Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 5/Définitions
C. F. Patris, (1, p. 285-289).
| ΟΡΟΙ. | DEFINITIONES. |
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αʹ. Μέρος ἐστὶ μέγεθος μιγέθους, τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον. |
1. Pars est magnitudo magnitudinis, minor majoris, quando mensurat majorem. |
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β΄. πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσο- νος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος, |
2. Multiplex autem major minoris, quando mensuratur a minore. |
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γ΄. Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητα πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις! |
3. Ratio est duorum magnitudinum homogenearum secundum quantitatem inter se quædam habitudo. |
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δ΄. Αναλογία δὲ, ἡ τῶν λόγων ταυτότης. |
4. Proportio autem, rationum identitas, |
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ἐ, Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται. ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερ-- ἔχειν. |
5. Rationem habere inter se magnitudine ; dicuntur, qux possunt multplicate sese superare. |
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ς΄. Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι. πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρ- τον, ταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου Ἰσάκις πολλαπλασίων, καθ᾿ ὁποιονοῦν πολλαπλα- σιασμον, ἑκατέρον ἑκατέρου ἢ ἅμα ὑπερ΄χῃ; ἢ ἅμα ἴσα ἧ, ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα, |
6. In eádem ratione magnitudines dicunt esse, prima ad secundam et tertia ad quartam, quando prime et tertie sque multiplices, secunde et quarte sque mulüplices, juxia quamvis mulüplica&onem, utraque utramque vel una superant, vel una equales sunt, vel una deficiunt comparato inter se. |
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ζ΄. τὰ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον μεγέθη, ἀνάλογον καλείσθω. |
7. Ipsæ autem eamdem rationem habente ; magnitudines proportionales vocentur. |
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ηʹ. Οταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων, πὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολ- λαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου πολ- λαπλασίου" τό τε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λεγέται, ἤπερ τὸ τρίτον προς το τέταρτον. |
8. Quando vero « que multiplicium, prime quidem multiplex superat secunde multiplicem, tertie vero multiplex non superat quarte multiplicem, tunc prima ad secundam majo rem rationem habere dicitur, quam tertia ad quartam. |
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θ΄. Αναλογία δὲ ἰν τρισὴν ὅροις ἐλαχίστηδ ἐστίν. |
9. Proportio autem in tribus terminis minima
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ιʹ. οταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ἢ, τὸ πρῶ- τὸν πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέ- γιται, ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον. |
10. Si autem tres magnitudines proportionales sint, prima ad tertiam duplam rationem habere dicitur, ejus quam ad secundam. |
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ιαʹ. Οταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ἧ,, τὸ πρῶτον πρὸς τὸδ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται, ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον" καὶ ἀεὶ ἱξῆς ὁμοίως ὡς} ἂν ἡ ἀναλογία ὑπάρχῃ. |
11. Si quatuor magnitudines proportionales sint, prima ad quartam triplam rationem habere dicitur ejus quam ad secundam ; et semper deinceps similiter quamdiu proportio exstiterit. |
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ιβ΄. ομόλογα μεγέθη λέγεταιδ, τὰ μὶν ἡγού- μενα τοῖς ἡγουμένοις, τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπο- μένοις. |
12. Homologz magnitudines dicuntur, antecedentes quidem antecedentibus, consequentes vero consequentibus. |
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ιγʹι. Ἑναλλὰξ λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμέ- γου πρὸς τὸ ἡγούμενον, καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον. |
13. Alterna ratio est sumpto antecedentis ad antecedentem, et consequentis ad consequentem. |
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ιδ΄, Ανάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἑπομέ- νου ὡς ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον ὡς ἱπό- μένον. |
14. Inversa ratio est sumptio consequentis ut antecedentis, ad antecedentem ut ad consequentem. |
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ιεʹ. Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμέ- γου μετὰ τοῦ ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον. |
15. Compositio rationis est sumptio antecedentis cum consequente tanquam unius ad ipsam consequentem. |
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ιςʹ. Διάιρεσις δὲθ λόγου ᾿στὶ λῆψις τῆς ὑπερ- οχῆς, ὗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον. |
16. Divisio rationis est sumptio excessüs, quo superat antecedens consequentem, ad ipsam consequentem.
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τι, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν᾽5 ἄχλό τι πρὸς ἡγούμενον, |
consequens ad aliam quampiam, ita in secundis magnitudinibus alia quæpiam ad antecedentem. |
LIVRE CINQUIEME
DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
- Une grandeur est partie dʼune grandeur, la plus petite de la plus grande, quand la plus petite mesure la plus grande.
- Une grandeur plus grande est multiple dʼune grandeur plus petite, quand la plus grande est mesurée par la plus petite.
- Une raison, est certaine manière dʼêtre de deux grandeurs homogènes entrʼelles, suivant la. quantité.
- Une proportion est une identité de raisons.
- Des grandeurs sont dites avoir une raison entr’elles, lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement.
- Des grandeurs sont dites être en même raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de la troisième, et d’autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels, que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois.
- Les grandeurs qui ont la méme raison sont dites proportionelles.
- Lorsque, parmi ces équimultiples, un multiple de la première surpasse un multiple de la seconde, et qu’un multiple de la troisième ne surpasse pas un multiple de la quatrième, on dit alors que la première a avec la seconde une plus grande raison que la troisième avec la quatrième.
- Une proportion a au moins trois termes.
- Lorsque trois grandeurs sont proportionnelles, la premiére est dite avoir avec la troisième une raison double de celle quʼelle a avec la seconde.
- Lorsque quatre grandeurs sont proportionnelles, la première est dite avoir avec la quatrième une raison triple de celle quʼelle a avec la seconde, et ainsi de suite, tant que la proportion subsiste.
- Les antécédents sont dits des grandeurs homologues aux antécédents ; et les conséquents, des grandeurs homologues aux conséquents.
- La raison est alterne, quand on compare lʼantécédent à lʼantécédent, et le conséquent au conséquent.
- La raison est inverse, quand on compare le conséquent comme antécédent à l’antécédent comme conséquent.
- Il y a composition de raison, quand on compare au conséquent lʼantécédent avec le conséquent.
- Il y a division de raison, quand on compare au conséquent lʼexcès de lʼantécédent sur le conséquent.
- Il y a conversion de raison, quand on compare lʼantécédent à lʼexcés de l’antécédent sur le conséquent.
- ll y a raison par égalité, lorsquʼayant plusieurs grandeurs, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premières, et que ces grandeurs étant prises deux à deux, et en méme raison, la première grandeur des premières est à la derniere, comme la première grandeur des secondes est à la dernière ; ou bien, lorsque l’on compare les grandeurs extrêmes, les moyennes étant retranchées.
- La proportion est ordonnée, lorsque lʼantécédent est au conséquent comme l’antécédent est au conséquent, et que le conséquent est à un autre conséquent quelconque, comme le conséquent est à un autre conséquent quelconque.
- La proportion est troublée, lorsquʼayant trois grandeurs et dʼautres grandeurs égales en nombre aux premières, il arrive que dans les premières grandeurs lʼantécédent est au conséquent, comme dans les secondes grandeurs l’antécédent est au conséquent, et que dans les premières grandeurs le conséquent est à une grandeur quelconque, comme dans les secondes grandeurs une grandeur quelconque est à un antécédent.