Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/09

Gaspard Bovier-Lapierre

Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne

Gauthier-Villars, 1868 (p. 70-74).

CHAPITRE IX.

COMPLÉMENT DE LA RÉSOLUTION DES TRIANGLES.

49. Cas où l’on connaît seulement les angles d’un triangle.

La géométrie apprend qu’un triangle n’est pas déterminé quand on ne connaît que ses angles. La trigonométrie va nous conduire au même résultat.

Pour cela, traitons le problème comme s’il devait être déterminé, et prenons les trois équations

xxxx(7)xxxxxxxxxxxxxxx	$a^{2}\,=\,b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A}$,
	$b^{2}\,=\,a^{2}+c^{2}-2ac\cos \mathrm {B}$,
	$c^{2}\,=\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \mathrm {C}$.

Pour éliminer deux des trois inconnues a, b, c, additionnons membre à membre la première avec la seconde, la première avec la troisième, et la seconde avec la troisième ; nous obtiendrons, après la suppression des facteurs communs,

xxxx(26)xxxxxxxxxxxxxxx	$c\,=\,a\cos \mathrm {B} +b\cos \mathrm {A}$,
	$b\,=\,a\cos \mathrm {C} +c\cos \mathrm {A}$,
	$a\,=\,b\cos \mathrm {C} +c\cos \mathrm {B}$.

Maintenant, en substituant dans les deux dernières équations de ce système la valeur de c donnée par la première, nous obtiendrons

$b=a\cos \mathrm {C} +a\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} +b\cos ^{2}\mathrm {A}$,

$a=b\cos \mathrm {C} +b\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} +a\cos ^{2}\mathrm {B}$.

Par la transposition des termes, on a

$b(1-\cos ^{2}\mathrm {A} )=a(\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} )$,

$a(1-\cos ^{2}\mathrm {B} )=b(\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} )$,

et enfin

${\frac {b}{a}}\sin ^{2}\mathrm {A} =\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B}$,

${\frac {a}{b}}\sin ^{2}\mathrm {B} =\cos \mathrm {C} +\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B}$.

De ces deux dernières équations, on tire

${\frac {b\sin ^{2}\mathrm {A} }{a}}={\frac {a\sin ^{2}\mathrm {B} }{b}}$, xxxd’oùxxx$b\sin \mathrm {A} =a\sin \mathrm {B}$,

et enfin

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$.

En éliminant b de la même manière, on trouve

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}$.

et en éliminant c, on trouve

${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$.

On arrive ainsi à trois équations contenant encore trois inconnues, et qui se réduisent en réalité aux deux équations
(6)                         ${\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}={\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}$,xxx${\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}$.

Ainsi le problème est bien indéterminé ; on trouve seulement que les trois côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

50. On voit par ce qui précède que les relations (6) qui existent entre les côtés et les angles d’un triangle dérivent des relations (7).

Réciproquement, on peut facilement tirer les relations (7) des relations (6). En effet, on a en outre

$\mathrm {A+B+C=180^{\circ }}$.

L’angle C étant le supplément de A + B, on a (n^os 6 et 35).

(l)          $\sin \mathrm {C} =\sin(\mathrm {A+B} )=\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {B} +\sin \mathrm {B} \cos \mathrm {A}$.

Il faut éliminer deux des trois angles. Or on a

${\frac {b}{\sin \mathrm {B} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’oùxx $\sin \mathrm {B} ={\frac {b\sin \mathrm {A} }{a}}$ ;

${\frac {c}{\sin \mathrm {C} }}={\frac {a}{\sin \mathrm {A} }}$, d’oùxx $\sin \mathrm {C} ={\frac {c\sin \mathrm {A} }{a}}$ ;

$\cos \mathrm {B} ={\sqrt {1-\sin ^{2}\mathrm {B} }}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}$.

La substitution de ces trois valeurs dans l’égalité (l) donne

${\frac {c\sin \mathrm {A} }{a}}=\sin \mathrm {A} {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }{a^{2}}}}+{\frac {b\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} }{a}}$.

Supprimant le facteur ${\frac {\sin \mathrm {A} }{a}}$ commun à tous les termes, et transposant,
on a

$c-b\cos \mathrm {A} ={\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} }}$.

Enfin, élevant les deux membres au carré, transposant les termes, et observant qu’on a $b^{2}\sin ^{2}\mathrm {A} +b^{2}\cos ^{2}\mathrm {A} =b^{2}$, on trouve

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \mathrm {A}$.

Remarque. Les côtés et les angles d’un triangle ont entre eux une relation unique ; mais cette relation s’exprime sous trois formes différentes qui sont les trois systèmes d’égalités (6), (7), (26).

51. Discussion du cas où l’on connaît les trois côtés du triangle.

Quand on prend arbitrairement les trois données nécessaires pour la résolution d’un triangle, le problème n’est pas toujours possible. On a déjà discuté cette question (n^o 33) pour le cas de deux côtés et de l’angle opposé à l’un de ces côtés. Le cas où l’on donne un côté et deux angles et celui où l’on donne deux côtés et l’angle compris n’offrent aucune difficulté. Nous allons examiner le cas où l’on donne les trois côtés, c’est-à-dire chercher quelles conditions sont imposées aux trois côtés a, b, c pour que le triangle soit possible.

Prenons la formule : $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$.

Pour qu’elle donne pour $\sin {\frac {\mathrm {A} }{2}}$ une valeur réelle, il faut que la quantité placée sous le radical soit positive et ne surpasse pas 1. Il faut donc qu’on ait ${\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}>0$xxetxx${\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}\leq 1$, ou, en chassant le dénominateur,

(m)                    $(p-b)(p-c)>0$xxetxx$(p-b)(p-c)\leq bc$.

La première de ces deux inégalités sera satisfaite si l’on a

$p-b>0$xxetxx$p-c>0$,

ou en remplaçant $p$ par ${\frac {a+b+c}{2}}$, supprimant le dénominateur 2 et transposant les termes,

$b<a+c$xxetxx$c<a+b$.

Ainsi chacun des côtés b et c doit être plus petit que la somme des deux autres.

Pour trouver la condition exprimée par la seconde des deux inégalités (m), remplaçons-y $p$ par ${\frac {a+b+c}{2}}$ ; nous trouvons

${\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}\leq bc$xxouxx$(a+c-b)(a+b-c)<4bc$.

En effectuant la multiplication, transposant les termes et réduisant, nous avons

$a^{2}<b^{2}+c^{2}+2bc$xxouxx$a<b+c$.

Ainsi le troisième côté doit, comme les deux premiers, être plus petit que la somme des deux autres, ce qui est la condition indiquée par la géométrie.

Il semble que la première des deux inégalités (m) serait aussi satisfaite si l’on avait

$(p-b)<0$xxetxx$p-c<0$,

car les deux facteurs négatifs donneraient un produit positif. Mais si l’on répète sur ces deux inégalités les mêmes transformations qu’on vient d’effectuer, on trouve qu’elles reviennent à

$b>a+c$xxetxx$b<c-a$.

Or, il n’est pas possible qu’une quantité soit à la fois supérieure à la somme de deux autres quantités et moindre que leur différence.

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