Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 2

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 58-59).

ΠΡΟΊΤΊΑΣΙΣ β΄.	PROPOSITIO II.
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ, τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἔσην εὐθεῖαν θετθαι.	Ad datum punctum, data rectæ æqualem rectam ponere.
Ἑστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ Α΄ ἥ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ᾽ δὲ ; δὴ πρὸς τῷ Α σημείῳ. τῇ δοθείσῃ εὐθεῖᾳ τῇ ΒΓ΄ʼ ἔσην εὐθεῖαν θέσθαι.	Sit quidem datum punctum A, data autem recta BD ; oportet igitur ad A punctum, date recte BI æqualem rectam ponere.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β σήμεῖον εὐθεία ἡ ΑΒ. καὶ συγεστάτω ἐπὶ αὐτῆς	Adjungatur enim ab A puncto ad B punctum recta AB, et constituatur super eam triangulum
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ. καὶ ἐκξεξλήσθωσαν ἐπὶ εὐθείας ταῖς ΔΑ, ΔΒ εὐθεῆαι αἱ ΑΕἙ. ΒΖ. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, δχαστήματι δὲ τῷ ΒΓ, κύκλος γεγράφθω δʼ ΤΗΘ’ καὶ πάλιν, κέντρῳ τῷ Δ, καὶ διαστύματι " τῷ ΔΗ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ,	vquilaterum AAB, et producantur in directum ipsis AA, AB recte AE, BZ, et centro quidem B, intervallo vero Br, circulus descri- batur lʼHO ; et rursus centro A, et intervallo AH circulus describatur HKA.

Ἐπεὶ οὖν τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΤῊΘ κύκλου. ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. Πάλιν", ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΚΛ κύκλε. ἴσὴ ἐστὶν ἡ ΔΛ τῇ ΔΗ. ὧν ἥ ΔΑ τῇ ΔΒ ἔἴση ἐστί" λο ; πὴ ἄρα ἡ ΑΛ λοιπῇ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ ἔση" ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ. ΒΓ τῇ ΒΗ ἐστὶν ἴση. Τὰ δὲ τῷ ἀνυτῷ ἔσα. καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα" καὶ ἥ ΑΛ ο’ίρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴσῃ.

Quoniam igitur B punctum centrum est THO circuli, qualis est BT ipsi BH. Rursus, quoniam A punctum centrum est HKA circuli, equalis est AA ipsi AH, quarum AA ipsi AB æqualis est ; reliqua igitur AA reliquae BH est æqualis. Ostensa est autem et BIʼ ipsi BH qualis ; utraque igitur ipsarum AA, BTʼ ipsi BH est equalis. Quz autem eidem æqualia, et inter se sunt æqualia ; et AA igitur ipsi BT est æqualis.

Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α΄. τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τὴ ΒΓ ἔση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΔΛ. Ὁπερ ἔδε, ποιῆσαι,

Ad datum igitur punctum A, date recte BT æqualis recta ponitur AA. Quod oportebat facere.

PROPOSITION II.

À un point donné, placer une droite égale à une droite donnée.

Soit À le point donné, et Br la droite donnée ; il faut au point 4 placer une droite égale à la droite donnée Br.

Menons. du point 4 au point B la droite AB (dem. 1) ; sur cette droite construisons le triangle équilatéral AAB { prop. r) ; menons les droites AE, BZ dans la direction de AA, AB ; du centre B et de l’intervalle Br, décrivons le cercle rH6 (dem. 3) ; et de plus, du centre 4 et de l’intervalle AH, décrivons le cercle HKA.

Puisque le point B est le centre du cercle rH®, Br est égal à BH (déf. 15) ; de plus, puisque le point 4 est le centre du cercle HK4, la droite AA est égale à la droite AH ; mais AA est égal à AB ; donc le reste AA est égal au reste BH (not. 3) . Mais on a démontré que Br est égal à BH ; donc chacune des droites AA, Br est égale à BH. Mais les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (not. 1. ) ; donc AA est égal à Br.

Donc, au point donné 4, on a placé une droite AA égale à la droite donnée Br. Ce qu’il fallait faire.