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D’après cela, l’existence d’un triangle rectiligne, ayant pour côtés $a,$ $b,$ $c,$ et pour angles opposés $\Pi (\alpha ),$ $\Pi (\beta ),$ ${\frac {1}{2}}\pi ,$ entraîne aussi celle d’un triangle sphérique (fig. 29) ayant pour côtés $\Pi (c),$ $\Pi (\beta ),$ $\Pi (a)$, et pour angles opposés $\Pi (b),$ $\Pi (a^{\prime }),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$

Fig. 29

Outre ces deux triangles, l’existence du triangle sphérique entraîne aussi réciproquement celle d’un triangle rectiligne pouvant avoir pour côtés $a,$ $\alpha ^{\prime },$ $\beta ,$ et pour angles respectivement opposés $\Pi (b^{\prime }),$ $\Pi (c),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$

On peut ainsi passer de $a,\,b,\,c,\,\alpha ,\,\beta ,$ à $b,\,a,\,c,\,\beta ,\,\alpha ,$ et aussi à $a,\alpha ^{\prime },\,\beta ,\,b^{\prime },\,c.$

Imaginons que par le point $A$ (fig. 28), en prenant $AA^{\prime }$ comme axe, on mène une surface-limite qui coupe les deux autres axes $BB^{\prime },$ $CC^{\prime }$ en $B^{\prime \prime }$ et $C^{\prime \prime },$ et dont les intersections avec les plans des parallèles forment un triangle de surface-limite ayant pour côtés $B^{\prime \prime }C^{\prime \prime }=p,$ $C^{\prime \prime }A=q,$ $B^{\prime \prime }A=r,$ et pour angles respectivement opposés $\Pi (\alpha ),$ $\Pi (\alpha ^{\prime }),$ ${\frac {1}{2}}\pi .$ On aura, par conséquent (prop. 34),

$p=r\sin \Pi (\alpha ),\qquad q=r\cos \Pi (\alpha ).$

Détruisons maintenant le long de la ligne $BB^{\prime }$ (fig. 30) la liaison des trois plans principaux, et étalons-les de façon qu’ils viennent tous les trois, avec toutes les lignes qu’ils contiennent, s’appliquer sur un même plan, sur lequel les arcs $p,\,q,\,r$ se réuniront en un seul arc de courbe-limite, passant par le point $A,$ et ayant pour axe $AA^{\prime }\,;$ de telle sorte que, d’un côté de $AA^{\prime }$ seront situés : les arcs $q$ et $p\,;$

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