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Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 118-187).

SECTION CINQUIÈME.

Des Formes, et des Équations indéterminées du second degré.

153. Nous parlerons surtout dans cette section des fonctions de deux indéterminées de la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres entiers donné, fonctions que nous appellerons formes du second degré, ou simplement formes. Ces recherches nous conduiront à trouver toutes les solutions d’une équation indéterminée quelconque du second degré à deux inconnues, soit qu’on puisse en obtenir la solution en nombres entiers, ou seulement en nombres rationnels. Quoique ce problème ait déjà été résolu dans toute sa généralité par Lagrange, et qu’il ait trouvé plusieurs propriétés des formes, auxquelles il faut encore joindre celles découvertes par Euler, ou démontrées par lui et annoncées par Fermat : cependant un examen plus approfondi des formes nous a fait voir tant de choses nouvelles, que nous avons cru utile de reprendre ce sujet en entier, avec d’autant plus de raison que nous avons remarqué que les découvertes de ces hommes illustres, répandues dans divers ouvrages, étaient connues de peu de personnes. D’ailleurs la méthode que nous avons employée nous appartient presque en entier, et les choses que nous pouvions ajouter n’auraient pas été entendues sans une nouvelle exposition. Au reste nous placerons en temps et lieu ce qui a rapport à l’histoire des vérités remarquables.

Nous représenterons la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ par le symbole $(a,b,c)$, quand il ne s’agira pas des indéterminées $x$ et $y$. Ainsi cette expression désignera d’une manière indéfinie la somme de trois parties, dont la première est le produit d’un nombre donné $a$ par le quarré d’une indéterminée quelconque, la seconde le double du produit de $b$ et de cette indéterminée multipliée par une autre, et la troisième le produit de $c$ par le quarré de cette seconde indéterminée. Par exemple, $(1,0,2)$ exprimera la somme d’un quarré et du double d’un quarré. Au reste, quoique les formes $(a,b,c)$ et $(c,b,a)$ soient les mêmes, quant à leurs parties, elles diffèrent cependant si l’on fait attention à l’ordre de ces parties ; aussi nous les distinguerons avec soin, et la suite fera voir l’avantage qui en résultera.

154. Nous dirons qu’un nombre donné est représenté par une forme donnée, si l’on peut trouver pour les indéterminées de cette forme des valeurs qui la rendent égale au nombre donné.

Théorème. Si un nombre $\mathrm {M}$ peut être représenté par la forme $\mathrm {(a,b,c)}$ de manière que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles ; $\mathrm {b^{2}-ac}$ sera résidu quadratique de $\mathrm {M} .$

Soit $m$ et $n$ les valeurs des indéterminées, et qu’on ait $am^{2}+2bmn+cn^{2}=M$, et prenons les nombres $\mu$ et $\nu$ tels qu’on ait $\mu m+\nu n=1$ (n^o 40). On prouvera facilement par la multiplication, que

	$\ (am^{2}+2bmn+cn^{2})(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})$
$=$	$\left\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}\right\}-(b^{2}-ac)(m\mu +n\nu )^{2},$

ou

$M(a\nu ^{2}-2b\mu \nu +c\mu ^{2})=\{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}-(b^{2}-ac)\ ;$

donc

$b^{2}-ac\equiv \{\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\}^{2}{\pmod {M}}$

c’est-à-dire que $b^{2}-ac$ est résidu quadratique de $M$.

Nous appellerons par la suite déterminant de la forme $(a,b,c)$ le nombre $b^{2}-ac$, dont nous verrons que dépendent en grande partie les propriétés de cette forme.

155. Il suit de ce qu’on vient de voir que $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$ est la valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Or $\mu$ et $\nu$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières pour satisfaire à l’équation $m\mu +n\nu =1\,;$ il en résultera donc différentes valeurs pour cette expression ; examinons quelles relations elles ont entre elles.

Soient

$m\mu +n\nu =1$,

$m\mu '+n\nu '=1$ ;

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)=V$, $\mu '(mb+nc)-\nu '(ma+nb)=V'$.

Si l’on multiplie la première équation par $\mu '$, la seconde par $\mu$, et qu’on retranche l’un des résultats de l’autre, il vient $\mu '-\mu =n(\mu '\nu -\mu \nu ')$ ; en multipliant par $\nu '$ et $\nu$, on tirera de même $\nu '-\nu =m(\mu \nu '-\mu '\nu )$. Mais les deux dernières donnent alors

$V'-V=(\mu '-\mu )(mb+nc)-(\nu '-\nu )(ma+nb)$

et substituant pour $\mu '-\mu$, $\nu '-\nu$ leurs valeurs

$V'-V=(\mu \nu '-\mu '\nu )(am^{2}+2bmn+cn^{2})=(\mu \nu '-\mu '\nu )M\ldots$

${\text{ou}}\quad V'\equiv V{\bmod {M}}.$

Ainsi, de quelque manière que $\mu$ et $\nu$ soient déterminés, la formule $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$ ne peut donner des valeurs différentes, c’est-à-dire incongrues, de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Si donc $V$ est une valeur quelconque de cette formule, nous dirons que la représentation du nombre $M$ par la forme $ax^{2}+2bxy+cy$, dans laquelle $x=m$ et $y=n$, appartient à la valeur $V$ de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$. Au reste on peut faire voir facilement que si $V$ est une valeur de cette formule, et que $V'\equiv V{\pmod {M}}$, on pourra prendre à la place de $\mu$ et $\nu$ d’autres nombres $\mu '=\mu +{\frac {n(V'-V)}{M}}$, et $\nu '=\nu -{\frac {m(V'-V)}{M}}$ qui donnent $V'$. Il suffit de faire $\mu '=\mu +{\frac {n(V-V')}{M}}$, $\nu '=\nu -{\frac {m(V-V')}{M}}$et l’on aura $\mu 'm+\nu 'n=\mu m+\nu n=1$ ; mais la valeur de la formule résultante de $\mu '$ et $\nu '$ surpassera celle qui résulte de $\mu$ et $\nu$ de la quantité $(\mu '\nu -\mu \nu ')M$ qui devient $=(\mu m+\nu n)(V'-V)=V'-V$ ; donc cette valeur sera $V'$.

156. Si l’on a deux représentations du même nombre par la même forme $(a,b,c)$, et que les valeurs des indéterminées soient premières entre elles, elles peuvent appartenir à la même valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$, ou à des valeurs différentes.

Soit

$M=am^{2}+2bmn+cn^{2}=am'^{2}+2bm'n'+cn'^{2}$, et $\mu m+\nu n=1$, $\mu 'n'+\nu 'm'=1\,;$

il est clair que si l’on a

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv \mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b){\bmod {M}},$

la congruence aura toujours lieu quelques valeurs convenables que l’on prenne pour $\mu$ et $\nu$, $\mu '$ et $\nu '$, auquel cas nous dirons que la représentation du nombre $M$ appartient à la même valeur de l’expression ${\sqrt {b^{2}-ac}}{\pmod {M}}$.

Mais si pour quelques valeurs de $\mu$, et $\nu$, $\mu '$ et $\nu '$, cette congruence n’a pas lieu, elle n’aura lieu pour aucune, et les représentations appartiendront à des valeurs différentes. Et, si l’on avait

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv -\{\mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b)\},$

nous dirions que les représentations appartiennent à des valeurs opposées. Nous nous servirons de toutes ces dénominations lorsqu’il s’agit de plusieurs représentations du même nombre par des formes différentes, mais qui ont le même déterminant.

Exemple. Soit $(3,7,-8)$ la forme proposée dont le déterminant $=73$. Elle donne pour le nombre $57$ les représentations suivantes : $3.13^{2}+14.13.25-8.25^{2}$ ; $3.5^{2}+14.5.9-8.9^{2}$. Pour la première on peut prendre $\mu =2$, $\nu =-1$, d’où résulte la valeur de ${\sqrt {73}}{\pmod {57}}$, à laquelle la représentation appartient $=2(13.7+25.8)+(13.3+25.7)=-4$. De la même manière, en faisant $\mu =2$, $\nu =-1$, on trouve que la seconde représentation appartient à la valeur $+4$. Donc les deux représentations appartiennent à des valeurs opposées.

Avant d’aller plus loin, nous observerons que les formes dont le déterminant est zéro doivent être exclues des considérations suivantes, parcequ’elles nuiraient à l’élégance des théorèmes, et qu’elles exigent qu’on les traite en particulier.

157. Si la forme $F$, dont les indéterminées sont $x$, $y$, peut être changée en une autre $F'$, dont les indéterminées soient $x'$, $y'$, en y substituant $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ étant des nombres entiers, nous dirons que la première renferme la seconde, ou que la seconde est contenue dans la première.

Soient $F=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, $F'=a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$. On aura les trois équations suivantes :

$a'=$	$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$,
$b'=$	$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$
$c'=$	$a\beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$

Multipliant la seconde par elle-même, la première par la troisième, et retranchant, il vient

$b'^{2}-a'c'=(b^{2}-ac)(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;$

d’où il suit que le déterminant de la forme $F'$ est divisible par celui de la forme $F,$ et que le quotient est un quarré ; ainsi ces déterminans seront de même signe. Si, de plus, la forme $F'$ pouvait être changée en la forme $F$ par une transformation semblable, c’est-à-dire, si $F'$ était contenue sous $F$ et $F$ sous $F'$, les déterminans seraient égaux et $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$. Dans ce cas, nous les appellerons formes équivalentes. L’égalité des déterminans est une condition nécessaire pour l’équivalence des formes, mais il s’en faut bien qu’elle soit suffisante.

L’analyse précédente fait voir clairement que la même chose aura lieu pour les formes dont le déterminant est $=0$ ; mais l’équation $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$ ne peut pas s’étendre à ce cas-là.

Nous nommerons la substitution transformation propre, quand $\alpha \delta -\beta \gamma >0$, et transformation impropre, quand $\alpha \delta -\beta \gamma <0$, et la forme $F$ sera dite contenue proprement ou improprement dans la forme $F'$ selon que $F$ pourra être transformée en $F'$ par une transformation propre ou impropre. Si donc $F$ et $F'$ sont équivalentes, la transformation sera propre ou impropre, suivant que $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$. Si plusieurs transformations sont toutes propres ou toutes impropres, elles seront semblables ; mais une transformation propre et une transformation impropre seront dissemblables.

158. Si les déterminans de deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ sont égaux, et que $\mathrm {F'}$ soit contenue sous $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F}$ sera aussi contenue sous $\mathrm {F'}$ et le sera proprement ou improprement, suivant que $\mathrm {F'}$ sera contenue sous $\mathrm {F}$ proprement ou improprement.

Supposons que $F$ devienne $F'$ en posant $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'\ ;$ $F'$ deviendra $F$ en posant $x'=\delta x-\beta y$, $y'=-\gamma x+\alpha y$. Car on déduira par là de $F'$ le même résultat qu’en substituant dans $F$, à la place de $x$ et de $y$, $\alpha (\delta x-\beta y)+\beta (+\alpha y-\gamma x)$ et $\gamma (\delta x-\beta y)+\delta (+\alpha y-\gamma x)$, qui reviennent à$(\alpha \delta -\beta \gamma )x$ et $(\alpha \delta -\beta \gamma )y$. Or ce résultat serait évidemment $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}F=F$, puisque par hypothèse $(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}=1$. Or il est aisé de voir que la seconde transformation est propre ou impropre en même temps que la première.

Si $F'$ est contenu proprement dans $F$, et $F$ proprement dans $F'$, nous dirons que ces formes sont proprement équivalentes ; et si elles se contiennent improprement, nous dirons qu’elles sont improprement équivalentes. On verra bientôt l’utilité de ces distinctions.

Exemple. Par la substitution $x=2x'+y'$, $y=3x'+2y'$, la forme $2x^{2}-8xy+3y^{2}$ devient $-13x'^{2}-12x'y'-2y'^{2}$ ; et celle-ci se change en la première, par la substitution $x'=2x-y$, $y'=-3x+2y$. Donc les formes $(2,-4,+3)$ et $(-13,-6,-2)$ sont proprement équivalentes.

Nous allons maintenant nous occuper des problèmes suivans :

1^o. Étant données deux formes quelconques qui ont le même déterminant, chercher si elles sont équivalentes ou non, si elles le sont proprement ou improprement, ou des deux manières à-la-fois, ce qui est possible. Quand elles ont des déterminans inégaux, chercher si l’une ne renferme pas l’autre, proprement, improprement, ou des deux manières. Enfin trouver toutes les transformations tant propres qu’impropres de l’une dans l’autre.

2^o. Étant donnée une forme quelconque, trouver si un nombre donné peut être représenté par elle, et assigner toutes les représentations.

Mais comme les formes dont le déterminant est négatif exigent une autre méthode que celles dont le déterminant est positif, nous présenterons d’abord ce qu’il y a de commun aux deux cas, que nous considérerons ensuite séparément.

159. Si la forme $\mathrm {F}$ renferme la forme $\mathrm {F'}$, et que la forme $\mathrm {F'}$ renferme la forme $\mathrm {F''}$, $\mathrm {F}$ renfermera $\mathrm {F''} .$

Soient $x$, $y$ ; $x'$, $y'$ ; $x''$, $y''$, les indéterminées des formes $F$, $F'$, $F''$ respectivement, que $F$ devienne $F'$ en posant

$x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y',$

et que $F'$ devienne $F''$ en posant

$x'=\alpha 'x''+\beta 'y''$, $y'=\gamma 'x''+\delta 'y''.$

Il est clair que $F$ se changera en $F''$, en faisant

$x$	$=\alpha (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\beta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$
	$=(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')x''+(\alpha \beta '+\beta \delta ')y''$

et

$y$	$=\gamma (\alpha 'x''+\beta 'y'')+\delta (\gamma 'x''+\delta 'y'')$
	$=(\alpha '\gamma +\delta \gamma ')x''+\beta '\gamma +\delta \delta ')y''$ :

Comme

	$(\alpha \alpha '+\beta \gamma ')(\beta '\gamma +\delta \delta ')-(\alpha \beta '+\beta \delta ')(\alpha '\gamma +\gamma '\delta )$
$=$	$(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')$,

qui sera positif si les deux facteurs sont de même signe, et négatif dans le cas contraire, la forme $F$ renfermera donc $F''$ proprement, si F renferme $F'$, et $F'$, $F''$ de la même manière, soit proprement ou non, et la forme $F$ renfermera $F''$ improprement, dans le cas contraire.

Il suit de là que si l’on a tant de formes $F$, $F'$, $F''$, $F'''$, etc. qu’on voudra, telles que chacune renferme la suivante, la première renfermera la dernière, et la renfermera proprement ou improprement, suivant que le nombre des formes qui renferment la suivante improprement sera pair ou impair.

Si la forme $\mathrm {F}$ est équivalente à la forme $\mathrm {F'} ,$ et la forme $\mathrm {F'}$ à la forme $\mathrm {F''} ,$ la forme $\mathrm {F}$ sera équivalente à la forme $\mathrm {F''} ,$ et le sera proprement ou improprement, suivant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} '$, $\mathrm {F'}$ et $\mathrm {F''}$ seront équivalentes de la même manière ou d’une manière différente.

En effet, puisque $F$, $F'$ sont équivalentes aux formes $F'$ $F''$ respectivement, les premières renferment les dernières, et partant $F$ renferme $F''$, mais les dernières renferment aussi les premières, donc $F$ et $F''$ sont équivalentes. Or, de ce que nous avons vu tout-à-l’heure, il suit que $F$ renferme $F''$ proprement ou improprement, suivant que $F$ et $F'$, $F'$ et $F''$ sont équivalentes de même ou de différente manière, et il en est de même de $F''$ et $F$ ; donc, dans le premier cas, $F$ et $F''$ sont proprement équivalentes, et dans le second, improprement.

Les formes $\mathrm {(a,-b,c)} ,$ $\mathrm {(c,b,a)} ,$ $\mathrm {(c,-b,a)}$ sont équivalentes à la forme $\mathrm {(a,b,c)} ,$ savoir, les deux premières improprement et la dernière proprement.

En effet $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en $ax'^{2}+2bx'y'+cy'^{2}$, en faisant $x=x'+0.y'$ et $y=0.x'-y'$ ce qui donne $\alpha \delta -\beta \gamma =-1$ et partant, la transformation est impropre ; elle se change en $cx'^{2}+2bx'y'+ay'^{2}$ par la transformation impropre $x=0.x'+y'$, $y=x'+0.y'$, et en $cx'^{2}-2bx'y'+ay'^{2}$ par la transformation propre $x=0.x'-y'$, $y=x'+0.y'$.

Il suit de là qu’une forme quelconque équivalente à $(a,b,c)$ est proprement équivalente à cette forme ou à la forme $(a,-b,c)$. De même, si une certaine forme renferme la forme $(a,b,c)$, où $y$ est contenue, elle renferme proprement l’une des deux formes $(a,b,c),$ $(a,-b,c),$ ou bien elle est renfermée proprement dans l’une des deux. Les formes $(a,b,c),$ $(a,-b,c)$ s’appelleront formes opposées.

160. Si les formes $(a,b,c),$ $(a',b',c')$ ont le même déterminant, et qu’on ait $c=a'$ et $b+b'\equiv 0{\pmod {c}}$, nous dirons qu’elles sont contiguës, et quand une désignation plus exacte sera nécessaire, nous dirons que la première est contiguë à la seconde par la première partie, et que la seconde est contiguë à la première par la dernière partie.

Ainsi la forme $(7,3,2)$ est contiguë à la forme $(3,4,7)$ par la dernière partie, la forme $(3,1,3)$ est contiguë par les deux parties à son opposée $(3,-1,3)$.

Les formes contiguës sont toujours proprement équivalentes.

Car la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en la forme contiguë $cx'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$ en faisant $x=-y'$ et $y=x'+{\frac {b+b'}{c}}y'$ (où, par hypothèse, ${\frac {b+b'}{c}}$ est un entier), comme on s’en assurera par le développement. Or $0.{\frac {b+b'}{c}}-1.(-1)=1$ ; donc la transformation est propre. Au reste, ces définitions et ces conclusions n’auraient plus lieu si $c=a'=0$ ; mais ce cas n’arrive que lorsque le déterminant des formes est un quarré.

Il suit de là que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ sont proprement équivalentes, si $a=a'$ et $b\equiv b'{\pmod {a}}$, car la première est proprement équivalente à $(c,-b,a)$ (n^o précéd.) ; or celle-ci est contiguë par la première partie à la forme $(a',b',c')$.

161. Si la forme $\mathrm {(a,b,c} )$ renferme la forme $\mathrm {(a',b',c'} ),$ tout diviseur commun des nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ le sera aussi des nombres $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {b'} ,$ $\mathrm {c'}$ et tout diviseur commun de $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2b} ,$ $\mathrm {c}$ le sera aussi de $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2b'} ,$ $\mathrm {c'} .$

L’inspection des trois équations du n^o 157 suffit pour le démontrer, en ayant soin de multiplier la seconde par $2$ pour la seconde partie de la proposition.

Il suit de là que le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $(2b)$, $c$ doit diviser celui des nombres $a'$, $b'$, $(2b')$, $c'$. Si donc les formes sont équivalentes, ces deux plus grands communs diviseurs sont égaux, puisqu’ils doivent se diviser mutuellement, et si dans ce cas l’un des deux groupes n’a pas de commun diviseur, l’autre n’en aura pas non plus.

162. Problème. Si la forme $\mathrm {AX^{2}+2BXY+CY^{2}\dots F}$ renferme la forme $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}\dots f} ,$ et qu’on connaisse une quelconque des transformations, déduire de celle-là toutes les transformations qui lui sont semblables.

Soit la transformation donnée, $X=\alpha x+\beta y$, $Y=\gamma x+\delta y$ ; Supposons d’abord qu’on en connaisse encore une autre semblable, $X=\alpha 'x+\beta 'y$, $Y=\gamma 'x+\delta 'y$, et examinons ce qui doit en résulter. Nommons $D$, $d$ les determinans des formes $F$, $f$, faisons $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=e'$, on aura (n^o 157) $d=De^{2}=De'^{2}$, et partant $e=e'$, puisque $e$ et $e'$ sont de même signe par hypothèse.

Or on aura les six équations suivantes :

$A\alpha ^{2}+2B\alpha \gamma +C\gamma ^{2}$	$=a$………………	(1)
$A\alpha '^{2}+2B\alpha '\gamma '+C\gamma '^{2}$	$=a$………………	(2)
$A\alpha \beta +B(\alpha \delta +\beta \gamma )+C\gamma \delta$	$=b$………………	(3)
$A\alpha '\beta '+B(\alpha '\delta '+\beta '\gamma ')+C\gamma '\delta '$	$=b$………………	(4)
$A\beta ^{2}+2B\beta \delta +C\delta ^{2}$	$=c$………………	(5)
$A\beta '^{2}+2B\beta '\delta '+C\delta '^{2}$	$=c$………………	(6)

Si l’on multiplie la première par la seconde, on en déduira

$\left(A\alpha \alpha '+B(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )+C\gamma \gamma '\right)^{2}=D(\alpha '\gamma -\alpha \gamma ')^{2}=a^{2}$

ou si l’on fait $A\alpha \alpha '+B(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )+C\gamma \gamma '=a'$

$a'^{2}-D(\alpha '\gamma -\alpha \gamma ')^{2}=a^{2}$ …… (7)

Si l’on multiplie la première par la quatrième, et la seconde par la troisième, et qu’on ajoute, on trouvera

$a'\{A(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+B(\alpha \delta '+\alpha '\delta +\beta \gamma '+\beta '\gamma )+C(\gamma \delta '+\delta '+\delta '\gamma )\}${

$-D(\alpha \gamma '+\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )=2ab,$

ou en représentant                     $A(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+B(\alpha \delta '+\alpha '\delta +\beta \gamma '+\beta '\gamma )+C(\gamma \delta '+\delta '\gamma )$
par $2b'$,

$2a'b'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )=2ab$…… (8)

Si l’on multiplie la première par la sixième, la seconde par la cinquième, la troisième par la quatrième, et qu’on ajoute les deux premiers produits et le double du troisième, on trouve

$4b'^{2}-D\{(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}+cc'\}=2b^{2}+2ac,$

ou bien comme $2Dee'=2d=2b^{2}-ac$,

$4b'^{2}-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}=4b^{2}$……(9)

Si l’on multiplie la troisième par la quatrième, il vient

$a'(A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta ')-D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )=b^{2}$

et comme

$D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )$	$=$		$D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )$
		$-$	$D(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma )$
	$=$		$D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )-b^{2}+ac$

si l’on fait d’ailleurs $A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta '=c'$, on aura

$a'c'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=ac$…… (10) ;

en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de la cinquième, on aura

$2b'c'-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=2bc$…… (11) ;

en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera

$c'^{2}-D(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}=c^{2}$…… (12).

Supposons maintenant que $m$ soit le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que les nombres $A'$, $B'$, $C'$ soient déterminés, de manière qu’on ait $A'a+2B'b+C'c=m$ (n^o 40). Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), respectivement par $A'^{2}$, $2A'B'$, $B'^{2}$, $2A'C'$, $2B'C'$, $C'^{2}$, et ajoutons les produits, en faisant pour abréger,

$A'a'+2B'b'+C'c'=T$…… (13)

et

$A'(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$
$+B'(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )$
$+C'(\beta \delta '-\beta '\delta )$	$=U$,…… (14),

on trouve $T^{2}-DU^{2}=m^{2}$, $T$ et $U$ étant manifestement entiers.

Nous sommes donc conduits à cette conclusion élégante, que la solution de l’équation indéterminée $\mathrm {t^{2}-Du^{2}=m^{2}}$ en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme $\mathrm {F}$ en la forme $\mathrm {f} ,$ en prenant $t=T$, $u=U$. Au reste, comme dans nos raisonnemens nous n’avons pas supposé que les transformations fussent différentes, une seule transformation prise deux fois doit donner une solution ; mais alors $\alpha '=\alpha$, $\beta '=\beta$, etc., $a'=a$, $b'=b$, etc., et partant $T=m$ et $U=0$, solution qui se présentait d’elle-même.

Considérons maintenant comme connue la première transformation, et la solution de liquation indéterminée, et cherchons comment on peut en déduire l’autre transformation, ou comment $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ dépendent de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $T$ et $U$.

Pour y parvenir, multiplions d’abord l’équation (1) par $\alpha '\delta -\beta \gamma '$, l’équation (2) par $\alpha \delta '-\beta '\gamma$, l’équation (3) par $\alpha \gamma '-\alpha '\gamma$, et l’équation (4) par $\alpha '\gamma -\alpha \gamma '$, et ajoutons les produits, il en résultera

$(e+e')a'=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )a$…… (15).

De même si nous multiplions (1) $-$ (2) par $\beta '\delta -\beta \delta '$, (3) $+$ (4) par $(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )$ et (5) $-$ (6) par $(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$, nous aurons en ajoutant,

$2(e+e')b'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )b$…… (16).

Enfin si nous multiplions (3) $-$ (4) par $\delta \beta '-\beta \delta '$, (5) par $\alpha \delta '-\beta '\gamma$, et (6) par $\alpha '\delta -\beta \gamma '$, on aura en ajoutant les produits,

$(e+e')c'=2(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )c$…… (17).

Substituant ces valeurs de $a'$, $b'$, $c'$ dans l’équation (13), il vient

$(e+e')T=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )(A'a+2B'b+C'c)$

ou $2eT=(\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma )m$…… (18) ;

d’où l’on peut tirer la valeur de $T$ plus facilement que de l’équation (13).

Combinant cette équation avec les équations (15), (16), (17), on en tire

$ma'=Ta,\quad 2mb'=2Tb,\quad mc'=Tc.$

Ces valeurs substituées dans les équations (7), etc. (12), en y mettant d’ailleurs $m^{2}+DU^{2}$ pour $T^{2}$, elles deviennent

$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )^{2}m^{2}$	$=a^{2}U^{2}$
$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )m^{2}$	$=2abU^{2}$
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}m^{2}$	$=4b^{2}U^{2}$
$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )2m^{2}$	$=acU^{2}$
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )m^{2}$	$=2bcU^{2}$
$(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}m^{2}$	$=4c^{2}U^{2}$

De là, à l’aide de l’équation (14) et de celle-ci $A'a+2B'b+C'c=m$, on déduit facilement, en multipliant la 1^ère, la 2^e et la 4^e ; la 2^e, la 3^e et la 5^e ; la 4^e, 5^e et la 6^e par $A'$, $B'$, $C'$ respectivement, et en ajoutant les produits

$(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )Um^{2}$	$=$	$m\alpha U^{2}$,
$(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )Um^{2}$	$=$	$2mbU^{2}$,
$(\beta \delta '-\beta '\delta )Um^{2}$	$=$	$mcU^{2}$,

équations qui, divisées par $mU$^[1], deviennent

$aU$	$=$	$m(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$	…… (19)
$2bU$	$=$	$m(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )$	…… (20)
$cU$	$=$	$m(\beta \delta '-\beta '\delta )$	…… (21)

dont une quelconque peut donner la valeur de $U$ plus facilement que l’équation (14). Il suit aussi de là que de quelque manière qu’on détermine $A'$, $B'$, $C'$, et ces quantités peuvent être déterminées par plusieurs méthodes différentes, on aura toujours les mêmes valeurs, pour $T$ et pour $U$.

Or en combinant l’équation (18) avec l’équation (20), on en tire par soustraction et par addition les deux suivantes

$eT-bU$	$=$	$m(\alpha '\delta -\beta \gamma ')$…… (22)
$eT+BU$	$=$	$m(\alpha \delta '-\beta '\gamma )$…… (23),

et à l’aide des quatre équations (19), (21), (22), (23), qui ne sont que du premier degré, on obtiendra sans peine les valeurs de $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, au moyen des équations suivantes qui en dérivent,

$me\alpha '$	$=$	$\alpha eT+(a\beta -b\alpha )U$,
$me\beta '$	$=$	$\beta eT+(b\beta -c\alpha )U$,
$me\gamma '$	$=$	$\gamma eT+(a\delta -b\gamma )U$,
$me\delta '$	$=$	$\delta eT+(b\delta -c\gamma )U$,

ou, en y substituant les valeurs de $a$, $b$, $c$, tirées des équations (1), (3), (5),

$m\alpha '$	$=$	$\alpha T-(B\alpha +C\gamma )U$,
$m\beta '$	$=$	$\beta T-(B\beta +C\delta )U$,
$m\gamma '$	$=$	$\gamma T+(A\alpha +B\gamma )U$,
$m\delta '$	$=$	$\delta T+(A\beta +B\delta )U$.

Il suit de l’analyse précédente, qu’il n’y a pas de transformation de $F$ en $f$, semblable à la proposée, qui ne soit contenue dans les formules

$X$	$=$	${\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}y$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	...... (I),
$Y$	$=$	${\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}x+{\frac {1}{m}}\{\delta t+(A\beta +B\delta )u\}y$

$t$ et $u$ désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$. Nous ne pouvons pas encore conclure que toutes les valeurs de $t$ et de $u$ qui satisfont à cette équation donnent des transformations convenables, lorsqu’on les substitue dans les formules (I). Mais ,

1^o. On s’assurera par le développement, que la substitution de valeurs quelconques de $t$ et de $u$ change $F$ en $f$, au moyen des équations (1), (3), (5) et $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$. Nous omettons, ce calcul plus long que difficile.

2^o. Toute transformation déduite des formules sera semblable à la proposée ; car

		${\frac {1}{m}}\{\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\delta t+(A\beta +B\delta )u\}$
	$-$	${\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}$
$=$		${\frac {1}{m^{2}}}(\alpha \delta -\beta \gamma )(t^{2}-Du^{2})$
$=$		$\alpha \delta -\beta \gamma$.

3^o. Si les formes $F$ et $f$ ont des déterminans inégaux, il peut se faire que les formules (I) renferment des fractions, par la substitution de certaines valeurs de $t$ et de $u$, et que partant il faille les rejeter ; mais toutes les autres seront des transformations convenables, et seront les seules.

4^o. Si les formes $F$ et $f$ ont des déterminans égaux, et que parconséquent elles soient équivalentes, les formules (I) ne pourront jamais donner de transformations qui renferment des fractions, et parconséquent elles donnent la solution complète du problème.

En effet, par le théorème du n^o précédent, on sait que dans ce cas $m$ sera aussi diviseur commun de $A$, $2B$, $C$ ; or puisque $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, on a $t^{2}-B^{2}u^{2}=m^{2}-ACu^{2}$ ; donc $t^{2}-B^{2}u^{2}$ sera divisible par $m^{2}$, et partant, $4t^{2}-4B^{2}u^{2}$, ou, puisque $2B$ est divisible par $m$, $4t^{2}$ sera divisible par $m^{2}$ ou $2t$ par $m$. Donc ${\frac {2}{m}}(t+Bu)$ et ${\frac {2}{m}}(t-Bu)$ seront entiers, et partant, comme la différence ${\frac {4Bu}{m}}$de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes deux impaires, ou toutes deux paires ; si elles étaient impaires, leur produit ${\frac {4}{m^{2}}}(t^{2}-B^{2}u^{2})$ le serait aussi ; mais puisque $t^{2}-B^{2}u^{2}$ est divisible par $m^{2}$, ce produit est nécessairement pair ; donc cette supposition ne peut subsister, et les deux quantités sont paires, donc leurs moitiés ${\frac {1}{m}}(t+Bu)$, ${\frac {1}{m}}(t-Bu)$ sont des entiers, et parconséquent ${\frac {t}{m}}$ et ${\frac {Bu}{m}}$. Il suit de là, sans difficulté, que les quatre coefficiens des formules (I) sont toujours entiers.

Concluons de ce qui précède, que si l’on connaît toutes les solutions de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, on en déduira toutes les transformations de la forme $(A,B,C)$ en $(a,b,c)$, semblables à une transformation proposée. Nous donnerons plus loin le moyen de trouver les solutions de cette équation ; observons seulement ici que leur nombre est fini quand $D$ est négatif, ou positif et en même temps un quarré ; mais qu’il est infini, si $D$ est positif et non un quarré. Quand ce cas a lieu, et qu’on n’a pas $D=d$ (Voyez 3^o.), il faudrait encore chercher comment on peut, a priori, distinguer les valeurs de $t$ et de $u$ qui donnent des transformations entières, et celles qui n’en donnent pas. Mais nous donnerons plus bas, pour ce cas-là, une autre méthode qui n’aura pas le même inconvénient (n^o 214).

Exemple. La forme $x^{2}+y^{2}$ se change par la transformation propre $x=2x'+7y'$, $y=x'+5y'$ en $(6,24,99)$. On demande toutes les transformations propres de $(1,0,2)$ en $(6,24,99)$. Ici $D=-2$, $m=3$ ; ainsi l’équation à résoudre est $t^{2}+2u^{2}=9$. On peut y satisfaire de six manières : $t=3...u=0$, $t=-3...u=0$, $t=1...u=2$, $t=1...u=-2$, $t=-1...u=2$, $t=-1...u=-2$. La 3^e et la 6^e donnent des résultats fractionnaires et sont parconséquent à rejeter des autres. Résultent les quatre substitutions :

$x=$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$2x'+7y'$	______	$y=$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$x'+5y'$
		$-$	$2x'+7y'$				$-$	$x'+5y'$
			$2x'+9y'$	———				$x'+3y'$
		$-$	$2x'+9y'$				$-$	$x'+3y'$

dont la première est la solution proposée.

163. Nous avons dit plus haut, en passant, qu’il pouvait arriver qu’une forme $F$ en renfermât une autre $F'$, tant proprement qu’improprement. On voit que cela aura lieu, si l’on peut interposer une autre forme $G$, telle que $F$ renferme $G$, et que $G$ renferme $F'$, et que la forme $G$ soit de nature à être proprement équivalente à elle-même. Car si l’on suppose que $F$ renferme $G$ proprement ou improprement, comme $G$ se renferme lui-même improprement, $F$ renfermera $G$ improprement ou proprement, selon la supposition primitive, et partant le renfermera dans les deux cas, proprement ou improprement (n^o 159). On trouvera de même que de quelque manière que $G$ renferme $F'$, $F$ doit toujours renfermer $F'$ des deux manières. Or on reconnaît qu’il existe des formes improprement équivalentes à elles-mêmes par un cas très-évident, celui de la forme $(a,0,c)$, qui se change en $(a,0,c)$ en faisant $x=x'+0.y'$ et $y=0.x'-y'$. Plus généralement, toute forme $(a,b,c)$ jouit de cette propriété lorsque $2b$ est divisible par $a$ ; en effet la forme $(c,b,a)$ est contiguë à $(a,b,c)$ par la première partie (n^o 160), et partant lui est proprement équivalente, mais $(c,b,a)$ (n^o 159) équivaut improprement à $(a,b,c)$ ; donc $(a,b,c)$ équivaut improprement à elle-même. Nous nommerons formes ambiguës les formes $(a,b,c)$ dans lesquelles $2b$ est divisible par $a$. Nous avons donc le théorème suivant :

La forme $\mathrm {F}$ renfermera la forme $\mathrm {F'}$ proprement et improprement, si on peut trouver une forme ambiguë que $\mathrm {F}$ renferme et qui renferme $\mathrm {F'} .$

La réciproque est également vraie, et c’est l’objet du numéro suivant.

164. Théorème. Si la forme $\mathrm {Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}\dots (F)} ,$ renferme tant proprement qu’improprement la forme $\mathrm {A'x'^{2}+2B'x'y'+C'y'^{2}\dots (F')} ,$ on pourra trouver une forme ambiguë que $\mathrm {F}$ renfermera et qui renfermera $\mathrm {F'} .$

Supposons que $F$ devienne $F'$ par la substitution $x=\alpha x'+\beta 'y$, $y=\gamma x'+\delta y'$, et par la substitution dissemblable $x=\alpha 'x'+\beta 'y'$, $y=\gamma 'x'+\delta 'y'$. Soit $\alpha \delta -\beta \gamma =e$, $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=e'$, on aura $B'^{2}-AC=e^{2}(B^{2}-AC)=e'^{2}(B^{2}-AC)$ ; donc $e^{2}=e'^{2}$, et comme $e$ et $e'$ sont de signe contraire $e=-e'$ ou $e+e'=0$ ; or il est clair qu’on arrivera à la même forme en substituant dans $F'$, pour $x'$, $\delta 'x''-\beta 'y''$, pour $y'$, $-\gamma 'x''+\alpha 'y''$, qu’en substituant dans $F$

ou bien	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	pour x…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\alpha (\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\beta (-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha \delta '-\beta \gamma ')x''$	$+(\alpha '\beta -\alpha \beta ')y''$
		pour y…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\gamma (\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\gamma (\delta 'x''+\beta 'y'')$
				$=$	$(\gamma \delta 'x''+\gamma '\delta )x''$	$+(\alpha '\delta -\beta '\gamma )y''$
ou bien	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	pour x…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\alpha '(\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\beta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')x''$
				$=$	$e'x''$
		pour y…	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$		$\gamma '(\delta 'x''-\beta 'y'')$	$+\delta '(-\gamma 'x''+\alpha 'y'')$
				$=$	$(\alpha '\delta '-\beta '\gamma ')x''$
				$=$	$e'y''$

Ainsi en faisant

$\alpha \delta '-\beta \gamma '=a\quad \alpha '\beta -\alpha \beta '=b\quad \gamma \delta '-\gamma '\delta =c\quad \alpha '\delta -\beta '\gamma =d,$

la forme $F$ se changera en une même forme par les substitutions $x=ax''+by''$, $y=cx''+dy''$ et $x=e'x''$, $y=e'y''$, ce qui donne les trois équations suivantes :

$Aa^{2}+2Bac+Cc^{2}$	$=$	$Ae'^{2}$	……… (1)
$Aab+B(ad+bc)+Ccd$	$=$	$Be'^{2}$	……… (2)
$Ab^{2}+2Bbd+Cd^{2}$	$=$	$Ce'^{2}$	……… (3)

mais des valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$, on tire

$ad-bc=ee'=-e^{2}=-e'^{2}$ …………… (4)

Si l’on multiplie l’équation (I) par $d$, l’équation (2) par $c$, et qu’on retranche, on trouve $(Aa+Bc)(ad-bc)=(Ad-Bc)e'^{2}$, et partant $A(a+d)=0$.

En multipliant l’équation (2) par $a+d$ et en retranchant le produit de l’équation (I) par $b$ et de l’équation (3) par $c$, on trouve $\left(Ab+B(a+d)+Cc\right)(ad-bc)=(-Ab+B(a+d)-Cc)e'^{2}$, d’où $B(a+d)=0$.

Enfin en retranchant du produit de l’équation (3) par $c$ celui de l’équation (2) par $b$, on trouve $(Bb+Cd)(ad-bc)=(-Bb+Ca)e'^{2}$, d’où $C(a+d)=0$. Or comme $A$, $B$, $C$ ne peuvent dans aucun cas être nuls en même temps, il s’ensuit que

$a+d=0$ ……………………………… (5)

Si l’on multiplie l’équation (2) par $a$ et qu’on en retranche l’équation (I) multipliée par $b$, il vient $(Ba+Cc)(ad+bc)=(Ba-Ab)e'^{2}$, d’où

$Ab-2Ba-Cc=0$ …………………… (6)

Des équations : $e+e'=0$, $a+d=0$ ou $\alpha \delta -\beta \gamma +\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=0$ et $\alpha \delta '+\alpha '\delta -\beta \gamma '-\beta '\gamma =0$, on déduit $(\alpha +\alpha ')(\delta +\delta ')=(\beta +\beta ')(\gamma +\gamma ')$, ou $(\alpha +\alpha '):(\gamma +\gamma ')=(\beta +\beta '):(\delta +\delta ')$. Représentons par ${\frac {m}{n}}$ ce rapport, réduit à sa plus simple expression, de manière que $m$ et $n$ soient premiers entre eux^[2], et soient pris $\mu$, $\nu$ desorte qu’on ait $\mu m+\nu n=1$. Soit d’ailleurs $r$ le plus grand commun diviseur de $a$, $b$, $c$, son quarré divisera $bc+a^{2}=bc+ad=-e^{2}$ ; donc $r$ divisera $e$. Cela posé, si la forme $F$, par la transformation $x=mt+{\frac {\nu e}{r}}u$, $y=nt-{\frac {\mu e}{r}}u$, se change en $Mt^{2}+2Ntu+Pu^{2}$……(G), cette forme $G$ sera ambiguë et renfermera $F'$.

Démonstration. I. Pour faire voir que la forme $G$ est ambiguë, nous démontrerons que $M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr$ ; car alors $r$ divisant $a,$ $b,$ $c$, ${\frac {1}{r}}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ sera entier, et partant $2N$ un multiple de $M$.

Or

$M$	$=$	$Am^{2}+2Bmn+Cn^{2}$,
$Nr$	$=$	$\left(Am\nu -B(m\mu -n\nu )-Cn\mu \right)e$ ;

d’ailleurs il est facile de s’assurer que l’on a

$2e+2a$	$=$	$e-e'+a-d$
	$=$	$(\alpha -\alpha ')(\delta +\delta ')-(\beta -\beta ')(\gamma +\gamma ')$
$2b$	$=$	$(\alpha +\alpha ')(\beta -\beta ')+(\alpha -\alpha ')(\beta +\beta ')$,

et comme $m(\gamma +\gamma ')=n(\alpha +\alpha ')$, $m(\delta +\delta ')=n(\beta +\beta ')$, il en résulte $(2e+2a)n+2nb=0$, ou

$me+ma+nb=0$……… (7)

De même

$2e-2a$	$=$	$e-e'-a+d$
	$=$	$(\alpha +\alpha ')(\delta -\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')$
$2c$	$=$	$(\gamma +\gamma ')(\delta +\delta ')-(\gamma +\gamma ')(\delta -\delta ')$,

d’où $n(2e-2a)+2mc=0$… ou $ne-na+mc=0$… (8).

Maintenant si l’on ajoute à $m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(1-m\mu -n\nu )\{m\nu (e-a)+(m\mu +1)b\}$
$+$	$(me+ma+nb)(m\mu \nu +\nu )$
$+$	$(ne-na+mc)m\nu ^{2}$

qui se réduit à zéro, puisque $1-m\mu -n\nu =0$, $me+ma+nb=0$, $ne-na+mc=0$, et qu’on effectue les produits en effaçant les termes qui se détruisent, on trouvera $2m\nu e+b$ ; donc

$m^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2m\nu e+b$…… (9)

De même, si l’on ajoute à $mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(1-m\mu -n\nu )\{(n\nu -m\mu )e-(1+m\mu +n\nu )a\}$
$-$	$(me+ma+nb)m\mu ^{2}$
$+$	$(ne-na+mc)n\nu ^{2}$

on trouve

$mn(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=(n\nu -m\mu )e-a$………(10).

Enfin si l’on ajoute à $n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$ la fonction

	$(m\mu +n\nu -1)\{n\mu (e+a)+(n\nu +1)c\}$
$-$	$(me+ma+nb)n\mu ^{2}$
$-$	$(ne-na+mc)(n\mu \nu +\mu )$,

on trouve

$n^{2}(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=-2n\mu e-c$……… (11)

Donc si l’on multiplie l’équation (9) par $A$, (10) par $2B$ et (11) par $C$, il vient

	$(Am^{2}+2Bmn+Cn^{2})(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})$
$=$	$2e\{Am\nu +B(n\nu -m\mu )-Cm\mu \}+Ab-2Ba-Cc$,

ou à cause de l’équation (6),

$M(b\mu ^{2}-2a\mu \nu -c\nu ^{2})=2Nr.$

II. Pour prouver que la forme $G$ renferme la forme $F'$ nous démontrerons

1^o. Que $G$ devient $F'$ en posant

$t$	$=$	$(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+(\mu \beta +\nu \delta )y'$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	…… (S).
$u$	$=$	${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )x'+{\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'$

2^o. Que ${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$ et ${\frac {r}{r}}(n\beta -m\delta )y'$ sont entiers.

1^o. Puisque $F$ devient $G$ en posant $x=mt+{\frac {\nu e}{r}}u$, $y=nt-{\frac {\mu e}{r}}u$, la forme $G$ se changera par la transformation (S) en la même forme que celle en laquelle $F$ se changerait en posant

$x$	$=$	${\displaystyle }$	$m(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+m(\mu \beta +\gamma \delta )y'$
		$+$	$\nu (n\alpha -m\gamma )x'+\nu (n\beta -m\delta )y'$
	$=$		$(m\mu +n\nu )\alpha x'+(m\mu +n\nu )\beta y'$
	$=$		$\alpha x'+\beta y'$
$y$	$=$		$n(\mu \alpha +\nu \gamma )x'+n(\mu \beta +\gamma \delta )y'$
		$-$	$\mu (n\alpha -m\gamma )x'-\mu (n\beta -m\delta )y'$
	$=$		$(m\mu +n\nu )\gamma x'+(m\mu +n\nu )\delta y'$
	$=$		$\gamma x'+\delta y'$

Mais par cette substitution, $F$ se change en $F'$ ; donc par la substitution (S) la forme $G$ se change en $F'$.

2^o. On déduit facilement des valeurs de $e$, $b$, $d$ l’équation $\alpha 'e+\gamma b-\alpha d=0$ ou comme $d=-a$, $\alpha 'e+\alpha a+\gamma b=0$ éliminant $b$ au moyen de l’équation (7), il vient

$(n\alpha -m\gamma )a=(m\gamma -n\alpha ')e$…… (12) ;

or on a $\alpha nb=-\alpha m(e+a)$, $\gamma mb=-m(\alpha 'e+\alpha a)$ ; donc

$(n\alpha -m\gamma )b=(\alpha '-\alpha ')me$…… (13) ;

enfin on trouvera $\gamma 'e-\gamma a+\alpha c=0$, éliminant $a$ au moyen de l’équation (8), il vient

$(n\alpha -m\gamma )c=(\gamma -\gamma ')ne$…… (14) ;

On trouve de même $\beta 'e+\delta b-\beta d=0$, ou $\beta 'e+\delta b+\beta a=0$ ; éliminant $b$ au moyen de l’équation (7), il vient

$(n\beta -m\delta )a=(m\delta -n\beta ')e$…… (15) ;

or on a $\beta nb=-\beta m(e+a)$, $\delta mb=-m(\beta 'e+\beta a)$ ; donc

$(n\beta -m\delta )b=(\beta '-\beta )me$…… (16) ;

enfin on trouve $\delta 'e-\delta a+\beta c=0$, et en éliminant $a$ au moyen de l’équation (8), on a

$(n\beta -m\delta )c=(\delta -\delta ')ne$…… (17).

Le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $b$, $c$ étant $r$, si l’on détermine $A''$, $B''$, $C''$ de manière qu’on ait $A''a+B''b+C''c=r$, on trouvera au moyen des équations (12)…(17),

	$A''(m\gamma -n\alpha ')+B''(\alpha -\alpha ')m+C''(\gamma -\gamma ')n$
$=$	${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$
	$A''(m\delta -n\beta ')+B''(\beta -\beta ')m+C''(\delta -\delta ')n$
$=$	${\frac {r}{e}}(n\beta -m\delta )$

et partant, ${\frac {r}{e}}(n\alpha -m\gamma )$ et ${\frac {r}{e}}(n\beta -m\delta )$ sont entiers.

165. Exemple. La forme $3x^{2}+14xy-4y^{2}$ se change en la forme $-12x'^{2}-18x'y'+39y'^{2}$, proprement en faisant $x=4x'+ny'$, $y=-x'-2y'$, improprement en faisant $x=-74x'+89y'$, $y=15x'-18y'$. On a donc $\alpha +\alpha '=-70$, $\beta +\beta '=100$, $\gamma +\gamma '=14$, $\delta +\delta '=-20$ ; et $-{\frac {70}{24}}={\frac {100}{-20}}={\frac {5}{-1}}$. Faisons donc $m=5$, $n=-1$. Comme on doit avoir $5\mu -\nu =1$, on satisfera évidemment à cette équation en faisant $\mu =0$ et $\nu =-1$ ; d’ailleurs on trouve $e=3$, $a=-237$, $b=-1170$, $c=48$ ; leur plus grand commun diviseur $r=3$ : ce qui donne pour la transformation qui change $F$ en $G$, $x=5t-u$ et $y=-t$. La forme ambiguë $G$ est elle-même $t^{2}-16tu+3u^{2}$.

Si les formes $F$ et $F'$ sont équivalentes, la forme $G$ sera aussi renfermée dans $F'$ puisqu’elle l’est dans $F$ ; mais comme elle renferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant à la forme $F$ ; ainsi dans ce cas le théorème s’énoncera ainsi :

Si $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une forme ambiguë équivalente à chacune d’elles. Au reste, dans ce cas $e=\pm 1$, et partant $r$ qui divise $e$ doit être aussi $=1$.

Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes en général ; passons à la représentation des nombres.

166. Si la forme $\mathrm {F}$ renferme la forme $\mathrm {F'}$ tout nombre qui pourra être représenté par $\mathrm {F'}$ pourra l’être aussi par $\mathrm {F} .$

Soient $x$, $y$ ; $x'$, $y'$ les indéterminées des formes $F$ et $F'$ respectivement, et supposons que le nombre $M$ puisse être représenté par $F'$ en faisant $x'=m$ et $y'=x$, et que la forme $F$ se change en $F'$ par la transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, il est évident que $F$ deviendra $M$ en faisant $x=\alpha m+\beta n$, $y=\gamma m+\delta n$.

Si $M$ peut être représenté de plusieurs manières par $F'$, savoir, en faisant encore $x=m'$, $y=n'$, il pourra l’être aussi de plusieurs manières par $F$ : en effet, si l’on avait à-la-fois $\alpha m+\beta n=\alpha m'+\beta n'$, et $\gamma m+\delta n=\gamma m'+\delta n'$, il s’ensuivrait $m(\alpha \delta -\beta \gamma )=m'(\alpha \delta -\beta \gamma )$ et $n(\alpha \delta -\beta \gamma )=n'(\alpha \delta -\beta \gamma )$, ce qui exige que $\alpha \delta -\beta \gamma =0$, et partant, que le déterminant de la forme $F'$ soit $=0$, contre l’hypothèse, ou que $m=m'$ et $n=n'$, il suit de là qu’il y a au moins autant de manières de représenter $M$ par $F$ que par $F'$.

Si donc $F$ et $F'$ sont équivalentes, tout nombre qui pourra être représenté par l’une pourra l’être par l’autre et d’autant de manières.

Observons enfin que dans ce cas le plus grand diviseur commun des nombres $m$ et $n$ est égal au plus grand diviseur commun des nombres $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+\delta n$. Soit en effet $\Delta$ ce diviseur, prenons les nombres $\mu$ et $\nu$ tels qu’on ait $\mu m+\nu n=\Delta$, on aura

	$(\delta \mu -\gamma \nu )(\alpha m+\beta n)-(\beta \mu -\alpha \nu )(\gamma m+\delta n)$
$=$	$(\alpha \delta -\beta \gamma )(\mu m+\nu n)$
$=$	$\pm \Delta$

Donc le plus grand diviseur commun des nombres $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+\delta n$ divisera $\Delta$ ; mais $\Delta$ le divise, puisqu’il divise évidemment $\alpha m+\beta n$, $\gamma m+deltan\ ;$ donc ce plus grand commun diviseur est égal à $\Delta$. Il suit de là que si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, $\alpha m+\beta n$ et $\gamma m+\delta n$ le seront aussi.

167. Théorème. Si les formes $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}\dots (F)} ,$ $\mathrm {a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}\dots (F')}$ sont équivalentes, que leur déterminant soit $\mathrm {D} ,$ que la dernière se change en la première en faisant $\mathrm {x'=\alpha x+\beta y} ,$ $\mathrm {y'=\gamma x+\delta y} ,$ que d'ailleurs le nombre $\mathrm {M}$ soit représenté par la forme $\mathrm {F}$ en faisant $\mathrm {x=m} ,$ $\mathrm {y=n} ,$ et partant, par la forme $\mathrm {F'}$ en faisant $\mathrm {x'=\alpha m+\beta n=m'} ,$ $\mathrm {y'=\gamma m+\delta n=n'} ,$ $\mathrm {m}$ et $\mathrm {n}$ et parconséquent $\mathrm {m'}$ et $\mathrm {n'}$ étant premiers entre eux, les deux représentations appartiendront à la même valeur de l’expression $\mathrm {{\sqrt {D}}{\pmod {M}}} ,$ ou à des valeurs opposées, suivant que la transformation de $\mathrm {F'}$ en $\mathrm {F}$ sera propre ou impropre.

Soient déterminés les nombres $\mu$, $\nu$ de manière qu’on ait $\mu m+\nu n=1$, et soient faits ${\frac {\delta \mu -\gamma \nu }{\alpha \delta -\beta \gamma }}=\mu '$, $-{\frac {\beta \mu +\alpha \nu }{\alpha \delta -\beta \gamma }}=\nu '$^[3]. On aura (n^o précéd.) $\mu 'm'+\nu 'n'=1$. Soit d’ailleurs

$\mu (bm+cn)$	$-\nu (am+bn)$	$=V$
$\mu '(b'm'+c'n')$	$-\nu '(a'm'+b'n')$	$=V'$

$V$ et $V'$ sont les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ auxquelles appartiennent la première et la seconde représentation. Cela posé, si dans $V'$ on met pour $m'$, $n'$, $\mu '$, $\nu '$ leurs valeurs, et dans $V$ pour $a$… $a'\alpha ^{2}+2b'\alpha \gamma +c'\gamma ^{2}$, pour $b$… $a'\alpha \beta +b'(\alpha \delta +\beta \gamma )+c'\gamma \delta$ pour $c$… $a'\beta ^{2}+2b'\beta \delta +c'\delta ^{2}$, on trouve, toutes réductions faites, $V=V'(\alpha \delta +\beta \gamma )$, et partant $V=V'$ ou $V=-V'$, suivant que $\alpha \delta +\beta \gamma$ sera $=+1$ ou $=-1$. Donc, etc.

Si donc on a plusieurs représentations d’un nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ au moyen des valeurs de $x$, $y$ premières entre elles et qui appartiennent à des valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ ; les représentations par la forme $(a',b',c')$ appartiendront aux mêmes valeurs, et s’il n’y a aucune représentation du nombre $M$ par une certaine forme, qui appartienne à une certaine valeur donnée, il n’y en aura aucune non plus qui appartienne à cette valeur pour une forme équivalente.

168. Théorème. Si le nombre $\mathrm {M}$ peut être représenté par la forme $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ en donnant à $\mathrm {x}$ et $\mathrm {y}$ des valeurs $\mathrm {m}$ et $\mathrm {n}$ premières entre elles, et que $\mathrm {N}$ soit la valeur de l’expression $\mathrm {{\sqrt {D}}{\pmod {M}}}$ à laquelle cette représentation appartienne, les formes $\mathrm {(a,b,c)}$ et $\mathrm {\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)}$ seront proprement équivalentes.

Il suit du n^o 155 qu’on peut trouver des nombres entiers $\mu$ et $\nu$ qui satisfassent aux équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$1$,
$\mu (bm+cn)-\nu (am+bn)$	$=$	$N\,;$

Cela fait, la forme $(a,b,c)$ se change, au moyen de la substitution $x=mx'-\nu y',$ $y=mx'-\nu y',$ en une forme dont le déterminant $=D(m\mu +n\nu )^{2}=D$, c’est-à-dire en une forme équivalente. Si on suppose cette forme $=(A,B,C),$ on aura $C={\frac {B^{2}-D}{A}},$ d’ailleurs

$A=$	$am^{2}+2bmn+cn^{2}$	$=M,$
$B=-$	$m\nu a+(m\mu -n\nu )b+n\mu c$	$=N$ ;

donc la forme $(A,B,C)$ revient à $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$.

Au reste, des équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$1$,
$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)$	$=$	$N$

on déduit

$\mu$	$=$	${\frac {ma+nb+nN}{M}}$,
$\nu$	$=$	${\frac {mb+nc-mN}{M}},$

qui seront ainsi des nombres entiers.

Il faut observer que cette proposition n’a pas lieu quand $M=0,$ car dans ce cas on doit avoir $N^{2}-D=0,$ d’où il suit que ${\frac {N^{2}-D}{M}}$ est indéterminé.

169. Si l’on a plusieurs représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ qui appartiennent à la même valeur $N$ de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$, en supposant toujours les valeurs de $x,\,y$ premières entre elles, on en déduira plusieurs transformations propres de la forme $(a,b,c)$…(F) en $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$… (G) ; savoir, si une de ces représentations provient des valeurs $x=m'$, $y=n'$, $F$ se changera en $G$ par la substitution

$x=m'x'+{\frac {m'N-m'b-n'}{M}}$……$y=n'x'+{\frac {n'N-m'a-n'b}{M}}.$

Réciproquement, une transformation propre de $F$ en $G$ étant donnée, on en déduira une représentation de $M$ par la forme $F$, qui appartiendra à la valeur $N.$ Si $F$ se change en $G$ en posant $x=mx'-\nu y'$ et $y=mx'+\mu y'$, on représentera $M$ par la forme $F$ en posant $x=m$, $y=n$ et comme $m\mu +n\nu =1$, la valeur de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$ à laquelle appartient la représentation sera $\mu (bm+cn)-\nu (am+bn)=N$. En outre de plusieurs trans formations propres différentes, on déduirait autant de représentations diverses appartenantes à la valeur $N$ ; car si l’on supposait que la même représentation pût dériver de deux transformations propres différentes, ces deux transformations étant $x=mx'-\nu y'$ et $y=nx'+\mu y'$, $x=mx'-\nu 'y'$, $y=nx'+\mu 'y'$ ; des deux équations

$m\mu +n\nu$	$=$	$m\mu '+n\nu '$
$\mu (ma+nb)-\nu (ma+nb)$	$=$	$\mu '(mb+nc)-\nu '(ma+nb)$,

on déduit sans peine qu’il faudrait qu’on eût $M=0$, ou bien $\mu =\mu '$, $\nu =\nu '$ ; or la première condition est déjà exclue, et nous avons supposé $\mu '$ et $\nu '$ différens de $m$ et $n$. Il résulte de là que si on avait toutes les transformations propres de $F$ en $G$, elles donneraient toutes les représentations de $M$ par $F$, qui appartiennent à la valeur $N$. La recherche des représentations d’un nombre donné par une forme donnée, dans lesquelles les valeurs des indéterminées sont premières entre elles, se réduit donc à trouver toutes les transformations propres de cette forme en une autre forme équivalente donnée.

En appliquant ici ce que nous avons dit n^o 162, on conclut facilement que si une représentation du nombre $M$ par la forme $F$ appartenante à la valeur $N$, est donnée par les valeurs $x=\alpha$, $y=\gamma$, la formule générale qui comprend toutes les représentations du même nombre par la forme $F$, sera

$x={\frac {\alpha t-(\alpha b+\gamma c)u}{m}}\quad y={\frac {\gamma t+(\alpha a+\gamma b)u}{m}}$

$m$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et $t$, $u$ tous les nombres entiers qui satisfont indéfiniment à l’équation

$t^{2}-Du^{2}=m^{2}$.

170. Si la forme $(a,b,c)$ est équivalente à une certaine forme ambiguë, elle sera équivalente, tant proprement qu’improprement, à la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$, ou encore elle sera proprement équivalente tant à la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$, qu’à la forme $\left(M,-N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ (n^o 159) ; on aura donc les représentations du nombre $M$ par $F$ appartenantes soit à la valeur $+N$ soit à la valeur $-N$. Et réciproquement, si on connaît plusieurs représentations du nombre $M$ par la même forme $F$, et que ces représentations appartiennent à des valeurs opposées de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {M}}$, la forme $F$ sera équivalente à la forme $G$ tant proprement qu’improprement, et l’on pourra assigner une forme ambiguë équivalente à $F$.

Ces principes généraux sur la représentation des nombres nous suffisent pour ce que nous avons à dire à présent. Nous parlerons plus bas des représentations où les indéterminées ne doivent pas avoir de valeurs premières entre elles. Quant aux autres propriétés, les formes dont le déterminant est négatif, demandent à être traitées d’une manière tout-à-fait différente que celles dont le déterminant est positif. Aussi nous allons maintenant considérer séparément chacun de ces cas : nous commencerons par le premier comme étant le plus facile.

171. Problème. Étant proposée une forme quelconque $\mathrm {(a,b,a')}$ dont le déterminant est négatif, et $\mathrm {=-D}$, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle $\mathrm {A}$ soit non $\mathrm {>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}}$, $\mathrm {B}$ non $\mathrm {>{\frac {1}{2}}A}$, $\mathrm {C}$ non $\mathrm {<A}$.

Nous supposons que ces trois conditions ne soient pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile de chercher la seconde forme. Soit $b'$ le résidu minimum absolu du nombre $-b$ suivant le module $a'$^[4] et $a''={\frac {b'^{2}+D}{a'}}$, qui sera entier, puisque $b'^{2}\equiv b^{2},$ d’où $b'^{2}+D\equiv b^{2}+D\equiv aa'{\pmod {a'}}.$ Maintenant, si $a''<a',$ soit encore $b''$ résidu minimum de $-b'$, suivant le module $a''$ et $a''={\frac {b''^{2}+D}{a''}}.$ Si $a'''<a''$, soit de même $b'''$ résidu absolu minimum de $-b'',$ suivant le module $a'''$, et $a^{IV}$ ; en continuant cette opération jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $a^{(m+1)}$ de cette progression qui ne soit pas plus petit que le terme précédent $a^{(m)}$ ; ce qui arrivera nécessairement, sans quoi on aurait une suite de nombres entiers plus grands que zéro et décroissans à l’infini. Alors la forme $(a^{(m)},b^{(m)},a^{(m+1)})$ satisfera à toutes les conditions.

En effet, 1^o. dans la suite de formes $(a,b,a')$, $(a',b',a'')$, $a'',b'',a''')$, etc., une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; donc la dernière est proprement équivalente à la première (n^os 159 et 160).

2^o. Comme $b^{(m)}$ est le résidu minimum absolu de $-b^{(m-1)}$ suivant le module $a^{(m-1)}$, il ne sera pas plus grand que ${\frac {1}{2}}a^{(m)}$ (n^o 4.).

3^o. Puisque $a^{(m)}.a^{(m+1)}=D+b^{(m)2}$, et que $a^{(m+1)}$ non $<a^{(m)}$, $a^{(m)2}$ ne sera $>D+b^{(m)2}$ ; et comme $b^{(m)}$ est non $>{\frac {1}{2}}a^{(m)}$, $a^{(m)2}$ ne sera pas $>D+{\frac {1}{4}}a^{(m)2}$, ou $>{\frac {3}{4}}a^{(m)2}$ ne sera pas plus grand que $D$ ; donc enfin $a^{(m)}$ non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$.

Exemple. Soit la forme $(304,217,155)$ dont le déterminant $=-31$, on trouve la suite de formes : $(304,217,155)$, $(155,-62,25)$, $(25,12,7)$, $(7,2,5)$, $(5,-2,7)$ ; et la dernière est la forme cherchée. De même, pour la forme $(121,49,20)$ dont le déterminant est $-19$, on trouve les formes équivalentes : $(20,-9,5)$, $(5,-1,4)$, $(4,1,5)$ ; donc $(4,1,5)$ est la forme cherchée.

Nous appellerons formes réduites les formes $(A,B,C)$, qui sont telles que, le déterminant étant négatif on ait $A$ non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$, $B$ non $>{\frac {1}{2}}A$, et $C$ non $<A$ ; ainsi on peut trouver une forme réduite proprement équivalente à une forme donnée quelle qu’elle soit.

172. Problème. Trouver les conditions nécessaires pour que deux formes réduites non identiques et de même déterminant négatif, soient proprement équivalentes.

Soient les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ dont le déterminant est $-D$ ; supposons, ce qui est permis, que $a'$ ne soit pas $>a$, et que la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ se change en $a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}$, par la substitution propre $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$. On aura les équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$	$=a'$	……(1)
$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$	$=b'$	……(2)
$\alpha \delta -\beta \gamma$	$=1$	……(3)

L’équation (1) peut se mettre sous la forme $aa'=(a\alpha +b\gamma )^{2}+Dy^{2}$, donc $aa'$ est positif ; et comme on a d’ailleurs $ac=D+b^{2}$, $a'c'=D+b'^{2}$, il s’ensuit que $ac$, $a'c'$, $aa'$ sont positifs, et partant que $a$, $a'$, $c$, $c'$ sont tous de même signe. Mais $a$ et $a'$ sont non $>2{\sqrt {\frac {D}{3}}}$ donc $aa'$, et à plus forte raison $D\gamma ^{2}$ ne sera pas $>{\frac {4}{3}}D$ ; mais $\gamma$ doit être entier, il sera donc $0$ ou $\pm 1$.

I. Si $\gamma =0$, l’équation (3) donne $\alpha \delta =1$, et partant $\alpha =\pm 1$, et $\delta =\pm 1$ : dans les deux cas, il résulte de l’équation (1), $a=a'$, et de l’équation (2) $b'-b=\pm \beta a$ ; mais $b$ est non $>{\frac {1}{2}}a$, $b'$ non $>{\frac {1}{2}}a'$, et partant non $>{\frac {1}{2}}a$ ; donc l’équation $b'-b=\pm \beta a$ ne peut avoir lieu si $b$ est de même signe que $b'$, à moins qu’on n’ait $b=b'$, d’où s’ensuivrait $c'={\frac {b'^{2}+D}{a'}}={\frac {b^{2}+D}{a}}=c$, et partant, à moins que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ ne soient identiques, ce qui est contre l’hypothèse. Si $b$ et $b'$ sont de signe contraire, cette équation n’aura lieu non plus qu’en supposant $b=b'\pm {\frac {1}{2}}a$, ce qui donne de même $c'=c$ ; la forme $(a',b',c')$ sera donc $(a,-b,c)$, c’est-à-dire opposée à la forme $(a,b,c)$. On voit d’ailleurs que ces formes sont ambiguës, puisque $2b=+a$ (n^o 163).

II. Si $\gamma =\pm 1$, l’équation (1) devient $a\alpha ^{2}+c-a'=\pm 2b\alpha$ ; mais $c$ n’est pas $<a$, et parconséquent pas $<a'$ ; donc $2b\alpha$ n’est certainement pas $<a\alpha ^{2}\ ;$ ainsi $2b$ n’étant pas $>a$, $\alpha$ ne sera pas $<\alpha ^{2}$, ce qui exige qu’on ait $\alpha =0$, ou $\alpha =\pm 1$.

1^o. Si $\alpha =0$, l’équation (1) donne $c=a'$, et comme on a à-la-fois $a$ non $>a'$ et non $<c$, il s’ensuit que $a=a'=c$ : or l’équation (3) donne $\beta \gamma =-1$, et partant l’équation (2) devient $b+b'=\pm \delta a$. On pourra supposer seulement ici, comme dans le cas précédent, $b=b'$, ou $b=-b'$. Par la première supposition, les formes $(a,b,c),$ ${\displaystyle }$(a', b’, c') seraient identiques, par la seconde elles seront opposées.

2^o. Si $\alpha =\pm 1$, l’équation (1) donne $a+c-a'=\mp 2b$ ; mais $a$ et $c$ sont tous deux non $<a'$, donc $2b$ sera non $<a$ et non $<c$ ; d’ailleurs on a $2b$ non $>a$ et non $>c$ ; donc nécessairement ${\displaystyle }$. L’équation $a+c-a'=\mp 2b$ donne alors $\pm 2b=a'$, ainsi l’équation (2) devient

$a(\alpha \beta +\gamma \delta )+b(\alpha \delta +\beta \gamma )=b',$

ou comme $\alpha \delta -\beta \gamma =1$,

$b'-b=a(\alpha \beta +\gamma \delta )+2b\beta \gamma )+2b\beta \gamma =a(\alpha \beta +\gamma \delta \mp \beta \gamma ),$

ce qui exige, comme ci-dessus, que $b=b'$, ou que $b=-b'$. Or, dans le premier cas, les formes seraient identiques contre l’hypothèse ; dans le second, elles sont opposées et ambiguës.

Il résulte de cette analyse que les formes $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ ne peuvent être équivalentes, à moins qu’elles ne soient opposées et en même temps ambiguës, ou telles que $a=c=a'=c'$. Il était évident, a priori, que dans ce cas les formes sont proprement équivalentes ; car, comme opposées, elles sont improprement équivalentes, et comme ambiguës, elles le sont aussi proprement. Mais si $a=c$, la forme, $\left({\frac {D+(a-b)^{2}}{a}},a-b,a\right)$ sera contiguë, et partant équivalente à $(a,b,c)$ ; mais comme $D+b^{2}=ac=a^{2}>$, on a ${\frac {D+(a-b)^{2}}{a}}=2a-2b$, et la forme $(2a-2b,a-b,d)$ est ambiguë ; donc $(a,b,c)$ sera aussi proprement équivalente à son opposée.

On juge facilement par là si deux formes réduites $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ non opposées, peuvent être improprement équivalentes. En effet, elles le seront, si $(a,b,c)$ et $(a',-b',c')$ qui ne sont pas identiques, sont proprement équivalentes ; sinon elles ne le seront pas. Il suit de là que les formes proposées, pour être improprement équivalentes, doivent être identiques, et en outre ambiguës, ou telles qu’on ait $a=c$. Mais les formes qui ne sont ni identiques, ni opposées, ne peuvent être équivalentes ni proprement ni improprement.

173. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ de même déterminant négatif, chercher si elles sont équivalentes.

Cherchons deux formes réduites $f$ et $f'$ proprement équivalentes aux formes $F$, $F'$ respectivement. Si les formes $f$, $f'$ sont équivalentes proprement ou improprement, ou des deux manières, $F$ et $F'$ le seront aussi ; mais si $f$ et $f'$ ne sont équivalentes d’aucune manière, $F$ et $F'$ ne le seront pas non plus.

Par le n^o précédent, il peut arriver quatre cas :

1^o. Si $f$ et $f'$ ne sont ni identiques ni opposées, $F$ et $F'$ ne seront équivalentes d’aucune manière.

2^o. Si $f$ et $f'$ sont d’abord identiques ou opposées, et ensuite ambiguës, ou telles que leurs termes extrêmes soient égaux, $F$ et $F'$ seront équivalentes proprement et improprement.

3^o. Si $f$ et $f'$ sont identiques, mais qu’elles ne soient pas ambiguës, ou qu’elles n’aient pas leurs termes extrêmes égaux, $F$ et $F'$ ne seront que proprement équivalentes.

4^o. Si $f$ et $f'$ sont opposées, mais qu’elles ne soient point ambiguës, ou qu’elles n’aient point leurs termes extrêmes égaux, les formes $F$ et $F'$ seront seulement improprement équivalentes.

Exemple. On trouve pour les formes $(41,35,30)$, $(7,18,47)$ dont le déterminant est $-5$, les réduites $(1,0,5)$, $(2,1,3)$ qui leur sont respectivement équivalentes ; donc les formes proposées ne sont équivalentes en aucune manière. Mais les formes $(23,38,63)$, $(15,20,27)$ ont la même réduite $(2,1,3)$, et comme elle est en même temps ambiguë, les formes proposées seront équivalentes proprement et improprement. Les formes $(37,53,78)$, $(53,73,102)$ ont pour réduites $(9,2,9)$ et $(9,-2,9)$ ; comme elles sont opposées et que leurs termes extrêmes sont égaux, les formes proposées sont équivalentes tant proprement qu’improprement.

174. Le nombre des formes réduites qui ont un déterminant donné $-D$, est toujours fini, et même assez petit par rapport au nombre $D$, et il y a deux manières de trouver ces formes elles-mêmes ; désignons indéfiniment par $(a,b,c)$ les formes réduites dont le déterminant est $-D$, il s’agit de déterminer toutes les valeurs de $a$, $b$, et $c$.

Première Méthode. On prendra pour $a$ tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que ${\sqrt {{\frac {4}{3}}D}}$, et dont $-D$ est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de $a$, en prendra $b$ successivement égal à toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {a}}$, qui ne sont pas $>{\frac {1}{2}}a$, en les prenant tant positiveraient que négativement. Quant à $c$, on le fera $={\frac {D+b^{2}}{a}}$. S’il résulte de là quelques formes dans lesquelles $c<a$, elles seront à rejeter, et les autres seront évidemment des fondes réduites.

Deuxième Méthode. Soient pris pour $b$ tous les nombres positifs ou négatifs qui ne surpassent pas ${\sqrt {\frac {D}{3}}}$ pour chaque valeur de $b$, on décomposera $b^{2}+D$ de toutes les manières possibles, en deux facteurs pris positivement ou négativement, et non plus petits que $2b$, en prenant l’un des deux, le plus petit s’ils sont inégaux, pour la valeur de $a$, et l’autre pour la valeur de $c$. S’il en résulte quelques formes daüs lesquelles ${\displaystyle }$ elles seront à rejeter ; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est d’ailleurs évident qu’il n’y a pas une forme réduite qui ne puisse se trouver par chacune des deux méthodes.

Exemple. Soit $D=85$. Par la première méthode, la limite des valeurs de $a$ est ${\sqrt {\frac {340}{3}}}$ qui tombe entre $10$ et $11$. Or les nombres compris entre $1$ et $10$, et dont le résidu est $85$, sont : $1$, $2$, $5$, $10$, d’où résultent les douze formes suivantes :
$(1,0,85)$, $(-1,0,-85)$ ; $(2,1,43)$, $(2,-1,43)$, $(-2,+1,-43)$, $(-2,-1,-43)$ ; $(5,0,17)$, $(-5,0,-17)$ ; $(10,5,11)$, $(10,-5,11)$, $(-10,5,-11)$, $(-10,-5,-11)$.

Par la seconde méthode, la limite des valeurs de $b$ est ${\sqrt {\frac {85}{3}}}$ qui tombe entre $5$ et $6$. En supposant $b=0$, on trouve les formes : $(1,0,85)$, $(-1,0,-85)$, $(5,0,17)$, $(-5,0,-17)$ ; pour $b=\pm 1$ : $(2,\pm 1,43)$, $(-2,\pm 1,-43)$. Il n’y en a aucune pour $b=\pm 2$, parceque $89$ n’est pas décomposable en deux facteurs dont chacun soit non $<4$. La même chose a eu lieu pour $b=\pm 3$ et $\pm 4$. Enfin, pour $b=\pm 5$, il vient $(10,\pm 5,11)$, $(-10,\pm 5,-11)$.

175. Si parmi toutes les formes déduites d’un déterminant donné, on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement équivalentes, celles qui resteront jouiront de cette propriété remarquable, qu’une forme quelconque de même déterminant sera proprement équivalente à quelqu’une d’entre elles, et à une seule ; car, sans cela, il resterait encore des formes réduites proprement équivalentes entre elles. D’où il suit que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il sera resté de formes réduites, en comprenant dans la même classe les formes qui sont proprement équivalentes à la même réduite.

Ainsi, pour $D=85$, il reste les huit formes réduites,

$(1$,	$0$,	$85)$,	$(2$,	$1$,	$43)$,	$(5$,	$0$,	$17)$,	$(10$,	$5$,	$11)$,
$(-1$,	$0$,	$-85)$,	$\;(-2$,	$1$,	$-43)$,	$\;(-5$,	$0$,	$-17)$,	$\;(-10$,	$5$,	$-11)$.

Donc toutes les formes dont le déterminant est $-85$, peuvent se distribuer en huit classes, suivant qu’elles sont proprement équivalentes à la première, à la deuxième, etc. ; et il est clair que les formes d’une même classe sont proprement équivalentes, tandis que deux formes prises dans deux classes différentes ne sauraient être proprement équivalentes. Mais nous traiterons ci-après, avec plus de détail, le sujet de la classification des formes ; nous n’ajoutons ici qu’une observation. Nous avons déjà fait voir que si le déterminant de la forme $(a,b,c)$ est négatif, $a$ et $c$ sont de même signe, et on s’assurera, comme nous l’avons fait pour les formes réduites, que si $(a,b,c)$, $(a',b',c')$ sont deux formes équivalentes $a$, $a'$, $c$, $c'$ seront de même signe^[5]. Il suit de là que les formes dont les termes extrêmes sont positifs, sont absolument distinctes de celles dont les termes extrêmes sont négatifs, et qu’il suffit dans les formes réduites, de considérer celles qui ont leurs termes extrêmes positifs, car les autres sont en même nombre, et elles naissent des premières, en changeant les signes des termes extrêmes. La même chose a lieu pour les formes réduites à rejeter et à retenir.

176. Voici en conséquence une table qui contient, pour quelques déterminans négatifs, les formes suivant lesquelles toutes celles du même déterminant peuvent se distribuer en classes ; mais, suivant la remarque du n^o précédent, nous n’en avons mis que la moitié, c’est-à-dire celles dont les termes extrêmes sont positifs.

$1$…	$(1,0,\;\ 1).$
$2$…	$(1,0,\;\ 2).$
$3$…	$(1,0,\;\ 3),$	$(2,1,2).$
$4$…	$(1,0,\;\ 4),$	$(2,0,2).$
$5$…	$(1,0,\;\ 5),$	$(2,1,3).$
$6$…	$(1,0,\;\ 6),$	$(2,0,2).$
$7$…	$(1,0,\;\ 7),$	$(2,1,4).$
$8$…	$(1,0,\;\ 8),$	$(2,0,4),$	$(3,1,3).$
$9$…	$(1,0,\;\ 9),$	$(2,1,5),$	$(3,0,3).$
$10$…	$(1,0,10),$	$(2,0,5).$
$11$…	$(1,0,11),$	$(2,1,6),$	$(3,1,4),$	$(3,-1,4).$
$12$…	$(1,0,12),$	$(2,0,6),$	$(3,0,4),$	$(4,\;\;\ 2,4).$

Il serait superflu de continuer plus loin cette table, puisque nous donnerons plus bas une bien meilleure manière de la disposer.

Il résulte de cette table que toute forme dont le déterminant est -1, équivaut proprement à la forme $x^{2}+y^{2}$, si les termes extrêmes sont positifs, et à la forme $-x^{2}-y^{2}$, s’ils sont négatifs ; que toute forme dont le déterminant est $-2,$ et dont les termes extrêmes sont positifs, équivaut à la forme etc. ; que toute forme dont le déterminant est $-11$, et dont les termes extrêmes sont positifs, équivaut à l’une des quatre : $x^{2}+11y^{2}$, $2x^{2}+2xy+6y^{2}$, $3x^{2}+2xy+4y^{2}$, $3x^{2}-2xy+4y^{2}$, etc.

177. Problème. Étant donnée une suite de formes telle que chacune soit contiguë à celle qui la précède par la dernière partie, trouver une transformation propre de la première en une quelconque de la suite.

Soient les formes $(a,b,a')=F$, $(a',b',a'')=F'$, $(a'',b'',a''')=F''$, $a''',b''',c^{(IV)}=F'''$… etc. Faisons ${\frac {b+b'}{a'}}=h'$, ${\frac {b'+b''}{a''}}=h''$, ${\frac {b''+b'''}{a'''}}=h'''$, etc. nommons $x$, $y$,…$x'$, $y'$…$x''$,$y''$, etc. les indéterminées des formes $F$, $F'$, $F''$, etc. et supposons que $F$ se change

en	$F'$ par la substitution	$x=\alpha 'x'+\beta 'y'$,		$y=\gamma 'x'+\delta 'y'$
	$F''$…………………	$x=\alpha ''x''+\beta ''y''$,	…	$y=\gamma ''x''+\delta ''y''$
	$F'''$…………………	$x=\alpha '''x'''+\beta '''y'''$,	…	$y=\gamma '''x'''+\delta '''y'''$.

Cela posé, comme $F$ se change en $F'$ en faisant $x=-y'$ et $y=x'+h'y'$,$F'$ en $F''$ en faisant $x'=-y''$…$y'=x''+h'y''$, $F''$ en $F'''$ en faisant $x''=-y''$ et $y''=x''+h''y''$, etc. on trouvera facilement les équations suivantes :

$\alpha '$

$=$

$0$

$\beta '$

$=$

$-1$

$\gamma '$

$=$

$1$

$\delta '$

$=$

$h'$

$\alpha ''$

$=$

$\beta '$

…

$\beta ''$

$=$

$h''\beta '-\alpha '$

…

$\gamma ''$

$=$

$\delta '$

…

$\delta ''$

$=$

$h''\delta '-\gamma '$

$\alpha '''$

$=$

$\beta ''$

…

$\beta '''$

$=$

$h'''\beta ''-\alpha ''$

…

$\gamma '''$

$=$

$\delta ''$

…

$\delta '''$

$=$

$h'''\delta ''-\gamma ''$

$\alpha ^{IV}$

$=$

$\beta '''$

…

$\beta ^{IV}$

$=$

$h'''\beta '''-\alpha '''$

…

$\gamma ^{IV}$

$=$

$\delta '''$

…

$\delta ^{IV}$

$=$

$h^{IV}\delta '''-\gamma '''$

etc.

etc.

etc.

etc.

d’où l’on tire

$\alpha '$

$=$

$0$

$\beta '$

$=$

$-1$

$\gamma '$

$=$

$1$

$\delta '$

$=$

$h'$

$\alpha ''$

$=$

$\beta '$

…

$\beta ''$

$=$

$h''\beta '-\alpha '$

…

$\gamma ''$

$=$

$\delta '$

…

$\delta ''$

$=$

$h''\delta '-1$

$\alpha '''$

$=$

$\beta ''$

…

$\beta '''$

$=$

$h'''\beta ''-\alpha ''$

…

$\gamma '''$

$=$

$\delta ''$

…

$\delta '''$

$=$

$h'''\delta ''-\delta '$

$\alpha ^{IV}$

$=$

$\beta '''$

…

$\beta ^{IV}$

$=$

$h'''\beta '''-\alpha '''$

…

$\gamma ^{IV}$

$=$

$\delta '''$

…

$\delta ^{IV}$

$=$

$h^{IV}\delta '''-\delta ''$

etc.

etc.

etc.

etc.

il suit du n^o 159, et de la formation de ces quantités, que les différentes transformations sont propres.

Cet algorithme très-simple, et auquel on applique facilement le calcul, est analogue à celui du n^o 27^[6], auquel même il est facile de le ramener. Au reste, cette solution n’est pas restreinte au cas des formes de déterminant négatif ; elle convient à tous les cas, pourvu qu’aucun des nombres $a'$, $a''$, $a''$, etc. ne soit égal à zéro.

178. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f}$ de même déterminant négatif et proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.

Supposons que $F$ soit la forme $(A,B,A')$ ; par la méthode du n^o 171, on cherchera la suite des formes $(A',B',A''),$ $(A'',B'',A'''),$ etc. jusqu’à la réduite $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}).$ Soit $(a,b,a')$ l’autre forme $f\,;$ on cherchera de même la suite $(a',b',a''),$ $(a'',b'',a'''),$ etc. jusqu’à $(a^{(m)},b^{(m)},a^{(n+1)}),$ qui est la réduite. Alors il peut se présenter deux cas :

1^o. Si les formes $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$, $(a^{(n)},b^{(n)},a^{(n+1)})$ sont identiques, ou à-la-fois opposées et ambiguës, les formes $(A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)})$, $(a^{(n)},b^{(n-1)},a^{(n-1)})$ seront contigues, $A^{(m-1)}$ désignant l’avant-dernier terme de la suite $A$, $A'$, $A''$, etc. (il en est de même de $B^{(m-1)}$, $a^{(n-1)}$, $b^{(n-1)}$ ; car, $A^{(n)}=a^{(n)}$, $B^{(m-1)}+B^{(m)}\equiv 0{\pmod {A^{(m)}}},$ $b^{(n-1)}+b^{(n)}\equiv 0{\pmod {a^{(m)}=A^{(m)}}},$
d’où $B^{(m-1)}-b^{(n-1)}+B^{(m)}-b^{(n)}\equiv 0\,;$ mais si les formes réduites sont identiques, $B^{(m)}-b^{(n)}=0$ ; si elles sont opposées et ambiguës, $B^{(m)}-b^{(n)}=A^{(n)}$ ; donc dans les deux cas $B^{(m-1)}-b^{(n-1)}\equiv 0$. Il suit de là que dans la suite de formes :

$(A,B,A')$, $(A',B',A'')$ …$(A^{(m-1)},B^{(m-1)},A^{(m)}),$

$(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots$

$(a',-b,a)$, $(a,b,a').$

Une quelconque est contiguë à celle qui la précède, et parconséquent (n^o précéd.) on pourra trouver une transformation propre de $F$ en $f$.

2^o. Si les formes $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$, $(a^{(n)},-b^{(n)},a^{(n+1)})$ n’étant pas identiques, sont opposées et que leurs termes extrêmes soient égaux, on aura $A^{(m)}=A^{(m+1)}=a^{(n)}=a^{(n+1)}$, d’où $A^{(m+1)}=a^{(n)}$, et $B^{(m)}-b^{(n-1)}=-(b^{(n)}+b^{(n-1)})$, et partant divisible par ${\displaystyle }$ ; donc la forme $(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)})$ est contiguë à la forme $(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)})$, et la suite :

$(A,B,A')$, $(A',B',A'')$ …$(A^{(m)},B^{(m)},A^{(m+1)}),$

$(a^{(n)},-b^{(n-1)},a^{(n-1)}),(a^{(n-1)},-b^{(n-2)},a^{(n-2)})\ldots$

$(a',-b,a)$, $(a,b,a').$

jouit de la même propriété que la précédente. On pourra donc trouver une transformation propre de $F$ en $f$.

Exemple. Soient les deux formes $(23,38,63)$, $(15,20,27)$ ; On trouvera

pour	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right.$	la 1ère…	$(23,38,63),$	$(63,25,10),$	$(10,5,3),$	$(3,1,2),$	$(2,-1,3)$.
		la 2e…	$(15,20,27),$	$(27,\ \ 7,\ \ 2),$	$(\ \ 2,1,3).$

Les deux réduites sont opposées et ambiguës ; les deux formes proposées se rapportent parconséquent au premier cas. La suite de formes contiguës sera donc

$(23,28,63)$,	$(63,\;\;\ 25,10)$,	$(10,\;\;5,\;\ 3)$,	$(3,1,2)$,
$(\;2,-7,27)$,	$(27,-20,15)$,	$(15,20,27)$.

Il en résulte $h'={\frac {38+25}{63}}=1$, $h''={\frac {25+5}{10}}=3$, $h'''=2$, $h^{IV}=-3$, $h^{V}=-1$, $h^{VI}=0$, d’où l’on déduit $\alpha ^{VI}=-13$, $\beta ^{VI}=-18$, $\gamma ^{VI}=8$, $\delta ^{VI}=11$. Donc en faisant $x=-13t-18u$ et $y=8t+11u$, la forme $23x^{2}+76xy+63y^{2}$ se change en $15t^{2}+40tu+27u^{2}$.

De la solution du problème précédent on déduit facilement la solution de celui-ci : $\mathrm {F}$ et $\mathrm {f}$ étant deux formes improprement équivalentes, trouver une transformation impropre de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {f} .$ Soit en effet $f=at^{2}+2btu+a'u^{2}$, la forme $g=ap^{2}-2bpq+a'q^{2}$, qui est opposée à $f$ sera proprement équivalente à $F$. On n’a donc qu’à chercher une transformation propre de $F$ en $g$ ; soit $x=\alpha p+\beta q$, $y=\gamma p+\delta q$ cette transformation ; il est clair (n^os 158 et 159) que $F$ deviendra $f$ par la transformation $x=\alpha t-\beta u$, $y=\gamma t-\delta u$ qui sera impropre.

Si donc les formes $F$, $f$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une transformation propre et une transformation impropre.

179. Problème. Étant données deux formes équivalentes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f} ,$ trouver toutes les transformations de $\mathrm {F}$ en $\mathrm {f} .$

Si les formes $F$ et $f$ ne sont équivalentes que d’une manière, c’est-à-dire, proprement ou improprement, on cherchera par le n^o précédent une transformation de $F$ en $f$, et il est clair qu’il ne peut y en avoir d’autres que celles qui sont semblables à celle-là. Si les formes $F$, $f$ sont équivalentes des deux manières, on cherchera deux transformations, l’une propre, l’autre impropre. Soit ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$ et $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $2B$, $C$. Alors, par le n^o 162 il est constant que toutes les transformations de $F$ en $f$ se déduiront d’une seule dans le premier cas, et que dans le second toutes les transformations propres se déduiront d’une transformation propre, et toutes les transformations impropres, d’une transformation impropre, pourvu qu’on ait toutes les solutions de l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$. Dès qu’elles seront trouvées, le problème sera résolu.

Or comme on a $D=AC-B^{2}$, il s’ensuit que $4D=4AC-4B^{2}$, ou ${\frac {4D}{m^{2}}}={\frac {4AC}{m^{2}}}-\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}$ ; donc ${\frac {4D}{m^{2}}}$ est un nombre entier. Cela posé,

1^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}>4$, on aura $D>m^{2}$, et partant, dans l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$, on a nécessairement $u=0$ et $t=\pm m$. Donc si $F$ et $f$ ne sont équivalentes que d’une manière, et qu’on ait une transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, on n’en trouvera pas d’autres que celle-là même qui résulte de la supposition $t=m$ (n^o 162), et la transformation $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$ ; mais si $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières, et qu’on ait une transformation propre $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$, et une impropre $x=-\alpha 'x'-\beta 'y'$, $y=-\gamma 'x'-\delta 'y'$, on n’en trouvera pas d’autres que ces deux, qui naissent de la supposition $t=m$, et les deux $x=-\alpha x'-\beta y'$, $y=-\gamma x'-\delta y'$, …$x=-\alpha 'x'-\beta 'y'$, $y=-\gamma 'x'-\delta 'y'$, que fournit la valeur $t=-m$.

2^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=4$ ou $D=m^{2}$, l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$ admettra quatre solutions : $t=m$, $u=0$ ; $t=-m$, $u=0$ ; $t=0$, $u=1$ ; $t=0$, $u=-1$. Donc si $F$, $f$ sont équivalentes d’une seule manière, et qu’on ait la transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=-\gamma 'x'+\delta 'y'$, on en tirera en tout les quatre suivantes :

$x=\pm \alpha x'\pm \beta y'$,	———	$x=\mp {\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}x'\mp {\frac {\beta B+\delta C}{m}}y'$,
$y=\pm \gamma x'\pm \delta y'$,		$y=\pm {\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}x'\pm {\frac {\beta A+\delta B}{m}}y'$ ;

mais si $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières ; c’est-à-dire si, outre la transformation donnée, il y en a encore une qui soit dissemblable, cette dernière en fournira encore quatre, desorte qu’il y aura huit transformations. Au reste il est aisé de démontrer que si $D=m^{2}$, $F$ et $f$ sont toujours équivalentes des deux manières. En effet, comme on a alors $m^{2}=AC-B^{2}$, $B$ lui-même sera divisible par $m$, et si l’on considère la forme $\left({\frac {A}{m}},{\frac {B}{m}},{\frac {C}{m}}\right)$, son déterminant sera $-1$, et partant elle sera équivalente à l’une des formes $(1,0,1)$, $(-1,0,-1)$. Or on voit facilement que la même transformation qui change $\left({\frac {A}{m}},{\frac {B}{m}},{\frac {C}{m}}\right)$ en $(\pm 1,0,\pm 1)$, changera la forme $(A,B,C)$ en $(\pm m,0,\pm m)$, qui est ambiguë ; donc la forme $(A,B,C)$ étant équivalente à une forme ambiguë, sera équivalente des deux manières, à la forme $(a,b,c)$ (n^os 163 et suiv.).

3^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=3$ ou $4D=3m^{2}$, $m$ sera nécessairement pair, et comme dans l’équation $t^{2}+Du^{2}=m^{2}$, il faut que $u^{2}<{\frac {4}{3}}$, on aura six solutions : $t=m$, $u=0$ ; $t=-m$, $u=0$ ; $t={\frac {1}{2}}m$, $u=1$ ; $t={\frac {1}{2}}m$, $u=-1$ ; $t=-{\frac {1}{2}}m$, $u=1$ ; $t=-{\frac {1}{2}}m$, $u=-1$. Si donc on connaît deux transformations dissemblables,

$x=\alpha x'+\zeta y'$,	———	$y=\gamma x'+\delta y'$ ;
$x=\alpha 'x'+\zeta 'y'$,	———	$y=\gamma 'x'+\delta 'y'$

on en déduira douze autres, savoir, six semblables à la première, et qui sont :

$x=$	$\pm \alpha x'\pm \beta y'$	$y=\pm \gamma x'\pm \delta y'$ ;
$x=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta -{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'$
$y=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\delta +{\frac {\beta A+\delta B}{m}}\right)y'$,
$x=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\beta +{\frac {\beta B+\delta C}{m}}\right)y'$
$y=$	$\left(\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}\right)x'$	$+\left(\pm {\frac {1}{2}}\delta -{\frac {\beta A+\delta B}{m}}\right)y'$,

et six semblables à la seconde, qu’on obtiendra en mettant dans celles-ci $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ pour $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$. Mais on peut faire voir que dans ce cas $F$ et $f$ sont équivalentes des deux manières ; car la forme $\left({\frac {2A}{m}},{\frac {2B}{m}},{\frac {2C}{m}}\right)$ aura $-{\frac {D}{4m^{2}}}=-3$ pour déterminant, et sera par-conséquent équivalente à la forme $(\pm 1,0,\pm 3)$ ou à celle-ci $\left(\pm 2,\pm 1,\pm 2\right)$ (n^o 176), d’où l’on voit facilement que la forme $\left(A,B,C\right)$ équivaut à l’une des formes $\left(\pm {\frac {m}{2}},0,\pm {\frac {3m}{2}}\right)$, $\left(\pm m,\pm {\frac {1}{2}}m,\pm m\right)$, qui sont toutes deux ambiguës. Donc, etc.

4^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=2$, on a $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}=4{\frac {AC}{m^{2}}}-2$, et partant $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}\equiv {-2}{\pmod {4}}$. Mais comme aucun quarré ne peut être $\equiv {-2}{\pmod {4}}$ (n^o 103), cette hypothèse est inadmissible.

5^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=1$, on a $\left({\frac {2B}{m}}\right)^{2}=4{\frac {AC}{m^{2}}}-1\equiv {-1}{\pmod {4}}$, ce qui est impossible ; donc cette hypothèse est encore inadmissible.

Comme d’ailleurs $D$ ne peut être ni $=0$, ni $<0$, il n’y a pas d’autres cas que ceux que nous venons de parcourir.

180. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné $M$ par la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$…F, dont le déterminant est négatif, les valeurs de $x$ et de $y$ étant premières entre elles.

On a vu (n^o 154) que l’on ne pouvait résoudre ce problème que dans le cas où $-D$ est résidu quadratique de $M\,;$ on cherchera donc d’abord toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, incongrues de l’expression${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}\,;$ soient ces valeurs $\pm N$, $\pm N',$ $\pm N'',$ etc. Pour rendre le calcul plus simple, on peut prendre toutes ces valeurs telles qu’elles ne soient pas $>{\frac {1}{2}}M.$ Cela posé, comme une quelconque des représentations appartient à quelqu’une de ces valeurs, nous considérerons chacune en particulier.

Si les formes $F$, $\left(M,N,{\frac {D+N^{2}}{M}}\right)$ ne sont pas proprement équivalentes, il n’y aura aucune représentation de $M$ qui appartienne à la valeur $N$ (n^o 168) ; mais si elles le sont, on n’a qu’à chercher une transformation propre de $F$ en $\left(M,N,{\frac {D+N^{2}}{M}}\right)$, qui soit $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, et l’on aura $x=\alpha$, $y=\gamma$ pour la représentation du nombre $M$ par la forme $F$, qui appartient à la valeur $N$. Soit $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $A$, $2B$, $C$, et nous pourrons distinguer trois cas :

1^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}>4$, il n’y aura pas d’autres représentations que ces deux-ci : $x=\alpha$, $y=\gamma$ ; $x=-\alpha$, $y=-\gamma$ (n^os 169, 180).

2^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=4$, il y aura quatre représentations : $x=\pm \alpha$, $y=\pm \gamma$, $x=\pm {\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$, $y=\pm {\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$.

3^o. Si ${\frac {4D}{m^{2}}}=3$, il y aura six représentations :

$x=\pm \alpha$,	——	$y=\pm \gamma$ ;
$x=\pm {\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$,		$y=\pm {\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$ ;
$x=\pm {\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {\alpha B+\gamma C}{m}}$,		$y=\pm {\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {\alpha A+\gamma B}{m}}$.

On cherchera de la même manière les représentations que donnent les valeurs $-N,$ $+N',$ $-N'',$ etc.

181. La recherche des représentations du nombre $M$ par la forme $F$, dans laquelle $x$ et $y$ ont des valeurs quelconques, peut se ramener au premier cas. Supposons que cette représentation ait lieu en faisant $x=\mu e$, $y=\mu f$, ensorte que $\mu$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $\mu e$, $\mu f$, ou que $e$ et $f$ soient premiers entre eux ; on aura $M=\mu ^{2}(Ae^{2}+2Bef+Cf^{2})$, et parconséquent $M$ est divisible par $\mu ^{2}$ ; et la substitution $x=e$, $y=f$ fournira une représentation du nombre ${\frac {M}{\mu ^{2}}}$ par la forme $F$, dans laquelle $x$ et $y$ ont des valeurs premières entre elles. Si donc $M$ n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura pas de telles représentations ; mais s’il renferme des diviseurs quarrés, que nous appellerons $\mu ^{2}$, $\nu ^{2}$, $\pi ^{2}$, etc ; On cherchera d’abord toutes les représentations du nombre ${\frac {M}{\mu ^{2}}}$ par la forme $(A,B,C)$, dans lesquelles les valeurs de $x$, $y$ sont premières entre elles ; ces valeurs multipliées par $\mu$, donneront toutes les représentations de $M$, dans lesquelles $\mu$ est le plus grand commun diviseur de $x$ et de $y$ ; de la même manière on trouvera toutes les représentations dans lesquelles $\nu$ est le plus grand commun diviseur de $x$ et de $y$, etc.

On peut donc, par les méthodes que nous venons d’exposer, trouver toutes les représentations d’un nombre donné, par une forme donnée de déterminant négatif.

182. Descendons maintenant à quelques cas particuliers remarquables autant à cause de leur élégance, que par l’assiduité avec laquelle Euler s’en est occupé.

1^o. Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit $-1$, ne peut être représenté par la forme $x^{2}+y^{2}$, dans laquelle $x$ et $y$ sont premiers entre eux, ou sont décomposables en deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit $M$ un de ces nombres, et $\pm N$, $\pm N'$, $\pm N''$, etc. les valeurs de l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$ ; alors par le n^o 176 la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ sera proprement équivalente à la forme $(1,0,1)$ ; soit $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$ une transformation propre de la forme $(1,0,1)$ en la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ ; on aura les quatre représentations suivantes du nombre $M$ par la forme $x^{2}+y^{2}$, savoir, $x=\pm \alpha$,$y=\pm \gamma$ ; $x=\mp \gamma$, $y=\mp \alpha$. 2^o.— n^o 180).

Comme la forme $(1,0,1)$ est ambiguë, il est évident que la forme $\left(M,-N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ lui est aussi proprement équivalente, et que la première se change en la seconde par la transformation propre $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, d’où naissent quatre représentations de $M$ appartenantes à $-N$, $x=\pm \alpha$,$y=\mp \gamma$ ; $x=\pm \gamma$, $y=\mp \alpha$. Il suit de là qu’il y a huit représentations du nombre $M$, dont quatre appartiennent à la valeur $N$, et quatre à la valeur $-N$. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre $M$ en deux quarrés, $M=\alpha ^{2}+\gamma ^{2}$, tant qu’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes des racines.

Si donc il n’y a pas d’autres valeurs que $N$ et $-N$ pour l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$, ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que $M$ est un nombre premier, $M$ ne pourra être décomposé que d’une manière en deux quarrés. Or comme $-1$ est résidu de tous les nombres premiers de la forme $4n+1$ (n^o 108), et qu’un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant.

Tout nombre premier de la forme $4\mathrm {n} +1$ peut être décomposé en deux quarrés, et ne peut l’être que d’une seule manière.

Ainsi :

$1$	$=$	$0$	$+$	$1$,	—	$5$	$=$	$1$	$+$	$4$,	—	$13$	$=$	$4$	$+$	$9$,	—	$17$	$=$	$1$	$+$	$16$,
$29$	$=$	$4$	$+$	$25$,	—	$37$	$=$	$1$	$+$	$36$,	—	$41$	$=$	$16$	$+$	$25$,	—	$53$	$=$	$4$	$+$	$49$,
$61$	$=$	$25$	$+$	$36$,	—	$731$	$=$	$9$	$+$	$64$,	—	$89$	$=$	$25$	$+$	$64$,	—	$97$	$=$	$16$	$+$	$81$,
											etc.

Ce théorème élégant a été donné par Fermat, mais Euler est le premier qui l’ait démontré, Comm, nov. Petr. T. V. ann. 1754 et 1755. p. 3. Dans le T. IV, il existe une dissertation sur le même sujet, p. 8 ; mais alors il n’était pas parvenu à son but.

Si donc un nombre de la forme $4n+1$ ne peut pas être décomposé en deux quarrés, ou peut l’être de plusieurs manières, on sera sûr que ce n’est pas un nombre premier.

Mais réciproquement, si l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$ a encore d’autres valeurs que $N$ et $-N$, il y aura d’autres représentations de $M$. Ainsi, dans ce cas, $M$ peut se décomposer en deux quarrés de plusieurs manières ; par exemple :

$65=1+64=16+49,\quad 221=25+196=100+121.$

Les autres représentations dans lesquelles $x$ et $y$ prennent des valeurs non premières entre elles, se trouvent facilement par notre méthode. Observons seulement que si le nombre $M$ renferme des facteurs de la forme $4n+3$, dont on ne puisse pas le délivrer en le divisant par un quarré, ce qui arrivera toutes les fois que le nombre $M$ renfermera des puissances impaires de ces facteurs, il ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés^[7].

2^o. Pour qu’un nombre puisse être représenté par la forme $x^{2}+2y^{2},$ $x$ et $y$ étant premiers entre eux, il faut que ce nombre ait $-2$ pour résidu. Soit donc $M$ un nombre qui ait $-2$ pour résidu, et soit $N$ une valeur de ${\sqrt {-2}}{\pmod {M}}\,;$ alors (n^o 176) les formes $(1,0,2),$ $\left(M,-N,{\frac {N^{2}+2}{M}}\right)$ seront proprement équivalentes. Supposons que la première se change en la seconde par la transformation propre $x=\alpha x'+\beta y',$ $y=\gamma x'+\delta y',$ on aura deux représentations $x=\pm \alpha ,$ $y=\pm \gamma$ du nombre $M$ appartenantes à la valeur $N,$ et il n’y en aura pas d’autres (n^o 180 — 1^o.) D’ailleurs on voit, comme ci-dessus, que les représentations qui appartiennent à $-N$ sont $x=\pm \alpha ,$ $y=\mp \gamma .$ Mais ces quatre représentations ne donnent qu’une seule décomposition du nombre $M$ en un quarré et le double d’un quarré, et si l’expression ${\sqrt {-2}}{\pmod {M}}$ n’a pas d’autres valeurs que $N$ et $-N,$ il n’y aura pas d’autre décomposition, De là, à l’aide des propositions du n^o 116, on déduit facilement le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme $8\mathrm {n} +1$ ou $8\mathrm {n} +3,$ peut être décomposé en un quarré et le double d’un quarré, et cela d’une seule manière ; ainsi,

$1$	$=$	$1$	$+$	$0$,	—	$3$	$=$	$1$	$+$	$2$,	—	$11$	$=$	$9$	$+$	$2$,	—	$17$	$=$	$9$	$+$	$8$,
$19$	$=$	$1$	$+$	$18$,	—	$41$	$=$	$9$	$+$	$32$,	—	$43$	$=$	$25$	$+$	$18$,	—	$59$	$=$	$9$	$+$	$50$,
$67$	$=$	$49$	$+$	$18$,	—	$73$	$=$	$1$	$+$	$72$,	—	$83$	$=$	$81$	$+$	$2$,	—	$89$	$=$	$81$	$+$	$8$,
$97$	$=$	$25$	$+$	$72$,	—	etc.

Ce théorème, ainsi que plusieurs autres semblables, était connu de Fermat ; mais Lagrange l’a démontré le premier (Suite des Recherches Arithmétiques. Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1775, p. 323). Euler avait déjà trouvé beaucoup de choses qui appartenaient à ce sujet (Specimen de usu observationum in mathesi purâ. Com. nov. Petr. T. V. ) ; mais la démonstration, complète lui a toujours échappé, p. 220. On peut voir aussi, T. VIII, la dissertation intitulée : Supplementum quorumdam theorematum arithmeticorum.

3^o. Par la même méthode on démontrera que tout nombre dont $-3$ est résidu quad., peut être représenté par la forme $x^{2}+3y^{2}$, ou par la forme $2x^{2}+2xy+2y^{2},$ de manière que $x$ et $y$ soient premiers entre eux. Donc, comme $-3$ est résidu de tous les nombres de la forme $3n+1$ (n^o 119), et qu’il n’y a que des nombres pairs qui peuvent être représentés par la forme $2x^{2}+2xy+2y^{2}$, on aura, comme plus haut, le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme $3\mathrm {n} +1,$ peut se décomposer en un quarré et le triple d’un quarré, et cela d’une seule manière,

$1$	$=$	$1$	$+$	$0$,	—	$7$	$=$	$4$	$+$	$3$,	—	$13$	$=$	$1$	$+$	$12$,	—	$19$	$=$	$16$	$+$	$3$,
$31$	$=$	$4$	$+$	$27$,	—	$37$	$=$	$25$	$+$	$12$,	—	$43$	$=$	$16$	$+$	$27$,	—	$61$	$=$	$49$	$+$	$12$,
$67$	$=$	$64$	$+$	$3$,	—	$73$	$=$	$25$	$+$	$48$,	—	etc.

Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème dans le mémoire déjà cité (Comm. nov. T. VIII.). Nous pourrions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple, que tout nombre premier de la forme $20n+1$, $20n+8$, $20n+7$, $20n+9$ (ceux dont $-5$ est résidu) peuvent être représentés par l’une ou l’autre des formes $x^{2}+5y^{2}$ et $2x^{2}+2xy+3y^{2}$ ; savoir, les nombres de la forme $20n+1$, $20n+9$, par la première ; ceux de la forme $20n+3$, $20n+7$, par seconde ; tandis que les nombres doubles de ceux de la forme $20n+1$, $20n+9$ seraient représentés par la forme $2x^{2}+2xy+3y^{2}$, et que les nombres doubles de ceux de la forme $20n+3$, $20n+7$, le seraient par la forme $x^{2}+5y^{2}$ : mais chacun, déduis facilement cette proposition, et une infinité d’autres particulières, tant de ce qui précède que de ce que nous allons exposer.

Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme leur nature diffère quand le déterminant est quarré, et quand il ne l’est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que nous considérerons ensuite à part.

183. Problème. Étant donnée une forme quelconque $\mathrm {(a,b,a')}$ dont le déterminant soit un nombre $\mathrm {D}$ positif et non quarré, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle $\mathrm {B}$ soit positif et $\mathrm {<{\sqrt {D}}}$, et dans laquelle $\mathrm {A} ,$ s’il est positif ou $\mathrm {-A} ,$ si $\mathrm {A}$ est négatif, soit compris entre $\mathrm {{\sqrt {D}}+B}$ et $\mathrm {{\sqrt {D}}-B} .$

Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile d’en chercher une autre ; et nous observerons qu’aucun des termes extrêmes ne peut être nul, car, sans cela, le déterminant serait un quarré (n^o 171). Cela posé, soit $b'\equiv -b{\pmod {a'}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$ (en prenant le signe supérieur quand $a'$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif) ; il est aisé de démontrer que l’opération est possible, par un raisonnement semblable à celui du n^o 5. Soit ensuite $a''={\frac {b'^{2}-D}{a'}}$, $a''$ sera un nombre entier, parceque $b'^{2}-D\equiv b^{2}-D\equiv aa'\equiv a{\pmod {a'}}$. Si $a''<a'$, on prendra encore $b''\equiv -b'{\pmod {a''}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a''$ (suivant que $a''$ sera positif ou négatif), et $a'''={\frac {b''^{2}-D}{a''}}$ ; si l’on a $a'''<a''$ on prendra encore $b'''\equiv -b{\pmod {a''}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'''$, et $a^{IV}={\frac {b'''^{2}-D}{a'''}}$, etc. On continuera ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $a^{(m+1)}$ qui ne soit pas plus petit que le précédent $a^{(m)}$, ce qui doit arriver nécessairement, car autrement une progression de nombres entiers pourrait décroître à l’infini. Alors en faisant $a^{(m)}=A$, $b^{(m)}=B$, $a^{(m+1)}=C$, la forme $(A,B,C)$ satisfera à toutes les conditions. En effet :

1^o. Puisque dans la suite de formes $(a,b,a')$, $(a',b',a'')$, $(a'',b'',a''')$, etc. une quelconque est contiguë à celle qui la précède ; la dernière $(A,B,C)$ sera proprement équivalente à la première.

2^o. Comme $B$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$, en prenant toujours le signe supérieur quand $A$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif, il est clair que si l’on fait ${\sqrt {D}}-B=p$ et $B-({\sqrt {D}}\mp A)=q$, $p$ et $q$ seront des nombres positifs, quel que puisse être le signe de ${\sqrt {D}}\mp A$. Or on s’assurera aisément que $q^{2}+2pq+2p{\sqrt {D}}=D+A^{2}-B^{2}$ ; or le premier membre est essentiellement positif, donc le second l’est aussi ; et comme $D=B^{2}-AC$, il s’ensuit que $A^{2}-AC>0$ ; mais $A$ n’est pas plus grand que $C$, donc nécessairement $A$ et $C$ sont de signe contraire ; donc aussi, puisque $B^{2}=D+AC$, on a $B^{2}<D$ et $B<{\sqrt {D}}$.

3^o. Puisque $D<B^{2}$ et que $-AC=D-B^{2}$, on a $AC<D$ (abstraction faite du signe) ; et comme $A$ est non $>C$, on a aussi $A<{\sqrt {D}}$ ; donc ${\sqrt {D}}\mp A$ sera positif, et partant, $B$ qui est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$.

4^o. Donc, à plus forte raison, ${\sqrt {D}}+B\mp A>0$ ; et comme ${\sqrt {D}}-B{\sqrt {D}}\pm A=-q$, $\pm A$ sera compris entre les limites ${\sqrt {D}}+B$ et${\sqrt {D}}-B$.

Exemple. Soit la forme $(67,97,140)$ dont le déterminant est $29$ ; on trouvera la suite des formes : $(67,97,140)$, $(140,-97,67)$ $(67,-37,20)$, $(20,-3,-1)$, $(-1,5,4)$. La dernière est la forme cherchée.

Nous appellerons formes réduites les formes $(A,B,C)$, dans lesquelles $A,$ pris positivement, est compris entre ${\sqrt {D}}+B$ et ${\sqrt {D}}-B,$ $B$ étant positif et $<{\sqrt {D}},$ et le déterminant $D$ étant positif et non quarré. Ces formes réduites diffèrent un peu de celles dont le déterminant est négatif ; mais à cause de leur grande analogie, nous n’avons pas voulu introduire des dénominations différentes.

184. Si l’on pouvait reconnaître l’équivalence de deux formes réduites de déterminant positif, aussi facilement que nous l’avons fait pour celles de déterminant négatif (n^o 172), on reconnaîtrait sans peine l’équivalence de deux formes quelconques de déterminant négatif : mais ici la chose est bien différente, et il peut arriver qu’un grand nombre de formes réduites soient équivalentes entre elles. Ainsi, avant d’entreprendre cette recherche, il est nécessaire d’examiner plus à fond la nature des formes réduites (de déterminant positif non quarré, ce qu’on doit toujours sous-entendre dans ce que nous aurons à dire).

1^o. Si $(a,b,c)$ est une forme réduite, $a$ et $c$ seront de signe contraire ; car en nommant $D$ le déterminant, on aura $ac=b^{2}-D$ et partant négatif, puisque $b<{\sqrt {D}}$.

2^o. Le nombre $C$ pris positivement, est, ainsi que $a$, compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$ ; car $-c={\frac {D-b^{2}}{a}}$ ; donc, abstraction faite du signe, $c$ sera compris entre ${\frac {D-b^{2}}{{\sqrt {D}}+b}}={\sqrt {D}}-b$ et ${\frac {D-b^{2}}{{\sqrt {D}}-b}}={\sqrt {D}}+b$

3^o. Il suit de là que $(c,b,a)$ est aussi une forme réduite.

4^o. $a$ et $c$ seront $<2{\sqrt {D}}$ ; car chacun d’eux est $<{\sqrt {D}}+b$, et à plus forte raison $<2{\sqrt {D}}$.

5^o. $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$ (en prenant le signe supérieur lorsque $a$ est positif, et le signe inférieur quand il est négatif). En effet, comme $\pm a$ est compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, on aura $\pm a>{\sqrt {D}}-b$, ou $b>{\sqrt {D}}\mp a$ : d’ailleurs $b<{\sqrt {D}}$, donc $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$. On démontrerait absolument de la même manière que $b$ est compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp c$ (suivant que $c$ est positif ou négatif).

6^o. Pour toute forme réduite $(a,b,c)$, on peut en trouver une également réduite qui lui soit contiguë par l’une ou l’autre partie ; mais on n’en pourra trouver qu’une.

Soit $a'=c$, $b'=-b{\pmod {a'}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$, $c'={\frac {b'^{2}-D}{a'}}$ ; la forme $(a',b',c')$ sera contiguë par la dernière partie, à la forme $(a,b,c)$ ; et il est clair que s’il existe une forme réduite contiguë à la forme $(a,b,c)$ par la dernière partie, elle ne peut être autre que $(a',b',c')$ ; il reste à faire voir que cette forme est effectivement réduite.

(A). Soit fait ${\sqrt {D}}+b\mp a'=p=$ ; $\pm a'-({\sqrt {D}}-b)=q$, ${\sqrt {D}}-b=r\ ;$ il suit de la définition des formes réduites, et de (2^o), que $p$, $q$, $r$ sont positifs ; et si l’on fait encore $b'-({\sqrt {D}}\mp a')=q'$, ${\sqrt {D}}-b'=r'$, $q'$ et $r'$ seront positifs, puisque $b'$ tombe entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$ ; soit enfin $b+b'=\pm ma'$, $m$ sera entier. Or il est clair que $p+q'=b+b'$, d’où il suit que $\pm ma'>0$, et partant $m>0$, et $m-1$ non $<0$ ; et comme on a encore $r+q'=\pm ma'=2b'\pm a'$, d’où l’on tire $2b'=r+q'\pm a'(m-1)$, il s’ensuit que $b'$ est nécessairement positif, et comme $b'={\sqrt {D}}-r'$, que $b'<{\sqrt {D}}$.

(B). Or on a $r\pm ma'={\sqrt {D}}+b$, d’où $r\pm (m-1)a'={\sqrt {D}}+b\mp a'\,;$ donc ${\sqrt {D}}+b>\pm a'\,;$ d’ailleurs $q'=\pm a'-({\sqrt {D}}-b'),$ donc $\pm a'>{\sqrt {D}}-b'\,;$ donc enfin $\pm a'$ est compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b.$

La forme $(a',b',c')$ est donc une forme réduite.

On démontrera de la même manière, que si l’on fait $'a=a,$ $'b\equiv -b{\pmod {'c}}$, et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp c$, $'a={\frac {'b^{2}-D}{'c}}$, $('a,'b,'c)$ sera une forme réduite. Il est manifeste d’ailleurs qu’elle est contiguë par la première partie à la forme $(a,b,c)$, et que nulle autre forme réduite ne peut jouir de la même propriété.

Exemple. Soit la forme réduite $(5,11,-14)$ dont le déterminant est $191$, on trouvera les réduites $(-14,3,13)$ $(-22,9,5)$, dont la première est contiguë à $(5,11,-14)$ par la dernière partie, et la seconde par la première partie.

7^o. Si la forme réduite $(a',b',c')$ est contiguë par la dernière partie à la forme $(a,b,c)$, la réduite $(c',b',a')$ sera contiguë par la première partie à la réduite $(c,b,a)$ et si la réduite $('a,'b,'c)$ est contiguë par la première partie à la réduite $(a,b,c)$, la réduite $('c,'b,'a)$ sera contiguë par la dernière partie à la réduite $(c,b,a)$. Or les formes $(-'a,'b,-'c)$, $(-a,b,-c)$, $(-a',b,-c')$ seront des réduites, et la seconde sera contiguë à la première, la troisième à la seconde, par la dernière partie ; ou bien, la première sera contiguë à la seconde, la seconde à la troisième, par la première partie. Il en est de même des formes $(-c',b',-a')$, $(-c,b,-a)$, $(-'c,'b,-'a)$, Ces vérités sont si évidentes, qu’elles n’ont pas besoin d’explication.

185. Le nombre des formes réduites d’un déterminant donné $D$ est toujours fini, et elles peuvent se trouver de deux manières. Représentons indéfiniment par $(a,b,c)$ toutes les formes réduites dont le déterminant est $D$, ensorte qu’il s’agisse de trouver toutes les valeurs de $a$, $b$, $c$.

Première méthode. On prendra pour $a$ tous les nombres plus petits que $2{\sqrt {D}}$ soit positivement, soit négativement, dont $D$ est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de $a$, on fera $b$ égal aux différentes valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}$ comprises entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a$, et $c={\frac {b^{2}-D}{a}}$. S’il en résulte quelques formes dans lesquelles $\pm a$ sorte des limites ${\sqrt {D}}+b$ et${\sqrt {D}}-b$, il faudra les rejeter.

Deuxième méthode. On prendra pour $b$ tous les nombres positifs $<{\sqrt {D}}$ pour chaque valeur de $b$, on décomposera $b^{2}-D$ de toutes les manières possibles en deux facteurs qui soient compris entre ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, abstraction faite du signe, et l’on fera l’un d’eux $=a$ et l’autre $=c$. Il est évident que chaque décomposition en facteurs donnera deux formes, car l’un quelconque des deux facteurs peut être pris pour $a$, et l’autre pour $c$.

Exemple. Soit $D=79$ ; par la première méthode, on trouve pour $a$ vingt-deux valeurs : $\pm 1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $9$, $10$, $13$, $14$, $15$, d’où résultent les 19 formes suivantes :

$(1,8,-15)$,	$(2,7,-15)$,	$(3,7,-10)$,	$(3,8,-5)$,	$(5,7,-6)$,
$(5,8,-3)$,	$(6,5,-9)$,	$(6,7,-5)$,	$(7,3,-10)$,	$(7,4,-9)$,
$(9,4,-7)$,	$(9,5,-6)$,	$(10,3,-7)$,	$(10,7,-3)$,	$(13,1,-6)$,
$(14,3,-5)$,	$(15,2,-5)$,	$(15,7,-2)$,	$(15,8,-1)$.

On en trouvera encore autant en changeant les signes des fermes extrêmes, par exemple : $(-1,8,15)$, $(-2,7,+15)$, etc., ensorte qu’on en aura trente-huit en tout. Mais comme $\pm a$ doit être compris entre les limites ${\sqrt {D}}+b$ et ${\sqrt {D}}-b$, il faut rejeter les six formes : $(\pm 13,1,\mp 6)$, $(\pm 14,3,\mp 5)$, $(\pm 15,2,\mp 5)$ ; et les trente-deux qui restent, forment toutes les formes réduites.

Par la seconde méthode, on déduit les mêmes formes dans l’ordre suivant :

$(\pm 7,3,\mp 10)$,	$(\pm 10,3,\mp 7)$,	$(\pm 7,4,\mp 9)$,	$(\pm 9,4,\mp 7)$,
$(\pm 6,5,\mp 9)$,	$(\pm 9,5,\mp 6)$,	$(\pm 2,7,\mp 15)$,	$(\pm 3,7,\mp 10)$,
$(\pm 5,7,\mp 6)$,	$(\pm 10,7,\mp 5)$,	$(\pm 10,7,\mp 3)$,	$(\pm 15,7,\mp 2)$,
$(\pm 1,8,\mp 15)$,	$(\pm 3,8,\mp 5)$,	$(\pm 5,8,\mp 3)$,	$(15,8,\mp 1)$.

186. Soit $F$ une forme réduite de déterminant D, et la forme réduite $F$ contiguë à $F$ par la dernière partie ; soit de même la réduite $F''$ contiguë à $F'$, $F'''$ à $F''$, etc., il est clair que toutes les formes $F'$, $F''$, $F'''$, etc. sont absolument déterminées, et qu’elles sont proprement équivalentes entre elles et à la forme $F$. Mais comme le nombre des formes réduites de déterminant donné est toujours fini, il est manifeste que toutes les formes $F$, $F'$, $F''$, etc. ne peuvent pas être différentes. Supposons que $F^{(m)}$ et $F^{(m+n)}$ soient identiques, $F^{(n-1)}$ et $F^{(m+n-1)}$ sont réduites et contiguës par la première partie à la même forme réduite ; et partant identiques, on a de même $F^{(m-2)}=F^{(m+n-2)}$, etc., et enfin $F=F^{(n)}$. Ainsi dans la progression $F$, $F'$, $F''$, etc., pourvu qu’on la continue assez loin, on retrouvera enfin la forme $F$ ; et si nous supposons que $F^{(n)}$ soit la première identique avec $F$, c’est-à-dire que toutes les formes $F'$, $F''$,… $F^{(n-1)}$ soient différentes de $F$, il est aisé de voir que toutes les formes $F$, $F'$,… $F^{(n-1)}$ seront différentes entre elles. Nous appellerons l’ensemble de toutes ces formes la période de la forme $F$ ; si donc on continue la suite après la dernière forme de la période, les formes $F'$, $F''$, etc. reparaîtront de nouveau, et la suite entière sera composée de cette période répétée à l’infini.

La progression $F$, $F'$, $F''$, etc. peut aussi être continuée en sens inverse, en plaçant avant la forme $F$ une forme $'F$ qui lui soit contiguë par la première partie, avant celle-ci une forme $F''$, etc. On aura de cette manière une suite de formes infinie dans les deux sens,

$.....\ '''F,\ ''F,\ 'F,\ F,\ F',\ F'',\ F''',\ .....,$

et l’on verra facilement que $'F$ est identique avec $F^{(n-1)}$, $''F$ avec $F^{(n-2)}$, etc. et que parconséquent la suite est aussi formée, vers la gauche, de la période de la forme $F$ répétée à l’infini.

Si l’on attribue aux formes $F$, $F'$, $F''$, etc. $'F$, $''F$, etc. les indices $0$, $1$, $2$, etc. $-1$, $-2$, etc., et généralement à la forme $F^{(m)}$ l’indice $m$, à la forme $^{(m)}F$ l’indice $-m$, il est clair que des formes quelconques de la suite seront identiques ou différentes, selon que leurs indices sont congrus ou incongrus, suivant le module $n$. Il ne faut pas confondre les indices dont il est question ici, avec ceux du n^o 57. Les premiers ne sont que des accens, et les derniers de véritables exposans.

Exemple. La période de la forme $(3,8,-5)$, dont le déterminant est $79$, se trouve ainsi être :

$(3,8,-5),\ (-5,7,6),\ (6,5,-9),\ (-9,4,7),\ (7,3,-10),\ (-10,7,3)\,;$

après la dernière, la première $(3,8,-5)$ reparaît, et l’on a ici $n=6$.

187. Voici encore quelques observations générales sur ces périodes.

1^o. Si les formes $F$, $F'$, $F''$, etc. $'F$, $''F$, etc. sont présentées comme il suit : $(a,b,-a')$, $(-a',b',a'')$, $(a'',b'',-a'')$, etc. $(-'a,'b,c)$, $(''a,''b,-'a)$, $(-''a,''b,''a)$, etc. tous les nombres $a$, $a'$, $a''$, $a'''$, etc. $'a$, $''a$, $'''a$, etc. auront le même signe (n^o 184 —1^o.), et les nombres $b$, $b'$, $b''$, $b'''$, etc. $'b$, $''b$, etc. seront nécessairement positifs.

2^o. Il suit de là que le nombre $n$ des formes de la période est toujours pair ; car le premier terme d’une forme quelconque $F^{n}$ de cette période, aura évidemment le même signe que le premier terme de la forme $F$ si $m$ est pair, et le signe contraire si $m$ est impair ; or $F$ et $F^{n}$ sont identiques, donc $n$ est un nombre pair.

3^o. Dans le calcul indiqué (n^o 184—6^o.), pour trouver les différentes formes $F$, $F'$, $F''$ etc., au lieu des expressions

$a''$	$={\frac {D-b'^{2}}{a'}}$,
$a'''$	$={\frac {D-b''^{2}}{a''}}$,
$a^{IV}$	$={\frac {D-b'''^{2}}{a'''}}$,
etc.

on peut substituer les suivantes, qui sont plus commodes, lorsque $D$ est un grand nombre, et qui s’en déduisent facilement :

$a''$	$=$	${\frac {(b+b')(b-b')}{a'}}$	$+a$,
$a'''$	$=$	${\frac {(b'+b'')(b'-b'')}{a''}}$	$+a'$,
$a^{IV}$	$=$	${\frac {(b''+b''')(b''-b''')}{a'''}}$	$+a''$,
etc.

4^o. Une forme quelconque $F^{n}$ contenue dans la période de $F$ conduit à la même période qu’elle ; ensorte que la période de cette forme sera $F^{n}$, $F^{n+1}$…$F^{n-1}$, $F$, $F'$, … $F^{n-1}$, dans laquelle les mêmes formes reviennent dans le même ordre, et qui ne diffère de la première que par le commencement et la fin.

5^o. Il suit de là que toutes les formes réduites de même déterminant $D$ peuvent être distribuées en périodes. On prendra une quelconque $F$ de ces formes, et l’on cherchera sa période que nous désignerons par $P$. Si $P$ ne renferme pas toutes les formes réduites dont le déterminant est $D$, soit $G$ une des formes qui n’y est pas contenue, et $Q$ sa période, il est clair que $P$ et $Q$ n’ont aucune forme commune, car autrement $G$ serait contenue dans $P$ et les périodes coïncideraient. Si $P$ et $Q$ n’épuisent pas encore toutes les formes réduites, une de celles qui y manquent fournira une troisième période $R$, qui n’aura aucune forme commune avec $P$ et $Q$, et ainsi de suite, jusqu’à ce que toutes les formes réduites soient épuisées. Ainsi, par exemple, les formes réduites dont le déterminant est $79$ se distribuent en six périodes,

1…	$(1,8,-15),$	$(-15,7,2),$	$(2,7,-15),$	$(-15,8,1).$
2…	$(-1,8,15),$	$(15,7,-2),$	$(-2,7,15),$	$(15,8,-1).$
3…	$(3,8,-5),$	$(-5,7,6),$	$(6,5,-9),$	$(-9,4,7),$
			$(7,3,-10),$	$(-10,7,3).$
4…	$(-3,8,5),$	$(5,7,-6),$	$(-6,5,9),$	$(9,4,-7),$
			$(-7,3,10),$	$(10,7,-3).$
5…	$(5,8,-3),$	$(-3,7,10),$	$(10,3,-7),$	$(-7,4,9),$
			$(9,5,-6),$	$(-6,7,5).$
6…	$(-5,8,3),$	$(3,7,-10),$	$(-10,3,7),$	$(7,4,-9),$
			$(-9,5,6),$	$(6,7,-5).$

6^o. Nous nommerons formes associées, celles qui sont composées des mêmes termes, mais placés dans un ordre inverse, comme $(a,b,-a')$, $(-a',b,a)$. On voit alors facilement (n^o 184, 7^o.) que si la période de la forme réduite $F$ est $F$, $F'$, $F''$ etc., que $f$ soit associée à $F$, $f'$ à $F^{n-1}$, $f''$ à $F^{n-2}$ etc. $f^{n-2}$ à $F''$, $f^{n-1}$ à $F'$, la période de $f$ sera $f$, $f'$, $f''$, …$f^{n-1}$, et contiendra, partant, le même nombre de formes que la période de $F$. Nous nommerons périodes associées celles qui sont ainsi composées de formes associées. Les périodes 3 et 6, 4 et 5 de l’exemple précédent sont dans ce cas-là.

7^o. Mais il peut arriver aussi que la forme $f$ se trouve elle-même dans la période de son associée, comme aux périodes 1 et 2 de notre exemple, et que parconséquent la période de la forme $F$ coïncide avec celle de la forme $f$, c’est-à-dire que la période de la forme $F$ soit elle-même son associée. Toutes les fois que cette circonstance a lieu, la période renferme deux formes ambiguës. Supposons en effet que la période de la forme $F$ contienne $2n$ formes, ou que $F=F^{(2n)}$. Soit $2m+1$ l’indice de la forme $f$ dans la période de $F$ (car $F$ et $f$ ont leurs premiers termes de signe contraire, (2^o.), c’est-à-dire que $F^{(2m+1)}$ et $F$ soient associées ; il est évident qu’alors $F'$ et $F^{(2m)}$ seront aussi associées, de même $F''$ et $F^{(2m-1)}$ etc., et partant $F^{(m)}$ et $F^{(m+1)}$. Soit $F^{(m)}=(a^{(m)},b^{(m)},-a^{(m+1)})$, $F^{(m+1)}=(-a^{(m+1)},b^{(m+1)},a^{(m+2)})$ ; on aura $b^{(m)}+b^{(m+1)}\equiv 0{\pmod {a^{(m+1)}}}$ ; mais par la définition des formes associées $b^{(m)}=b^{(m+1)}$. donc $2b^{(m+1)}\equiv 0{\pmod {a^{(m+1)}}}$ c’est-à-dire que la forme $F^{(m+1)}$ est ambiguë. De même, les formes $F^{(2n)}$ et $F^{(2m+1)}$ sont associées, donc aussi $F^{(2m+2)}$ et $F^{(2n-1)}$, $F^{(2m+3)}$ et $F^{(2n-2)}$, etc. et enfin $F^{(m+n)}$ et$F^{(m+n+1)}$ dont la dernière sera ambiguë, comme on le prouvera par un raisonnement semblable. Mais comme $m+1$ et $m+n+1$ sont incongrus suivant le module $2n$, les formes $F^{(m+1)}$ et $F^{(m+n+1)}$ ne seront pas identiques (n^o 186, où $n$ représente ce que représente ici $2n$), Dans la période 1, les formes $(1,8,-15)$, $(2,7,-15)$ ; dans la période 2, les formes $(-1,8,15)$, $(-2,7,15)$ sont ambiguës.

8^o. Réciproquement, toute période qui renferme une forme ambiguë sera elle-même son associée. En effet, on voit aisément que si $F^{(m)}$ est une forme réduite ambiguë, sa forme associée, qui est aussi réduite, lui sera en même temps contiguë par la première partie, c’est-à-dire que $F^{(m-1)}$ et $F^{(m)}$ sont associées. Mais alors toute la période sera elle-même son associée. Il suit de là que dans une période, il faut nécessairement qu’il y ait plus d’une forme ambiguë ; mais il ne peut y en avoir plus de deux.

En effet, supposons que dans la période de la forme $F$, il se trouve trois formes ambiguës $F^{(\lambda )}$, $F^{(\mu )}$, $F^{(\nu )}$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ étant $<2n$, et inégaux. Alors les formes $F^{(\lambda -1)}$ et $F^{(\lambda )}$ seront associées ; de même $F^{(\lambda -2)}$ et $F^{(\lambda +1)}$, etc. et enfin $F$ et $F^{(2\lambda -1)}$ ; par la même raison, $F$ et $F^{(2\mu -1)}$, $F$ et $F^{(2\nu -1)}$, seront associées. Donc les formes $F^{(2\lambda -1)}$, $F^{(2\mu -1)}$, $F^{(2\nu -1)}$ seront identiques, et partant leurs indices seront congrus suivant le module $2n$ ; donc aussi $\lambda \equiv \mu \equiv \nu {\pmod {2n}}$, ce qui est absurde, puisqu’il est évident qu’il n’y a pas trois nombres différens congrus suivant le module $2n$, et plus petits que lui.

188. Comme toutes les formes de la même période sont proprement équivalentes, on est porté naturellement à chercher si deux formes prises dans des périodes différentes peuvent être équivalentes. Mais avant de prouver que la chose est impossible, il est nécessaire que nous nous occupions de la transformation des formes réduites.

Comme dans ce qui va suivre il sera souvent question de la transformation des formes, et afin d’éviter autant qu’il est possible la prolixité, nous nous servirons dorénavant de la manière suivante d’écrire. Si une forme $LY^{2}+2M.XY+NY^{2}$ se change en la forme $lx^{2}+2mxy+ny^{2}$ par la substitution $X=\alpha x+\beta y$, $Y=\gamma x+\delta y$, nous dirons plus simplement que $(L,M,N)$ se change en $(l,m,n)$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. De cette manière il ne sera pas nécessaire de représenter par des caractères particuliers les indéterminées des formes dont il sera question ; mais il est clair qu’il faut bien distinguer dans toutes les formes la première et la seconde indéterminée.

Soit proposée la forme réduite $(a,b,-a')=f$ et dont le déterminant est $D$ ; on formera comme au n^o 186 une suite de formes réduites qui s’étende indéfiniment dans les deux sens,… $''f$, $'f$, $f$, $f'$, $f''$… ensorte que l’on ait

$f'$	$=(-a',b',a'')$,	—	$f''$	$=(a'',b'',-a'''),$	${\text{etc.}}$
$'f$	$=(-'a,'b,a)$,	—	$''f$	$=(''a,''b,-'a),$	${\text{etc.}}$

Faisons

${\frac {b+b'}{-a'}}=h'$,__	__${\frac {b'+b''}{a''}}=h''$,__	__${\frac {b''+b'''}{-a'''}}=h'''$,	${\text{etc.}}$
${\frac {'b+b}{a}}=h$,__	__${\frac {''b+'b}{-'a}}='h$,__	__${\frac {'''b+''b}{''a}}=''h$,	${\text{etc.}}$

Il est clair que si l’on calcule les nombres $\alpha '$, $\alpha ''$, etc., $\beta '$, $\beta ''$, etc. par le moyen des relations suivantes (comme au n^o 177).

$\alpha '$	$=0$	…	$\beta '$	$=-1$	…	$\gamma '$	$=1$	…	$\delta '$	$=h'$
$\alpha ''$	$=\beta '$	…	$\beta ''$	$=h''\beta '$	…	$\gamma ''$	$=\delta '$	…	$\delta ''$	$=h''\delta '-1$
$\alpha '''$	$=\beta ''$	…	$\beta '''$	$=h'''\beta ''-\beta '$	…	$\gamma '''$	$=\delta ''$	…	$\delta '''$	$=h'''\delta ''-\delta '$
$\alpha ^{(IV)}$	$=\beta '''$	…	$\beta ^{(IV)}$	$=h^{(IV)}\beta '''-\beta ''$	…	$\gamma ^{(IV)}$	$=\delta '''$	…	$\delta ^{(IV)}$	$=h^{(IV)}\delta '''-\delta ''$
	${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$

$f$ se changera en ${\begin{cases}f'\\f''\\f'''\\{\text{etc.}}\end{cases}}$ par la substitution ${\begin{cases}\alpha ',\beta ',\gamma ',\delta '\\\alpha '',\beta '',\gamma '',\delta ''\\\alpha ''',\beta ''',\gamma ''',\delta '''\\{\text{etc.}}\end{cases}}$ et toutes ces transformations seront propres.

Comme $'f$ se change en $f$ par la substitution propre $0$, $1$, $1$, $h$ (n^o 161), $f$ se changera en $'f$ par la substitution propre $h$, $1$, $-1$, $0$ ; par la même raison $'f$ se changera en $''f$ par la substitution propre $'h$, $1$, $-1$, $0$, $''f$ en $'''f$ par la substitution propre $''h$, $1$, $-1$, $0$, etc. ; de là, et au moyen du n^o 159, on déduira comme au n^o 177 les relations suivantes entre $'\alpha$ $''\alpha$, etc. $'\beta$, $''\beta$, etc.

$'\alpha$	$=h$	…	$'\beta$	$=1$	…	$'\gamma$	$=-1$	…	$'\delta$	$=0$
$''\alpha$	$='h'\alpha -1$	…	$''\beta$	$='\alpha$	…	$''\gamma$	$='h'\gamma$	…	$''\delta$	$='\gamma$
$'''\alpha$	$=''h''\alpha -'\alpha$	…	$'''\beta$	$=''\alpha$	…	$'''\gamma$	$=''h''\gamma -'\gamma$	…	$'''\delta$	$=''\gamma$
$^{(IV)}\alpha$	$='''h'''\alpha -''\alpha$	…	$^{(IV)}\beta$	$='''\alpha$	…	$^{(IV)}\gamma$	$='''h'''\gamma -''\gamma$	…	$^{(IV)}\delta$	$='''\gamma$
	${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$

et,

$f$ se changera en

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$'f$

$\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right\}$

par la substitution

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$'\alpha ,$

$'\beta ,$

$'\gamma ,$

$'\delta$

$''f$

$''\alpha ,$

$''\beta ,$

$''\gamma ,$

$''\delta$

$'''f$

$'''\alpha ,$

$'''\beta ,$

$'''\gamma ,$

$'''\delta$

etc.

etc.

et toutes ces transformations seront propres.

Si l’on fait $\alpha =1,$ $\beta =0,$ $\gamma =0,$ $\delta =1,$ ces nombres auront la même relation avec la forme $f$ que $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$ avec la forme $f',$ $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma '',$ $\delta ''$ avec la forme $f'',$ etc., $'\alpha ,$ $'\beta ,$ $'\gamma ,$ $'\delta$ avec $'f,$ etc. C’est-à-dire, que par la substitution $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,$ la forme $f$ se change en $f\,;$ mais alors les suites $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. $'\alpha ,$ $''\alpha ,$ $'''\alpha ,$ etc., par intercalation de $\alpha ,$ se joindront parfaitement, et n’en feront plus qu’une seule allant à l’infini dans les deux sens, et dont tous les termes suivent la même loi …$'''\alpha ,$ $''\alpha ,$ $'\alpha ,$ $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha '''\dots$ La loi de cette suite est celle-ci :

$'''\alpha +'\alpha$	$=''h''\alpha$,	__	$''\alpha +\alpha$	$='h'\alpha$,	__	$'\alpha +\alpha '$	$=h\alpha$,
$\alpha +\alpha ''$	$=h'\alpha '$,	__	$\alpha '+\alpha ''$	$=h''\alpha ''$,	__	etc.

ou généralement, en regardant l’accent négatif écrit à droite comme l’accent positif écrit à gauche, $\alpha ^{(m-1)}+\alpha ^{(m+1)}=h^{(m)}\alpha ^{(m)}.$

De même la suite $''\beta$, $'\beta$, $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc, sera continue, et la loi de ses termes sera $\beta ^{(m-1)}+\beta ^{(m+1)}=h^{(m+1)}\beta ^{(m)}$ ; cette suite est la même que la précédente, en remplaçant $'\alpha$ par $\beta ''$, $\alpha$ par $'\beta$, $\alpha '$par $\beta$, etc.

La loi de la progression $''\gamma ,$ $'\gamma ,$ $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. sera $\gamma ^{(m-1)}+\gamma ^{(m+1)}=h^{(m)}\gamma ^{(m)},$ et celle de la progression : $''\delta ,$ $'\delta ,$ $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta '',$ etc. sera $\delta ^{(m-1)}+\delta ^{(m+1)}=h^{(m+1)}\delta ^{(m)},$ et en outre généralement $\delta ^{(m)}=\gamma ^{(m+1)}.$

Exemple. La forme $(3,8,-5)=f$ se changera ainsi

en————

——————par la substitution,

$^{VII}f$			$=(-10,7,3)$	$......$	$-$	$805$,	—	$-$	$152$,	—	$+$	$143$,	—	$+$	$27$
$^{VI}f$			$=(3,8,-5)$	$......$	$-$	$152$,	—	$+$	$45$,	—	$+$	$27$,	—	$-$	$8$
$^{V}f$			$=(-5,7,6)$	$......$	$+$	$45$,	—	$+$	$17$,	—	$-$	$8$,	—	$-$	$3$
$^{IV}f$			$=(6,5,-9)$	$......$	$+$	$17$,	—	$-$	$11$,	—	$-$	$3$,	—	$+$	$2$
$'''f$			$=(-9,4,7)$	$......$	$-$	$11$,	—	$-$	$6$,	—	$+$	$2$,	—	$+$	$1$
$''f$			$=(7,3,-10)$	$......$	$-$	$6$,	—	$+$	$5$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$1$
$'f$			$=(-10,7,3)$	$......$	$+$	$5$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$1$,	—		$0$
$f$			$=(3,8,-5)$	$......$	$+$	$1$,	—		$0$,	—		$0$,	—	$+$	$1$
	$f'$		$=(-5,7,6)$	$......$		$0$,	—	$-$	$1$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$3$
	$f''$		$=(6,5,-9)$	$......$	$-$	$1$,	—	$-$	$2$,	—	$-$	$3$,	—	$-$	$7$
	$f'''$		$=(-9,4,7)$	$......$	$-$	$2$,	—	$+$	$3$,	—	$-$	$7$,	—	$+$	$10$
	$f^{IV}$		$=(7,3,-10)$	$......$	$+$	$3$,	—	$+$	$5$,	—	$+$	$10$,	—	$+$	$17$
	$f^{V}$		$=(-10,7,3)$	$......$	$+$	$5$,	—	$-$	$8$,	—	$+$	$17$,	—	$-$	$27$
	$f^{VI}$		$=(3,8,-5)$	$......$	$-$	$8$,	—	$-$	$45$,	—	$-$	$27$,	—	$-$	$152$
	$f^{VII}$		$=(-5,7,6)$	$......$	$-$	$45$,	—	$+$	$143$,	—	$-$	$152$,	—	$+$	$483$
					etc.

189. À l’égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs remarques.

1^o. Tous les nombres $a,$ $a',$ $a'',$ etc. $'a,$ $''a,$ etc. auront le même signe, tous les nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc. $'b,$ $''b,$ etc. seront positifs, et les nombres …$''h,$ $'h,$ $h,$ $h',$ $h'',$ etc. seront alternatifs, c’est-à-dire, que si $a,$ $a',$ etc. sont tous positifs, $h^{m}$ ou $^{m}h$ sera positif quand $m$ est pair, et négatif quand $m$ est impair ; et le contraire aura lieu, si $a,$ $a',$ etc. sont tous négatifs.

2^o. Si $a$ est positif et partant $h'<0,$ $h''>0,$ etc., on aura $\alpha ''=-1,$ $<0\,;$ $\alpha '''=h''\alpha '',$ $<0$ et $>$ ou $=\alpha ''\,;$ $\alpha ^{IV}=h'''\alpha '''-\alpha '',$ $>0$ et $>\alpha ''',$ puisque $h'''\alpha '''>0$ et $\alpha ''<0\,;$ $\alpha ^{V}=h^{IV}\alpha ^{IV}-\alpha ''',$$>0$ et $>\alpha ^{IV},$ puisque $h^{IV}\alpha ^{IV}>0$ et $\alpha '''<0,$ etc. On conclut de là facilement que les termes de la suite $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. vont toujours en augmentant, et qu’il y en a toujours deux positifs et deux négatifs alternativement, et de manière que $\alpha ^{m}$ a le signe $+,$ $+,$ $-,$ $-,$ suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}}\,;$ si $a$ est négatif, on trouvera par un raisonnement semblable que les termes vont en augmentant, et que le signe du terme $\alpha ^{m}$ est $+,$ $-,$ $-,$ $+,$ suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}}.$

3^o. On trouve de même que les quatre suites infinies $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. ; $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. ; $\alpha ',$ $\alpha ,$ $'\alpha ,$ $''\alpha ,$ etc. ; $\gamma ,$ $'\gamma ,$ $''\gamma ,$ etc., vont en augmentant, ainsi que les suivantes, qui leur sont équivalentes, $\beta ,$ $\beta ',$ $\beta '',$ etc. ; $'\delta ,$ $\delta$ $\delta ',$ etc. ; $\beta ,$ $'\beta ,$ $''\beta ,$ etc. ; $\delta ,$ $'\delta ,$ $''\delta ,$ etc., et suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}},$ le signe de $\alpha ^{(m)}$ est : $+,$ $\pm ,$ $-,$ $\mp \,;$ celui de $\beta ^{(m)}\,:$ $\pm ,$ $-,$ $\mp ,$ $+\,;$ celui de $\gamma ^{(m)}\,:$ $\pm ,$ $+,$ $\mp ,$ $-\,;$ celui de $\delta ^{(m)}\,:$ $+,$ $\mp ,$ $-,$ $\pm \,;$ celui de $^{(m)}\alpha \,:$ $+,$ $\pm ,$ $-,$ $\mp \,;$ celui de $^{(m)}\beta \,:$ $\mp ,$ $+,$ $\pm ,$ $-\,;$ celui de $^{(m)}\gamma \,:$ $\mp ,$ $-,$ $\pm ,$ $+\,;$ celui de $^{(m)}\delta \,;$ $+,$ $\mp ,$ $-,$ $\pm \,;$ en prenant les signes supérieurs quand $a$ est positif, et les inférieurs quand $a$ est négatif. Il est surtout important de remarquer que $m$ indiquant un accent positif quelconque, $\alpha ^{(m)}$ et $\gamma ^{(m)}$ auront les mêmes signes quand $a$ est positif, et des signes contraires quand $a$ est négatif ; il en est de même pour $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)},$ et le contraire a lieu pour $^{(m)}\alpha$ et $^{(m)}\gamma ,$ $^{(m)}\beta$ et $^{(m)}\delta$.

4^o. On peut présenter, d’après la notation du n^o 32, les valeurs de $\alpha ^{(m)},$ $\beta ^{(m)},$ etc. En posant $\mp h'=k',$ $\pm h''=k'',$ $\mp h'''=k''',$ etc. ; $\pm h=k,$ $\mp 'h='k,$ $\pm ''h=''k,$ etc., de manière que $k',$ $k'',$ etc., $k,$ $'k,$ etc. soient positifs, on aura

$\alpha ^{(m)}$	$=$	$\pm [k'',k''',k^{(IV)}...$	$k^{(m-1)}]$	……	$\beta ^{(m)}$	$=$	$\pm [k'',k''',k^{(IV)},\ldots$	$k^{(m)}]$
$\gamma ^{(m)}$	$=$	$\pm [k',k'',k'''...$	$k^{(m-1)}]$	……	$\delta ^{(m)}$	$=$	$\pm [k',k'',k''',\ldots$	$k^{(m)}]$
$^{(m)}\alpha$	$=$	$\pm [k,'k,''k...$	$^{(m-1)}k]$	……	$^{(m)}\beta$	$=$	$\pm [k,'k,''k,\ldots$	$^{(m-2)}k]$
$^{(m)}\gamma$	$=$	$\pm ['k,''k,'''k...$	$^{(m-1)}k]$	……	$^{(m)}\delta$	$=$	$\pm ['k,''k,'''k,\ldots$	$^{(m-2)}k]$

Quant aux signes, ils doivent être déterminés d’après ce qui vient d’être dit (3^o). Au moyen de ces formules, dont nous omettons la démonstration parcequ’elle est très-facile, le calcul devient extrêmement simple.

190. Lemme. Si $\mathrm {m} ,$ $\mathrm {\mu } ,$ $\mathrm {m'} ,$ $\mathrm {n} ,$ $\mathrm {\nu } ,$ $\mathrm {n'}$ désignent des nombres entiers quelconques, mais tels qu’aucun des trois derniers ne soit $=0,$ que $\mathrm {\frac {\mu }{\nu }}$ soit compris entre $\mathrm {\frac {m}{n}}$ et $\mathrm {\frac {m'}{n'}} ,$ et qu’on ait $\mathrm {mn'-nm'=\mp 1} ,$ le dénominateur $\mathrm {\nu }$ sera plus grand que $\mathrm {n}$ et $\mathrm {n'} .$

En effet $\mu nn'$ sera compris entre $\nu mn'$ et $\nu m'n,$ et partant différera de chacune de ces limites d’une quantité plus petite que leur propre différence, ainsi $\nu mn'-\nu m'n>\mu nn'-\nu mn',$ et $>\mu nn'-\nu m'n$ ; ce qui donne $\nu >n'(\mu n-\nu m)$ et $>n(\mu n'-\nu m)$, et comme $\mu n-\nu m$, ni $\mu n'-\nu m'$ ne peuvent être égaux à zéro, car il en résulterait ${\frac {m}{n}}={\frac {\mu }{\nu }}$, ou ${\frac {m'}{n'}}={\frac {\mu }{\nu }}$, ce qui est contre l’hypothèse, et qu’ils ne peuvent être plus petits que $1$, il s’ensuit qu’on a $\nu >n'$ et $>n$.

Il est donc clair que l’on ne peut avoir $\nu =1$ ; c’est-à-dire que si $mn'-m'n=\pm 1$, aucun nombre entier ne peut être compris entre les fractions ${\frac {m}{n}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$, et qu’à plus forte raison zéro ne peut y être compris, ce qui prouve que ces fractions ne peuvent être de signes contraires.

191. Théorème. Si la forme réduite $\mathrm {(a,b,-a')} ,$ dont le déterminant est $\mathrm {D} ,$ se change en la forme réduite $\mathrm {(A,B,-A')} ,$ de même déterminant, par la transformation $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ : 1^o. $\mathrm {\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombera entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, (pourvu que l’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$, c’est-à-dire que les deux limites soient finies), en prenant le signe supérieur, quand les deux limites sont de même signe que $\mathrm {a} ,$ et le signe inférieur, quand elles sont toutes deux de signe contraire à celui de $\mathrm {a}$^[8] ; 2^o. $\mathrm {\frac {\pm {\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombera entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }},$ (pourvu qu’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$), en prenant les signes comme ci-dessus.

On a les équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma -a'\gamma ^{2}$	$=$	$-$$A$$'$	…(1)
$a\beta ^{2}+2b\beta \delta -a'\delta ^{2}$	$=$	$-A'$	…(2)

d’où l’on tire

${\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha A}{\gamma ^{2}}}\right)}}-b}{a}}\dots \dots \,\;(3)$		${\frac {\beta }{\delta }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha A}{\delta ^{2}}}\right)}}-b}{a}}\dots \dots \,\;(4)$
${\frac {\gamma }{\alpha }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha 'A'}{\alpha ^{2}}}\right)}}+b}{a'}}\dots \dots (5)$		${\frac {\delta }{\beta }}={\frac {\pm {\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha 'A'}{\beta ^{2}}}\right)}}+b}{a'}}\dots \dots (6)$

Il faudrait rejeter celle de ces quatre équations dans laquelle le dénominateur du premier membre serait nul ; mais il faut déterminer ici les signes dont les radicaux doivent être affectés. Or il est évident que dans les équations (3) et (4), on doit prendre le signe supérieur quand ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de même signe que $a$, car en prenant le signe inférieur ${\frac {a\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {a\beta }{\delta }}$ deviendraient négatifs ; mais comme $A$ et $A'$ sont de même signe, ${\sqrt {D}}$ tombe entre ${\sqrt {\left(D+{\frac {\alpha A}{\gamma ^{2}}}\right)}}$ et ${\sqrt {\left(D-{\frac {\alpha A'}{\delta ^{2}}}\right)}}$, et parconséquent, dans ce cas, ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$ entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$.

On voit de même, dans les équations (5) et (6), qu’il faut prendre nécessairement les signes inférieurs quand ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ sont tous les deux de signes contraires à $a'$ ou $a$, puisqu’en prenant le signe supérieur, les produits ${\frac {a'\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {a'\delta }{\beta }}$ deviendraient positifs d’où il suit sans difficulté que ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe dans ce cas entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$. Si l’on pouvait faire voir avec la même facilité, dans les équations (3) et (4), que l’on doit prendre les signes inférieurs quand ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de signe contraire à $a$, et dans les équations (5) et (6), que l’on doit prendre les signes supérieurs quand ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ sont de même signe que $a'$ ou $a$ ; il s’ensuivrait de la même manière, que dans le premier cas ${\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, et que dans le second ${\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, ce qui compléterait la démonstration du théorème. Mais quoique cela ne soit pas difficile, comme pour y parvenir on ne pourrait éviter certains embarras, nous préférons la méthode suivante.

Quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ n’est $=0$, ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$ ont les mêmes signes que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, et l’on sait que si ces deux dernières quantités sont de signes différens à $a'$ ou $a$, ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ ; mais alors les deux quantités ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ seront aussi de signes contraires à $a$, et ${\frac {a'}{-{\sqrt {D}}+b}}$ tombera entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$. Or comme on a $D-b^{2}=aa'$, il en résulte ${\frac {a'}{-{\sqrt {D}}+b}}={\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}$, qui tombe parconséquent entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$. Ainsi la première partie du théorème est démontrée pour le second cas, en supposant que l’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$. De la même manière, quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ n’est $=0$, et que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de même signe que $a$ ou $a'$, ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, et partant ${\frac {a}{{\sqrt {D}}-b}}$ entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ ; d’ailleurs ${\frac {a}{{\sqrt {D}}-b}}={\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$, donc ${\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, qui sont de même signe que $a'$. Ainsi la seconde partie du théorème est démontrée pour le premier cas, en supposant que l’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$.

Il ne reste donc plus qu’à faire voir la vérité de la première partie pour le second cas, même en supposant $\alpha =0$ ou $\beta =0$, et celle de la seconde partie pour le premier cas, même en supposant $\gamma =0$ ou $\delta =0$ ; mais tous ces cas sont impossibles. Supposons en effet, pour la première partie du théorème, qu’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$, que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ soient tous deux de signe contraire à $a$, et qu’on ait en premier lieu $\alpha =0$. Alors l’équation $\alpha \delta -\gamma \beta =\pm 1$ donne $\beta =\pm 1$ et $\gamma =\pm 1$ ; donc l’équation (1) devient $A=-a'$ ; ainsi $A$ et $a'$ et partant $a$ et $A'$ sont de signes contraires, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {aA'}{\delta ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$ ; donc dans l’équation (4), il faut nécessairement prendre le signe inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que ${\frac {\beta }{\delta }}$ aurait le même signe que $a$, et l’on a alors ${\frac {\beta }{\delta }}>{\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}>1$ (puisque, par la définition de la forme réduite, $a<{\sqrt {D}}+b)$. Or ${\frac {\beta }{\delta }}$ ne peut être plus grand que $1$, puisque $\beta =\pm 1$ et que $\delta$ n’est pas égal à zéro. En second lieu, soit $\beta =0$ ; l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\alpha =\pm 1$ et $\delta =\pm 1$ ; donc l’équation (2) devient $a'=A'$ ; ainsi $a$ et $A$ sont de même signe, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {aA}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Donc dans l’équation (3) on doit prendre le signe inférieur, puisque en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et $a$ seraient de même signe ; on a donc ${\frac {\alpha }{\gamma }}>{\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}>1$, ce qui est absurde par la même raison que ci-dessus. Pour la seconde partie du théorème, si nous supposons qu’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$ ; que ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ aient le même signe que $a'$ et qu’on ait, en premier lieu, $\gamma =0$, l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\alpha =\pm 1$, $\delta =\pm 1$, donc l’équation (1) devient $A=a$, ainsi $a'$ et $A'$ sont de même signe, ce qui rend ${\sqrt {\left(D+{\frac {a'A}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Partant, dans l’équation (6), il faut prendre le signe supérieur, et l’on a ${\frac {\delta }{\beta }}>{\frac {{\sqrt {D}}+b}{a}}>1$, ce qui est absurde puisque $\delta =\pm 1$, et que $\beta$ n’est $=0$. Enfin, en second lieu, si l’on a $\delta =0$, l’équation $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$ donne $\beta =\pm 1$, $\gamma =\pm 1$. Donc l’équation (2) devient $-A'=a$, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {a'A}{\alpha ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$. Ainsi dans l’équation (5), il faut prendre le signe supérieur, et l’on a ${\frac {\gamma }{\alpha }}>{\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}>1$ ; ce qui est absurde.

Le théorème est donc maintenant démontré dans toute sa généralité.

Puisque la différence entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ est ${\frac {1}{\gamma \delta }}$, la différence entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ ou ${\frac {\beta }{\delta }}$ sera $<{\frac {1}{\gamma \delta }}$. D’ailleurs entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}-b}{a}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$, ou entre cette quantité et ${\frac {\beta }{\delta }}$, il ne pourra tomber aucune fraction dont le dénominateur ne soit $>\gamma$ et $>\delta$ (lemme précéd.). De la même manière, la différence entre ${\frac {\pm {\sqrt {D}}+b}{a'}}$ et ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ ou ${\frac {\delta }{\beta }}$ sera $<{\frac {1}{\alpha \beta }}$, et il ne pourra tomber entre cette quantité et l’une quelconque de ces fractions, aucune fraction dont le dénominateur ne soit plus grand que $\alpha$ et $\beta$.

192, De l’application du théorème précédent à l’algorithme du n^o 188, il suit que la quantité ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$, que nous désignerons par $L$, tombe entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$ et ${\frac {\beta '}{\delta '}}$, entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et ${\frac {\beta ''}{\delta ''}}$, entre ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ et ${\frac {\beta '''}{\delta '''}}$, etc. : ou entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$, et ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ etc. ; et l’on déduit sans peine de ce qui a été dit n^o 189 (3^o. à la fin) qu’aucune de ces limites ne sera de signe contraire au signe de $a$, et que partant on doit prendre positivement le radical ${\sqrt {D}}$. Ainsi toutes les fractions dont les accens sont impairs différeront de $L$ dans un sens, et toutes celles dont les accens sont pairs en différeront dans le sens contraire. Mais comme $\gamma '<\gamma '''$, ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$ tombera hors ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ et $L$, et de même ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ hors ${\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}}$ et $L$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$ hors $L$ et ${\frac {\alpha ^{V}}{\gamma ^{V}}}$, etc. ; ainsi ces quantités se trouveront évidemment placées dans l’ordre suivant :

${\frac {\alpha '}{\gamma '}},\ {\frac {\alpha '''}{\gamma '''}},\ {\frac {\alpha ^{V}}{\gamma ^{V}}}......L......{\frac {\alpha ^{VI}}{\gamma ^{VI}}},\ {\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}},\ {\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}\ ;$

d’ailleurs la différence entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ et $L$ sera plus petite que la différence entre ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ et ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}},$ c’est-à-dire, $<{\frac {1}{\gamma '\gamma ''}}\ ;$ de même la différence entre ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$ et $L$ sera $<{\frac {1}{\gamma ''\gamma '''}},$ etc. Ainsi les fractions ${\frac {\alpha '}{\gamma '}},$ ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}},$ ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}},$ etc. approcheront de plus en plus de la limite $L,$ et comme $\gamma ',$ $\gamma '',$ $\gamma '',$ etc. vont toujours en augmentant indéfiniment, la différence de ces fractions à $L$ peut être rendue aussi petite qu’on le voudra.

Il suit du n^o 189, qu’aucune des quantités ${\frac {\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {'\gamma }{'\alpha }},$ ${\frac {''\gamma }{''\alpha }},$ ${\frac {'''\gamma }{'''\alpha }}$ n’aura le même signe que $a\ ;$ on déduit de là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens, que ces fractions et ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}=L'$ doivent être placées dans l’ordre suivant :

${\frac {\gamma }{\alpha }},\ {\frac {''\gamma }{''\alpha }},\ {\frac {^{IV}\gamma }{^{IV}\alpha }}......L'......{\frac {^{V}\gamma }{^{V}\alpha }},\ {\frac {'''\gamma }{'''\alpha }},\ {\frac {'\gamma }{'\alpha }}.$

D’ailleurs la différence entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et $L'$ est moindre que ${\frac {1}{'\alpha \alpha }}$ la différence entre ${\frac {'\gamma }{'\alpha }}$ et $L'$ est moindre que ${\frac {1}{''\alpha '\alpha }}$, etc. Ainsi les fractions ${\frac {\gamma }{\alpha }}$, ${\frac {'\gamma }{'\alpha }}$, etc. approchent de $L'$ de plus en plus et continuellement, et la différence peut être rendue plus petite qu’aucune quantité donnée.

Dans l’exemple du n^o 188, on a $L={\frac {{\sqrt {79}}-8}{3}}=0,2960648$, et les fractions convergentes sont : ${\frac {0}{1}}$, ${\frac {1}{3}}$, ${\frac {2}{7}}$, ${\frac {3}{10}}$, ${\frac {5}{17}}$, ${\frac {8}{27}}$, ${\frac {45}{152}}$, ${\frac {143}{483}}$, etc. Or cette dernière est égale à $0,2960662$. De même $L'={\frac {-{\sqrt {79}}+8}{5}}=-0,1776388$, les fractions convergentes sont : ${\frac {0}{1}}$, $-{\frac {1}{5}}$, $-{\frac {1}{6}}$, $-{\frac {2}{11}}$, $-{\frac {3}{17}}$, $-{\frac {8}{46}}$, $-{\frac {27}{152}}$, $-{\frac {143}{805}}$, etc., dont la dernière est égale à $0,1776397$.

193. Théorème. Si les formes réduites $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F}$ sont proprement équivalentes, chacune d’elles est contenue dans la période de l’autre.

Soit $f=(a,b,-a')$, $F=A,B,-A')$, $D$ leur déterminant commun, et supposons que la première se change en la deuxième par la substitution propre $k$, $l$, $p$, $q$. Je dis qu’en cherchant la période de la forme $f$, et en calculant dans les deux sens la progression indéfinie des formes réduites et des transformations de $f$ en ces différentes formes, comme au n^o 188, ou bien $k$ sera égal à un des termes de la suite … $''\alpha$, $'\alpha$, $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$…, et en le supposant $=\alpha ^{m}$, on aura $k=\beta ^{m}$, $p=\gamma ^{m}$, $q=\delta ^{m}$ ; ou bien $-k$ sera égal à un certain terme $\alpha ^{m}$, et $-l$, $-p$, $-q$, à $\beta ^{m}$, $\gamma ^{m}$, $\delta ^{m}$, respectivement. Dans l’un ou l’autre cas, $F$ sera évidemment identique avec $f^{m}$.

I. On a quatre équations :

(1)…	$ak^{2}+2bkp-a'p^{2}=A,$-	(2)…	$akl+b(kq+pl)+a'pq=B$,
(3)…	$al^{2}+2blq-a'q^{2}=-A',$-	(4)…	$kq-pl=1,$

considérons d’abord le cas où quelqu’un des nombres $k$, $l$, $p$, $q$ est $=0$.

1^o. Si $k=0$, l’équation (4) donne $lp=-1$, et partant $l=\pm 1$, $p=\pm 1$. Donc l’équation (1) devient $-a'=A$ ; l’équation (2) $-b\pm a'q=B$ ou$B\equiv -b{\pmod {a'\ ou\ A}}$. D’où il suit que la forme $(A,B,-A')$ est contiguë à la forme $(a,b,-a')$ par la dernière partie ; mais puisque $F$ est une forme réduite, elle sera nécessairement identique avec $f'$ (n^o 184, 6^o.). Donc $B=b'$, et partant l’équation (2) donne $b+b'=\pm a'q$ ; et comme d’ailleurs on a ${\frac {b+b'}{-a'}}=h'$, on en tire $q=\mp h'$ ; Il suit de là qu’on a $\mp k$, $\mp l$, $\mp p$, $\mp q=0$, $-1$, $+1$, $h'$, ou $=\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, respectivement.

2^o. Si $l=0$, l’équation (4) donne $k=\pm 1$, $q=\pm 1$ ; l’équation (3) $a'=A'\ ;$ l’équation (2) $b\mp a'p=B$, ou $B\equiv b{\pmod {a'}}$ ; mais comme $f$ et $F$ sont des formes réduites, $B$ et $b$ tomberont entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$, suivant que $a'$ sera positif ou négatif (n^o 184, 5^o.) ; ainsi on aura nécessairement $B=b$ et $p=0$, donc les formes $f$ et $F$ sont identiques, et $\pm k$, $\pm l$, $\pm p$, $\pm q=1$, $0$, $0,$ $1=\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, respectivement.

3^o. Si $p=0$, l’équation (4) donne $k=\pm 1$, $q=\pm 1$ ; l’équation (1) $a=A\,;$ l’équation (2) $\pm al+b=B.$ Mais comme $B$ et $b$ tombent entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a,$ on aura nécessairement $B=b,$ $l=0.$ Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent.

4^o. Si $q=0$, l’équation (4) donne $l=\pm 1$, $p=\mp 1$ ; l’équation (3) $a=-A'$, et l’équation (2) $\pm al-b=B$, ou $B\equiv {-b}{\pmod {a}}$. Ainsi la forme $F$ est contiguë à la forme $f$ par la première partie, et partant elle sera identique avec la forme $'f$ : et comme on a ${\frac {b+b'}{a}}=h$ et $B='b$, on aura $l=h$. Il suit de là que $\pm k$, $\pm l$, $\pm p$, $\pm q=h$, $1$, $-1$, $0='\alpha$, $'\beta$, $'\gamma$, $'\delta$ respectivement.

Il reste donc le cas où aucun des nombres $k$, $l$, $p$, $q$ n’est $=0$. Or par le lemme du n^o 190, les quantités ${\frac {k}{p}}$, ${\frac {l}{q}}$, ${\frac {p}{k}}$, ${\frac {q}{l}}$ auront le même signe, et il en résulte deux cas : celui où leur signe est le même que celui de $a$ et $a'$ et celui où il est contraire.

II. Si ${\frac {k}{l}}$ et ${\frac {l}{q}}$ ont le même signe que $a$, la quantité ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}=L$ tombera entre ces fractions (n^o 191). Nous allons démontrer que ${\frac {k}{p}}$ est égal à quelqu’une des fractions ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$, ${\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}}$, etc., et ${\frac {l}{q}}$ à celle qui la suit immédiatement, c’est-à-dire, que si ${\frac {k}{p}}={\frac {\alpha ^{m}}{\gamma ^{m}}}$, en aura ${\frac {l}{q}}={\frac {\alpha ^{m+1}}{\gamma ^{m+1}}}$. Nous avons fait voir dans le n^o précédent que les quantités ${\frac {\alpha '}{\gamma '}}$, ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$, etc. (que nous désignerons par $\varphi '$, $\varphi ''$, $\varphi '''$, etc.) et $L$ sont placées dans l’ordre suivant:

$\varphi ',\ \varphi ''',\ \varphi ^{V},\ ......L......\varphi ^{VI},\ \varphi ^{IV},\ \varphi ''$, ……(I).

La première de ces quantités est $=0$ (puisque $\alpha '=0$) ; toutes les autres ont le même signe que $L$ ou $a$ ; mais comme par hypothèse ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$ ont le même signe, ils tomberont, par rapport à $\varphi '$, du même côté que $L$, et comme d’ailleurs $L$ tombe entre ces deux mêmes quantités, elles seront l’une à droite, l’autre à gauche de $L$. Mais on peut faire voir aisément que ${\frac {k}{p}}$ ne peut tomber après $\varphi ''$, autrement ${\frac {l}{q}}$ tomberait entre $\varphi '$ et $L$ ; d’où il suivrait, 1^o. que $\varphi ''$ tomberait entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, et que partant le dénominateur de la fraction $\varphi ''$ serait plus grand que $q$ (n^o 190) ; 2^o. que ${\frac {l}{q}}$ tombe entre $\varphi '$ et $\varphi ''$, et que partant $q$ est plus grand que le dénominateur de $\varphi ''$, ce qui implique contradiction.

Supposons que ${\frac {k}{p}}$ ne soit égal à aucune des fractions $\varphi ''$, $\varphi '''$, $\varphi ^{IV}$, etc., et voyons ce qu’il en résulterait. Alors il est évident que si ${\frac {k}{p}}$ est situé à gauche de $L$, il tombera entre $\varphi '$ et $\varphi ''$, ou entre $\varphi '''$ et $\varphi ^{(V)}$, ou entre $\varphi ^{(V)}$ et $\varphi ^{(VII)}$, etc., puisque $L$ est irrationnel et parconséquent différent de ${\frac {k}{p}}$, et que les fractions $\varphi '$, $\varphi '''$, etc. peuvent approcher de $L$ de plus près qu’aucune quantité donnée qui ne serait pas $L$ lui-même. De même, si ${\frac {k}{p}}$ est à droite de $L$, il tombera entre deux fractions consécutives de la suite …$\varphi ^{(VI)}$, $\varphi ^{(IV)}$, $\varphi ''$. Supposons donc que ${\frac {k}{p}}$ tombe entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+2)}$, les fractions ${\frac {k}{p}}$, $\varphi ^{(m)}$, $\varphi ^{(m+1)}$, $\varphi ^{(m+2)}$ se trouveront dans l’ordre suivant :

$\varphi ^{(m)},\ {\frac {k}{p}},\ \varphi ^{(m+2)},\dots \dots L\dots \dots \varphi ^{(m+1)}\dots \dots$(II)^[9],

alors ${\frac {l}{q}}$ sera nécessairement $=\varphi ^{(m+1)}$ ; car il doit être à droite de $L$, et s’il était aussi à droite de $\varphi ^{(m+1)}$, ${\frac {k}{p}}$ tomberait entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, et l'on aurait $\gamma ^{(m+1)}>p$ ; mais comme ${\frac {k}{p}}$ tomberait entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+1)}$, il s’ensuivrait qu’on aurait en même temps $p>\gamma ^{(m+1)}$, ce qui implique contradiction. Si ${\frac {l}{q}}$ était à gauche de $\varphi ^{(m+1)}$, il tomberait entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+1)}$, et alors on aurait $q>\gamma ^{(m+2)}$ ; mais comme $\varphi ^{(m+2)}$ tombe lui-même entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, on aurait en même temps $\gamma ^{(m+2)}>q$, ce qui implique contradiction. On aura donc ${\frac {l}{q}}=\varphi ^{(m+1)}={\frac {\alpha ^{(m+1)}}{\gamma ^{(m+1)}}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}.$

Puisque $kq-lp=1$, $l$ et $q$ seront premiers entre eux, et par la même raison $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ le sont aussi ; d’où l’on voit facilement que l’équation ${\frac {l}{q}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}$ ne peut avoir lieu à moins qu’on n’ait $l=\beta ^{(m)}$ et $q=\delta ^{(m)}$, ou $l=-\beta ^{(m)}$ et $-q=\delta ^{(m)}$. Or comme la forme $f$ se change par la transformation propre $q=\alpha ^{(m)}$, $q=\beta ^{(m)}$, $q=\gamma ^{(m)}$ $q=\delta ^{(m)}$, en la forme $q=f^{(m)}=(\pm a^{(m)},b^{(m)},\mp a^{(m+1)})$ on aura les équations

$a\alpha ^{(m)}\alpha ^{(m)}+2b\alpha ^{(m)}\gamma ^{(m)}$	$-a'\gamma ^{(m)}\gamma ^{(m)}$	$=$	$\pm$	$a^{(m)}$	…(5)
$a\alpha ^{(m)}\beta ^{(m)}+b(\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}+\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)})$	$-a'\gamma ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$=$	$\pm$	$b^{(m)}$	…(6)
$a\beta ^{(m)}\beta ^{(m)}+2b\beta ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$-a'\delta ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$=$	$\mp$	$a^{(m)}$	…(7)
$\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$		$=$		$1$	…(8)

Mais en substituant $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ pour $l$ et $q$ dans l’équation (3), son premier membre devient égal à celui de l’équation (1) ; on a donc $\pm a^{(m+1)}=-A'$. Or^[10] en multipliant l’équation (2) par $\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$, et l’équation (6) par $kq-lp$, et retranchant, on voit facilement par le développement qu’on a

$B-b^{(m)}=$		$(p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})\left(al\beta ^{(m)}+b(q\beta ^{(m)}+l\delta ^{(m)})-a'q\delta ^{(m)}\right)$
	$+$	$(l\delta ^{(m)}-q\beta ^{(m)})\left(ak\alpha ^{(m)}+b(p\alpha ^{(m)}+k\gamma ^{(m)})-a'p\gamma ^{(m)}\right)$	…(9),

ou comme $l=\pm \beta ^{(m)}$ et $q=\pm \delta ^{(m)}$,

	$B-b^{(m)}$	$=$	$\pm (p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})(al^{2}+2blq-a'q^{2})$
		$=$	$\pm (p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})A'$,
ou	$B$	$\equiv$	$b^{(m)}{\pmod {A'}}$ ;

mais $B$ et $b^{(m)}$ tombent entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\pm A'$ ; on aura donc nécessairement $B=b^{(m)}$, partant $p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)}=0$, ou ${\frac {k}{p}}={\frac {\alpha ^{(m)}}{\gamma ^{(m)}}}=\varphi ^{(m)}$.

Ainsi, de la supposition que ${\frac {k}{p}}$ n’est égal à aucune des quantités $\varphi ''$, $\varphi '''$, etc., on fait voir qu’il est égal à l’une d’elles. Si nous avions supposé d’abord ${\frac {k}{p}}=\varphi ^{(m)}$, on aurait eu évidemment $k=\pm \alpha ^{(m)}$, $p=\pm \gamma ^{(m)}$ ; dans les deux cas, la comparaison des équations (1) et (5) donne $A=\pm \alpha ^{(m)}$, et de l’équation (9), $B-b^{(m)}=\pm (l\delta ^{(m)}-q\beta ^{(m)})$, ou $B\equiv b^{(m)}{\pmod {A}}$ ; on conclut de là, comme plus haut, que $B=b^{(m)}$, partant ${\frac {l}{q}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}$, et comme $l$ et $q$, $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ sont premiers entre eux, $l=\pm \beta ^{(m)}$, $q=\delta ^{(m)}$. L’équation (7) donne alors, en la comparant à l’équation (3), $-A'=\mp a^{(m+1)}$, ainsi les formes $F$ et $f^{(m)}$ sont identiques. À l’aide de l’équation $kq-lp=\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$, on prouve sans difficulté que si l’on prend $k$ et $p$ avec le signe $+$ ou avec le signe $-$, il faut prendre $l$ et $q$ de même.

III. Si le signe des quantités ${\frac {k}{p}}$, etc. est opposé à celui de $a$, la démonstration est tellement semblable à la précédente, qu’il suffit d’ajouter seulement les points principaux.

${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombera entre ${\frac {p}{k}}$ et ${\frac {q}{l}}$ ; ${\frac {q}{l}}$ sera égal à une des fractions ${\frac {'\delta }{'\beta }}$, ${\frac {''\delta }{''\beta }}$, ${\frac {'''\delta }{'''\beta }}$, etc., et en supposant donc ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(n)}\gamma }{^{(n)}\alpha }}$, on aura ${\frac {p}{k}}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$. La première de ces deux assertions se prouve comme il suit : si ${\frac {q}{l}}$ n’est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber entre deux ${\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$ et ${\frac {^{(m+1)}\delta }{^{(m+1)}\beta }}$. Or on démontre, comme plus haut, qu’alors ${\frac {p}{k}}$ sera nécessairement $={\frac {^{(m+1)}\delta }{^{(m+1)}\beta }}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$, et partant $p=\pm ^{(m)}\gamma$ et $k=\pm ^{(m)}\alpha$. Mais $f$, par la substitution propre $^{(m)}\alpha$, $^{(m)}\beta$, $^{(m)}\gamma$, $^{(m)}\delta$, se change en $^{(m)}f=(\pm ^{(m)}a,^{(m)}b,\pm ^{(m)}a)$, d’où naissent trois équations qui, jointes à l’équation $^{(m)}\alpha ^{(m)}\delta -^{(m)}\beta ^{(m)}\gamma =1$, et aux équations (1), (2), (3) et (4), prouvent d’abord que le terme $A$ de la forme $F$ est égal au premier terme de la forme $^{(m)}f$, ensuite que le terme moyen de la première est congru à celui de la seconde, suivant le module $A$, et que comme les deux formes sont réduites, chacun d’eux tombe entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\pm A$, ces deux termes moyens sont égaux ; et de là on conclut que ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$. Ainsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la supposition même qu’elle fut fausse.

Or en supposant ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$ on démontre absolument de la même manière et par les mêmes équations, que ${\frac {p}{k}}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$, et au moyen de l’équation $kq-lp=^{(m)}\alpha ^{(m)}\delta -^{(m)}\beta ^{(m)}\gamma$, on prouve que si l’on prend pour $q$ et $l$, $^{(m)}\delta$ et $^{(m)}\beta$ avec le signe $+$ ou le signe $-$, il faudra pour $p$ et $k$ prendre $^{(m)}\gamma$ et $^{(m)}\alpha$ avec le même signe, et partant que les formes $F$ et $^{(m)}f$ sont identiques.

194. Comme les formes que nous avons appelées associées (n^o 187, 6^o.), sont toujours improprement équivalentes (n^o 159, à la fin), il est clair que si les formes réduites $F$ et $f$ sont improprement équivalentes, et que la forme $G$ soit associée à $F,$ les formes $f$ et $G$ seront proprement équivalentes, et partant, la forme 6 sera contenue dans la période de la forme $f$ ; si donc les formes $F$ et $f$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on devra trouver $F$ et $G$ dans la période de $f$. Cette période sera donc elle-même son associée (n^o 187, 7^o.) ; ce qui sert de confirmation au théorème du n^o 165, par lequel nous nous étions convaincus qu’on pouvait trouver une forme ambigue équivalente à deux autres $F$ et $f$.

195. Problème. Étant données deux formes $\Phi$ et $\varphi$ dont le déterminant est le même, distinguer si elles sont équivalentes, ou si elles ne le sont pas.

On cherchera deux formes réduites $F$ et $f$, respectivement et proprement équivalentes aux formes $\Phi$ et $\varphi$ (n^o 183). Selon que ces formes réduites seront seulement proprement ou improprement équivalentes, ou qu’elles le seront des deux manières, ou qu’elles ne le seront point, les proposées le seront proprement, improprement, ou de deux manières, ou ne le seront d’aucune manière. On cherchera la période de l’une de ces deux formes réduites, par exemple de $f$ ; et si la forme $F$ s’y trouve sans que son associée y soit, le premier cas aura lieu ; si cette dernière seule s’y trouve, le second cas aura lieu ; si toutes deux y sont, ce sera le troisième cas ; et le quatrième, quand il n’y aura ni l’une ni l’autre.

Exemple. Soient les formes $(129,92,65),$ $(42,59,81)$ dont le déterminant est $79$ ; on trouve pour réduites équivalentes $(10,7,-3)$, $(5,8,-3).$ La période de la première est

$(0,7,-3),\,(-3,8,5),\,(5,7,-6),\,(-6,5,9),\,(9,4,-7),\,(-7,3,10),$

et comme la forme $(5,8,-3)$ n’y est pas comprise, mais seulement son associée $(-3,8,5)$, les formes proposées sont improprement équivalentes.

Si l’on distribue, comme ci-dessus (n^o 187, 5^o.), toutes les formes réduites d’un déterminant donné en périodes $P,$ $Q,$ $R,$ etc., et qu’on prenne dans chacune d’elles une forme quelconque, $F$ dans $P,$ $G$ dans $Q,$ $H$ dans $R$, etc., il ne pourra y avoir parmi ces formes deux qui soient proprement équivalentes ; mais toute autre forme de même déterminant sera proprement équivalente à une d’elles et à une seule. Il suit évidemment de là, que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il y a de périodes, en renfermant dans la première toutes celles qui sont proprement équivalentes à $F$, dans la seconde, toutes celles qui sont proprement équivalentes à $G$, etc. Ainsi toutes les formes renfermées dans la même classe, seraient proprement équivalentes, mais deux formes prises dans des classes différentes ne le seront pas. Au reste nous n’insisterons pas davantage ici sur ce sujet, que nous expliquerons plus bas avec détail.

196. Problème. Étant données deux formes $\Phi$ et $\varphi$ proprement équivalentes, trouver une transformation propre qui change l’une en l’autre.

Par la méthode du n^o 183, on peut trouver deux suites de $\Phi$, $\Phi ',$ $\Phi ''$ …$\Phi ^{(n)},$ $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, … $\varphi ^{(\nu )}$, telles que chacune des formes soit équivalente à celle qui la précède, et que les dernières $\Phi ^{(n)}$ et $\varphi ^{(v)}$ soient des formes réduites ; et comme $\Phi$ et $\varphi$ sont supposées équivalentes, $\Phi ^{(n)}$ doit se trouver dans la période de $\varphi ^{(\nu )}$. Soit $\varphi ^{(\nu )}=f$ et sa période prolongée jusqu’à la forme $\Phi ^{(n)}$ : $f$, $f'$, $f''$, ……$f^{(m-1)}$, $f^{(m)}$, desorte que $\Phi ^{(n)}=f^{(m)}$ ; et désignons par $\Psi$, $\Psi '$, $\Psi ''$ …$\Psi ^{(n)}$ les formes opposées (n^o 159) aux associées des formes $\Phi$, $\Phi '$, $\Phi ''$ …$\Phi ^{(n)}$, respectivement ; alors dans la suite $\varphi ,$ $\varphi ',$ $\varphi '',\dots ,$ $f,$ $f',$ $f'',$ $f^{(n-1)},$ $\Psi ^{(n-1)},$ $\Psi ^{(n-2)}\dots$ $\Psi ,$ chaque forme est contiguë par la dernière partie à celle qui la précède ; d’où, par le n^o 177, on pourra trouver une transformation de la première $\varphi$ en la dernière $\Phi$. Cette liaison entre les formes est évidente depuis $\varphi$ jusqu’à $f^{(m-1)}$, et depuis $\Psi ^{(n-2)}$ jusqu’à $\Phi$. Quant aux formes $f^{(m-1)}$ et $\Psi ^{(n-1)}$, on la prouvera comme il suit : soit $f^{(m-1)}=(g,h,i)$ ; $f^{(m)}=\Phi ^{(n)}=(g',h',i')$, $\Phi ^{(n-1)}=(g'',h'',i'')$. La forme $(g',h',i')$ sera contiguë par la dernière partie à chacune des formes $(g,h,i)$, $(g'',h'',i'')$ ; ainsi $i=g'=i''$, et $-h\equiv h'-h''{\pmod {i=g'=i''}}$ ; donc la forme $(i'',-h'',g'')=\Psi ^{(n-1)}$ est contiguë par la dernière partie à la forme $(g,h,i)=f^{(m-1)}$.

Si les formes $\Phi$ et $\varphi$ sont improprement équivalentes, la forme $\varphi$ sera proprement équivalente à la forme dont $\Phi$ est l’opposée ; ainsi on pourra trouver une transformation de $\varphi$ en cette forme ; et si elle se fait par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on voit facilement que $\varphi$ se change improprement en $\Phi$ par la substitution $\alpha ,-\beta ,\gamma ,-\delta$.

Il suit de là que si $\Phi$ et $\varphi$ sont équivalentes proprement et improprement, on peut trouver deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.

Exemple. Soit la forme $(129,92,65)$ à transformer en la forme $(42,59,81)$ que nous avons trouvé lui être improprement équivalente (n^o précéd.) ; il faudra commencer par trouver la transformation propre de la forme $(129,92,65)$ en la forme $(42,-59,81)$. Pour y parvenir, on établira la suite de formes

$(129,92,65),(65,-27,10),(10,7,-3),(-3,8,5),$

$(5,22,81),(81,59,42),(42,-59,81)$ ;

de là on déduit la transformation propre $-47,56,78,-87$, qui change $(129,92,65)$ en $(42,-59,81)$ ; donc la transformation impropre $-47,-56,73,87$ la changera en $(42,59,81)$.

197. Si l’on connaît une transformation d’une forme $\varphi =(a,b,c)$ en une autre $\Phi$ qui lui est équivalente, on pourra déduire de celle-là toutes les transformations semblables, pourvu qu’on connaisse toutes les solutions de l’équation indéterminée $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$, dans laquelle $D$ est le déterminant des formes $\Phi$ et $\varphi$, et $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $a,2b,c$ (n^o 162). Nous allons attaquer, en supposant $D$ positif, ce problème que nous avons déjà résolu pour le cas de $D$ négatif. Mais comme il est évident que toute valeur qui satisfera à l’équation, y satisfera aussi avec un signe contraire, il suffira d’assigner les valeurs positives de $t$ et de $u$, et chaque solution en nombres positifs fournira quatre solutions effectives. Pour y parvenir, nous chercherons d’abord les plus petites valeurs de $t$ et $u$ (excepté $t=m$, $u=0$ qui se présentent d’elles-mêmes) ; et celles-ci une fois connues, nous indiquerons le moyen d’en déduire les autres.

198. Problème. Trouver les plus petits nombres qui satisfont à l’équation indéterminée $\mathrm {t^{2}-Du^{2}=m^{2}}$ pourvu qu’il existe une forme $\mathrm {(M,N,P)} ,$ dont le déterminant soit $\mathrm {D} ,$ et que $\mathrm {m}$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $\mathrm {M,\,2N,\,P} .$

On prendra à volonté une forme réduite $f=(a,b,a')$ dont le déterminant soit $D$, et telle que $m$ soit le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $a'$, ce qui ne peut manquer d’arriver, puisque l’on peut trouver une forme réduite équivalente à la forme $(M,N,P)$, et qu’alors (n^o 161) elle jouira de cette propriété. Mais pour la proposition actuelle, on pourra employer une forme réduite quelconque, pourvu qu’elle satisfasse à cette condition. On formera la période de $f$, où nous supposerons qu’il y ait $n$ formes ; en reprenant tous les signes dont nous nous sommes servis au n^o 188, on aura $f^{(n)}=(a^{(n)},b^{(n)},-a^{(n+1)})$, parceque $n$ est pair, et $f$ deviendra $f^{(n)}$ par la substitution propre $\alpha ^{(n)}$, $\beta ^{(n)}$, $\gamma ^{(n)}$, $\delta ^{(n)}$ ; mais comme $f$ et $f^{(n)}$ sont identiques, $f$ deviendra aussi $f^{(n)}$ par la substitution propre $1$, $0$, $0$, $1$. De ces deux transformations semblables de $f$ en $f^{(n)}$, on peut déduire, au moyen du n^o 162, une solution en nombres entiers de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ ; savoir, $t={\frac {1}{2}}(\alpha ^{(n)}+\delta ^{(n)})m$ (équation (18), n^o 162), $u={\frac {\gamma ^{(n)}m}{a}}$ (équation (19))^[11]. Désignons par $T$ et $U$ ces valeurs prises positivement, si elles ne se présentent pas telles, et $T$, $U$ seront les plus petites valeurs de $t$, $u$ (excepté $l=m$ et $u=0$, auxquelles elles ne pourront jamais revenir, parcequ’on ne peut pas avoir $\gamma ^{(n)}=0$.

Supposons en effet qu’il existe des valeurs $\tau$ et $\nu$ plus petites que $T$ et $U$ et parmi lesquelles on n’ait pas $U=0$. Alors, par le n^o 162, la forme $f$ se transforme en elle-même par la substitution propre

${\frac {1}{m}}(\tau -b\nu ),\quad {\frac {1}{m}}a'\nu ,\quad {\frac {1}{m}}a\nu ,\quad {\frac {1}{m}}(\tau +b\nu ).$

Or (n^o 193, II) $\pm {\frac {1}{m}}(\tau -b\nu )$ doit être égal à l’un des nombres

$\alpha '',\;\alpha ''',\;\alpha ^{(IV)}\;{\text{etc.}},\quad =\alpha ^{(\mu )}$, par exemple.

En effet, comme $\tau ^{2}=D\nu ^{2}+m^{2}=b^{2}\nu ^{2}+aa'\nu ^{2}+m^{2},$ on aura $\tau ^{2}=b^{2}\nu ^{2},$ et partant $\tau -b\nu$ positif ; donc la fraction ${\frac {\tau -b\nu }{a\nu }}$ qui répond à la

1. Cette division ne serait pas possible si l’on avait $U=0$ ; mais alors les équations (19), (20), (21) naîtraient immédiatement de la première, de la troisième et de la sixième des équations précédentes.
2. Si l’on avait à-la-fois $\alpha +\alpha '=0$, $\gamma +\gamma '$, $\beta +\beta '=0$, $\delta +\delta '=0$, le rapport ${\frac {m}{n}}$ serait indéterminé, et partant la méthode inapplicable. Mais une légère attention suffit pour voir qu’on aurait alors $e=e'$, et comme d’ailleurs on a $e=-e'$, il s’ensuivrait $e=e'=0$ ; donc alors le déterminant de la forme $F'$ serait nul, et nous excluons ici les formes de déterminant zéro.
3. $\mu '$ et $\nu '$ sont des nombres entiers puisque $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$.
4. Il faut remarquer que si $a$ ou $a'$ étaient zéro, le déterminant serait un quarré positif, ce qui est contre l’hypothèse, par la même raison $a$ et $a'$ ne peuvent être de signe contraire.
5. En effet si l’on change la première de ces formes en la seconde, par la substitution
   $x=\alpha x'+\beta y'$
   $y=\gamma x'+\delta y'$

   
   on aura $a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}=a'$, d’où $aa'=(a\alpha +b\beta )^{2}+D\gamma ^{2}$ : ce produit est donc évidemment positif, et comme ni $a$ ni $a'$ ne sont nuls, il faut que tous deux soient de même signe.

6. On aurait, d’après la notation du n^o 27,
   $\beta ^{(n)}=\pm [-h'',h''',-h^{IV},\ldots \pm h^{(n)}]$,

   
   où les signes ambigus doivent être $-$, $-$ ; $-$, $+$ ; $+$, $-$ ; $+$, $+$, suivant que $n$ est de la forme $4K$, $4K+1$, $4K+2$, $4K+3$,

   $\delta ^{(n)}=\pm [h',-h'',-h''',\dots \pm h^{(n)}]$,

   
   où les signes, dans les mêmes cas, doivent être $+$, $-$ ; $+$, $+$ ; $-$, $-$ ; $-$, $+$.

   Mais le désir d’abréger nous empêche d’insister davantage sur ces formules, qu’au reste chacun pourra confirmer aisément.

7. Soit le nombre $M=2^{\mu }.S.a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$, etc., ensorte que $a$, $b$, $c$, etc. soient des facteurs premiers inégaux de la forme $4m+1$, et $S$ le produit de tous les facteurs premiers de la forme $4n+3$ ; cette forme donnée au nombre $M$ convient dans tous les cas ; pour $M$ impair, il suffit de faire $\mu =0$ ; si $M$ ne renferme aucun facteur de la forme $4n+3$, on fera $S=1$ : si $S$ n’est pas un quarré, $M$ ne pourra en aucune manière être décomposé en deux quarrés ; mais si $S$ est un quarré, il y aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$, etc, décompositions de $M$, lorsque quelqu’un des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. sont impairs, et il y en aura ${\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)$, etc. $+{\frac {1}{2}}$ quand tous les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. seront pairs, tant qu’on ne fait attention qu’aux quarrés eux-mêmes. Ceux qui ont quelque habitude du calcul des combinaisons, déduiront sans peine de notre théorie générale la démonstration de ce théorème, auquel nous ne pouvons nous arrêter, non plus qu’à d’autres particuliers, (Voyez n^o 105).
8. Il n’y a pas d’autre supposition à faire, puisqu’on a $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$, et que d’après cela, par le n^o précéd., les limites ne peuvent être nulles toutes deux en même temps, ni de signe contraire.
9. Peu importe que l’ordre de la suite (II) soit le même que celui de la suite (I), ou qu’il lui soit opposé, c’est-à-dire, que $\varphi ^{(m)}$ soit dans la première à gauche ou à droite.
10. Il me semble que le calcul serait plus simple de la manière suivante :

    En remplaçant dans l’équation (8), $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ par $\pm l$ et $\pm q$, elle devient $l\alpha ^{(m)}-q\gamma ^{(m)}=1$ ; si l’on en retranche l’équation (4), on a

    $l(\alpha ^{(m)}\mp k)-q(\gamma ^{(m)}\mp p)=0$, d’où ${\frac {\alpha ^{(m)}\mp k}{\gamma ^{(m)}\mp p}}={\frac {l}{q}}\ ;$

    
    et comme $l$ et $q$ sont premiers entre eux, on a généralement $\alpha ^{(m)}\mp k=rl$, $\gamma ^{(m)}\mp p=rq$, ou $\alpha ^{(m)}=\pm k+rl$, $\gamma ^{(m)}=\pm p+rq$.

    Substituant dans l’équation (6) les valeurs de $\alpha ^{m}$, $\beta ^{m}$, $\gamma ^{m}$, $\delta ^{m}$, il vient

    $\mp \gamma A'=B-b^{m}$.

    
    Or on démontre que $B=b^{m}$ ; donc $r=0$, et $\alpha ^{m}=\pm k$ et $\gamma ^{m}=\pm p.$

    
    De même, pour le paragraphe suivant. (Note du Traducteur).

11. Les quantités qui étaient, au n^o 162, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ ; $A$, $B$, $C$ ; $A'$, $B'$, $C'$ ; $e$ ; sont ici $1$, $0$, $0$, $1$ ; $\alpha ^{(n)}$, $\beta ^{(n)}$, $\gamma ^{(n)}$, $\delta ^{(n)}$ ; $a$, $b$, $-a'$ ; $a$, $b$, $-a'$ ; $1$.