Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 3

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 60).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ γ΄.	PROPOSITIO III.
Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων. , ἀπὸ τὴς μείζονος ΄ τ’ᾗ ἐλάσσον ; ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν. Ἐστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ. Γ, ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ" δὲῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσον ; τῇ Τ ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν. Κείσθω γαρ ’προς τῷ Α σημείῳ τῇ Ι εὐθείᾳ ἴση ἡ ΑΔʼ καὶ κεντρω μὲν τῷ Α, δηασήήματι δὲ τῷ ΑΔ. κύκλος γεγραφθω ο ΔΕΖ.	Duobus datis rectis inzqualibus, a majore minori zqualém rectam auferre. Sint datz du : rect ; inzquales AB, Tʼ, quarum major sit AB ; oportet igitur a majore AB minori T &equalem rectam auferre. Ponatur enim ad A punctum ipsi T rectz equalis A4 ; et centro quidem A, intervallo vero AA circulus describatur AEZ.

Καὶ ἐπεὶ τ α συμειον κεντρον ἐστὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλε, . ἰση εστιν ἡ ΑἙ ʼτη ΑΔʼ ἀλλὰ καὶ ἡ Τ ’τῃ ΑΔ ἐστὶν ἰση. Εκατερα αρα τῶν ΑΕ, Γ τῃ ΑΔ εστιν ιση ῶστε καὶ ή ΑΕ τή Γ ἐστιν ἰσῇ.	Et quoniam A punctum centrum est AEZ circuli, squalis est AE ipsi AA ; sed et T ipsi AA est zqualis ; utraque igitur ipsarum AE, T Ipsi. AA est equalis ; quare et AE ipsi I est equalis.
Δύο ἀρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ. Γ. αἀστὸ τῆς μειζονος τῆς ΑΒ τή ελωώσσονιῃ τῇ ΓΤ Ισή αφᾗρπται η ΑΕ. Oπερ ἐδὲι ποιῆσαι.	Duabus igitur datis rectis inequalibus AB, T, a majore AB minori T equalis ablata est AE. Quod oportebat facere.

PROPOSITION III.

Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

Soient 4B, Tr les deux droites inégales données, que 48 soit la plus grande ; il faut de la plus grande 4B retrancher une droite égale à la plus petite Tr.

Au point A plaçons une droite AA égale à r (prop. 2) , et du centre 4 et de lʼintervalle AA, décrivons le cercle AEZ (dem. 3) .

Puisque le point A est le centre du cercle AEZ, AE est égal à AA ; mais T est égal à AA ; donc chacune des droites AE, Tr, est égale à la droite 44 ; donc la droite AE est égale à la droite r.

Donc les deux droites inégales AB, Tr, étant données, on a retranché de la plus grande 4B une droite AE égale à la plus petite r. Ce qu’il fallait faire.