\mathrm {S} .$

Soit $\mathrm {V}$ le potentiel dû à un certain volume attirant dont une partie pourra se trouver en dehors de la surface $\mathrm {S} .$ On aura

(12)

$\Delta \mathrm {V} +\alpha ^{2}\mathrm {V} =0,$

en dehors du volume attirant, et en un point de ce volume

(13)

$\Delta \mathrm {V} +\alpha ^{2}\mathrm {V} +4\pi \rho =0,$

$\rho$ étant la densité de la matière attirante.

Le théorème de Green nous donne :

(14)

$\int \left(\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {V} }{dn}}-\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}\right)d\omega =\int \left(\mathrm {U} \Delta \mathrm {V} -\mathrm {V} \Delta \mathrm {U} \right)d\tau ,$

la première intégrale étant étendue à tous les éléments $d\omega$ de la surface $\mathrm {S}$ et la seconde à tous les éléments de volume $d\tau$ de l’espace extérieur à cette surface. Dans le calcul des dérivées ${\frac {d\mathrm {U} }{dn}}$ et ${\frac {d\mathrm {V} }{dn}}$ on considère la normale à l’élément $d\omega$ comme dirigée vers l’intérieur de la surface $\mathrm {S} .$

Comme $\mathrm {U}$ satisfait à l’équation (1) et $\mathrm {V}$ aux équations (12) et (13) l’intégrale du second membre de (14) se réduira à

$-4\pi \int \mathrm {U} \,\rho \,d\tau ,$

l’intégration devant être étendue au volume attirant qui engendre le potentiel $\mathrm {V}$ ou plutôt à la portion de ce volume qui est extérieure à $\mathrm {S} .$

Supposons maintenant que le volume attirant qui engendre $\mathrm {V}$ se réduise à une sphère de rayon très petit ayant pour centre le point $x_{0},y_{0},z_{0},$ et que la densité $\rho$ soit telle que la masse attirante totale soit égale à $1.$ Alors, en appelant $r_{0}$ la distance d’un élément $d\omega$ de $\mathrm {S}$ au point $x_{0},y_{0},z_{0},$ la valeur de $\mathrm {V}$ au centre de gravité de cet élément se réduira à :

${\frac {e^{i\alpha r_{0}}}{r_{0}}}$

et celle de ${\frac {d\mathrm {V} }{dn}}$ à :

$+\cos \psi {\frac {e^{i\alpha r_{0}}}{r_{0}}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r_{0}}}\right),$

$\psi$ désignant toujours l’angle de la normale extérieure à l’élément $d\omega$ avec la droite qui joint cet élément au point $x_{0},y_{0},z_{0}.$

L’intégrale $\int U\,\rho \,d\tau$ se réduira à $\mathrm {U} _{0}$ ($\mathrm {U} _{0}$ étant la valeur de $\mathrm {U}$ au point $x_{0},y_{0},z_{0}$), si ce point est extérieur à $\mathrm {S} .$ Cette intégrale est nulle dans le cas contraire, car elle s’étend à la portion du volume attirant extérieur à $\mathrm {S} ,$ et si le point $x_{0},y_{0},z_{0}$ est intérieur à $\mathrm {S} ,$ il en est de même du volume attirant tout entier. On a donc simplement :

$-4\pi \mathrm {U} _{0}=\int \left(\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {V} }{dn}}-\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}\right)d\omega .$

Si, supprimant les indices, nous appelons $x,y,z$ le point que nous avons appelé $x_{0},y_{0},z_{0}\,;$ $r$ sa distance à l’élément $d\omega ,$ et $\mathrm {U}$ la valeur de la fonction $\mathrm {U}$ en ce point ; il vient simplement :

(15)

$\mathrm {U} =-\int {\frac {\mathrm {U} }{4\pi }}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega +\int {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}{\frac {e^{i\alpha r}}{4\pi r}}\,d\omega \cdot$

On voit ainsi que $\mathrm {U} ,$ qui est une fonction quelconque satisfaisant à l’équation (1), est égale à l’expression (11) pourvu qu’on prenne pour la fonction arbitraire $\mathrm {X} _{1}$ la valeur de ${\frac {d\mathrm {U} }{4\pi dn}}$ sur l’élément $d\omega$ et pour la fonction arbitraire $\mathrm {X} _{2}$ la valeur de $-{\frac {\mathrm {U} }{4\pi }}$ sur ce même élément.

82. L’équation (15) est vraie si le point $x,y,z$ est extérieur à $\mathrm {S} .$ Dans le cas contraire le second membre de cette équation (15) se réduit à $0,$ car nous venons de voir que, si le point $x_{0},y_{0},z_{0}$ est intérieur à $\mathrm {S} ,$ l’intégrale $\int \mathrm {U} \,\rho \,d\tau$ est nulle.

Si dans l’expression (11), les fonctions arbitraires $\mathrm {X} _{1}$ et $\mathrm {X} _{2}$ sont quelconques, cette expression représentera toujours à l’extérieur de $\mathrm {S}$ une fonction $\mathrm {U}$ qui satisfera à l’équation (1) ; mais il n’arrivera pas en général que $\mathrm {U}$ se réduira à $-4\pi \mathrm {X} _{2}$ et ${\frac {d\mathrm {U} }{dn}}$ à $4\pi \mathrm {X} _{1}$ quand le point $x,y,z$ se rapprochera indéfiniment d’un élément $d\omega$ de $\mathrm {S} .$

Pour qu’il en soit ainsi, il faut, d’après ce que nous venons de voir, que l’expression (11) soit nulle toutes les fois que le point $x,y,z$ est intérieur à $\mathrm {S} .$

Cette condition est suffisante. En effet, si elle est remplie, en un point infiniment voisin de $\mathrm {S} ,$ mais intérieur à cette surface, les valeurs de l’expression (11) et de ses dérivées seront nulles.

Considérons maintenant un point infiniment voisin du premier, mais extérieur à $\mathrm {S} .$ D’après ce que nous avons dit plus haut de la discontinuité du potentiel d’une simple couche ou d’une double couche, les valeurs de $\mathrm {U}$ et de ${\frac {d\mathrm {U} }{dn}}$ en ces deux points infiniment voisins devront différer de quantités égales respectivement à $4\pi \mathrm {X} _{1}$ et $-4\pi \mathrm {X} _{2}.$

Or au premier point on a

$\mathrm {U} ={\frac {d\mathrm {U} }{dn}}=0.$

On aura donc au second

$\mathrm {U} =-4\pi \mathrm {X} _{2},\qquad \qquad \qquad {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}=4\pi \mathrm {X} _{1}.$

83. Équations de la diffraction. — Soit $\mathrm {O}$ une source lumineuse que nous supposerons réduite à un point dont les déplacements sont des fonctions périodiques du temps. Ce point deviendra le centre d’une série d’ondes sphériques dont chaque point sera animé d’un mouvement périodique. Les composantes du déplacement d’un de ces points seront les parties réelles d’expressions de la forme

(1)

${\begin{aligned}\xi &=\xi _{1}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\\[1.5ex]\eta &=\eta _{1}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\\[1.5ex]\zeta &=\zeta _{1}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\\\end{aligned}}$

$\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1},$ satisfaisant aux équations différentielles

(2)

${\begin{aligned}\Delta \xi _{1}+\alpha ^{2}\xi _{1}&=0,\\[1.5ex]\Delta \eta _{1}+\alpha ^{2}\eta _{1}&=0,\\[1.5ex]\Delta \zeta _{1}+\alpha ^{2}\zeta _{1}&=0.\\\end{aligned}}$

$\Theta _{1}={\frac {d\xi _{1}}{dx}}+{\frac {d\eta _{1}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{1}}{dz}}=0.$

Les ondes sont sphériques, d’où il résulte, non que $\xi _{1},\eta _{1},\zeta _{1}$ sont fonctions de $r$ seulement, (ce qui est incompatible avec la condition de transversalité) mais que ces quantités varient beaucoup plus lentement quand on se déplace sur la surface d’une sphère $\mathrm {S}$ ayant son centre en $\mathrm {O}$ que si l’on se déplace normalement à cette sphère.

Nous poserons donc

$\xi _{1}=\xi _{2}e^{i\alpha r},\qquad \eta _{1}=\eta _{2}e^{i\alpha r},\qquad \zeta _{1}=\zeta _{2}e^{i\alpha r},$

$\xi _{2},\eta _{2},\zeta _{2}$ variant beaucoup plus lentement que le facteur $e^{i\alpha r}.$ La dérivée de $e^{i\alpha r}$ est égale à $i\alpha e^{i\alpha r}\,;$ comme $\alpha ={\frac {2\pi }{\lambda }}$ est une quantité très grande ; cette dérivée est elle-même très grande. Au contraire, nous supposerons que les dérivées de $\xi _{2},\eta _{2}$ et $\zeta _{2}$ sont des quantités finies.

Soient $l,m,n$ les cosinus directeurs de la normale à la sphère $\mathrm {S} \,;$ nous avons besoin de

${\frac {d\xi _{1}}{dn}}=l{\frac {d\xi _{1}}{dx}}+m{\frac {d\xi _{1}}{dy}}+n{\frac {d\xi _{1}}{dz}}$

Nous trouvons :

${\frac {d\xi _{1}}{dn}}={\frac {d\xi _{1}}{dr}}=i\alpha \xi _{2}e^{i\alpha r}+{\frac {d\xi _{2}}{dr}}e^{i\alpha r}.$

Le second terme est très petit par rapport au premier parce que $\alpha$ est très grand ; on a donc approximativement

${\frac {d\xi _{1}}{dn}}=i\alpha \xi _{1}\,;$

et de même,

${\frac {d\eta _{1}}{dn}}=i\alpha \eta _{1},\qquad \qquad {\frac {d\zeta _{1}}{dn}}=i\alpha \zeta _{1}.$

Supposons maintenant qu’une portion d’une sphère $\mathrm {S}$ ayant pour centre le point lumineux soit occupée par un écran. L’intensité lumineuse en un point de l’éther intérieur à la sphère, sera très sensiblement le même que si l’écran n’existait pas. Il en sera de même pour les points de la sphère extérieurs à l’écran. Pour les points de l’écran, l’intensité doit être très sensiblement nulle.

84. Voici donc les conditions que nous aurons à remplir :

À l’extérieur de la sphère $\mathrm {S}$ les trois composantes du déplacement seront les parties réelles des exponentielles

$\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\qquad \eta _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},\qquad \zeta _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

et les fonctions $\xi _{0},\eta _{0},\zeta _{0}$ devront satisfaire aux quatre conditions suivantes.

A. On devra avoir en dehors de $\mathrm {S}$

$\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}=\Delta \eta _{0}+\alpha ^{2}\eta _{0}=\Delta \zeta _{0}+\alpha ^{2}\zeta _{0}=0.$

B. En tous les points de $\mathrm {S}$ qui n’appartiennent pas à l’écran on doit avoir très sensiblement

${\begin{alignedat}{6}\xi _{0}&=\xi _{1},\qquad \qquad &{\frac {d\xi _{0}}{dn}}&={\frac {d\xi _{1}}{dn}}=i\alpha \xi _{1},\\[1.5ex]\eta _{0}&=\eta _{1},\qquad \qquad &{\frac {d\eta _{0}}{dn}}&={\frac {d\eta _{1}}{dn}}=i\alpha \eta _{1},\\[1.5ex]\zeta _{0}&=\zeta _{1},\qquad \qquad &{\frac {d\zeta _{0}}{dn}}&={\frac {d\zeta _{1}}{dn}}=i\alpha \zeta _{1},\\\end{alignedat}}$

C. En tous les points de l’écran, on doit avoir très sensiblement,

$\xi _{0}=\eta _{0}=\zeta _{0}={\frac {d\xi _{0}}{dn}}={\frac {d\eta _{0}}{dn}}={\frac {d\zeta _{0}}{dn}}=0.$

D. La condition de transversalité

$\Theta _{0}={\frac {d\xi _{0}}{dx}}+{\frac {d\eta _{0}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{0}}{dz}}=0,$

doit être remplie.

Il est impossible de satisfaire exactement aux conditions B et C ; on n’y peut satisfaire que très sensiblement, c’est-à-dire à des quantités près de l’ordre de la longueur d’onde $\lambda .$

Nous avons vu plus haut que si une fonction $\xi _{0}$ satisfait à l’équation $\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}=0$ à l’extérieur d’une surface $\mathrm {S} ,$ si aux divers points de cette surface elle se réduit à $-4\pi \mathrm {X} _{2}$ pendant que ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ se réduit à $4\pi \mathrm {X} _{1},$ on aura à l’extérieur de $\mathrm {S}$

(3)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{2}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega +\int \mathrm {X} _{1}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

tandis qu’à l’intérieur de $\mathrm {S} ,$ le second membre de (3) se réduira à $0.$

Ici notre surface $\mathrm {S}$ se réduit à une sphère de centre $\mathrm {O} \,;$ $\xi _{0}$ et ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ sont très sensiblement nuls pour les points de l’écran ; pour les points extérieurs à l’écran, $\xi _{0}$ est à peu près égal à $\xi _{1}$ et ${\frac {d\xi _{0}}{dn}}$ à $i\alpha \xi _{1}$ si l’on considère la normale à $\mathrm {S}$ comme dirigée vers l’extérieur, et à $-i\alpha \xi _{1},$ si on regarde cette normale dirigée vers l’intérieur, ainsi qu’on doit le faire dans l’application de la formule (15) du n^o 81.

Si donc nous prenons

$\mathrm {X} _{1}=i\alpha \mathrm {X} _{2}=0,$

pour les points de l’écran de $\mathrm {S}$ et

$\mathrm {X} _{1}=i\alpha \mathrm {X} _{2}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}}{4\pi }},$

pour les points extérieurs à l’écran, le second membre de (3) différera très peu de $\xi _{0}$ à l’extérieur de $\mathrm {S}$ et très peu de $0$ à l’intérieur de $\mathrm {S} .$

Nous arrivons donc à la conclusion suivante.

S’il existe des fonctions $\xi _{0},\,\eta _{0},\,\zeta _{0},$ satisfaisant approximativement aux conditions A, B, C, D, ces fonctions seront très sensiblement représentées par les intégrales

(4)

${\begin{aligned}\xi _{0}&=\int \mathrm {X} _{2}\,d\omega \,{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha +i\alpha \cos \psi -{\frac {\cos \psi }{r}}\right),\\[1.5ex]\eta _{0}&=\int \mathrm {Y} _{2}\,d\omega \,{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha +i\alpha \cos \psi -{\frac {\cos \psi }{r}}\right),\\[1.5ex]\zeta _{0}&=\int \mathrm {Z} _{2}\,d\omega \,{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha +i\alpha \cos \psi -{\frac {\cos \psi }{r}}\right),\\\end{aligned}}$

étendues à tous les éléments $d\omega$ de la sphère $\mathrm {S} .$ Dans ces formules,

$\mathrm {X} _{2}=\mathrm {Y} _{2}=\mathrm {Z} _{2}=0$

si l’élément $d\omega$ appartient à l’écran, et on a

$\mathrm {X} _{2}=-{\frac {\xi _{1}}{4\pi }},\qquad \mathrm {Y} _{2}=-{\frac {\eta _{1}}{4\pi }},\qquad \mathrm {Z} _{2}=-{\frac {\zeta _{1}}{4\pi }}$

si l’élément $d\omega$ n’appartient pas à l’écran.

85. Il nous reste à faire voir qu’il existe effectivement des fonctions satisfaisant à ces conditions ; nous avons donc à montrer que les expressions (4) remplissent à très peu près les conditions A, B, C, D.

1^o La condition A est certainement remplie d’après ce que nous avons dit au n^o 82.

2^o D’après ce que nous avons vu dans ce même paragraphe, les conditions B et C seraient remplies exactement si les intégrales (4) étaient exactement nulles à l’intérieur de $\mathrm {S} .$ Elles seront donc sensiblement remplies si ces intégrales sont sensiblement nulles à l’intérieur de $\mathrm {S} .$

Nous avons donc à démontrer d’abord que les intégrales (4) sont sensiblement nulles à l’intérieur de $\mathrm {S}$ et pour cela à donner une méthode pour calculer approximativement ces intégrales. C’est ce que nous ferons dans le paragraphe suivant.

Nous établirons ensuite que si $\xi _{0},\,\eta _{0},\,\zeta _{0}$ sont définis par les formules (4) on a très sensiblement

$\Theta _{0}={\frac {d\xi _{0}}{dx}}+{\frac {d\eta _{0}}{dy}}+{\frac {d\zeta _{0}}{dz}}=0.$

Remarquons en passant que les intégrales (4) représentent à l’intérieur et à l’extérieur de $\mathrm {S}$ deux fonctions différentes qui ne sont pas la continuation analytique l’une de l’autre. Cela tient à la discontinuité du potentiel d’une simple ou d’une double couche. Aussi les intégrales de Fresnel qui rendent compte des phénomènes optiques qui se passent à l’extérieur de la sphère $\mathrm {S} ,$ ne représentent pas les phénomènes qui se passent à l’intérieur de cette sphère. C’est là l’explication des anomalies signalées par Poisson.

86. Calcul des intégrales (4). Nous allons chercher à calculer approximativement la première intégrale (4) que nous écrirons

(5)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

en posant pour abréger

(6)

$\mathrm {X} =\mathrm {X} _{2}\left[i\alpha \left(1+\cos \psi \right)-{\frac {\cos \psi }{r}}\right]$

Fig. 9.

Changeons de coordonnées. $\mathrm {S}$ (fig. 9) étant la sphère dont une portion est occupée par un écran et $\mathrm {P}$ le point éclairé $x,y,z,$ la position d’un point sera déterminée dans le nouveau système de coordonnées, par l’angle $\varphi$ que fait le plan passant par ce point et la droite $\mathrm {OP}$ avec un plan fixe mené par $\mathrm {OP} ,$ par l’angle $\theta$ de la droite qui joint le point au point $\mathrm {O}$ avec $\mathrm {OP} ,$ et enfin par le rayon vecteur $\mathrm {R}$ mené du point $\mathrm {O} .$ Dans ce système un élément de la surface de la sphère $\mathrm {S}$ de rayon $a,$ a pour expression

$d\omega =a^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi .$

On peut donner à cette expression une autre forme. En désignant par $b$ la distance $\mathrm {QP}$ du point $\mathrm {P}$ à la sphère, on a dans le triangle $\mathrm {MOP} \,:$

$r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\cos \theta \,;$

en différentiant, on obtient

$r\,dr=a\left(a+b\right)\sin \theta \,d\theta .$

Et, si on remplace dans $d\omega$ le produit $\sin \theta \,d\theta$ par sa valeur dans cette dernière expression, il vient :

$d\omega ={\frac {a^{2}r\,dr}{a(a+b)}}d\varphi ={\frac {a}{a+b}}r\,dr\,d\varphi .$

En portant cette valeur de $d\omega$ dans l’expression (5) de $\xi _{0},$ nous obtenons,

(7)

$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\iint \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr\,d\varphi ,$

l’intégration étant prise entre $b$ et $2a+b$ pour $r,$ et entre $0$ et $2\pi$ pour $\varphi .$

Toutefois nous n’étendrons l’intégration qu’à la partie de la sphère $\mathrm {S}$ non occupée par l’écran ; cela ne changera rien au résultat puisque sur l’écran, la fonction $\mathrm {X}$ est nulle. Nous aurons ainsi l’avantage que dans tout le champ d’intégration, la fonction $\mathrm {X}$ sera continue et que ses dérivées seront finies, ce qui est nécessaire pour ce qui va suivre. Dans ces conditions les limites de l’intégration par rapport à $r$ ne seront pas forcément $b$ et $2a+b.$ Nous les appellerons $r_{1}$ et $r_{2}.$

Intégrons d’abord par rapport à $r.$ En appliquant la règle de l’intégration par parties et en désignant par $r_{1}$ et $r_{2}$ les limites de la variable, nous aurons

$\int \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr=\left[{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}-{\frac {1}{i\alpha }}\int {\frac {d\mathrm {X} }{dr}}e^{i\alpha r}\,dr,$

et, si nous intégrons par parties l’intégrale du second membre nous obtiendrons

$\int \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr=\left[{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}\left[{\frac {d\mathrm {X} }{dr}}e^{i\alpha r}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}-{\frac {1}{\alpha ^{2}}}\int {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dr^{2}}}e^{i\alpha r}\,dr,$

$\alpha$ étant une quantité infiniment grande nous pouvons en général, dans le calcul approximatif que nous nous sommes proposé, négliger les termes du second membre qui contiennent en facteur une puissance de $\alpha$ inférieure à $-1.$ Nous avons alors

$\int \mathrm {X} e^{i\alpha r}\,dr=\left[{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\right]_{r_{1}}^{r_{2}},$

et la valeur de $\xi _{0}$ donnée par l’intégrale (7) est approximativement

(8)

$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\right]_{r_{1}}^{r_{2}}\,d\varphi .$

87. Dans la figure 9, le point $\mathrm {P}$ se trouve en dehors de la sphère $\mathrm {S} \,;$ mais il est évident que si nous avions pris le point $\mathrm {P}$ à l’intérieur de la sphère, nous serions arrivés à la même expression de $\xi _{0}$ en considérant dans ce cas la distance $b$ du point à la sphère comme négative.

Nous allons, montrer à l’aide de l’expression (8) que la valeur de $\xi _{0}$ est sensiblement nulle en un point intérieur à la sphère.

Voyons en effet ce que représentent les limites supérieure et inférieure $r_{1}$ et $r_{2}.$ Plusieurs cas peuvent se présenter ; nous n’en envisagerons que trois :

1^o Il n’y a pas d’écran. On a alors

$r_{1}=b,\qquad \qquad r_{2}=2a+b,$

si le point $\mathrm {P}$ est extérieur à la sphère, et

$r_{1}=b,\qquad \qquad r_{2}=2a-b,$

si le point $\mathrm {P}$ est intérieur à la sphère.

2^o Il y a un écran ; le point $\mathrm {Q} ,$ pôle du point $\mathrm {P} ,$ n’est pas sur l’écran, mais le point diamétralement opposé appartient à l’écran.

Alors $r_{1}=b\,;$ et la limite supérieure $r_{2},$ qui est en général une fonction de $\varphi ,$ est la valeur de $r$ qui correspond au bord de l’écran.

3^o Il y a un écran ; le point $\mathrm {Q}$ appartient à l’écran et le point diamétralement opposé n’en fait pas partie.

Alors $r_{2}=2a\pm b$ et $a_{1}$ est la valeur de $r$ qui correspond au bord de l’écran.

Appelons $\mathrm {J}$ l’intégrale

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\,d\varphi$

prise le long du bord de l’écran, et soient $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ les valeurs de ${\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}$ au point $\mathrm {Q}$ et au point diamétralement opposé.

Nous aurons :

dans le premier cas	$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\left(2\pi \mathrm {X} ''-2\pi \mathrm {X} '\right),$
dans le second	$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\left(\mathrm {J} -2\pi \mathrm {X} '\right),$
dans le troisième	$\xi _{0}={\frac {a}{a+b}}\left(2\pi \mathrm {X} ''-\mathrm {J} \right).$

Nous verrons plus loin que $\mathrm {J}$ est généralement négligeable.

Il nous reste à calculer $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''.$ Nous avons

$\mathrm {X} =\mathrm {X} _{2}\left(i\alpha +i\alpha \cos \psi -{\frac {\cos \psi }{r}}\right)\cdot$

Le dernier terme ${\frac {\cos \psi }{r}}$ est négligeable devant $i\alpha$ parce que $\alpha$ est très grand. Il reste donc

$\mathrm {X} =i\alpha \mathrm {X} _{2}(1+\cos \psi )=-{\frac {i\alpha \xi _{1}}{4\pi }}\left(1+\cos \psi \right)$

puisque en dehors de l’écran $\mathrm {X} _{2}$ est égal à $-{\frac {\xi _{1}}{4\pi }}\cdot$

Au point $\mathrm {Q}$ on a :

si le point $\mathrm {P}$ est extérieur à $\mathrm {S}$	$\psi =0$	$\mathrm {X} '=-{\frac {\xi _{1}}{2\pi }}e^{i\alpha b},$
si le point $\mathrm {P}$ est intérieur à $\mathrm {S}$	$\psi =\pi$	$\mathrm {X} '=0.$

Au point diamétralement opposé on a, dans tous les cas $\psi =\pi$ et $\mathrm {X} ''=0.$

Par conséquent, si le point $\mathrm {P}$ est intérieur à $\mathrm {S} ,$ l’intégrale (8) sera généralement négligeable.

88. Si le point $\mathrm {P}$ est extérieur à $\mathrm {S} \,;$ on a dans les trois cas envisagés plus haut :

dans le premier cas	$\xi _{0}=\xi _{1}e^{i\alpha b}{\frac {a}{a+b}}\cdot$
dans le second cas	$\xi _{0}=\xi _{1}e^{i\alpha b}{\frac {a}{a+b}}\cdot$
dans le troisième cas	$\xi _{0}=0.$

Donc si le point $\mathrm {Q}$ n’appartient pas à l’écran, c’est-à-dire si $\mathrm {P}$ n’est pas dans l’ombre géométrique, l’intensité est la même que s’il n’y avait pas d’écran. Si au contraire $\mathrm {P}$ est dans l’ombre géométrique, l’intensité est nulle. En d’autres termes les phénomènes sont les mêmes que dans la théorie géométrique des ombres. Il n’y aura donc de phénomènes de diffraction que si l’intégrale $\mathrm {J}$ n’est pas négligeable.

Nous sommes donc amenés à : 1^o Démontrer que l’intégrale $\mathrm {J}$ est généralement négligeable.

2^o Chercher quels sont les cas d’exception où elle cesse de l’être.

Nous avons à évaluer l’intégrale

$\mathrm {J} =\int {\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\,d\varphi$

étendue à tout le contour de l’écran.

Pour cela nous décomposerons ce contour en un certain nombre d’arcs partiels qui seront de deux sortes

1^o Sur les arcs de la première sorte la dérivée ${\frac {d\varphi }{dr}}$ sera finie ;

2^o Sur les arcs de la deuxième sorte, cette dérivée sera assez grande pour ne pas être négligeable devant $\alpha .$

D’ailleurs rien ne nous empêche de supposer que la subdivision du contour en arcs partiels ait été faite de telle sorte que le long d’un de ces arcs $r$ soit ou constamment croissant ou constamment décroissant.

89. Évaluons d’abord l’intégrale prise le long d’un arc de la première sorte.

Si nous prenons comme variable d’intégration $r,$ notre intégrale s’écrira :

$\int {\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}{\frac {d\varphi }{dr}}\,dr.$

En intégrant par parties, on a :

$-{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi }{dr}}+{\frac {1}{\alpha _{2}}}\int e^{i\alpha r}{\frac {d}{dr}}\mathrm {X} {\frac {d\varphi }{dr}}\,dr.$

Or $\mathrm {X}$ est du même ordre que $\alpha \,;$ si donc ${\frac {d\varphi }{dr}}$ est une quantité finie chacun des termes de cette dernière somme est de l’ordre de ${\frac {1}{\alpha }},$ c’est-à-dire négligeable. Ainsi l’intégrale prise le long d’un arc de la première sorte est négligeable.

L’intégrale

$\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r}}{i\alpha }}\,d\varphi$

prise le long d’un arc de la seconde sorte sera aussi négligeable en général, parce que la différence $\varphi _{1}-\varphi _{0}$ des limites d’intégration sera du même ordre de grandeur que ${\frac {1}{\alpha }}\cdot$

Pour que l’intégrale $\mathrm {J}$ ait une valeur finie, il faut donc que $\varphi _{1}-\varphi _{0}$ soit finie, c’est-à-dire qu’un au moins des arcs de la seconde sorte soit vu du point $\mathrm {Q}$ sous un angle fini ; ce qui peut arriver dans deux cas :

1^o Si cet arc est lui-même fini ; on a alors tout le long de cet arc ${\frac {d\varphi }{dr}}=\infty ,$ ${\frac {dr}{d\varphi }}=0,$ $r={\text{const.}}\,;$ c’est-à-dire, que l’arc en question doit différer très peu d’un arc de cercle ayant son pôle en $\mathrm {Q} .$

2^o Si cet arc passe très près du point $\mathrm {Q} ,$ c’est-à-dire si ce point est très voisin du bord de l’écran.

Toutes les fois qu’il n’en sera pas ainsi, l’intégrale $\mathrm {J}$ sera négligeable et nous n’aurons pas d’autres phénomènes que ceux prévus par la théorie géométrique des ombres.

90. Cherchons donc dans quels cas ${\frac {d\varphi }{dr}}$ est infini. Nous avons trouvé au n^o 86

$r\,dr=a\left(a+b\right)\sin \theta \,d\theta \,;$

nous en déduisons

(10)

${\frac {d\varphi }{dr}}={\frac {1}{a\left(a+b\right)}}{\frac {r}{\sin \theta }}{\frac {d\varphi }{d\theta }}\cdot$

Cette égalité nous montre que ${\frac {d\varphi }{dr}}$ pourra devenir infini dans deux cas : 1^o si $\sin \theta$ est très petit : 2^o si ${\frac {d\varphi }{d\theta }}$ est infini.

Considérons le premier cas. L’angle $\theta$ étant très petit, un
Fig. 10. arc du contour de l’écran est très voisin du point $\mathrm {Q}$ et l’on peut confondre la portion de la sphère qui contient cet arc avec un plan passant par $\mathrm {Q} .$ En outre cet arc étant infiniment petit, on peut le considérer comme un élément d’une droite $\mathrm {AB}$ (fig. 10). La distance $\mathrm {MQ}$ du point $\mathrm {Q}$ à l’élément d’arc $\mathrm {M}$ est $a\theta ,$ $a$ étant le rayon de la sphère sur laquelle se trouve la portion considérée du contour de l’écran. En appelant $a\delta$ la plus courte distance $\mathrm {QC}$ du point $\mathrm {Q}$ à la droite $\mathrm {AB} ,$ et $\varphi$ l’angle de $\mathrm {QM}$ et $\mathrm {QC} ,$ nous avons

$a\theta \cos \varphi =a\delta$

ou

$\theta \cos \varphi =\delta .$

L’angle $\varphi$ que nous considérons ici ne diffère d’ailleurs que par une constante de l’angle désigné précédemment par la même lettre ; leurs différentielles auront donc la même valeur. En différentiant les deux membres de l’égalité précédente, nous trouvons

${\frac {d\theta }{d\varphi }}\cos \varphi -\theta \sin \varphi =0,$

nouvelle égalité qui nous montre que ${\frac {d\theta }{d\varphi }}$ est du même ordre que $\theta ,$ et par suite, que $\delta .$ Par conséquent ${\frac {d\theta }{d\varphi }}$ est de l’ordre de ${\frac {1}{\delta }}$ et ${\frac {d\varphi }{dr}},$ donné par la relation (10) est de l’ordre de ${\frac {r}{\delta ^{2}}}.$

Si le point $\mathrm {P}$ est à une distance finie $r$ de la sphère, ${\frac {d\varphi }{dr}}$ est de l’ordre de ${\frac {1}{\delta ^{2}}}$ et si l’on veut que cette dérivée soit du même ordre que ${\frac {1}{\lambda }}$ il faut que $\delta$ soit de l’ordre de ${\sqrt {\lambda }}.$ Si au contraire le point $\mathrm {P}$ est à une distance de la sphère de l’ordre de $\lambda ,$ il faudra que $\delta$ soit du même ordre que $\lambda$ pour que ${\frac {d\varphi }{dr}}$ soit un infiniment grand de l’ordre de ${\frac {1}{\lambda }}.$

La droite qui joint le point $\mathrm {P}$ à la source lumineuse devra donc rencontrer la sphère à une distance du contour de l’écran de l’ordre de $\lambda$ pour qu’il y ait en $\mathrm {P}$ un éclairement anormal ; la région dans laquelle doit se trouver le point $\mathrm {P}$ est alors trop petite pour être observable. On ne pourra observer d’anomalies dans l’éclairement de $\mathrm {P}$ que lorsqu’il sera une distance finie de la sphère.

Ainsi, sur une sphère concentrique à $\mathrm {S} ,$ et de rayon $a+b,$ $b$ étant fini, la région occupée par les franges de diffraction est de même ordre de grandeur que ${\sqrt {\lambda }}.$ Sur la sphère $\mathrm {S}$ elle-même, cette région est du même ordre de grandeur que $\lambda .$

91. Examinons le second cas dans lequel ${\frac {d\varphi }{dr}}$ est une quantité infiniment grande ; ${\frac {d\varphi }{d\theta }}$ étant infini, ${\frac {d\theta }{d\varphi }}$ doit être infiniment petit. Si donc ${\frac {r}{\sin \theta }}$ est une quantité finie, il faudra, pour que ${\frac {d\varphi }{dr}}$ soit de l’ordre de ${\frac {1}{\lambda }},$ que ${\frac {d\theta }{d\varphi }}$ soit de l’ordre de $\lambda .$

Il faut en d’autres termes que $\theta$ soit une constante aux quantités près de l’ordre de $\lambda ,$ c’est-à-dire qu’en négligeant les quantités de cet ordre, un arc fini du contour de l’écran puisse être regardé comme un arc de cercle ayant son centre en $\mathrm {Q} \,;$ la distance du point $\mathrm {Q}$ au centre de courbure moyen de cet arc doit donc être de l’ordre de $\lambda \,;$ il résulte de là que les points éclairés d’une manière anormale sont tous contenus à l’intérieur d’un cercle dont le rayon est de l’ordre de $\lambda$ et que les phénomènes sont inobservables.

Il faut donc pour que l’observation soit possible que $\sin \theta$ et par conséquent le rayon de cet arc de cercle soit très petit.

Si ${\frac {\sin \theta }{r}}$ est une quantité de l’ordre de ${\sqrt {\lambda }}$ il suffira que ${\frac {d\theta }{d\varphi }}$ et par suite la distance du point $\mathrm {Q}$ au centre de l’arc de cercle soit aussi du même ordre.

La région de l’espace dans laquelle le point $\mathrm {P}$ doit être situé pour présenter des phénomènes anormaux est alors suffisamment grande pour qu’on puisse observer ces phénomènes.

Remarquons que si le point $\mathrm {P}$ est situé sur la sphère, son éclairement sera déterminé par la théorie géométrique des ombres, ou du moins, l’observation sera impuissante à déceler une différence entre l’éclairement ainsi déterminé et l’éclairement réel.

On aura, en effet, quand le point $\mathrm {P}$ tend vers le point $\mathrm {Q} ,\;$ ${\frac {\sin \theta }{r}}={\frac {1}{a}},$ car, dans le triangle $\mathrm {MOP} ,$ on a

${\frac {\sin \theta }{r}}={\frac {\sin \mathrm {OMP} }{a}}$

et à la limite l’angle $\mathrm {OMP}$ est droit. Puisque ${\frac {\sin \theta }{r}}$ est fini il arrivera encore, d’après ce que nous venons de voir, que les phénomènes ne seront pas observables.

92. Nous allons montrer maintenant que la condition de transversalité

$\Theta _{0}=\xi '_{0}+\eta '_{0}+\eta '_{0}=0$

est remplie pour les points $\mathrm {P}$ situés en dehors de la sphère $\mathrm {S}$ ou sur cette sphère même.

En effet $\Theta _{0}$ satisfait à l’équation :

$\Delta \Theta _{0}+\alpha ^{2}\Theta _{0}=0.$

Nous avons donc à l’extérieur de la sphère $\mathrm {S}$ d’après le n^o 81

$\Theta _{0}=-\int {\frac {\Theta _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega +\int {\frac {1}{4\pi }}{\frac {d\Theta _{0}}{dn}}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

les intégrales du second membre étant étendues à tous les éléments $d\omega$ de la sphère $\mathrm {S} .$

Or, nous avons vu que, si on laisse de côté la région où il y a des franges de diffraction, les phénomènes sont les mêmes que dans la théorie géométrique des ombres ; en d’autres termes, l’éclairement est nul en certains points et en d’autres il est le même que s’il n’y avait pas d’écran. Dans les deux cas $\Theta _{0}$ et ${\frac {d\Theta _{0}}{dn}}$ sont nuls.

Il suffira donc, avec le degré d’approximation adopté, d’étendre les intégrales du second membre à la région de la sphère $\mathrm {S}$ occupée par les franges ; or nous avons vu que cette région est de l’ordre de $\lambda .$ Les intégrales du second membre sont donc négligeables ; et par conséquent il en est de même de $\Theta _{0}.$

En résumé, les intégrales (4) satisfont bien aux conditions A, B, C et D et il ne peut y avoir d’éclairement anormal que si le point $\mathrm {P}$ est très voisin du bord de l’ombre géométrique.

93. Simplification des expressions $\xi _{0}\,\eta _{0}\,\zeta _{0}.$ Nous avons vu que, si le point $\mathrm {Q}$ est à une distance finie des bords d’un écran, l’éclairement du point $\mathrm {P}$ est le même que dans la théorie des ombres, et en second lieu que l’éclairement est modifié si le point $\mathrm {Q}$ est à une distance de l’écran de l’ordre de ${\sqrt {\lambda }}.$ L’éclairement d’un point ne dépend donc guère que des portions de la sphère qui sont voisines du point $\mathrm {Q} .$ Ce point est appelé le pôle du point $\mathrm {P} .$ Nous allons profiter de cette remarque pour simplifier les valeurs de $\xi _{0}$ $\eta _{0}$ $\zeta _{0}$ données par les intégrales (4).

Prenons la première de ces intégrales.

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} _{2}\,d\omega {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha +i\alpha \cos \psi -{\frac {\cos \psi }{r}}\right)\cdot$

Puisque les parties de cette intégrale qui ne sont pas négligeables sont celles qui correspondent aux points très voisins du pôle $\mathrm {Q}$ du point éclairé $\mathrm {P} ,$ nous n’étendrons l’intégrale qu’à ces points, et nous pourrons considérer $\mathrm {X} _{2}$ et $\psi$ comme des constantes. Comme en outre $\alpha$ est une quantité très grande et que $r$ doit être fini pour que les phénomènes de diffraction soient observables, nous pouvons dans la quantité placée sous le signe d’intégration négliger le terme ${\frac {\cos \psi }{r}}$ par rapport aux deux autres termes $i\alpha$ et $i\alpha \cos \psi .$ En faisant cette simplification et en mettant les termes considérés comme constants en dehors de l’intégrale, nous avons

$\xi _{0}=\mathrm {X} _{2}i\alpha \left(1+\cos \psi \right)\int {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega .$

On sait d’ailleurs (84) que

$\mathrm {X} _{2}=-{\frac {\xi _{1}}{4\pi }}\,;$

par conséquent, en remplaçant, dans l’expression de $\xi _{0},\mathrm {X} _{2}$ et $\cos \psi$ par les valeurs de ces quantités au pôle $\mathrm {Q} ,$ nous aurons

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha }{2\pi }}\,\xi _{1}\int {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}d\omega .$

La distance $r$ du point $\mathrm {P}$ aux points de la sphère qui avoisinent le pôle $\mathrm {Q}$ diffère très peu de la distance $\mathrm {PQ} =b,$ et, par suite, peut être mise en dehors de l’intégrale puisque cette intégrale n’est étendue qu’aux points voisins de $\mathrm {Q} .$ La valeur de $\xi _{0}$ deviendra

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha }{2\pi }}{\frac {\xi _{1}}{b}}\int e^{i\alpha r}\,d\omega .$

et enfin, par une dernière transformation,

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\pi b}}\int e^{i\alpha \left(r-b\right)}\,d\omega .$

94. Cherchons la valeur de cette dernière intégrale. Nous avons dans le triangle $\mathrm {MOP}$ (fig. 9),

$r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\cos \theta \,;$

et comme nous n’avons à considérer que des points voisins du pôle $\mathrm {Q}$ pour lesquels $\theta$ est très petit, nous pouvons remplacer $\cos \theta$ par les deux premiers termes $1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ de son développement ; nous aurons

$r^{2}=\left(a+b\right)^{2}+a^{2}-2a\left(a+b\right)\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\right),$

ou

$r^{2}=\left(a+b-a\right)^{2}+a\left(a+b\right)\theta ^{2}=b^{2}+a\left(a+b\right)\theta ^{2}.$

En désignant par $s$ l’arc de grand cercle $\mathrm {QM}$ compris entre un point $\mathrm {M}$ de la sphère et le pôle $\mathrm {Q} ,$ nous aurons,

$\theta ={\frac {s}{a}}\,;$

et en portant cette valeur de $\theta$ dans l’expression de $r^{2},$ il viendra

$r^{2}=b^{2}+{\frac {a+b}{a}}s^{2}.$

On tire de là,

$r-b={\frac {a+b}{a\left(r+b\right)}}s^{2}.$

Mais $r$ différant très peu de $b,$ on peut remplacer $r+b$ par $2b,$ de sorte que l’on a

$r-b={\frac {a+b}{2ab}}s^{2}.$

Cette valeur de $r-b$ portée dans l’expression de $\xi _{0},$ donne

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\pi b}}\int e^{i\alpha {\frac {a+b}{2ab}}s^{2}}\,d\omega .$

L’intégrale ne devant être étendue qu’aux portions de la sphère avoisinant le point $\mathrm {Q} ,$ on peut considérer ces portions comme situées dans le plan tangent à la sphère en $\mathrm {Q} .$ Prenons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires se coupant en $\mathrm {Q} .$ Dans ce système les coordonnées du point $\mathrm {M}$ seront les distances $l$ et $l'$ de ce point aux axes. Pour simplifier l’expression de $\xi _{0},$ nous définirons la position du point $\mathrm {M}$ par deux paramètres $u$ et $v$ tels que

$l=u{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}},\qquad \qquad l'=v{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}}\cdot$

On a alors,

$s^{2}=l^{2}+l'^{2}=\left(u^{2}+v^{2}\right){\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}},$

et

$d\omega =dl.dl'=du\,dv\,{\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}\cdot$

En portant ces valeurs de $s^{2}$ et de $d\omega$ dans l’expression de $\xi _{0},$ nous aurons après simplifications,

$\xi _{0}=-{\frac {i\alpha \xi _{1}a\lambda e^{i\alpha b}}{4\pi \left(a+b\right)}}\int e^{{\frac {1}{4}}i\alpha \lambda \left(u^{2}+v^{2}\right)}\,du\,dv,$

et comme nous avons posé $\alpha ={\frac {2\pi }{\lambda }},$ nous obtenons en remplaçant $\alpha$ par cette valeur

(11)

$\xi _{0}=-{\frac {ia\xi _{1}e^{i\alpha b}}{2\left(a+b\right)}}\int e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}du\,dv.$

95. Intensité lumineuse en un point. — D’après ce que nous avons dit au n^o 76, la composante suivant l’axe des $x$ du déplacement d’un point $\mathrm {P}$ situé en dehors de la sphère $\mathrm {S} ,$ est

$\xi =\;\,$ partie réelle de $\;\xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

où $\xi _{0}$ est remplacée par l’expression (11) que nous venons de trouver. Nous aurions pour les deux autres composantes les quantités

$\eta =\;\,$ partie réelle de $\;\eta _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

$\zeta =\;\,$ partie réelle de $\;\zeta _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t},$

$\eta _{0}$ et $\zeta _{0}$ se déduisant de $\xi _{0}$ en remplaçant dans l’expression (11) $\xi _{1}$ par $\eta _{1}$ ou $\zeta _{1}.$ L’intensité lumineuse au point $\mathrm {P}$ sera donc proportionnelle à

$\rho \left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\zeta }{dt}}\right)^{2}\right]\,;$

or, on a

${\frac {d\xi }{dt}}=\;\,$ partie réelle de $\;\left(-i\alpha \mathrm {V} \xi _{0}e^{-i\alpha \mathrm {V} t}+e^{-i\alpha \mathrm {V} t}{\frac {d\xi _{0}}{dt}}\right)$

et deux expressions analogues pour ${\frac {d\eta }{dt}}$ et ${\frac {d\zeta }{dt}}.$ Par conséquent l’intensité est proportionnelle à la somme des carrés des modules des trois quantités analogues à

$\left(-i\alpha \mathrm {V} \xi _{0}+{\frac {d\xi _{0}}{dt}}\right).$

Mais dans la valeur (11) de $\xi _{0}$ la seule quantité qui dépende du temps est $\xi _{1},$ de sorte que l’intensité est égale à la somme des carrés des modules de trois quantités dont la première est

(1)

$\left(-i\alpha \mathrm {V} \xi _{1}+{\frac {d\xi _{1}}{dt}}\right){\frac {iae^{i\alpha b}}{2(a+b)}}\int e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}du\,dv,$

et dont les deux autres se déduisent de celle-ci en remplaçant $\xi _{1}$ par $\eta _{1}$ et $\zeta _{1}.$

Les phénomènes de diffraction s’observant dans un plan, nous avons à considérer l’intensité relative de points situés dans un même plan. Ces points étant toujours voisins entre eux et à une certaine distance de l’écran, nous pouvons admettre que les distances $b$ de chacun d’eux à la sphère qui contient l’écran sont les mêmes. Il en résulte que, dans chacun des termes (1) dont la somme des carrés est proportionnelle à l’intensité, le facteur ${\frac {iae^{i\alpha b}}{2(a+b)}}$ est le même pour ces points, si toutefois on ne considère que la lumière homogène. En outre, comme ces points sont vus au même instant et que les valeurs de $\xi _{1}$ $\eta _{1}$ $\zeta _{1}$ varient peu quand on passe d’un point de la sphère $\mathrm {S}$ à un point voisin, le facteur $\left(-i\alpha \mathrm {V} \xi _{1}+{\frac {d\xi _{1}}{dt}}\right)$ aura sensiblement la même valeur. L’intensité relative de la lumière aux différents points observés sera donc proportionnelle, au même instant, au carré du module de l’intégrale,

(2)

$\int e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}du\,dv,$

qui se trouve en facteur dans le terme (1) et les deux qui s’en déduisent. Il nous suffira donc pour avoir l’intensité lumineuse aux divers points du plan où se font les observations, d’étudier les variations du module de cette intégrale.

96. Expression de l’intégrale (2) dans le cas d’une fente à bords parallèles. — Nous supposerons que l’un des axes auxquels correspondent les paramètres $u$ et $v$ est parallèle aux bords de la fente ; ce sera l’axe des $u,$ par exemple. Si on se reporte à la relation

$\delta =u{\sqrt {\frac {ab\lambda }{2\left(a+b\right)}}},$

qui lie le paramètre $u$ à la distance $\delta$ d’un point du plan des $uv$ à l’axe des $v,$ on voit que $u$ est de l’ordre de ${\frac {\delta }{\sqrt {\lambda }}}\cdot$ La fente ayant une longueur, sinon illimitée, du moins très grande par rapport aux quantités de l’ordre de ${\sqrt {\lambda }},$ les valeurs de $u$ seront toujours très grandes pour les points qui sont observés. Par conséquent, on peut dans l’intégrale (2) regarder les limites de $u$ comme infinies. Nous désignerons par $v_{1}$ et $v_{2}$ les limites de $v$ qui ont en général des valeurs finies, la largeur de la fente étant petite. Nous pouvons mettre cette intégrale dont les limites sont des constantes sous la forme

La première de ces intégrales a pour valeur $1+i$ dont le module est ${\sqrt {2}}\,;$ de sorte que nous n’avons à nous occuper que de la seconde qui devient, lorsqu’on y remplace l’exponentielle par les fonctions trigonométriques,

(3)

$\int _{+v_{1}}^{+v_{2}}e^{\frac {i\pi v^{2}}{2}}\,dv=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv+i\int _{v_{1}}^{v_{2}}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv.$

97. Représentation graphique de l’intégrale (3). — Les deux intégrales du second membre sont connues sous le nom d’intégrales de Fresnel ; nous allons les étudier. Pour simplifier les calculs, nous supposerons nulle la limite inférieure de ces intégrales ; il sera facile ensuite de passer au cas général où les limites sont quelconques en faisant la somme algébrique de deux intégrales dont une des limites est $0.$

Posons donc

${\begin{aligned}x&=\int _{0}^{v}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv,\\[1.5ex]y&=\int _{0}^{v}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv,\\\end{aligned}}$

et construisons la courbe lieu des points de coordonnées $x$ et $y.$ Elle passe par l’origine des coordonnées, car on a $x=y=0$ pour $v=0.$ Si on change $v$ en $-v,$ l’élément des intégrales ne change pas, mais la limite supérieure change de signe et $x$ et $y$ changent à la fois de signe ; l’origine est donc un centre de symétrie de la courbe.

Prenons les différentielles de $x$ et de $y,$ nous avons

$dx=\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}dv,\qquad \qquad dy=\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}dv.$

En élevant au carré et additionnant, nous obtenons

$dx^{2}+dy^{2}=ds^{2}=dv^{2}\,;$

donc

$ds=dv,$

$ds$ étant un élément d’arc de la courbe. En intégrant les deux membres de cette égalité et en prenant $0$ pour constante d’intégration, ce qui revient à compter les arcs à partir de l’origine puisque $x=y=0$ pour $v=0,$ on a

$s=v.$

Le rapport de ${\frac {dy}{dx}}$ donne la tangente de l’angle formé par l’axe des $x$ et la tangente à la courbe au point $x,y\,;$ en désignant par $\alpha$ cet angle on a

(4)

$\alpha ={\frac {\pi }{2}}v^{2}.$

Le rayon de courbure en un point est donné par

${\frac {ds}{d\alpha }}={\frac {dv}{\pi \,v\,dv}}={\frac {1}{\pi v}}\,;$

à l’origine, c’est-à-dire pour $v=0,$ le rayon de courbure est
Fig. 11. infini et comme $\alpha$ est nul en même temps que $v$ l’axe des $x$ est une tangente d’inflexion au point $\mathrm {O}$ (fig. 11).

Pour construire la courbe nous ferons varier $v$ de $0$ à l’infini ; l’angle $\alpha$ de la tangente à la courbe avec l’axe $Ox$ augmentera au delà de toute limite ; le rayon de courbure tendra vers $0.$ Nous aurons donc une courbe en forme de colimaçon avec un point asymptotique. Cherchons les coordonnées de ce point $\mathrm {A} .$ Pour cela cherchons la valeur de l’intégrale

$\int _{0}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv.$

On sait que l’on a

$\int _{0}^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Si nous posons

$z^{2}=-{\frac {i\pi }{2}}v^{2},$

nous avons,

$z=v{\sqrt {\frac {-i\pi }{2}}},\qquad \qquad dz=dv{\sqrt {\frac {-i\pi }{2}}}.$

Par conséquent, nous aurons pour l’intégrale cherchée,

$\int _{0}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {-{\frac {2}{i\pi }}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2i}}={\frac {1+i}{2}}\,;$

or

$\int _{0}^{v}e^{\frac {i\pi v^{2}}{2}}\,dv=x+iy,$

donc, pour $v=\infty ,$ nous avons

$x={\frac {1}{2}},\qquad \qquad y={\frac {1}{2}}\cdot$

Telles sont les coordonnées du point asymptotique $\mathrm {A} .$ On obtiendra la partie de la courbe correspondant à des valeurs négatives de $v$ par symétrie.

98. Pour mieux définir la courbe nous pouvons chercher la manière dont varie la distance $\mathrm {AM}$ du point asymptotique $\mathrm {A}$ à un point quelconque $\mathrm {M}$ de la partie de la courbe qui correspond aux valeurs positives de $v.$

Soit $v$ la valeur du paramètre qui correspond à ce point, ses coordonnées seront

$x=\int _{0}^{v}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv,\qquad \qquad y=\int _{0}^{v}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv.$

Transportons l’origine des axes de coordonnées au point $\mathrm {M} \,;$ l’abscisse du point asymptotique $\mathrm {A}$ par rapport à ces nouveaux axes sera égale à son abscisse par rapport aux anciens axes diminuée de l’abscisse du point $\mathrm {M} ,$ c’est-à-dire

$\int _{0}^{\infty }\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv-\int _{0}^{v}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv=\int _{v}^{\infty }\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv.$

L’ordonnée du point $\mathrm {A}$ par rapport aux nouveaux axes s’obtiendra de la même manière et on aura,

$\int _{v}^{\infty }\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\,dv.$

Les coordonnées du point asymptotique par rapport aux axes passant par $\mathrm {M}$ seront donc données par la partie réelle et la partie imaginaire de l’intégrale

(5)

$\mathrm {J} =\int _{v}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}dv.$

Nous allons chercher une autre expression de $\mathrm {J} .$ Pour cela, nous nous servirons encore de l’intégrale

$\int _{0}^{\infty }e^{-z^{2}}dz={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Si nous posons

$z=vw$

où $v$ est supposé positif, nous aurons,

$\int _{0}^{\infty }e^{-v^{2}w^{2}}v\,dw={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Le produit de cette intégrale par l’intégrale (5) donnera

$\int _{v}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}v\,dv\,dw={\frac {\mathrm {J} }{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Intégrons l’intégrale double du premier membre par rapport à $v,$ nous aurons

$\int _{v}^{\infty }e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}v\,dv={\frac {1}{i\pi -2w^{2}}}\int _{v}^{\infty }de^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)},$

ou

$\int _{v}^{\infty }e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}v\,dv=-{\frac {1}{i\pi -2w^{2}}}e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}.$

L’intégrale double devient donc

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{v^{2}\left({\frac {i\pi }{2}}-w^{2}\right)}}{2w^{2}-i\pi }}\,dw=e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-v^{2}w^{2}}}{2w-i\pi }}dw={\frac {\mathrm {J} }{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Nous en déduisons une nouvelle expression de $\mathrm {J}$ qui nous montre que les coordonnées du point $\mathrm {A}$ par rapport aux axes menés par $\mathrm {M}$ parallèlement aux axes $Ox$ et $Oy$ sont les parties réelle et imaginaire de

(6)

$\mathrm {J} ={\frac {e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-v^{2}w^{2}}}{2w^{2}-i\pi }}\,dw.$

99. Si maintenant nous faisons tourner les axes autour du point $\mathrm {M}$ d’un angle égal à ${\frac {\pi }{2}}v^{2},$ c’est-à-dire d’après la relation (4), d’un angle égal à celui que fait la tangente à la courbe en $\mathrm {M}$ avec l’axe $Ox,$ nous aurons un nouveau système d’axes formé par la tangente et la normale à la courbe au point $\mathrm {M} .$ Désignons par $x'$ et $y'$ les coordonnées d’un point dans ce nouveau système, et par $x_{1}$ et $y_{1},$ les coordonnées du même point dans le système d’axes parallèles à $Ox$ et $oy$ et passant par $\mathrm {M} .$ Nous aurons les formules de transformation

${\begin{aligned}x'&=x_{1}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}+y_{1}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}},\\[1.5ex]y'&=y_{1}\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}-x_{1}\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\cdot \\\end{aligned}}$

En multipliant la seconde par $i$ et en additionnant le résultat avec la première nous obtenons

$x'+iy'=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}-\left(ix_{1}-y_{1}\right)\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}$

ou

$x'+iy'=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(\cos {\frac {\pi v^{2}}{2}}-i\sin {\frac {\pi v^{2}}{2}}\right)$

ou enfin

$x'+iy'=\left(x_{1}+iy_{1}\right)e^{-{\frac {i\pi v^{2}}{2}}}$

Cette dernière relation nous montre que l’imaginaire $x'+iy'$ dans le nouveau système d’axes est égale à sa valeur $x_{1}+iy_{1}$ dans l’ancien, multipliée par le facteur $e^{-{\frac {i\pi v^{2}}{2}}}.$ Or, pour le point asymptotique $\mathrm {A} ,$ on a

$x_{1}+iy_{1}=\mathrm {J} ,$

par suite on aura

$x'+iy'=\mathrm {J} e^{-{\frac {i\pi v^{2}}{2}}},$

et l’égalité (6) nous montre que

(7)

$x'+iy'=\int _{0}^{\infty }{\frac {2e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(2w^{2}-i\pi \right)}}\,dw.$

En multipliant les deux termes de la fraction placée sous le signe d’intégration par la quantité imaginaire conjuguée du dénominateur, nous obtenons

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\left(2w^{2}+i\pi \right)e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(4w^{4}+\pi ^{2}\right)}}\,dw$

La distance du point $\mathrm {A}$ à la normale en $\mathrm {M}$ qui est la partie réelle de cette intégrale, aura pour expression

$\int _{0}^{\infty }{\frac {4w^{2}e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(4w^{4}+\pi ^{2}\right)}}\,dw\,;$

et la distance à la tangente qui en est la partie imaginaire sera

$\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi e^{-v^{2}w^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\left(4w^{4}+\pi ^{2}\right)}}\,dw.$

Les éléments de chacune de ces deux dernières intégrales sont positifs et décroissent quand $v$ varie de $0$ à $\infty .$ Par conséquent les distances du point $\mathrm {A}$ à la normale et à la tangente en $\mathrm {M}$ sont toujours positives et décroissantes. Il en résulte que la distance $\mathrm {AM}$ va toujours en décroissant En effet, s’il en était autrement, cette distance présenterait un maximum ou un minimum. Au point correspondant à ce maximum ou à ce minimum, $\mathrm {AM}$ serait normal à la courbe et la distance du point $\mathrm {A}$ à la normale serait nulle, ce qui ne peut être d’après ce qui précède.

On peut voir que pour les points de la courbe voisins du point $\mathrm {A} ,$ la droite $\mathrm {AM}$ est sensiblement normale à la courbe. Pour ces points $v$ est très grand et l’exponentielle $e^{-v^{2}w^{2}}$ est très petite à moins que $w$ ne soit petit ; on pourra donc dans l’intégrale (7) négliger les éléments qui ne correspondent pas à une petite valeur de $w.$ Mais si $w$ est petit, le dénominateur $2w^{2}-i\pi$ se réduit sensiblement à $-i\pi ,$ de sorte que la valeur de $x'+iy'$ est approximativement

${\frac {2i}{\pi {\sqrt {\pi }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-v^{2}w^{2}}\,dw={\frac {2i}{\pi {\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{v}}={\frac {i}{\pi v}}\cdot$

La partie réelle étant nulle, la distance du point $\mathrm {A}$ à la normale est nulle, c’est-à-dire que $\mathrm {AM}$ est sensiblement normale. La valeur de $\mathrm {AM}$ est approximativement ${\frac {1}{\pi v}}\cdot$

La forme de la courbe est alors suffisamment bien déterminée.

100. Diffraction produite par une fente étroite. — Nous avons vu au n^o 96 que l’intensité lumineuse en un point extérieur est proportionnelle au carré du module de l’intégrale

$\int _{v_{1}}^{v_{2}}e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv.$

Le module de cette intégrale est égal à la différence géométrique des modules des intégrales

$\int _{0}^{v_{2}}e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv,\qquad \qquad \int _{0}^{v_{1}}e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv.$

Si $\mathrm {M_{1}}$ (fig. 12) est le point de la courbe représentative qui correspond à
Fig. 12. à $v_{1},$ $\mathrm {M_{2}}$ celui qui correspond à $v_{2},$ les modules de ces intégrales seront $\mathrm {OM} _{1}$ et $\mathrm {OM} _{2}\,;$ leur différence géométrique est $\mathrm {M_{1}M_{2}} .$

Si on considère un point $\mathrm {P}$ éclairé par une fente, les quantités $v_{1}$ et $v_{2}$ sont proportionnelles aux distances qui séparent son pôle $\mathrm {Q}$ des bords de la fente ; comme la largeur de la fente est constante, la différence $v_{1}-v_{2}$ a toujours la même valeur quel que soit le point $\mathrm {P}$ considéré dans le plan d’observation. Or, nous avons vu que $v_{1}$ et $v_{2}$ sont égaux aux longueurs des arcs de courbes $\mathrm {OM} _{1}$ et $\mathrm {OM} _{2}\,;$ par conséquent l’arc $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ a toujours la même longueur. Nous devrons donc, pour avoir les variations de
Fig. 13. l’intensité lumineuse aux différents points du plan d’observation, chercher les variations de la longueur d’une corde $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ sous-tendant des arcs égaux. Pour qu’il y ait maximum ou minimum, il faut que le triangle formé par la
Fig. 14. corde et les tangentes $\mathrm {M_{1}T}$ et $\mathrm {M_{2}T}$ (fig. 13) soit isocèle, ou bien que les tangentes aux extrémités soient parallèles et de même sens (fig. 14). Nous aurons ainsi deux catégories de maxima et de minima. Pour la seconde catégorie on devra avoir

${\frac {\pi }{2}}v_{2}^{2}={\frac {\pi }{2}}v_{1}^{2}+2\mathrm {K} \pi ,$

${\frac {\pi }{2}}v^{2}$ étant l’angle formé par la tangente en un point avec l’axe des $x.$ Cette égalité nous donne

$v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=4\mathrm {K}$

ou

$v_{2}+v_{1}={\frac {4\mathrm {K} }{l}},$

en posant

$l=v_{2}-v_{1}.$

Quant aux maxima et minima de la première catégorie, leur recherche est très compliquée.

101. Diffraction par le bord d’un écran. — Dans ce cas, la limite $v_{2}$ de l’intégrale (3) du §96 est infinie et l’intensité lumineuse en un point $\mathrm {P}$ est proportionnelle au carré du module de

$\int _{v_{1}}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv.$

Si $\mathrm {M} _{1}$ est le point correspondant à $v_{1}$ ce module est égal à la longueur $\mathrm {AM} _{1}$ de la droite qui joint le point asymptotique $\mathrm {A}$ au point $\mathrm {M_{1}} .$

Quand le point $\mathrm {P}$ est à l’intérieur de l’ombre géométrique,
Fig. 15. son pôle $\mathrm {Q}$ est sur l’écran ; par conséquent la limite inférieure $v_{1}$ de l’intégrale précédente est positive et le point $\mathrm {M_{1}}$ qui lui correspond est sur la partie de la courbe située du même côté que $\mathrm {A}$ (fig. 15). L’intensité va donc en décroissant très rapidement dès qu’on s’écarte du bord de l’ombre géométrique sans présenter ni maximum ni minimum.

$\mathrm {AM}$ étant approximativement égal à ${\frac {1}{\pi v}},$ le carré du module de notre intégrale est égal ${\frac {1}{\pi ^{2}v^{2}}}.$

Par conséquent du côté de l’ombre géométrique, l’intensité lumineuse varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance au bord de cette ombre.

Si le point $\mathrm {P}$ est en dehors de l’ombre géométrique, son pôle $\mathrm {Q}$ est en dehors de l’écran ; la valeur limite $v_{1}$ est négative et le point $\mathrm {M_{1}}$ est sur la partie de la courbe située au-dessous de l’axe des $x.$ La droite $\mathrm {AM} _{1}$ et par suite l’intensité en $\mathrm {P} ,$ présenteront une succession de maximum et de minimum ;
Fig. 16. on aura des franges. Les maxima et minima de $\mathrm {AM} _{1}$ correspondent aux points où cette droite est normale à la courbe. Quand le point $\mathrm {M_{1}}$ est voisin de $\mathrm {A} '$ les normales à la courbe qui passent par $\mathrm {A}$ différent peu de la droite $\mathrm {AA} '.$ Cette droite faisant avec $ox$ un angle égal à ${\frac {\pi }{4}},$ la tangente en un point correspondant à un maximum ou un minimum fait avec $Ox$ un angle donné par la formule

$-{\frac {\pi }{4}}+\mathrm {K} \pi .$

Cet angle ayant pour valeur en fonction de $v,$ ${\frac {\pi }{2}}v^{2},$ nous aurons l’égalité

${\frac {\pi }{2}}v^{2}=-{\frac {\pi }{4}}+\mathrm {K} \pi$

qui donnera pour $v^{2}$

$v^{2}=2\mathrm {K} -{\frac {1}{2}}\cdot$

Telle est la formule qui donne approximativement les valeurs de $v^{2}$ correspondant aux maxima et minima.

Soient $\mathrm {M} _{1}$ et $\mathrm {M} _{2}$ deux points correspondant à un maximum et à un minimum consécutifs. La différence d’intensité sera

$\mathrm {AM} _{1}^{2}-\mathrm {AM} _{2}^{2}.$

Si le maximum est d’ordre élevé, les points $\mathrm {M_{1}}$ et $\mathrm {M_{2}}$ seront très voisins l’un de l’autre et seront sensiblement sur la droite $\mathrm {AA} ',$ on aura alors sensiblement

$\mathrm {AM} _{1}+\mathrm {AM} _{2}=2\mathrm {AA} '$

$\mathrm {AM} _{1}-\mathrm {AM} _{2}=\mathrm {A'M} _{1}+\mathrm {A'M} _{2}={\frac {1}{\pi v_{1}}}+{\frac {1}{\pi v_{2}}}$

$v_{1}$ et $v_{2}$ étant les valeurs de $v$ qui correspondent à $\mathrm {M_{1}}$ et à $\mathrm {M_{2}} .$ La différence d’intensité sera donc

$2\mathrm {AA'} \left({\frac {1}{v_{1}}}+{\frac {1}{v_{2}}}\right),$

ce qui montre que la différence entre un maximum et un minimum consécutifs varie sensiblement en raison inverse de la distance au bord de l’ombre géométrique.

102. Diffraction par un petit écran circulaire. — Supposons qu’un petit écran circulaire occupe une partie de la sphère $\mathrm {S} .$ Pour avoir les variations de l’intensité lumineuse aux différents points d’un plan situé à une distance $b$ du centre de l’écran, nous devrons comme précédemment étudier les variations de l’intégrale

(1)

$\iint e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}\,du\,dv,$

étendue à tous les points du plan tangent à la sphère en $\mathrm {Q} ,$ qui sont en dehors de l’écran.

Cherchons en particulier l’éclairement en un point situé sur la droite qui joint la source lumineuse au centre de l’écran ; le pôle du point considéré se trouve alors au centre de l’écran. Posons

$u=\rho \cos \varphi ,\qquad \qquad v=\rho \sin \varphi .$

On aura

$\rho ^{2}=u^{2}+v^{2}$

et comme $u$ et $v$ sont proportionnels aux distances d’un point du plan tangent en $\mathrm {Q}$ à deux axes rectangulaires passant par $\mathrm {Q} ,\rho$ sera proportionnel à la distance de ce point à $\mathrm {Q} .$ Par conséquent, si nous prenons comme coordonnées $\rho$ et $\varphi ,$ les bords de l’écran auront pour $\rho$ une valeur constante $a.$ Le produit $du\,dv$ proportionnel à la surface d’un élément devient dans ce système de coordonnées $\rho \,d\rho \,d\varphi \,;$ par conséquent l’intégrale qui donne l’intensité est

(2)

$\int _{a}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\rho \,d\rho \,d\varphi .$

En intégrant par rapport à $\varphi ,$ on a :

(3)

$2\pi \int _{a}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\rho \,d\rho ;$

et en faisant l’intégration par rapport à $\rho ,$ on obtient

$2\pi \left[{\frac {1}{i\pi }}e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\right]_{a}^{\infty }=-2i\left[e^{{\frac {i\pi }{2}}\rho ^{2}}\right]_{a}^{\infty }$

Pour la limite $\rho =\infty ,$ la valeur de l’exponentielle imaginaire est indéterminée. Nous prendrons pour cette valeur zéro, car nos formules ne s’appliquent qu’au cas où $\rho$ est petit et les éléments de l’intégrale (3) qui correspondent à des valeurs très grandes de $\rho$ ne doivent pas être considérés. Nous aurons donc simplement

$\iint e^{{\frac {i\pi }{2}}\left(u^{2}+v^{2}\right)}\,du\,dv=2ie^{{\frac {i\pi }{2}}a^{2}}$

Le module de cette dernière exponentielle est $2.$ L’intensité lumineuse au point considéré est donc indépendante de $a,$ et par suite, du rayon de l’écran ; elle a la même valeur que si $a=0,$ c’est-à-dire que si l’écran n’existait pas.

Cette conséquence des formules de diffraction a été trouvée par Poisson. Fresnel a vérifié expérimentalement la présence de ce point lumineux au centre de l’ombre géométrique donnée par un petit écran circulaire.

On conçoit facilement que ce phénomène ne se produise qu’avec un petit écran, car, dans le cas contraire, nos formules ne s’appliquent plus. En effet nous avons vu (95) que l’intensité en un point dépend des valeurs de $\xi _{1}$ et de ${\frac {d\xi _{1}}{dt}}$ aux divers points de la sphère $\mathrm {S} ,$ valeurs que nous avons supposées constantes ; ce qui ne peut être que si nous ne considérons qu’une très petite portion de la sphère $\mathrm {S} .$

103. Diffraction par une petite ouverture circulaire. — Dans ce cas, les limites de l’intégrale (3) du paragraphe précédent sont $\mathrm {O}$ et $a.$ Nous avons donc pour l’intensité en un point dont le pôle occupe le centre de l’ouverture, une quantité proportionnelle au module de

$2i\left(1-e^{{\frac {i\pi }{2}}a^{2}}\right)$

Le module du premier facteur est $2,$ celui du second facteur varie de $0$ à $2$ avec la valeur de $a.$ Ce module est nul pour $a^{2}=4\mathrm {K} ,$ $\mathrm {K}$ étant un entier ; il est égal à $2$ pour $a^{2}=4\mathrm {K} +2.$ Nous aurons donc en un même point de l’espace de l’obscurité ou de la lumière suivant le rayon de l’ouverture. Autour de ce point, on aura des franges qui par raison de symétrie devront être circulaires.

104. Diffraction en lumière parallèle. — Un cas particulièrement intéressant de la diffraction est celui où l’on observe les phénomènes à une grande distance d’un écran placé très loin de la source lumineuse. Nous pourrons alors considérer le rayon de la sphère contenant l’écran comme infini, et cette sphère deviendra un plan.

Soit $\mathrm {P}$ (fig.17) un point de l’espace ; l’une des composantes
Fig. 17. du déplacement de ce point sera la partie réelle de

$\xi =e^{-i\alpha \mathrm {V} t}\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$
$\mathrm {X}$ étant une fonction du déplacement $\xi _{1}$ d’un point du plan $\mathrm {R}$, et l’intégrale étant étendue à tous les points de ce plan. Nous avons vu que quand l’écran n’était pas très éloigné de la source lumineuse, la portion de la sphère voisine du pôle du point $\mathrm {P}$ avait seule de l’influence sur l’éclairement de ce point. Il en sera de même quand le rayon de la sphère deviendra infini et nous n’aurons encore à considérer dans la recherche de l’éclairement du point $\mathrm {P}$ que les points du plan $\mathrm {R}$ voisins du pied de la perpendiculaire abaissée de $\mathrm {P}$ sur le plan. Nous

pourrons donc supposer que la fonction $\mathrm {X}$ a une valeur constante et la faire sortir du signe d’intégration. En outre, le point $\mathrm {P}$ étant supposé éloigné du plan, ses distances $\mathrm {PO}$ et $\mathrm {PM}$ à deux points voisins $\mathrm {M}$ et $\mathrm {O}$ différeront peu l’une de l’autre, et nous pourrons considérer le facteur ${\frac {1}{r}}$ comme ayant la même valeur pour tous les éléments de l’intégrale qui ne sont pas négligeables. Nous aurons donc pour cette intégrale

$\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ={\frac {\mathrm {X} }{r}}\int e^{i\alpha r}\,d\omega ={\frac {\mathrm {X} e^{i\alpha r_{0}}}{r}}\int e^{i\alpha (r-r_{0})}\,d\omega ,$

en appelant $r_{0}$ la distance du point $\mathrm {P}$ à un point arbitraire $\mathrm {O}$ du plan $\mathrm {Q} .$

105. Par les mêmes considérations que celles que nous avons exposées au § 95 nous arriverions à montrer que l’intensité lumineuse des divers points d’un plan parallèle à $\mathrm {R}$ est proportionnelle au carré du module de l’intégrale

(1)

$\int e^{i\alpha (r-r_{0})}\,d\omega .$

Transformons cette intégrale. Du point $\mathrm {M}$ abaissons sur $\mathrm {OP}$ la perpendiculaire $\mathrm {MM'}$ et désignons par $\mathrm {P}$ l’angle $\mathrm {OPM}$ et par $r$ la distance $\mathrm {PM} \,;$ nous aurons

$\mathrm {PM} '=r\cos \mathrm {P} =r-r(1-\cos \mathrm {P} )=r-2r\sin ^{2}{\frac {\mathrm {P} }{2}}\cdot$

L’angle $\mathrm {P}$ est très petit puisqu’un ne considère que des points du plan $\mathrm {R}$ voisins l’un de l’autre ; par suite $\sin ^{2}{\frac {\mathrm {P} }{2}}$ est le carré d’une quantité très petite et quoique $r$ soit supposé très grand, le produit $2r\sin ^{2}{\frac {\mathrm {P} }{2}}$ sera négligeable. On aura $\mathrm {PM} '=r$ et $\mathrm {OM} '=r_{0}-r.$

Prenons dans le plan $\mathrm {R}$ deux axes de coordonnées rectangulaires passant par $\mathrm {O.}$ Si nous désignons par $x$ et $y$ les coordonnées de $\mathrm {M}$ et par $l$ et $m$ les cosinus de la direction $\mathrm {OP}$ avec les axes, nous aurons pour $\mathrm {OM} '$ qui est la projection de $\mathrm {OM}$ sur $\mathrm {OP,}$

$\mathrm {OM} '=lx+my$

et par conséquent,

$r_{0}-r=lx+my.$

En portant cette expression de $r_{0}-r$ dans l’intégrale (1), elle devient

$\int e^{-i\alpha (lx+my)}\,d\omega \,;$

mais comme nous n’avons à considérer que le carré du module de cette intégrale nous pouvons prendre

(2)

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

dont le module est le même.

106. Franges produites par une ouverture ayant un centre de symétrie. — En général les minima d’intensité lumineuse ne sont pas nuls, car le module de notre intégrale ne pourrait s’annuler que si la partie réelle et la partie imaginaire s’annulaient à la fois ce qui n’aura pas lieu en général : mais dans le cas de la diffraction produite par une ouverture ayant un centre de symétrie, ces minima sont égaux à zéro.

En effet, si nous supposons que le point $\mathrm {O}$ est le centre de symétrie de l’ouverture, l’intégrale

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

étendue à tous les points de l’ouverture, doit conserver la même valeur quand on change $x$ en $-x$ et $y$ en $-y.$ Par ce changement l’intégrale devient

$\int e^{-i\alpha (lx+my)}\,d\omega .$

La partie imaginaire de cette intégrale est de signe contraire à la partie imaginaire de l’intégrale précédente. Comme ces deux intégrales ont même valeur, la partie imaginaire est nulle et chacune d’elles se réduit à la partie réelle,

$\int \cos {\alpha (lx+my)}\,d\omega$

Cette intégrale est réelle et n’est généralement pas toujours de même signe. Il faut donc qu’elle s’annule, de sorte qu’en lumière homogène les minima d’intensité sont rigoureusement nuls.

107. Diffraction par des ouvertures semblables. — Désignons par $\delta$ l’angle de la direction $\mathrm {OP}$ (fig. 17) avec la perpendiculaire en $\mathrm {O}$ au plan de l’ouverture. Nous allons montrer que si on remplace cette ouverture par une ouverture semblable dont le rapport de similitude à la première est $\mathrm {K} ,$ le sinus de l’angle de déviation $\delta$ qui correspond à une même frange est divisé par $\mathrm {K} .$

Si $x$ et $y$ sont les coordonnées d’un point de la première ouverture, les coordonnées du point correspondant dans l’ouverture semblable seront $\mathrm {K} x$ et $\mathrm {K} y.$ L’intensité lumineuse en un point $\mathrm {P}$ auquel correspondent les cosinus directeurs $l$ et $m$ sera, dans le cas de la première ouverture, proportionnelle au carré du module de

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

et dans le cas de la seconde, au carré du module de

$\int e^{i\alpha \mathrm {K} (lx+my)}\mathrm {K} ^{2}\,d\omega .$

Si nous considérons un point $\mathrm {P} _{1}$ toujours situé à la même distance du plan $\mathrm {R,}$ mais dont les cosinus des angles avec les axes des $x$ et des $y$ sont ${\frac {l}{\mathrm {K} }}$ et ${\frac {m}{\mathrm {K} }},$ l’intensité lumineuse en ce point sera, avec la seconde ouverture, proportionnelle au carré du module de

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\mathrm {K} ^{2}\,d\omega .$

Cette intensité sera proportionnelle à l’intensité au point $\mathrm {P}$ supposé éclairé par la fente primitive et les maxima ou minima de ces intensités auront lieu en même temps. Cherchons le sinus de l’angle de déviation $\delta _{1}$ du point $\mathrm {P} _{1}.$ En appelant $\varphi$ l’angle du plan $\mathrm {POZ}$ avec le plan des $xz,$ on a,

$l=\sin \delta \cos \varphi \qquad \qquad m=\sin \delta \sin \varphi .$

Par suite

$\sin ^{2}\delta =l^{2}+m^{2}.$

Pour le point $\mathrm {P} _{1}$ on aura

$\sin ^{2}\delta _{1}={\frac {l^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}+{\frac {m^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}\cdot$

et par conséquent

$\sin ^{2}\delta _{1}={\frac {\sin ^{2}\delta }{\mathrm {K} ^{2}}}\cdot$

Cette égalité nous montre que si on remplace une ouverture par une seconde $\mathrm {K}$ fois plus grande, le sinus de l’angle de déviation correspondant à une même frange est divisé par $\mathrm {K} \,;$ le plan de diffraction sera d’ailleurs le même, puisque le rapport ${\frac {l}{m}}$ n’a pas varié.

Ainsi deux ouvertures semblables produiront des figures de diffraction semblables ; mais les dimensions de ces figures seront en raison inverse des dimensions des ouvertures.

108. Théorème de Bridge. — Lorsqu’un écran est percé de plusieurs ouvertures identiques et semblablement disposées, l’intensité en un point est égale à l’intensité résultant d’une seule ouverture multipliée par l’intensité due à un ensemble de points lumineux disposés dans le plan comme le sont les ouvertures.

L’intensité en un point $\mathrm {P}$ est proportionnelle au carré du module de l’intégrale

(1)

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega$

étendue à toutes les portions éclairées de l’écran. Cette intégrale sera la somme d’intégrales de même forme étendues à la surface de chacune des ouvertures. Ces ouvertures étant égales et semblablement disposées, si à un point de coordonnées $x$ et $y$ de l’une d’elles correspond un point de coordonnées $x+a$ et $y+b$ d’une autre, on aura tous les points de cette dernière en donnant à $x$ et $y$ toutes les valeurs que peuvent prendre ces quantités dans la première ouverture. Par conséquent le terme de l’intégrale (1) qui correspond à une ouverture quelconque est égal à

$\int e^{i\alpha (l(a+x)+m(b+y))}\,d\omega =e^{i\alpha (la+mb)}\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

ces intégrales étant étendues à toute la surface de l’une des ouvertures. L’intégrale (1) aura donc pour valeur le produit

$\left(1+e^{i\alpha (la+mb)}+\ldots \right)\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega$

que l’on peut écrire

$\Sigma e^{i\alpha (la+mb)}\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

l’unité s’obtenant en faisant $a=b=0.$

Le carré du module du premier facteur est proportionnel à l’intensité lumineuse due à $n$ points disposés dans le plan comme le sont les ouvertures de l’écran ; le carré du module de l’intégrale est proportionnel à l’intensité due à une seule ouverture. Le théorème de Bridge est donc démontré.

109. Théorème de Babinet. — Deux écrans complémentaires, c’est-à-dire tels qu’aux vides de l’un correspondent les pleins de l’autre, donnent en un point de l’espace le même éclairement, excepté si ce point est dans la direction de $oz.$

Désignons par $\mathrm {R}$ la portion éclairée du premier écran et par $\mathrm {R} '$ la portion éclairée du second. Puisqu’aux parties non éclairées du premier écran correspondent les parties éclairées du second, la somme des surfaces $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ doit être égale à tout le plan. L’intensité lumineuse en un point de l’espace sera, avec le premier écran, proportionnelle au carré du module de l’intégrale

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

étendue à toute la portion éclairée de l’écran. Avec le second écran, il faudra pour avoir l’intensité étendre cette intégrale à tous les points de la portion éclairée $\mathrm {R} '$ de l’écran. La somme de ces deux intégrales sera l’intégrale étendue à tout le plan, c’est-à-dire

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega .$

Le carré du module de cette intégrale représente l’éclairement dû à une très grande ouverture ; d’après ce que nous avons vu au sujet des ouvertures semblables, les angles de déviation sont d’autant plus petits que les dimensions de l’ouverture sont plus grandes. Pour une ouverture très grande les déviations seront très petites, c’est-à-dire qu’il n’y aura de lumière sensible que dans la direction de l’axe des $z.$

Cette intégrale est donc nulle pour tous les points de l’espace qui ne sont pas voisins de l’axe $oz.$ Par conséquent, pour tous ces points les intégrales qui servent à trouver l’intensité en un point ne diffèreront que par le signe et le carré de leur module aura la même valeur. L’intensité lumineuse est donc la même en ces points.

110. Diffraction par des ouvertures allongées. — Supposons qu’on remplace l’ouverture d’un écran par une autre obtenue en multipliant les ordonnées de chaque point de la première par la même quantité $\mathrm {K}$ sans changer les abscisses. Dans une telle transformation un carré devient un rectangle, un cercle devient une ellipse.

L’intensité lumineuse en un point de l’espace quand on prend la seconde ouverture est proportionnelle au carré du module de l’intégrale

$\int e^{i\alpha (lx+m\mathrm {K} y)}\mathrm {K} \,d\omega .$

Par conséquent l’intensité lumineuse donnée par la seconde ouverture en un point $\mathrm {P} _{1}$ auquel correspondent les cosinus $l$ et ${\frac {m}{\mathrm {K} }}$ sera égale à $\mathrm {K}$ fois l’intensité donnée par la première ouverture un point $\mathrm {P}$ tel que les cosinus directeurs de $\mathrm {OP}$ sont $l$ et $m.$

Si dans le plan passant par $\mathrm {P}$ et parallèle au plan $\mathrm {R}$ de la figure 17, nous menons des axes de coordonnées parallèles aux axes des $x$ et des $y$ tracés dans le plan $\mathrm {R} ,$ les coordonnées $x_{1}$ et $y_{1}$ de $\mathrm {P}$ par rapport à ces axes seront égales aux coordonnées de la projection de ce point sur le plan $\mathrm {R} .$ Les cosinus directeurs de la direction $\mathrm {OP}$ sont $l,$ $m$ et $\cos \delta \,;$ par conséquent, en désignant par $z$ la distance constante du point $\mathrm {P}$ au plan $\mathrm {R}$ on a

$x_{1}={\frac {lz}{\cos \delta }}\qquad \qquad y_{1}={\frac {mz}{\cos \delta }}$

ou, en remplaçant $\cos \delta$ par sa valeur en fonction de $l$ et de $m,$

$x_{1}={\frac {lz}{\sqrt {1-l^{2}-m^{2}}}}\qquad y_{1}={\frac {mz}{\sqrt {1-l^{2}-m^{2}}}}\cdot$

Par conséquent, quand on remplace une ouverture par une autre dont les ordonnées sont $\mathrm {K}$ fois plus grandes les coordonnées du point dont l’intensité est $\mathrm {K}$ fois celle que possédait le point $x_{1},y_{1}$ avec l’ouverture primitive sont :

$x'_{1}={\frac {lz}{\sqrt {1-l^{2}-{\dfrac {m^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}}}}\qquad y'_{1}={\frac {mz}{\mathrm {K} {\sqrt {1-l^{2}-{\dfrac {m^{2}}{\mathrm {K} ^{2}}}}}}}\cdot$

Ce point s’est donc rapproché de l’axe des $x_{1}.$

Les déviations sont généralement petites de telle sorte que nous pouvons négliger $l^{2}$ et $m^{2}$ et écrire :

${\begin{alignedat}{6}x_{1}&=lz,\qquad \qquad &y_{1}&=mz,\\[1.5ex]x'_{1}&=lz,\qquad \qquad &y'_{1}&={\frac {mz}{\mathrm {K} }}\cdot \\\end{alignedat}}$

ou

$x_{1}=x'_{1},\qquad \qquad y'_{1}={\frac {y_{1}}{\mathrm {K} }}\cdot$

L’abscisse du point qui correspond à un maximum d’intensité n’a donc pas changé pendant que l’ordonnée est devenue $\mathrm {K}$ fois plus petite. On déduira donc les nouvelles figures de diffraction des anciennes en multipliant les ordonnées de tous les points par ${\frac {1}{\mathrm {K} }}\cdot$

Supposons en particulier que l’ouverture primitive soit circulaire. Par raison de symétrie, les franges de diffraction seront aussi circulaires. Si nous multiplions les ordonnées des divers points de l’ouverture par $\mathrm {K} ,$ cette ouverture deviendra une ellipse. Pour obtenir les nouvelles franges de diffraction, il faut multiplier les ordonnées des anciennes franges par ${\frac {1}{\mathrm {K} }}\,;$ ces franges deviendront ainsi elliptiques.

Ainsi une ouverture elliptique produit des figures de diffraction qui sont aussi des ellipses. Ces ellipses sont semblables à l’ouverture mais inversement placées, le grand axe des franges elliptiques étant parallèle au petit axe de l’ouverture.

Si nous prenons une fente très allongée, les points où l’intensité est nulle seront très près de l’axe des $x_{1}$ car on peut considérer une telle fente comme résultant d’un carré dont on a multiplié le côté parallèle à l’axe des $y$ par un nombre très grand $\mathrm {K} .$ On n’observera donc de phénomènes de diffraction que dans le plan des $xz,$ c’est-à-dire, dans un plan perpendiculaire à la longueur de la fente.

111. Diffraction par une fente ou un écran rectangulaire. — Désignons par $2a$ et $2b$ les dimensions de la fente. Pour avoir l’intensité lumineuse donnée en un point $\mathrm {P}$ par cette ouverture, nous avons à considérer l’intégrale

$\int e^{i\alpha (lx+my)}\,d\omega ,$

étendue à toute la surface de la fente. L’élément de surface $d\omega$ étant égal au produit $dx\,dy,$ nous aurons pour nouvelle forme de cette intégrale

$\iint e^{i\alpha (lx+my)}\,dx\,dy\,;$

et comme nous pouvons supposer que l’origine des axes de coordonnées coïncide avec le centre de la fente, les limites d’intégration seront $-a$ et $+a$ pour $x,$ et $-b$ et $+b$ pour $y.$ Les limites d’intégration étant des constantes, l’intégrale précédente est le produit des deux intégrales simples, prises, l’une par rapport à $x,$ et l’autre par rapport à $y.$ Nous aurons à chercher le module du produit

$\int _{-a}^{+a}e^{i\alpha lx}\,dx\int _{-b}^{+b}e^{i\alpha my}\,dy.$

Pour simplifier nos expressions, posons

(1)

$\alpha l=u,\qquad \qquad \alpha m=v\,;$

nous aurons

$\int _{-a}^{+a}e^{iux}\,dx\int _{-b}^{+b}e^{ivy}\,dy.$

La première intégrale de ce produit a pour valeur

${\frac {e^{iau}-e^{-iau}}{iu}}={\frac {2\sin au}{u}}\cdot$

La valeur de l’intégrale prise par rapport à $y$ est

${\frac {e^{ibv}-e^{-ibv}}{iv}}={\frac {2\sin bv}{v}}\cdot$

Le produit des deux intégrales sera

$4\,{\frac {\sin au}{u}}\cdot {\frac {\sin bv}{v}}$

ou encore

$4ab\,{\frac {\sin au}{au}}\cdot {\frac {\sin bv}{bv}}\,\cdot$

On aura donc pour l’intensité lumineuse une quantité proportionnelle à

(2)

$\left({\frac {\sin au}{au}}\right)^{2}\times \left({\frac {\sin bv}{bv}}\right)^{2}.$

Cette intensité deviendra nulle quand l’un des sinus sera nul, c’est-à-dire pour

(3)

$au=\mathrm {K} \pi ,\qquad \mathrm {ou} \qquad bv=\mathrm {K} '\pi ,$

où $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} '$ sont des entiers quelconques, mais ne pouvant pas être supposés nuls. En effet pour $\mathrm {K} =0$ ou $\mathrm {K} '=0,$ la valeur des deux facteurs ${\frac {\sin au}{au}}\cdot {\frac {\sin bv}{bv}}\cdot$ est l’unité et par conséquent l’intensité n’est pas nulle ; elle est même maximum, l’unité étant la plus grande valeur absolue que puisse avoir chacun des facteurs. Remarquons que si $\mathrm {K}$ et $\mathrm {K} '$ sont nuls on a $u=v=0$ et par suite $l=m=0.$ Le point dont on cherche l’éclairement est alors situé sur l’axe $oz$ (fig. 17) c’est-à-dire sur une perpendiculaire au plan de la fente élevée par le centre de cette fente. En tout point de cette droite l’intensité est maximum.

112. Les valeurs de $l$ et de $m$ qui correspondent aux minima d’intensité s’obtiennent en remplaçant dans les équations de condition (3), $u$ et $v$ par leurs valeurs (1) ; ces valeurs sont

$l={\frac {\mathrm {K} \pi }{a\alpha }}\cdot \qquad \qquad \qquad m={\frac {\mathrm {K} '\pi }{b\alpha }}\cdot$

Nous avons vu (110) que si on prend dans le plan où s’observent les phénomènes deux axes parallèles aux axes des $x$ et des $y$ et se coupant sur $oz,$ les coordonnées $x_{1}$ et $y_{1}$ d’un point sont proportionnelles à $l$ et $m.$ Par conséquent, les points dont l’intensité est nulle sont situés sur des droites parallèles à l’un des axes de coordonnées et équidistantes entre elles. Le phénomène aura donc l’aspect d’une série de mailles rectangulaires lumineuses dont le centre présente un maximum d’éclairement. Ces maxima décroissent très rapidement dès qu’on s’écarte des axes, c’est-à-dire dès que $u$ ou $v$ augmente, puisque l’expression (2) à laquelle l’intensité est proportionnelle contient en dénominateur le produit $u^{2}v^{2}.$ Aussi, ne voit-on guère qu’une croix lumineuse dans la direction des axes, formée par les points qui correspondent à $\mathrm {K} =0$ ou $\mathrm {K} '=0.$

Le théorème de Babinet nous indique que l’on aura le même phénomène en prenant un petit écran rectangulaire.

Si l’une des dimensions de la fente a une grandeur considérable, on n’aura, d’après le § 110 de phénomènes observables que dans le plan perpendiculaire à la plus grande dimension de la fente. On verra une série de bandes d’intensité nulle séparées par des bandes lumineuses dont l’éclairement décroît très rapidement à partir de la bande centrale. Le calcul montre qu’au second maximum correspond une intensité 20 fois moindre qu’au premier.

Les mêmes phénomènes s’observeraient avec un fil.

113. Cas de $n$ points lumineux irrégulièrement disposés dans un plan. — En appelant $a$ et $b$ les coordonnées d’un quelconque de ces points, que nous supposerons avoir la même intensité, l’intensité lumineuse en un point de l’espace est proportionnelle au carré du module de la somme

$\sum e^{i(ua+vb)}.$

Or, le produit de deux quantités imaginaires conjuguées est égal au carré du module de l’une de ces imaginaires ; l’intensité lumineuse sera donc proportionnelle à

$\sum e^{i(ua+vb)}\;\sum e^{-i(ua+vb)}=\sum e^{i\left(u(a-a')+v(b-b')\right)}$

$a'$ et $b'$ étant les coordonnées d’un second point lumineux quelconque.

Le nombre des termes de ce produit est $n^{2}.$ Pour $n$ d’entre eux, on a $a=a',$ $b=b'$ et la valeur de chacun d’eux est 1 ; leur somme sera $n.$ Pour les $n^{2}-n$ autres termes le module est $1$ et l’argument, $u(a-a')+v(b-b').$ Cet argument peut prendre toutes les valeurs possibles puisque les points sont irrégulièrement distribués. Or, on sait que la valeur moyenne de $e^{i\varphi },$ où $\varphi$ peut prendre toutes les valeurs possibles, est zéro ; par conséquent, la somme des $n^{2}-n$ termes considérés est nulle. L’intensité en un point éclairé par les $n$ points de même intensité sera donc une constante égale à $n$ fois l’intensité donnée par un seul point éclairant.

114. Cas de $n$ ouvertures. — Considérons $n$ ouvertures égales, semblablement disposées mais irrégulièrement placées dans le plan. D’après le théorème de Bridge (108), l’intensité sera le produit de deux facteurs, dont l’un est proportionnel à l’intensité donnée par une seule fente, et l’autre proportionnel à l’intensité donnée par $n$ points placés dans le plan comme le sont les ouvertures. Quand ces ouvertures seront irrégulièrement placées, ce second facteur sera, d’après le paragraphe précédent, égal à $n$ fois l’intensité résultant d’une seule ouverture.

Le théorème de Babinet nous apprend qu’il en serait de même avec $n$ écrans. En particulier avec $n$ petits écrans circulaires on devra avoir les mêmes phénomènes qu’avec un seul écran ; les maxima de l’intensité lumineuse seront seulement devenus $n$ fois plus grands. On peut vérifier ce fait expérimentalement en saupoudrant de lycopode l’objectif d’une lunette astronomique ; on aperçoit des franges noires et brillantes lorsqu’on fait l’expérience en lumière homogène.

115. Cas de deux points d’égale intensité. — Prenons pour axe des $x$ une droite passant par ces points, et pour axe des $y$ une perpendiculaire menée par le milieu de la distance qui sépare les deux points. Les coordonnées de l’un des points seront $a$ et $0,$ celles de l’autre, $-a$ et $0.$ L’intensité lumineuse en un point de l’espace sera proportionnelle au carré du module de

$e^{iau}+e^{-iau},$

Cette somme étant égale à $2\cos au,$ l’intensité est proportionnelle à $\cos ^{2}au.$ Les minima d’intensités auront lieu pour

$u={\frac {(2\mathrm {K} +1)\pi }{2a}}\,;$

ils seront régulièrement espacés et leur valeur sera nulle. Ils sont dus à l’interférence des rayons. Les maxima seront régulièrement espacés et égaux entre eux ; ils correspondent à

$u={\frac {\mathrm {K} \pi }{a}}\cdot$

116. Cas de deux ouvertures ou de deux écrans circulaires. — En désignant par $\mathrm {I}$ l’intensité lumineuse en un point lorsqu’on a une seule ouverture et par $2a$ la distance des centres des deux ouvertures, l’intensité donnée par les deux ouvertures sera proportionnelle à

$\mathrm {I} \cos ^{2}au.$

Les variations du premier facteur détermineront un système de franges concentriques ; les variations du second donneront lieu à des franges rectilignes.

117. Cas de deux fentes rectangulaires. — D’après le § 111 l’intensité résultant d’une fente de largeur $2b$ et dont la hauteur est relativement grande, est proportionnelle à

$\left({\frac {\sin bu}{bu}}\right)^{2}\cdot$

Par conséquent, on aura pour deux fentes égales distantes de $2a,$

$\left({\frac {\sin bu}{bu}}\right)^{2}\cos ^{2}au.$

Les minima d’intensité, qui seront nuls, auront lieu pour

$u={\frac {\mathrm {K} \pi }{b}},\qquad \qquad u={\frac {(2\mathrm {K} +1)\pi }{2a}}\cdot$

Aux valeurs de $u$ données par la première égalité correspondent des franges de diffraction, aux valeurs données par la seconde correspondent des franges d’interférence. Comme $a$ est plus grand que $b,$ les franges d’interférence sont plus rapprochées entre elles que les franges de diffraction et entre deux de ces dernières se trouvera toujours un certain nombre des premières.

118. Cas de $n$ points en ligne droite et équidistants. — Désignons par $2a$ la distance de deux points consécutifs ; prenons pour axe des $x$ la droite qui passe par tous les points et pour origine le premier des points. Les abscisses seront :

$0,\quad 2a,\quad 4a,\quad \dots \dots \quad 2(n-1)a$

et l’intégrale dont le carré du module est proportionnel à l’intensité deviendra

(1)

$1+e^{2iau}+e^{4iau}+\dots e^{2(n-1)iau}.$

Les termes de cette somme forment une progression géométrique dont la raison est $e^{2iau}\,;$ la valeur de cette somme est donc

${\frac {e^{2niau}-1}{e^{2iau}-1}}\cdot$

On ne changera pas le module de cette fraction si on la multiplie ou si on la divise par des quantités dont le module est l’unité. Multiplions le numérateur par $e^{-niau}$ et le dénominateur par$e^{-iau}\,;$ nous obtiendrons,

${\frac {e^{niau}-e^{-niau}}{e^{iau}-e^{-iau}}},$

expression que l’on peut écrire

${\frac {\sin nau}{sinau}}\cdot$

L’intensité en un point sera proportionnelle au carré de cette quantité :

(2)

${\frac {\sin ^{2}nau}{sin^{2}au}}\cdot$

Étudions cette fonction. Elle est périodique, car si nous augmentons $u$ de ${\frac {\pi }{a}},$ $au$ augmente de $\pi$ et $nau$ de $n\pi \,;$ donc la valeur absolue des sinus ne change pas.

Pour les valeurs de $u$ données par

$u={\frac {\mathrm {K} \pi }{na}}$

le numérateur s’annule et la fonction elle-même devient nulle à moins que le dénominateur ne s’annule en même temps que le numérateur, ce qui a lieu pour les valeurs de $\mathrm {K}$ qui sont des multiples de $n.$ Pour avoir la valeur que prend la fonction pour les valeurs de $\mathrm {K}$ multiples de $n,$ il nous suffit, puisque la fonction est périodique, de chercher ce qu’elle devient quand on y fait $\mathrm {K} =0\,;$ on a dans ce cas,

${\frac {\sin ^{2}nau}{\sin ^{2}au}}={\frac {n^{2}a^{2}u^{2}}{a^{2}u^{2}}}=n^{2}.$

L’intensité est proportionnelle à $n^{2}\,;$ c’est un maximum absolu de cette intensité, car chaque terme de la somme (1) ayant pour module une quantité au plus égale à $1,$ le module de la somme est au plus égal à $n$ et par suite l’intensité a pour valeur maximum une quantité proportionnelle à $n^{2}.$ — Nous appellerons maxima principaux ceux qui correspondent à une intensité proportionnelle à $n^{2}.$

Entre deux de ces maxima la fonction (2) s’annule $n-1$ fois, et entre deux zéros consécutifs elle passe par un maximum au moins ; nous aurons donc au moins $n-2$ maxima secondaires. Il ne peut d’ailleurs y en avoir davantage. En effet, la fonction est un polynôme entier de degré $n-1$ en $\cos au\,;$ sa dérivée par rapport à $\cos au$ sera de degré $n-2$ et n’aura que $n-2$ racines à chacune desquelles correspond un maximum ou un minimum.

Les maxima secondaires sont très petits et d’autant moins apparents que $n$ est plus grand. En effet, on a,

${\frac {\sin ^{2}nau}{\sin ^{2}au}}<{\frac {1}{\sin ^{2}au}}\cdot$

Si $\sin au$ a une valeur finie, le second membre de l’inégalité et par suite le premier sont très petits par rapport à $n^{2}.$

Quand $\sin au$ est petit, c’est-à-dire pour les valeurs de $u$ voisines de ${\frac {\mathrm {K} \pi }{a}},$ les maxima secondaires qui sont alors voisins des maxima principaux sont encore difficilement observables. Dans ce cas $au$ étant voisin de $\mathrm {K} \pi ,$ nous pouvons, à cause de la périodicité de la fonction, supposer $au$ très peu différent de zéro, et remplacer $\sin au$ par l’arc ; nous aurons pour le facteur d’intensité

${\frac {\sin ^{2}nau}{a^{2}u^{2}}}\cdot$

Le calcul de ce facteur montrerait que le premier maximum secondaire est 20 fois plus petit que le maximum principal et le second 60 fois plus petit.

119. Réseaux. — Dans un réseau nous avons $n$ fentes d’égale largeur $2b,$ parallèles et placées à une distance $2a$ les unes des autres. Le facteur d’intensité d’une seule fente étant

(1)

${\frac {\sin ^{2}bu}{b^{2}u^{2}}}\,;$

celui de $n$ points équidistants

(2)

${\frac {\sin ^{2}nau}{\sin ^{2}au}}\,,$

l’intensité donnée par le réseau sera proportionnelle au produit de ces deux facteurs. Comme les fentes ont une grande hauteur relativement à leur largeur, on n’observera les franges que dans un plan perpendiculaire à la longueur des fentes.

On devrait donc observer les maxima dus aux deux facteurs, mais comme $n$ est généralement très grand, les maxima principaux dus au facteurs (2), seront seuls visibles. Pour ces maxima, on a

$u={\frac {\mathrm {K} \pi }{a}}$

et l’intensité est proportionnelle à

(3)

$n^{2}\,{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {\mathrm {K} b\pi }{a}}}{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}\pi ^{2}b^{2}}{a^{2}}}}\cdot$

Cette quantité contenant $\mathrm {K} ^{2}$ au dénominateur les maxima principaux diminueront d’intensité quand on s’écartera de la normale au plan du réseau.

Si ${\frac {b}{a}}$ est très petit, le produit $\mathrm {K} {\frac {b}{a}}$ sera plus petit que ${\frac {1}{2}}$ pour un grand nombre de valeurs de $\mathrm {K} .$ Dans ce cas le numérateur de (3) ira constamment en décroissant et comme on ne peut observer plus de 6 ou 7 maxima principaux, ils iront en décroissant d’intensité.

Quand ${\frac {b}{a}}$ n’est pas très petit, le produit $\mathrm {K} {\frac {b}{a}}$ peut devenir plus grand que ${\frac {1}{2}}$ pour des valeurs de $\mathrm {K}$ inférieurs à 7 et alors les maxima principaux ne décroissent pas régulièrement, le numérateur de (3) oscillant entre $0$ et $1.$

Si le quotient ${\frac {b}{a}}$ est commensurable, il existe une valeur de $\mathrm {K}$ qui annule $\sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}\,;$ par conséquent, le maximum principal correspondant manquera. Ainsi, si ${\frac {b}{a}}={\frac {1}{2}},$ tous les maxima principaux d’ordre pair manqueront. Dans ce cas particulier, $\sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}$ a pour valeur absolue l’unité quand $\mathrm {K}$ est un nombre impair. Les maxima principaux d’ordre impair seront proportionnels à ${\frac {1}{\mathrm {K} ^{2}}}\,;$ ils iront en décroissant régulièrement.

Remarquons que l’intervalle plein qui sépare deux fentes est égal à $2a-2b\,;$ si donc nous changeons $2b$ en $2a-2b,$ c’est-à-dire $b$ en $a-b$ dans nos formules d’intensité, nous aurons l’intensité résultant d’un nouveau réseau ne différant du premier qu’en ce que les espaces opaques remplacent les fentes et réciproquement. En changeant $b$ en $a-b$ dans $\sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}},$ nous obtenons

$\sin {\frac {\mathrm {K} (a-b)\pi }{a}}=\sin \left(\mathrm {K} \pi -{\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}\right)=\pm \sin {\frac {\mathrm {K} b\pi }{a}}\cdot$

Par conséquent la formule (3) devient

${\frac {n^{2}\sin ^{2}{\dfrac {b\mathrm {K} \pi }{a}}}{\,{\dfrac {\mathrm {K} ^{2}\pi ^{2}(a-b)^{2}}{a^{2}}}\,}}\cdot$

Nous aurons donc la même loi de décroissance pour les maxima principaux ; résultat conforme au théorème de Babinet.

120. Phénomènes de diffraction en lumière blanche. — Dans notre étude, nous avons toujours supposé $\lambda$ constant, c’est-à-dire que nous supposions la lumière homogène. Si nous opérons avec la lumière blanche, la position des maxima d’intensité dépendra de $\lambda \,;$ nous aurons donc des franges colorées. En particulier dans le cas des réseaux, la déviation étant très considérable, nous aurons des spectres complets séparés par des intervalles obscurs.

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