Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/03

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 25-32).

CHAPITRE III.

RELATIONS ENTRE LES CÔTÉS ET LES ANGLES D’UN TRIANGLE RECTANGLE.

21. Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle.

1^o Dans le triangle rectangle ABC (fig. 6), décrivons du point B comme centre l’arc MN avec un rayon quelconque, et

Fig. 6.

menons MP et TN perpendiculaires à AB. Le rapport $\mathrm {\frac {MP}{BM}}$ est le sinus de B.

Les triangles rectangles semblables ABC, PMB donnent $\mathrm {{\frac {MP}{AC}}={\frac {BM}{BC}}} ,$ d’où

$\mathrm {AC=BC\times {\frac {MP}{BM}}} .$

On obtiendrait le côté AB de la même manière ; on a ainsi

xxxx(2)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=a\sin \mathrm {B} \;;$

$c=a\sin \mathrm {C} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’hypoténuse multipliée par le sinus de l’angle opposé à ce côté.

2° Les angles B et C étant complémentaires, $\sin \mathrm {B}$ est égal à $\cos \mathrm {C}$, et $\sin \mathrm {C}$ est égal à $\cos \mathrm {B}$. En remplaçant $\sin \mathrm {B}$ et $\sin \mathrm {C}$ par ces valeurs dans les égalités (2), on a

xxxx(3)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=a\cos \mathrm {C} ,$

$c=a\cos \mathrm {B} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’hypoténuse multipliée par le cosinus de l’angle adjacent à ce côté.

On pourrait aussi obtenir ces égalités au moyen des triangles semblables ABC, BMP.

3^o En divisant membre à membre les égalités $b=a\sin \mathrm {B}$, et $c=a\cos \mathrm {B}$, on obtient

${\frac {b}{c}}\ =\ {\frac {\sin \mathrm {B} }{\cos \mathrm {B} }},\$ ou $b\ =\ c\operatorname {tang} \mathrm {B} ,$

avec les égalités $c=a\sin \mathrm {C}$ et $b=a\cos \mathrm {C}$, on trouverait de la même manière ${\frac {c}{b}}\ =\ {\frac {\sin \mathrm {C} }{\cos \mathrm {C} }},\$ ou ${\frac {c}{b}}\ =\ \operatorname {tang} \mathrm {C} .$
on a ainsi :

xxxx(4)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=c\operatorname {tang} \mathrm {B} ,$

$c=b\operatorname {tang} \mathrm {C} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’autre multiplié par la tangente de l’angle opposé au premier.

On pourrait aussi obtenir ces égalités au moyen des triangles semblables BTN, BCA, en observant que BN est la tangente de l’angle B.

4^o En remplaçant tang B par cotg C et tang C par cotg B dans les égalités (4), on obtient

xxxx(5)

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\end{matrix}}\right.$

$b=c\operatorname {cotg} \mathrm {C} ,$

$c=b\operatorname {cotg} \mathrm {B} .$

Donc, dans tout triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’autre côté multiplié par la cotangente de l’angle adjacent au premier côté.

22. Dans le triangle rectangle ABC, le côté AB peut être regardé comme la projection du côté BC sur une droite indéfinie qui passerait par A et B. D’après cela, les égalités (3) montrent que la projection d’une droite sur une autre est égale à la droite projetée multipliée par le cosinus de l’angle qui mesure l’inclinaison de cette droite sur l’autre.

RÉSOLUTION DU TRIANGLE RECTANGLE.

23. Un triangle rectangle est déterminé quand on connaît un côté et un angle aigu, ou deux côtés. Or le côté donné peut être un côté de l’angle droit ou l’hypoténuse ; les deux côtés donnés peuvent être l’hypoténuse et un côté de l’angle droit, ou les deux côtés de l’angle droit. La résolution d’un triangle rectangle présente donc quatre cas, dans lesquels les données sont :

	1o	Un angle aigu et un côté de l’angle droit ;
	2o	Un angle aigu et l’hypoténuse ;
	3o	Un côté de l’angle droit et l’hypoténuse ;
	4o	Les deux côtés de l’angle droit.

24. Premier cas. — Étant donnés l’angle B et l’hypoténuse a, trouver l’angle C et les côtés b et c.

On a d’abord

$\mathrm {C} =90^{\circ }-\mathrm {B} .$

On tire b de la relation $b=c\operatorname {tang} \mathrm {B} .$
La relation $c=a\cos \mathrm {B}$ donne

$a={\frac {c}{\cos \mathrm {B} }}.$

EXEMPLE. — B = 52° 36′ 14′′, et c = 68^m.42.

xxCalcul de C.

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}}\right.$

C = 90° – B

xx= 89° 59′ 60′′ – 52° 36′ 14′′.

xx= 37° 23′ 46′′.

Calcul de b.	Calcul de a.
$b=c\operatorname {tang} \mathrm {B}$	$c=a\cos \mathrm {B} ,\quad a={\frac {c}{\cos \mathrm {B} }},$
$\log b=\log c+\log \operatorname {tang} \mathrm {B}$	$\log a=\log c-\log \cos \mathrm {B}$
${\begin{aligned}\log c&=1,83518\\\log \operatorname {tang} \mathrm {B} &=0,11665\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\log c&=1,83518\\\log \cos \mathrm {B} &={\overline {1}},78342\end{aligned}}$
00000000000$\log b=1,95183$	0000000000$\log a=2,05176$
000000000 $8950\ldots \ldots \ 95182$	000000000$\ 1126\,\,\ldots \ 05154$
02 pour… 1 diff. tab. 5	05 pour… 22 diff. tab. 38
00000 ${\overline {b=89^{\mathrm {m} },502}}.$	000000${\overline {a=112^{\mathrm {m} },65}}.$

Observation. — Au-dessous du logarithme de b et du logarithme de a se trouve le logarithme le plus approché trouvé dans la table. Mais il suffit d’écrire seulement les décimales différentes et de supprimer la partie commune aux deux logarithmes. Ainsi on écrira

00000$\log b=1,95183$ 00000$8950\quad {\underline {\qquad \quad \,2}}$ 0000000002 pour… 1 diff. tab. 5. 0b = 89m,502.

Le nombre 8950 placé à gauche sur la même ligne que le logarithme de la table est le nombre qui lui correspond ; au-dessous de lui est l’augmentation de 2 dixièmes correspondant à la différence 1 des deux logarithmes.

25. Deuxième cas. — Étant donnés l’angle B et l’hypoténuse a, trouver l’angle C et les côtés b et c.

On a d’abord C = 90° – B. On obtient le côté b par la relation $b=a\sin \mathrm {B}$, et le côté c par la relation $c=a\sin \mathrm {C}$.

Pour faire le calcul par logarithmes, on a

	log b = log a + log sin B,
	log c = log a + log sin C.

Ce cas est tout à fait semblable au premier.

26. Troisième cas. — Étant donnés le côté b et l’hypoténuse a, trouver le côté c et les angles B et C.

On cherche d’abord le côté c en se rappelant que le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. On a d’après cela $a^{2}=b^{2}+c^{2},$ ou $c^{2}=a^{2}-b^{2},$ d’où

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.$

Ce résultat donne lieu à la remarque suivante :

Tous les calculs pour la résolution des triangles doivent être effectués par logarithmes. Or, pour obtenir le côté c, il faudrait d’abord faire le carré de a, puis celui de b, ensuite retrancher le second du premier, et enfin extraire la racine carrée du reste. De cette manière l’emploi des logarithmes n’abrégerait pas les calculs ; de plus, on devrait opérer sur des nombres et sur des logarithmes, et non pas sur des logarithmes seulement. Pour cette raison, on dit que l’expression $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ n’est pas calculable par logarithmes.

Or la différence des carrés de deux quantités est égale au produit de la somme de ces deux quantités par leur différence. Par conséquent, $a^{2}-b^{2}$ peut être remplacé par $(a+b)\times (a-b),$ et on a pour trouver le côté c

$c={\sqrt {(a+b)\times (a-b)}},$

d’où

$\log {c}={\tfrac {1}{2}}\,[\log {(a+b)}+\log {(a-b)}].$

Ainsi on fera d’abord la somme $a+b$ et la différence $a-b,$ après quoi il n’y aura qu’un seul calcul de logarithmes à effectuer.

Exemple. — On donne a = 56^m,427 ; b = 32^m,741 ; calculer c, B et C.

Calcul de c.

$c={\sqrt {(a+b)\times (a-b)}},$

$\log {c}={\tfrac {1}{2}}\,[\log {(a+b)}+\log {(a-b)}].$

---

$\quad \ \ \ a=56,427,$		$\log(a+b)=1,95021$
$\quad \ \ \ b=32,741,$		${\underline {\log(a-b)=1,37449}}$
$a+{\overline {b=89,1168,}}$		$\quad \ \ \ 2\log c=3,32470$
$a-b=23,686.$		$\qquad \ \log c=1,66235$
		$\qquad \ 4595\ \ \dots \dots \ {\underline {\ 29\ }}$
		$\qquad \quad \ \ \ 06\dots \dots \quad 6$ diff. tab. 9.
		c = ${\overline {45^{\mathrm {m} },956.\ }}$

Calcul de B.	Calcul de C.
$b=c\operatorname {tang} \mathrm {B} ,$
$\operatorname {tang} \mathrm {B} ={\frac {b}{c}},$	$\mathrm {C} =90^{\circ }-\mathrm {B}$
$\log \operatorname {tang} \mathrm {B} =\log b-\log c$
$\log b=1,51509$	$\mathrm {C} =89^{\circ }59^{\prime }60^{\prime \prime }-35^{\circ }28^{\prime }2^{\prime \prime },$
$\log c=1,66235$	$\mathrm {C} =54^{\circ }31^{\prime }58^{\prime \prime }.$
$\ {\overline {\ \log \operatorname {tang} \mathrm {B} =1,85274\ }}$
$\qquad \ \ 35^{\circ }28^{\prime }\dots \quad \dots 3$
$\qquad \qquad \quad \ 2^{\prime \prime }\dots {\overline {\dots 1}}$ diff. tab.  27
$\ \ {\overline {\mathrm {B} =35^{\circ }28^{\prime }2^{\prime \prime }}}.$

27. Quatrième Cas. — Étant donnés les deux côtés b et c de l’angle droit, trouver l’hypoténuse a et les angles B et C.

On aurait l’hypoténuse a au moyen de l’égalité $a={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}.$ Mais cette expression n’étant pas calculable par logarithmes, on doit commencer par déterminer les angles.

Pour B on a $b=c\operatorname {tang} \mathrm {B} ,$ d’où $\operatorname {tang} \mathrm {B} ={\frac {b}{c}}.$

On trouve ensuite C en retranchant B de 90°. Pour le côté a, on a $b=a\sin \mathrm {B} ,$ d’où $a={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}.$

28. Remarque. — Dans le troisième cas on aurait pu aussi résoudre le triangle en cherchant d’abord l’angle B par l’égalité $b=a\sin \mathrm {B} ,$ qui donne $\sin \mathrm {B} ={\frac {b}{a}}.$ Mais on doit autant que possible employer la tangente ou la cotangente, car l’angle ainsi obtenu est affecté d’une erreur moindre que lorsqu’il est déterminé par le sinus ou le cosinus.

En effet, soient deux arcs $\mathrm {AI} ,\ \mathrm {AI^{\prime }}$ voisins de 90° et n’ayant entre eux qu’une petite différence $\mathrm {I\,I^{\prime }}$ (fig. 7). À mesure que les points $\mathrm {I^{\prime }}$ et $\mathrm {I}$ se rapprochent

Fig. 7.

de B, la corde $\mathrm {I^{\prime }\,I}$ tend à devenir parallèle au diamètre $\mathrm {A^{\prime }A} ;$ par conséquent les deux sinus $\mathrm {P^{\prime }I^{\prime }}$ et $\mathrm {PI}$ sont presque égaux, et leur différence finit par être moindre que 1 unité décimale d’un ordre très-petit. Donc leurs logarithmes finissent aussi par différer d’une quantité moindre que 1 unité du cinquième ordre décimal. Il résulte de là que si des arcs voisins de 90° diffèrent peu l’un de l’autre, les logarithmes de leurs sinus, jusqu’à la cinquième décimale, seront égaux, et qu’il y aura incertitude pour savoir quel est l’angle véritable qui correspondra à un $\log \sin .$ C’est ce qui se présente pour les trois angles 88°7′, 88°8′, 88°9′ dont les sinus ont le même logarithme ${\overline {1}},99977.$

Maintenant, soit d la différence entre les logarithmes des sinus des deux angles a et b tels que $b=a+1^{\prime }.$

Si $\log \sin a$ augmentait de d, l’angle a augmenterait de $60^{\prime \prime }$ et serait égal à b.

Si $\log \sin a$ augmente seulement de 1 unité du 5^e ordre décimal, l’angle a augmente de ${\frac {62^{\prime \prime }}{\mathrm {D} }}.$ Par conséquent si le logarithme du sinus d’un angle inconnu est affecté d’une erreur moindre que 1 unité du 5^e ordre décimal, l’erreur commise sur l’angle obtenu sera moindre que ${\frac {60^{\prime \prime }}{\mathrm {D} }}.$ Or la différence d va en diminuant à mesure que l’angle augmente ; au delà de 12° elle est plus petite que 60 ; donc quand l’angle est supérieur à 12° son erreur surpasse $1^{\prime \prime }$ et peut même atteindre plus de $1^{\prime }$.

Pour la tangente et la cotangente la différence étant 25, l’erreur de l’angle est moindre que ${\frac {60^{\prime \prime }}{25}},$ c’est-à-dire moindre que $3^{\prime \prime }.$

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