Traité de dynamique/1758/Discours préliminaire

Jean le Rond d’Alembert

Traité de dynamique

David l'aîné, 1758 (p. i-xxxv).

DISCOURS
PRÉLIMINAIRE.

La certitude des Mathématiques est un avantage que ces Sciences doivent principalement à la simplicité de leur objet. Il faut avouer même, que comme toutes les parties des Mathématiques n’ont pas un objet également simple, aussi la certitude proprement dite, celle qui est fondée sur des principes nécessairement vrais & évidens par eux-mêmes, n’appartient ni également, ni de la même maniere à toutes ces parties. Plusieurs d’entr’elles, appuyées sur des principes Physiques, c’est-à-dire sur des vérités d’expérience, ou sur de simples hypotheses, n’ont, pour ainsi dire, qu’une certitude d’expérience, ou même de pure supposition. Il n’y a, pour parler exactement, que celles qui traitent du calcul des grandeurs, & des propriétés générales de l’étendue, c’est-à-dire l’Algébre, la Géométrie & la Méchanique, qu’on puisse regarder comme marquées au sceau de l’évidence. Encore y a-t-il dans la lumiere que ces Sciences présentent à notre esprit, une espece de gradation, &, pour ainsi dire, de nuance à observer. Plus l’objet qu’elles embrassent est étendu, & considéré d’une maniere général & abstraite, plus aussi leurs principes sont exempts de nuages & faciles à saisir. C’est par cette raison que la Géométrie est plus simple que l’Algébre. Ce paradoxe ne paroîtra point tel à ceux qui ont étudié ces Sciences en Philosophes : les notions les plus abstraites, celles que le commun des hommes regarde comme les plus inaccessibles, sont souvent celles qui portent avec elles une plus grande lumiere : l’obscurité semble s’emparer de nos idées à mesure que nous examinons dans un objet plus de propriétés sensibles ; l’impénétrabilité, ajoûtée à l’idée de l’étendue, semble ne nous offrir qu’un mystere de plus ; la nature du mouvement est une énigme pour les Philosophes ; le principe Métaphysique des loix de la percussion ne leur est pas moins caché ; en un mot plus ils approfondissent l’idée qu’ils se forment de la matiere, & des propriétés qui la représentent, plus cette idée s’obscurcit & paroît vouloir leur échapper ; plus ils se persuadent que l’existence des objets extérieurs, appuyée sur le témoignage équivoque de nos sens, est ce que nous connoissons le moins imparfaitement en eux.

Il résulte de ces réflexions, que pour traiter suivant la meilleure Méthode possible quelque partie des Mathématiques que ce soit (nous pourrions même dire quelque Science que ce puisse être) il est nécessaire non-seulement d’y introduire & d’y appliquer autant qu’il se peut, des connoissances puisées dans des Sciences plus abstraites, & par conséquent plus simples, mais encore d’envisager de la maniere la plus abstraite & la plus simple qu’il se puisse, l’objet particulier de cette Science ; de ne rien supposer, ne rien admettre dans cet objet, que les propriétés que la Science même qu’on traite y suppose. Delà résultent deux avantages : les principes reçoivent toute la clarté dont ils sont susceptibles : ils se trouvent d’ailleurs réduits au plus petit nombre possible, & par ce moyen ils ne peuvent manquer d’acquérir en même tems plus d’étendue, puisque l’objet d’une Science étant nécessairement déterminé, les principes en sont d’autant plus féconds, qu’ils sont en plus petit nombre.

On a pensé depuis long-tems, & même avec succès, à remplir dans les Mathématiques, une partie du plan que nous venons de tracer : on a appliqué heureusement, l’Algébre à la Géométrie, la Géométrie à la Méchanique, & chacune de ces trois Sciences à toutes les autres, dont elles sont la base & le fondement. Mais on n’a pas été si attentif, ni à réduire les principes de ces Sciences au plus petit nombre, ni à leur donner toute la clarté qu’on pouvoit désirer. La Méchanique surtout, est celle qu’il paroît qu’on a négligée le plus à cet égard : aussi la plûpart de ses principes, ou obscurs par eux-mêmes, ou énoncés & démontrés d’une maniere obscure, ont-ils donné lieu à plusieurs questions épineuses. En général, on a été plus occupé jusqu’à présent à augmenter l’édifice qu’à en éclairer l’entrée ; & on a pensé principalement à l’élever, sans donner à ses fondements toute la solidité convenable.

Je me suis proposé dans cet Ouvrage de satisfaire à ce double objet, de reculer les limites de la Méchanique, & d’en applanir l’abord ; & mon but principal a été de remplir en quelque sorte un de ces objets par l’autre, c’est-à-dire, non-seulement de déduire les principes de la Méchanique des notions les plus claires, mais de les appliquer aussi à de nouveaux usages ; de faire voir tout à la fois, & l’inutilité de plusieurs principes qu’on avoit employés jusqu’ici dans la Méchanique, & l’avantage qu’on peut tirer de la combinaison des autres pour le progrès de cette Science ; en un mot, d’étendre les principes en les réduisant. Telles ont été mes vûes dans le Traité que je mets au jour. Pour faire connoître au Lecteur les moyens par lesquels j’ai tâché de les remplir, il ne sera peut-être pas inutile d’entrer ici dans un examen raisonné de la Science que j’ai entrepris de traiter.

Le Mouvement & ses propriétés générales, sont le premier & le principal objet de la Méchanique ; cette Science suppose l’existence du Mouvement, & nous la supposerons aussi comme avouée & reconnue de tous les Physiciens. A l’égard de la nature du Mouvement, les Philosophes sont au contraire fort partagés là-dessus. Rien n’est plus naturel, je l’avoue, que de concevoir le Mouvement comme l’application successive du mobile aux différentes parties de l’espace indéfini, que nous imaginons comme le lieu des corps : mais cette idée suppose un espace dont les parties soient pénétrables & immobiles ; or personne n’ignore que les Cartésiens (Secte qui à la vérité n’existe presque plus aujourd’hui) ne reconnoissent point d’espace distingué des corps, & qu’ils regardent l’étendue & la matiere comme une même chose. Il faut convenir qu’en partant d’un pareil principe, le Mouvement seroit la chose la plus difficile à concevoir, & qu’un Cartésien auroit peut-être beaucoup plutôt fait d’en nier l’éxistence, que de chercher à en définir la nature. Au reste, quelque absurde que nous paroisse l’opinion de ces Philosophes, & quelque peu de clarté & de précision qu’il y ait dans les Principes Métaphysiques sur lesquels ils s’efforcent de l’appuyer, nous n’entreprendrons point de la réfuter ici : nous nous contenterons de remarquer, que pour avoir une idée claire du Mouvement, on ne peut se dispenser de distinguer au moins par l’esprit deux sortes d’étendue : l’une, qui soit regardée comme impénétrable, & qui constitue ce qu’on appelle proprement les corps ; l’autre, qui étant considérée simplement comme étendue, sans examiner si elle est pénétrable ou non, soit la mesure de la distance d’un corps à un autre, & dont les parties envisagées comme fixes & immobiles, puissent servir à juger du repos ou du mouvement des corps. Il nous sera donc toujours permis de concevoir un espace indéfini comme le lieu des corps, soit réel, soit supposé, & de regarder le Mouvement comme le transport du mobile d’un lieu dans un autre.

La considération du Mouvement entre quelquefois dans les recherches de Géométrie pure ; c’est ainsi qu’on imagine souvent les lignes, droites ou courbes, engendrées par le Mouvement continu d’un point, les surfaces par le Mouvement d’une ligne, les solides enfin par celui d’une surface. Mais il y a entre la Méchanique & la Géométrie cette différence, non-seulement que dans celle-ci, la génération des Figures par le Mouvement est, pour ainsi dire, arbitraire, & de pure élégance, mais encore que la Géométrie ne considere dans le Mouvement que l’espace parcouru, au lieu que dans la Méchanique on a égard de plus au tems que le mobile employe à parcourir cet espace.

On ne peut comparer ensemble deux choses d’une nature différente, telles que l’espace & le tems : mais on peut comparer le rapport des parties du tems avec celui des parties de l’espace parcouru. Le tems par sa nature coule uniformément, & la Méchanique suppose cette uniformité. Du reste, sans connoître le tems en lui-même & sans en avoir de mesure précise, nous ne pouvons représenter plus clairement le rapport de ses parties, que par celui des portions d’une ligne droite indéfinie. Or l’analogie qu’il y a entre le rapport des parties d’une telle ligne, & celui des parties de l’espace parcouru par un corps qui se meut d’une maniere quelconque, peut toujours être exprimée par une équation : on peut donc imaginer une courbe, dont les abscisses représentent les portions du tems écoulé depuis le commencement du Mouvement, les ordonnées correspondantes désignant les espaces parcourus durant ces portions de tems : l’équation de cette courbe exprimera, non le rapport des tems aux espaces, mais, si on peut parler ainsi, le rapport du rapport que les parties de tems ont à leur unité, à celui que les parties de l’espace parcouru ont à la leur. Car l’équation d’une courbe peut être considérée, ou comme exprimant le rapport des ordonnées aux abscisses, ou comme l’équation entre le rapport que les ordonnées ont à leur unité, & le rapport que les abscisses correspondantes ont à la leur.

Il est donc évident que par l’application seule de la Géométrie & du calcul, on peut, sans le secours d’aucun autre principe, trouver les propriétés générales du Mouvement, varié suivant une loi quelconque. Mais comment arrive-t-il que le Mouvement d’un corps suive telle ou telle loi particuliere ? C’est sur quoi la Géométrie seule ne peut rien nous apprendre, & c’est aussi ce qu’on peut regarder comme le premier Problême qui appartienne immédiatement à la Méchanique.

On voit d’abord fort clairement, qu’un corps ne peut se donner le Mouvement à lui-même. Il ne peut donc être tiré du repos, que par l’action de quelque cause étrangere. Mais continue-t-il à se mouvoir de lui-même, ou a-t-il besoin pour se mouvoir de l’action répétée de la cause ? Quelque parti qu’on pût prendre là-dessus, il sera toujours incontestable, que l’existence du Mouvement étant une fois supposée sans aucune autre hypothese particuliere, la loi la plus simple qu’un mobile puisse observer dans son Mouvement, est la loi d’uniformité, & c’est par conséquent celle qu’il doit suivre, comme on le verra plus au long dans le premier Chapitre de ce Traité. Le Mouvement est donc uniforme par sa nature : j’avoue que les preuves qu’on a données jusqu’à présent de ce principe, ne sont peut-être pas fort convaincantes : on verra dans mon Ouvrage les difficultés qu’on peut y opposer, & le chemin que j’ai pris pour éviter de m’engager à les résoudre. Il me semble que cette loi d’uniformité essentielle au Mouvement considéré en lui-même, fournit une des meilleures raisons sur lesquelles la mesure du tems par le Mouvement uniforme puisse être appuyée. Aussi j’ai cru devoir entrer là-dessus dans quelque détail, quoiqu’au fond cette discussion puisse paroître étrangere à la Méchanique.

La force d’inertie, c’est-à-dire la propriété qu’ont les Corps de persévérer dans leur état de repos ou de Mouvement, étant une fois établie, il est clair que le Mouvement, qui a besoin d’une cause pour commencer au moins à exister, ne sauroit non plus être accéléré ou retardé que par une cause étrangere. Or quelles sont les causes capables de produire ou de changer le Mouvement dans les Corps ? Nous n’en connoissons jusqu’à présent que de deux sortes : les unes se manifestent à nous en même-tems que l’effet qu’elles produisent, ou plutôt dont elles sont l’occasion : ce sont celles qui ont leur source dans l’action sensible & mutuelle des Corps, résultante de leur impénétrabilité : elles se réduisent à l’impulsion & à quelques autres actions dérivées de celle-là : toutes les autres causes ne se font connoître que par leur effet, & nous en ignorons entiérement la nature : telle est la cause qui fait tomber les Corps pesans vers le centre de la Terre, celle qui retient les Planètes dans leurs orbites, &c.

Nous verrons bientôt comment on peut déterminer les effets de l’impulsion, & des causes qui peuvent s’y rapporter : pour nous en tenir à celles de la seconde espece, il est clair que lorsqu’il est question des effets produits par de telles causes, ces effets doivent toujours être donnés indépendamment de la connoissance de la cause, puisqu’ils ne peuvent en être déduits : c’est ainsi que sans connoître la cause de la pesanteur, nous apprenons par l’expérience que les espaces décrits par un Corps qui tombe, sont entr’eux comme les quarrés des tems. En général, dans les Mouvements variés dont les causes sont inconnues, il est évident que l’effet produit par la cause, soit dans un tems fini, soit dans un instant, doit toujours être donné par l’équation entre les tems & les espaces : cet effet une fois connu, & le principe de la force d’inertie supposé, on n’a plus besoin que de la Géométrie seule & du calcul, pour découvrir les propriétés de ces sortes de Mouvements. Pourquoi donc aurions-nous recours à ce principe dont tout le monde fait usage aujourd’hui, que la force accélératrice ou retardatrice est proportionnelle à l’élément de la vitesse ? principe appuyé sur cet unique axiome vague & obscur, que l’effet est proportionnel à sa cause. Nous n’examinerons point si ce principe est de vérité nécessaire ; nous avouerons seulement que les preuves qu’on en a apportées jusqu’ici, ne nous paroissent pas hors d’atteinte : nous ne l’adopterons pas non plus, avec quelques Géometres, comme de vérité purement contingent, ce qui ruineroit la certitude de la Méchanique, & la réduiroit à n’être plus qu’une Science expérimentale : nous nous contenterons d’observer, que vrai ou douteux, clair ou obscur, il est inutile à la Méchanique, & que par conséquent il doit en être banni.

Nous n’avons fait mention jusqu’à présent, que du changement produit dans la vitesse du mobile par les causes capables d’altérer son Mouvement : & nous n’avons point encore cherché ce qui doit arriver, si la cause motrice tend à mouvoir le corps dans une direction différente de celle qu’il a déja. Tout ce que nous apprend dans ce cas le principe de la force d’inertie, c’est que le mobile ne peut tendre qu’à décrire une ligne droite, & à la décrire uniformément : mais cela ne fait connoître ni sa vitesse ni sa direction. On est donc obligé d’avoir recours à un second principe, c’est celui qu’on appelle la composition des Mouvemens, & par lequel on détermine le Mouvement unique d’un Corps qui tend à se mouvoir suivant différentes directions à la fois avec des vitesses données. On trouvera dans cet Ouvrage une démonstration nouvelle de ce principe, dans laquelle je me suis proposé, & d’éviter toutes les difficultés auxquelles sont sujettes les démonstrations qu’on en donne communément, & en même-tems de ne pas déduire d’un grand nombre de propositions compliquées, un principe qui étant l’un des premiers de la Méchanique, doit nécessairement être appuyé sur des preuves simples & faciles.

Comme le Mouvement d’un Corps qui change de direction, peut être regardé comme composé du Mouvement qu’il avoit d’abord & d’un nouveau Mouvement qu’il a reçû, de même le Mouvement que le Corps avoit d’abord peut être regardé comme composé du nouveau Mouvement qu’il a pris, & d’un autre qu’il a perdu. Delà il s’ensuit que les loix du Mouvement changé par quelques obstacles que ce puisse être, dépendent uniquement des loix du Mouvement détruit par ces mêmes obstacles. Car il est évident qu’il suffit de décomposer le Mouvement qu’avoit le Corps avant la rencontre de l’obstacle, en deux autres Mouvemens, tels, que l’obstacle ne nuise point à l’un, & qu’il anéantisse l’autre. Par-là, on peut non-seulement démontrer les loix du Mouvement changé par des obstacles insurmontables, les seules qu’on ait trouvées jusqu’à présent par cette Méthode ; on peut encore déterminer dans quel cas le Mouvement est détruit par ces mêmes obstacles. A l’égard des loix du Mouvement changé par des obstacles qui ne sont pas insurmontables en eux-mêmes, il est clair par la même raison, qu’en général il ne faut pour déterminer ces loix, qu’avoir bien constaté celles de l’équilibre.

Or quelle doit être la loi général de l’équilibre des Corps ! Tous les Géometres conviennent, que deux Corps dont les directions sont opposées, se font équilibre quand leurs masses sont en raison inverse des vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir ; mais il n’est peut-être pas facile de démontrer cette loi en toute rigueur, & d’une maniere qui ne renferme aucune obscurité ; aussi la plûpart des Géometres ont-ils mieux aimé la traiter d’axiome, que de s’appliquer à la prouver. Cependant, si l’on y fait attention, on verra qu’il n’y a qu’un seul cas où l’équilibre se manifeste d’une maniere claire & distincte ; c’est celui où les masses des deux Corps sont égales, & leurs vitesses égales & opposées. Le seul parti qu’on puisse prendre, ce me semble, pour démontrer l’équilibre dans les autres cas, est de les réduire, s’il se peut, à ce premier cas simple & évident par lui-même. C’est aussi ce que j’ai tâché de faire ; le Lecteur jugera si j’y ai réussi.

Le Principe de l’équilibre joint à ceux de la force d’inertie & du Mouvement composé, nous conduit donc à la solution de tous les Problêmes où l’on considere le Mouvement d’un Corps, en tant qu’il peut être altéré par un obstacle impénétrable & mobile, c’est-à-dire en général par un autre Corps à qui il doit nécessairement comuniquer du Mouvement pour conserver au moins une partie du sien. De ces Principes combinés on peut donc aisément déduire les loix du Mouvement des Corps qui se choquent d’une maniere quelconque, ou qui se tirent par le moyen de quelque Corps interposé entr’eux, & auquel ils sont attachés.

Si les Principes de la force d’inertie, du Mouvement composé, & de l’équilibre, sont essentiellement différens l’un de l’autre, comme on ne peut s’empêcher d’en convenir ; & si d’un autre côté, ces trois Principes suffisent à la Méchanique, c’est avoir réduit cette Science au plus petit nombre de Principes possible, que d’avoir établi sur ces trois Principes toutes les loix du Mouvement des Corps dans des circonstances quelconques, comme j’ai tâché de le faire dans ce Traité.

A l’égard des démonstrations de ces Principes en eux-mêmes, le plan que j’ai suivi pour leur donner toute la clarté & la simplicité dont elles m’ont paru susceptibles, a été de les déduire toujours de la considération seule du Mouvement, envisagé de la maniere la plus simple & la plus claire. Tout ce que nous voyons bien distinctement dans le Mouvement d’un Corps, c’est qu’il parcourt un certain espace, & qu’il employe un certain tems à le parcourir. C’est donc de cette seule idée qu’on doit tirer tous les Principes de la Méchanique, quand on veut les démontrer d’une maniere nette & précise ; ainsi on ne sera point surpris qu’en conséquence de cette réflexion, j’aie, pour ainsi dire, détourné la vûe de dessus les causes motrices, pour n’envisager uniquement que le Mouvement qu’elles produisent ; que j’aie entiérement proscrit les forces inhérentes au Corps en Mouvement, êtres obscurs & Métaphysiques, qui ne sont capables que de répandre les ténèbres sur une Science claire par elle-même.

C’est par cette raison que j’ai cru ne devoir point entrer dans l’examen de la fameuse question des forces vives. Cette question qui depuis trente ans partage les Géometres, consiste à savoir, si la force des Corps en Mouvement est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse, ou au produit de la masse par le quarré de la vitesse : par exemple, si un Corps double d’un autre, & qui a trois fois autant de vitesse, a dix-huit fois autant de force ou six fois autant seulement. Malgré les disputes que cette question a causées, l’inutilité parfaite dont elle est pour la Méchanique, m’a engagé à n’en faire aucune mention dans l’Ouvrage que je donne aujourd’hui : je ne crois pas néanmoins devoir passer entiérement sous silence une opinion, dont Leibnitz a cru pouvoir se faire honneur comme d’une découverte ; que le grand Bernoulli a depuis si savamment & si heureusement approfondie^[1] ; que Mac-Laurin a fait tous ses efforts pour renverser ; & à laquelle enfin les écrits d’un grand nombre de Mathématiciens illustres ont contribué à intéresser le Public. Ainsi, sans fatiguer le Lecteur par le détail de tout ce qui a été dit sur cette question, il ne sera par hors de propos d’exposer ici très-succinctement les Principes qui peuvent servir à la résoudre.

Quand on parle de la force des Corps en Mouvement, ou l’on n’attache point d’idée nette au mot qu’on prononce, ou l’on ne peut entendre par-là en général, que la propriété qu’ont les Corps qui se meuvent, de vaincre les obstacles qu’ils rencontrent, ou de leur résister. Ce n’est donc ni par l’espace qu’un Corps parcourt uniformément, ni par le tems qu’il employe à le parcourir, ni enfin par la considération simple, unique & abstraite de sa masse & de sa vitesse qu’on doit estimer immédiatement la force ; c’est uniquement par les obstacles qu’un Corps rencontre, & par la résistance que lui font ces obstacles. Plus l’obstacle qu’un Corps peut vaincre, ou auquel il peut résister, est considérable, plus on peut dire que sa force est grande, pourvû que sans vouloir représenter par ce mot un prétendu être qui réside dans le Corps, on ne s’en serve que comme d’une maniere abrégée d’exprimer un fait, à peu près comme on dit qu’un Corps a deux fois autant de vitesse qu’un autre, au lieu de dire qu’il parcourt en tems égal deux fois autant d’espace, sans prétendre pour cela que ce mot de vitesse représente un être inhérent au corps.

Ceci bien entendu, il est clair qu’on peut opposer au Mouvement d’un Corps trois sortes d’obstacles ; ou des obstacles invincibles qui anéantissent tout-à-fait son Mouvement, quel qu’il puisse être ; ou des obstacles qui n’ayent précisément que la résistance nécessaire pour anéantir le Mouvement du Corps, & qui l’anéantissent dans un instant, c’est le cas de l’équilibre ; ou enfin des obstacles qui anéantissent le Mouvement peu à peu, c’est le cas du Mouvement retardé. Comme les obstacles insurmontables anéantissent également toutes sortes de Mouvement, ils ne peuvent servir à faire connoître la force : ce n’est donc que dans l’équilibre, ou dans le Mouvement retardé qu’on doit en chercher la mesure. Or tout le monde convient qu’il y a équilibre entre deux Corps, quand les produits de leurs masses par leurs vitesses virtuelles, c’est-à-dire par les vitesses avec lesquelles ils tendent à se mouvoir, sont égaux de part & d’autre. Donc dans l’équilibre le produit de la masse par la vitesse, ou, ce qui est la même chose, la quantité de Mouvement, peut représenter la force. Tout le monde convient aussi que dans le Mouvement retardé, le nombre des obstacles vaincus est comme le quarré de la vitesse ; ensorte qu’un Corps qui a fermé un ressort, par exemple, avec une certaine vitesse, pourra avec une vitesse double fermer, ou tout à la fois, ou successivement, non pas deux, mais quatre ressorts semblables au premier, neuf avec une vitesse triple, & ainsi du reste. D’où les partisans des forces vives concluent que la force des Corps qui se meuvent actuellement, est en général comme le produit de la masse par le quarré de la vitesse. Au fond, quel inconvénient pourroit-il y avoir à ce que la mesure des forces fût différente dans l’équilibre & dans le Mouvement retardé, puisque, si on veut ne raisonner que d’après des idées claires, on doit n’entendre par le mot de force, que l’effet produit en surmontant l’obstacle ou en lui résistant ? Il faut avouer cependant que l’opinion de ceux qui regardent la force comme le produit de la masse par la vitesse, peut avoir lieu non-seulement dans le cas de l’équilibre, mais aussi dans celui du Mouvement retardé, si dans ce dernier cas on mesure la force, non par la quantité absolue des obstacles, mais par la somme des résistances de ces mêmes obstacles. Car on ne sauroit douter que cette somme de résistances ne soit proportionnelle à la quantité de Mouvement, puisque, de l’aveu de tout le monde, la quantité de Mouvement que le Corps perd à chaque instant, est proportionnelle au produit de la résistance par la durée infiniment petite de l’instant, & que la somme de ces produits est évidemment la résistance totale. Toute la difficulté se réduit donc à savoir si on doit mesurer la force par la quantité absolue des obstacles, ou par la somme de leurs résistances. Il paroîtroit plus naturel de mesurer la force de cette derniere maniere ; car un obstacle n’est tel qu’entant qu’il résiste, & c’est, à proprement parler, la somme des résistances qui est l’obstacle vaincu : d’ailleurs, en estimant ainsi la force, on a l’avantage d’avoir pour l’équilibre & pour le Mouvement retardé une mesure commune : néanmoins comme nous n’avons d’idée précise & distincte du mot de force, qu’en restraignant ce terme à exprimer un effet, je crois qu’on doit laisser chacun le maître de se décider comme il voudra là-dessus ; & toute la question ne peut plus consister, que dans une discussion Métaphysique très-futile, ou dans une dispute de mots plus indigne encore d’occuper des Philosophes.

Tout ce que nous venons de dire suffit assez pour le faire sentir à nos Lecteurs. Mais une réflexion bien naturelle achevera de les en convaincre. Soit qu’un Corps ait une simple tendance à se mouvoir avec une certaine vitesse, tendance arrêtée par quelque obstacle ; soit qu’il se meuve réellement & uniformément avec cette vitesse ; soit enfin qu’il commence à se mouvoir avec cette même vitesse, laquelle se consume & s’anéantisse peu à peu par quelque cause que ce puisse être ; dans tous ces cas, l’effet produit par le Corps est différent, mais le Corps considéré en lui-même n’a rien de plus dans un cas que dans un autre ; seulement l’action de la cause qui produit l’effet est différemment appliquée. Dans le premier cas, l’effet se réduit à une simple ce, qui n’a point proprement de mesure précise, puisqu’il n’en résulte aucun mouvement ; dans le second, l’effet est l’espace parcouru uniformément dans un tems donné, & cet effet est proportionnel à la vitesse ; dans le troisiéme, l’effet est l’espace parcouru jusqu’à l’extinction totale du Mouvement, & cet effet est comme le quarré de la vitesse. Or ces différens effets sont évidemment produits par une même cause ; donc ceux qui ont dit que la force étoit tantôt comme la vitesse, tantôt comme son quarré, n’ont pu entendre parler que de l’effet, quand ils se sont exprimés de la sorte. Cette diversité d’effets provenans tous d’une même cause, peut servir, pour le dire en passant, à faire voir le peu de justesse & de précision de l’axiome prétendu, si souvent mis en usage, sur la proportionalité des causes à leurs effets.

Enfin ceux mêmes qui ne seroient pas en état de remonter jusqu’aux Principes Métaphysiques de la question des forces vives, verront aisément qu’elle n’est qu’une dispute de mots, s’ils considerent que les deux partis sont d’ailleurs entiérement d’accord sur les principes fondamentaux de l’équilibre & du mouvement. Qu’on propose le même Problême de Méchanique à résoudre à deux Géometres, dont l’un soit adversaire & l’autre partisan des forces vives, leurs solutions, si elles sont bonnes, seront toujours parfaitement d’accord ; la question de la mesure des forces est donc entiérement inutile à la Méchanique, & même sans aucun objet réel. Aussi n’auroit-elle pas sans doute enfanté tant de volumes, si on se fût attaché à distinguer ce qu’elle renfermoit de clair & d’obscur. En s’y prenant ainsi, on n’auroit eu besoin que de quelques lignes pour décider la question : mais il semble que la plûpart de ceux qui ont traité cette matiere, ayent craint de la traiter en peu de mots.

La réduction que nous avons faite de toutes les loix de la Méchanique à trois, celle de la force d’inertie, celle du mouvement composé, & celle de l’équilibre, peut servir à résoudre le grand Problême Métaphysique, proposé depuis peu par une des plus célébres Académies de l’Europe, si les loix de la Statique & de la Méchanique sont de vérité nécessaire ou contingente ? Pour fixer nos idées sur cette question, il faut d’abord la réduire au seul sens raisonnable qu’elle puisse avoir. Il ne s’agit pas de décider si l’Auteur de la nature auroit pu lui donner d’autres loix que celles que nous y observons ; dès qu’on admet un être intelligent capable d’agir sur la matiere, il est évident que cet être peut à chaque instant la mouvoir & l’arrêter à son gré, ou suivant des loix uniformes, ou suivant des loix qui soient différentes pour chaque instant & pour chaque partie de matiere ; l’expérience continuelle des mouvemens de notre corps, nous prouve assez que la matiere, soumise à la volonté d’un principe pensant, peut s’écarter dans ses mouvemens de ceux qu’elle auroit véritablement si elle étoit abandonnée à elle-même. La question proposée se réduit donc à savoir si les loix de l’équilibre & du mouvement qu’on observe dans la nature, sont différentes de celles que la matiere abandonnée à elle-même auroit suivies ; développons cette idée. Il est de la derniere évidence qu’en se bornant à supposer l’existence de la matiere & du mouvement, il doit nécessairement résulter de cette double existence certains effets ; qu’un Corps mis en mouvement par quelque cause, doit ou s’arrêter au bout de quelque tems, ou continuer toujours à se mouvoir ; qu’un corps qui tend à se mouvoir à la fois suivant les deux côtés d’un parallélogramme, doit nécessairement décrire, ou la diagonale, ou quelqu’autre ligne ; que quand plusieurs Corps en mouvement se rencontrent & se choquent, il doit nécessairement arriver en conséquence de leur impénétrabilité mutuelle quelque changement dans l’état de tous ces Corps, ou au moins dans l’état de quelques-uns d’entr’eux. Or des différens effets possibles, soit dans le mouvement d’un Corps isolé, soit dans celui de plusieurs Corps qui agissent les uns sur les autres, il en est un qui dans chaque cas doit infailliblement avoir lieu en conséquence de l’existence seule de la matiere, & abstraction faite de tout autre principe différent, qui pourroit modifier cet effet ou l’altérer. Voici donc la route qu’un Philosophe doit suivre pour résoudre la question dont il s’agit. Il doit tâcher d’abord de découvrir par le raisonnement quelles seroient les loix de la Statique & de la Méchanique dans la matiere abandonnée à elle-même ; il doit examiner ensuite par l’expérience quelles sont ces loix dans l’univers ; si les unes & les autres sont différentes, il en conclura que les loix de la Statique & de la Méchanique, telle que l’expérience les donne, sont de vérité contingente, puisqu’elles seront la suite d’une volonté particuliere & expresse de l’être suprême ; si au contraire les loix données par l’expérience s’accordent avec celles que le raisonnement seul a fait trouver, il en conclura que les loix observées sont de vérité nécessaire ; non pas en ce sens que le Créateur n’eût pû établir des loix toutes différentes, mais en ce sens qu’il n’a pas jugé à propos d’en établir d’autres que celles qui résultoient de l’éxistence même de la matiere.

Or nous croyons avoir démontré dans cet Ouvrage, qu’un Corps abandonné à lui-même doit persister éternellement dans son état de repos ou de mouvement uniforme ; nous croyons avoir démontré de même que s’il tend à se mouvoir à la fois suivant les deux côtés d’un parallélogramme quelconque, la diagonale est la direction qu’il doit prendre de lui-même, & pour ainsi dire, choisir entre toutes les autres. Nous avons démontré enfin que toutes les loix de la communication du mouvement entre les Corps se réduisent aux loix de l’équilibre, & que les loix de l’équilibre se réduisent elles-mêmes à celles de l’équilibre de deux Corps égaux, animés en sens contraires de vitesses virtuelles égales. Dans ce dernier cas les mouvemens des deux Corps se détruiront évidemment l’un l’autre, & par une conséquence géométrique il y aura encore nécessairement équilibre, lorsque les masses seront en raison inverse des vitesses ; il ne reste plus qu’à savoir si le cas de l’équilibre est unique, c’est-à-dire si quand les masses ne seront pas en raison inverse des vitesses, un des Corps devra nécessairement obliger l’autre à se mouvoir. Or il est aisé de sentir que dès qu’il y a un cas possible & nécessaire d’équilibre, il ne sauroit y en avoir d’autres : sans cela les loix du choc des Corps, qui se réduisent nécessairement à celles de l’équilibre, deviendroient indéterminées ; ce qui ne sauroit être, puisqu’un Corps venant en choquer un autre, il doit necessairement en résulter un effet unique, suite indispensable de l’existence & de l’impénétrabilité de ces Corps. On peut d’ailleurs démontrer l’unité de la loi d’équilibre par un autre raisonnement, trop Mathématique pour être développé dans ce Discours, mais que j’ai tâché de rendre sensible dans mon Ouvrage, & auquel je renvoye le Lecteur^[2].

De toutes ces réflexions, il s’ensuit que les loix de la Statique & de la Méchanique, exposées dans ce Livre, sont celles qui résultent de l’existence de la matiere & du mouvement. Or l’expérience nous prouve que ces loix s’observent en effet dans les Corps qui nous environnent. Donc les loix de l’équilibre & du mouvement, telles que l’observation nous les fait connoître, sont de vérité nécessaire. Un Métaphysicien se contenteroit peut-être de le prouver, en disant qu’il étoit de la sagesse du Créateur & de la simplicité de ses vûes, de ne point établir d’autres loix de l’équilibre & du mouvement, que celles qui résultent de l’existence même des Corps, & de leur impénétrabilité mutuelle ; mais nous avons cru devoir nous abstenir de cette maniere de raisonner, parce qu’il nous a paru qu’elle porteroit sur un principe trop vague ; la nature de l’être suprême nous est trop cachée pour que nous puissions connoître directement ce qui est ou n’est pas conforme aux vûes de sa sagesse ; nous pouvons seulement entrevoir les effets de cette sagesse dans l’observation des loix de la nature, lorsque le raisonnement Mathématique nous aura fait voir la simplicité de ces loix, & que l’expérience nous en aura montré les applications & l’étendue.

Cette réflexion peut servir, ce me semble, à nous faire apprétier les démonstrations, que plusieurs Philosophes ont données des loix du mouvement d’après le principe des causes finales, c’est-à-dire d’après les vûes que l’Auteur de la nature a dû se proposer en établissant ces loix. De pareilles démonstrations ne peuvent avoir de force qu’autant qu’elles sont précédées & appuyées par des démonstrations directes & tirées de principes qui soient plus à notre portée ; autrement il arriveroit souvent qu’elles nous induiroient en erreur. C’est pour avoir suivi cette route, pour avoir cru qu’il étoit de la sagesse du Créateur de conserver toujours la même quantité de mouvement dans l’univers, que Descartes s’est trompé sur les loix de la percussion. Ceux qui l’imiteroient courroient risque ou de se tromper comme lui, ou de donner pour un principe général ce qui n’auroit lieu que dans certains cas, ou enfin de regarder comme une loi primitive de la nature, ce qui ne seroit qu’une conséquence purement Mathématique de quelques formules.

Après avoir donné au Lecteur une idée générale de l’objet que je me suis proposé dans cet Ouvrage, il ne me reste plus qu’un mot à dire sur la forme que j’ai cru devoir lui donner. J’ai tâché dans ma premiere Partie de mettre, le plus qu’il m’a été possible, les Principes de la Méchanique à la portée des commençans ; je n’ai pu me dispenser d’employer le calcul différentiel dans la théorie des mouvemens variés ; c’est la nature du sujet qui m’y a contraint. Au reste, j’ai fait ensorte de renfermer dans cette premiere Partie un assez grand nombre de choses dans un fort petit espace, & si je ne suis point entré dans tout le détail que la matiere pouvoit comporter, c’est qu’uniquement attentif à l’exposition & au développement des principes essentiels de la Méchanique, & ayant pour but de réduire cet Ouvrage à ce qu’il peut contenir de nouveau en ce genre, je n’ai pas cru devoir le grossir d’une infinité de propositions particulieres que l’on trouvera aisément ailleurs.

La seconde Partie, dans laquelle je me suis proposé de traiter des loix du mouvement des Corps entr’eux, fait la portion la plus considérable de l’Ouvrage : c’est la raison qui m’a engagé à donner à ce Livre le nom de Traité de Dynamique. Ce nom qui signifie proprement la Science des puissances ou causes motrices, pourroit paroître d’abord ne pas convenir à ce Livre, dans lequel j’envisage plutôt la Méchanique comme la Science des effets, que comme celle des causes : néanmoins comme le mot de Dynamique est fort usité aujourd’hui parmi les Savans, pour signifier la Science du mouvement des Corps, qui agissent les uns sur les autres d’une maniere quelconque, j’ai cru devoir le conserver, pour annoncer aux Géometres par le titre même de ce Traité, que je m’y propose principalement pour but de perfectionner & d’augmenter cette partie de la Méchanique. Comme elle n’est pas moins curieuse qu’elle est difficile, & que les Problêmes qui s’y rapportent composent une classe très-étendue, les plus grands Géometres s’y sont appliqués particuliérement depuis quelques années : mais ils n’ont résolu jusqu’à présent qu’un très-petit nombre de Problêmes de ce genre, & seulement dans des cas particuliers : la plûpart des solutions qu’ils nous ont données sont appuyées outre cela sur des principes que personne n’a encore démontrés d’une maniere générale ; tels, par exemple, que celui de la conservation des forces vives. J’ai donc cru devoir m’étendre principalement sur ce sujet, & faire voir comment on peut résoudre toutes les questions de Dynamique par une même Méthode fort simple & fort directe, & qui ne consiste que dans la combinaison dont j’ai parlé plus haut, des principes de l’équilibre & du mouvement composé. J’en montre l’usage dans un petit nombre de Problêmes choisis, dont quelques-uns sont déja connus, d’autres sont entiérement nouveaux, d’autres enfin ont été mal résolus, même par les plus Savans Mathématiciens.

L’élégance dans la solution d’un Problême, consistant surtout à n’y employer que des principes directs & en très-petit nombre, on ne sera pas surpris que l’uniformité qui regne dans toutes mes solutions, & que j’ai eue principalement en vûe, les rende quelquefois un peu plus longues, que si je les avois déduites de principes moins directs. La démonstration que j’aurois été obligé de faire de ces principes, ne pouvoit d’ailleurs que m’écarter de la briéveté que j’aurois cherché à me procurer par leur moyen ; & la portion la plus considérable de mon Livre, n’auroit plus été qu’un amas informe de Problêmes peu digne de voir le jour, malgré la variété que j’ai tâché d’y répandre, & les difficultés qui sont particulieres à chacun d’eux.

Au reste, comme cette seconde Partie est destinée principalement à ceux, qui déja instruits du calcul différentiel & intégral, se seront rendus familiers les principes établis dans la premiere, ou seront déja exercés à la solution des Problêmes connus & ordinaires de la Méchanique ; je dois avertir que pour éviter les circonlocutions, je me suis souvent servi du terme obscur de force, & de quelques autres qu’on employe communément quand on traite du mouvement des Corps ; mais je n’ai jamais prétendu attacher à ces termes d’autres idées que celles qui résultent des principes que j’ai établis, soit dans ce Discours, soit dans la premiere Partie de ce Traité.

Enfin, du même principe qui me conduit à la solution de tous les Problêmes de Dynamique, je déduis aussi plusieurs propriétés du centre de gravité, dont les unes sont entiérement nouvelles, les autres n’ont été prouvées jusqu’à présent que d’une maniere vague & obscure, & je termine l’Ouvrage par une démonstration du principe appellé communément la conservation des forces vives.

L’accueil que le Public a fait à ce premier essai, lorsqu’il parût en 1743, m’a engagé à publier en 1744 un autre Ouvrage, dans lequel ce qui concerne le mouvement & l’équilibre des fluides a été traité suivant la même Méthode, & par le même principe. Cette matiere épineuse & délicate n’est pas la seule à laquelle j’aie appliqué ce principe ; j’en ai fait le plus grand usage dans mes Recherches sur la précession des Equinoxes, Problême dont j’ai donné le premier la solution, long-tems & inutilement cherchée par de très-grands Géometres ; dans mon Essai sur la résistance des fluides, fondé sur une théorie entiérement nouvelle ; dans mes Réflexions sur la cause des vents, pour calculer les oscillations que l’action du Soleil & de la Lune doivent produire dans notre Atmosphère, & que personne n’avoit encore entrepris de déterminer ; enfin j’ose dire que plus j’ai eu d’occasions d’employer les Méthodes exposées & developpées dans cet Ouvrage, plus j’ai reconnu la simplicité, la généralité & la fécondité de ces Méthodes.

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1. Voyez le Discours sur les loix de la communication du Mouvement, qui a mérité l’éloge de l’Académie en l’année 1726 où le P. Maziere remporta le prix. La raison pour laquelle la piece de M. Bernoulli ne fut point couronnée, se trouve dans l’éloge que j’ai publié de ce grand Géometre, quelques mois après sa mort, arrivée au commencement de 1748.
2. Voyez l’article 46 à la fin du troisiéme cas, &. l’article 47.