Henri Poincaré, l’œuvre mathématique

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Henri Poincaré, l’œuvre mathématique
1914

Issu de « Henri Poincaré, l’œuvre scientifique, l’œuvre philosophique », librairie Félix Alcan

HENRI POINCARÉ, L’ŒUVRE MATHÉMATIQUE

Par Vito Volterra

Parmi les différentes manières de concevoir l’attachement à la vie, il y en a une, que peut-être M. Metchnikoff n’a pas encore envisagée. C’est un attachement à la vie qui a des raisons grandioses, raisons bien différentes des raisons ordinaires pour lesquelles on redoute la mort. L’esprit d’un savant vient d’enfanter des idées. Il voit qu’elles sont fécondes et utiles, Mais il a le sentiment qu’elles sont encore assez vagues et qu’un long travail d’analyse lui est nécessaire pour les développer, avant que le public puisse les comprendre et les apprécier à leur juste valeur. S’il songe alors que la mort peut tout à coup rendre au néant tout ce monde de hautes pensées et que peut-être des siècles s’écouleront avant qu’un autre génie le découvre, on comprend qu’il éprouve soudain un attachement passionné à la vie et qu’à la joie de son travail se mêle désormais la crainte de l’interrompre à jamais. On conçoit la terrible angoisse d’Abel qui sentait la mort s’approcher tandis que personne de son entourage ne comprenait les idées qu’il voulait répandre et qu’il craignait à jamais perdues. On a la vision aussi des terribles moments que Galois a dû passer avant de se battre si l’on pense que quelques heures avant d’aller sur le terrain d’où il ne devait plus revenir il n’avait pas encore écrit une ligne, sur ses grandes découvertes. Poincaré est mort au moment le plus brillant de sa carrière, en pleine vigueur. Son esprit était jeune, des idées originales et hardies jaillissaient de son cerveau. A-t-il eu la perception que le monde qui remplissait son intelligence allait s’écrouler d’un instant à l’autre comme le superbe château du Walhalla envahi par une flamme soudaine ? Personne ne peut le dire aujourd’hui. Je souhaite pour la paix de ses dernières heures qu’il n’ait pas vu la mort s’approcher, quoique les pages de son dernier mémoire soient assombries par de tristes pressentiments. Son cerveau maintenant repose et peut-être les heures qui coulent sont-elles ses premières heures de repos. En considérant l’activité qu’il a déployée, le nombre des questions différentes qu’il a traitées, les conceptions nouvelles de la science qu’il a si rapidement pénétrées, l’ensemble des idées originales qu’il a répandues, on est sûr qu’il n’a pu se reposer un seul instant pendant sa vie. Poincaré est resté toujours sur la brèche en bon soldat jusqu’à la mort. Il n’y a pas eu, dans les trente dernières années, une question nouvelle reliée plus ou moins directement aux mathématiques qu’il n’ait soumise à son analyse profonde et délicate et qu’il n’ait enrichie de quelque découverte ou de quelque remarque féconde. Je crois que nul autre savant n’a été autant que lui en rapport constant et intime avec le monde scientifique qui l’entourait. Il recevait des idées et il en donnait par un échange rapide et intense, qui n’a cessé que le jour où son cœur a cessé de battre. C’est pourquoi, s’il fallait caractériser la dernière période de l’histoire des mathématiques par un nom, tout le monde prononcerait celui de Poincaré, car il a été sans aucun cloute le plus répandu et le plus célèbre des mathématiciens de ces dernières années. Peu à peu il avait créé un type de savant et de philosophe. Sans que personne s’en aperçût, par des sympathies et des liaisons cachées, la plupart des mathématiciens de son temps s’efforcèrent de s’approcher de ce type. Le mouvement scientifique, les rapports de la science avec la vie, ceux du grand public avec les savants ont profondément changé dans ces derniers temps. Les causes en sont faciles à comprendre, les effets en sont frappants. Ses découvertes éclatantes ont envahi toutes les manifestations de la vie. C’est pourquoi la, science générale est devenue populaire et on attend en particulier des sciences mathématiques et physiques des résultats toujours nouveaux et toujours plus utiles. Peut-être est-on même arrivé à avoir une confiance qui dépasse leur pouvoir. Le savant qui restait caché, il y a peu d’années, dans son cabinet de travail ou dans son laboratoire, est aujourd’hui mêlé à d’autres savants et au public. Il entend les questions qu’on lui pose de tous côtés, et il est obligé de répondre et quelquefois on le presse malheureusement de répondre avant que sa pensée soit mûre. Les Congrès et les réunions scientifiques se sont multipliés, les conférences populaires, les leçons savantes, où l’on veut connaître le dernier mot de la science se suivent. On n’a plus le temps d’attendre. La vie moderne, hâtive et tumultueuse, a envahi la demeure tranquille des savants. On publiait, i y a des siècles, de gros volumes ; c’était la synthèse de la pensée de toute la vie d’un homme. Cela n’a pas été suffisant pour le mouvement scientifique qui allait se développant. Les journaux scientifiques demandent aujourd’hui des mémoires, où les travaux sont publiés à mesure qu’on y travaille. Les comptes rendus des Académies, courts et rapides aperçus, sont survenus. On exprime en peu de mots toute découverte dès qu’on l’a entrevue. Le temps presse ; on craint qu’à la minute suivante la découverte ne soit perdue. Mais les communications des Congrès, qu’on n’a pas même le loisir de rédiger, ont dépassé en rapidité les comptes rendus des Académies et des Sociétés savantes. On veut savoir ce qu’on n’a pas encore fait. On dit ce qu’on espère trouver. On expose ce qu’on n’aura jamais le courage d’imprimer. Ce mouvement a créé un état d’âme particulier des savants et a transformé leur vie, leur manière de travailler et même de penser. Il y a dans la vie scientifique moderne, telle que je viens de la présenter, de grands avantages. Le travail est devenu presque collectif. Les énergies des savants se somment, le découvertes se pressent, l’émulation fouette les travailleurs. Leur nombre s’accroît de jour en jour. Mais combien d’inconvénients peu on opposer à ces avantages ! Que de travail d détail est perdu ! Peut-être cette patience, qui pour Buffon était le génie même, est-elle devenue impossible dans le tumulte de l’heure présente ? Poincaré fut un savant moderne dans toute l’acception du mot. Il n’y eut ni Congrès, ni réunion scientifique où sa parole ne se fît entendre. La plupart des journaux scientifiques ont reçu ses mémoires et l’exposition de ses travaux. Les Universités d’Europe et d’Amérique ont entendu ses lectures et ses conférences. Un travail si intense et si absorbant produit facilement dans un organisme débile et maladif un surmenage dangereux. Est-ce ce surmenage qui a amené fatalement Poincaré au tombeau ? Le travail scientifique calme et serein est bien souvent un repos pour l’esprit. Le plaisir des résultats nouveaux qu’on découvre tout à coup, comme un beau paysage au tournant d’une route de montagne, repose de la fatigue de la recherche. La difficulté d’approfondir une question est bien souvent largement compensée par des solutions qui jaillissent au moment même oit l’on y pense le moins. Ce travail qu’Euler, Lagrange, Gauss ont connu sans que rien ne presse, sans que personne le demande peut se comparer à un voyage de plaisir dans le plus beau des pays. Mais le travail que les conférences publiques, les leçons réclament, que les journaux demandent pour un jour déterminé, bien souvent fatigue et irrite comme un voyage long et rapide dans un pays, dont on ne peut pas saisir ni les beautés, ni les agréments. je pense que même un esprit aussi richement doué que Poincaré et qui possédait toutes les virtuosités du savant et du littérateur, devait éprouver une lassitude, souvent une vraie fatigue, devant la masse de labeur qui se succédait sans relâche et sans trêve pendant des années, et qui devenait de jour en jour plus pressant et plus intense. Mais c’est la vie moderne qui le réclamait, et un homme célèbre tel que Poincaré, populaire parmi les mathématiciens, les physiciens et les philosophes, ne pouvait s’y soustraire. Peut-être a-t-il considéré que c’était un devoir de son génie envers l’humanité de répandre ses pensées et de n’en cacher aucune. Il a donné, à mesure qu’il a trouvé, largement, en grand seigneur, qui, ayant un patrimoine immense, est sûr qu’aucune dépense ne peut l’épuiser. Il n’a jamais hésité entre le désir de faire connaître sa pensée à un large public et la crainte d’exposer des résultats qui n’étaient pas mûrs. Un flair exceptionnel le sauvegardait des fautes. Il a toujours dévoilé ses idées et il n’a jamais caché ses méthodes. Cet art subtil et ingénieux d’exposer des résultat, et de masquer la voie pour y arriver, si cher aux anciens et toujours si tentant, n’a jamais eu de prise sur lui. Il ne s’est pas arrêté pour achever et compléter ses découvertes, pour leur donner une forme systématique et définitive, et cependant il est si doux de s’arrêter et de regarder de tous les côtés ce qu’on a trouvé et qui est bien à soi, il est si agréable d’en découvrir des faces nouvelles et d’en tirer des applications. Mais Poincaré a résisté à toutes ces tentations. Il a sacrifié à un haut idéal ces plaisirs du savant. Il a toujours marché en avant. De nouvelles questions l’attendaient. Le temps de s’occuper du détail des vieilles questions ne venait jamais. Je crois même qu’il s’est toujours défendu systématiquement des détails et qu’il n’a pas voulu donner son temps à des questions minutieuses. Ce n’était pas son affaire ni de corriger, ni de revenir sur ce qu’il avait fait. L’ensemble était tout pour lui, les particularités n’étaient rien. Cette fougue fatale a donné à son style nerveux un cachet personnel et une marque spéciale qui le caractérise entre tous. Il est parmi les savants comme un impressionniste parmi les artistes. C’est peut-être à cause de tout cela qu’il est impossible de rapprocher Poincaré d’autres savants, même des savants des derniers temps. Il est trop moderne pour que toute comparaison soit possible. il est bien sûr qu’aucune théorie telle que la gravitation universelle ou l’électrodynamique, ne s’attache à son nom, comme à ceux de Newton, d’Ampère et de Maxwell. Parmi la foule des méthodes que chaque jour il a inventées et exploitées, y en a-t-il de comparables à celles qui ont rendu célèbres Archimède ou Lagrange ? Il faudra beaucoup de temps pour démêler tout ce qu’il y a dans ses œuvres, pour pouvoir dire ce qui germera, quelle sera l’idée la plus féconde. Mais si l’on demande dès aujourd’hui, au lendemain de sa mort, à quel niveau il faut placer son génie, on peut répondre qu’il atteint les hauteurs où planent les grands esprits de l’humanité. Il y a une analyse, une physique mathématique et une mécanique de Poincaré que la science ne pourra pas oublier. Sa renommée pendant sa vie a été énorme. Peu de savants et un tout petit nombre de mathématiciens ont eu une célébrité pareille à la sienne. Un physicien en trouverait l’explication dans ce que je vous ai dit tout à l’heure, en remarquant que son esprit et l’es-Prit de son époque vibraient à l’unisson et qu’il se trouvait toujours à la même phase que la’vibration universelle. De bien grands savants ont travaillé, poussés par un effort intérieur, sans se soucier de ceux qui les entouraient. Ils ont été méconnus. Le ton de leur voix ne s’accordait pas avec celui de leur époque, les notes émises n’ont résonné que dans les époques postérieures. Rien n’est plus difficile que de prévoir quelle sera la réputation d’un savant. L’histoire a donné trop de démentis aux prévisions faciles. Ce qu’on admire aujourd’hui ne sera-t-il pas indifférent demain ? Mais il est sûr que la voix de Poincaré sera écoutée dans les siècles futurs et que sa renommée s’y prolongera. Il a traité un si grand nombre de questions que beaucoup développeront ce qu’il a commencé. Ses œuvres seront étudiées à fond et beaucoup les creuseront. Elles seront une mine très précieuse pour les savants qui viendront. On pourra en calculer à. ce moment la richesse. Les réflexions précédentes me paraissent justifier le point de vue que j’ai adopté dans cette étude. On ne peut résumer d’une manière digne et sûre l’œuvre entière de Poincaré et donner un aperçu complet de son esprit et de son admirable activité. Je m’efforcerai donc d’évoquer un tout petit nombre de ses découvertes en cherchant à en tracer les lignes principales et à montrer leur place à l’époque où elles furent conçues. On voudra bien m’excuser si je rappelle des faits connus, et si j’entre dans quelques détails élémentaires. Mais, ne pouvant être complet, je désire être clair, et je tâcherai de ne pas dire les choses d’une manière trop difficile à saisir. J’espère que l’on comprendra le choix des travaux que j’ai fait. J’ai essayé de les tirer des différentes branches des mathématiques pour suivre le cours de plusieurs grandes pensées d’Henri Poincaré. Je commencerai par une étude de Poincaré qui la première l’a mis en vue dans, le monde des mathématiciens et du premier abord a montré tout son talent d’analyste. J’entends parler de la théorie des équations différentielles linéaires et des fonctions fuchsiennes. La théorie des fonctions a été la conquête la plus importante faite par l’analyse dans le siècle passé. Je n’ai pas hésité, en 1900, au Congrès des mathématiciens de Paris, à appeler le XIXe siècle, le siècle de la théorie des fonctions. Une idée intuitive, telle que l’idée de fonction, que tout le monde possède et qui est liée à la conception élémentaire de quantités qui varient suivant des lois constantes, peu à peu s’est développée et a envahi tout le domaine des mathématiques. La géométrie analytique et le calcul infinitésimal ont accueilli d’abord cette notion. L’algèbre donna une grande impulsion à son étude systématique et Lagrange a pu écrire pour la première fois une théorie des fonctions analytiques, l’ouvrage célèbre oit se trouvent les germes des progrès ultérieurs. Ce n’est que par l’extension du champ de variables que la théorie s’est constituée d’une manière définitive. Il a fallu considérer les valeurs imaginaires et complexes des quantités qu’on envisageait pour arriver à expliquer les propriétés les plus cachées et les plus importantes des fonctions. Etudier une fonction sans considérer ses valeurs imaginaires et complexes, ce serait dans beaucoup de cas vouloir connaître un livre en regardant ce qui est écrit au dos, sans lire les feuillets du volume. Cauchy, Riemann et Weierstrass ont le plus contribué à nous apprendre à lire à l’intérieur de ce livre mystérieux. Il a fallu tout leur génie pour nous en dévoiler les secrets les plus intéressants. Mais comme il arrive souvent, une théorie générale ne peut se constituer qu’après une étude profonde de quelque cas particulier. Il faut toujours un guide pour s’orienter dans une région nouvelle et qui n’est pas encore explorée. Ce qui a guidé dans la théorie des fonctions ce fut l’étude particularisée des fonctions elliptiques. Une foule de questions d’algèbre, de mécanique, de géométrie et de physique amenèrent à développer cette branche de l’analyse qui suivait de près celle des fonctions trigonométriques : les fonctions élémentaires qu’Euler avait déjà reliées aux logarithmes et aux exponentielles. L’histoire des fonctions elliptiques est très connue. Elle a été écrite maintes fois, car elle est une des parties les plus intéressantes de l’histoire des mathématiques. On est passé, de surprise en surprise en passant de chaque étape de son développement à l’étape suivante qui ménageait de nouvelles découvertes, c’est-à dire des merveilles nouvelles. Il est arrivé que la théorie générale des fonctions, ainsi que toutes les autres branches particulières qui y sont reliées, a été moulée sur le modèle de la théorie des fonctions elliptiques et c’est ainsi que celle des fonctions fuchsiennes, qui est la dernière, en reproduit aussi, selon le plan de Poincaré, les lignes générales. Comme il est bien connu, les principes sur lesquels est bâtie la théorie des fonctions elliptiques, sont au nombre de trois : le théorème d’addition, le principe de l’inversion et celui de la double périodicité. Tout le monde a appris dans les éléments de la trigonométrie que l’on peut calculer par des formules algébriques très simples le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, si l’on connaît le sinus et le cosinus de ces arcs. Sous sa forme définitive, le théorème d’addition des fonctions elliptiques est tout à fait pareil à celui que nous venons de rappeler. Mais ce n’est pas sous cette forme qu’il s’est présenté d’abord. Fagnano, savant italien qui vivait en dehors de tout milieu scientifique, mais qui avait beaucoup de talent, l’a reconnu dans les propriétés géométriques d’une courbe spéciale, la lemniscate de Bernoulli. Il a fallu tout le génie d’Euler pour démêler la vraie nature de cette propriété et l’obtenir dans toute sa généralité. L’autre principe, plus caché et qui se révéla beaucoup plus tard est celui de la double périodicité. La périodicité des fonctions trigonométriques ressort immédiatement de leur définition même. La double périodicité des fonctions elliptiques n’a été découverte que lorsqu’Abel et Jacobi ont établi le principe de l’inversion, c’est-à-dire lorsqu’ils ont pris à rebours toute la théorie des fonctions elliptiques. Legendre, qui la croyait déjà complète, dut s’apercevoir que de nouvelles conceptions fondamentales allaient se révéler. Abel et Jacobi ont continué à marcher dans la route qu’ils avaient frayée et la théorie générale des intégrales des fonctions algébriques a été définitivement établie par le théorème d’Abel, qui étend le théorème d’addition, par le principe général de l’inversion, que Jacobi a énoncé pour la première fois, par la périodicité multiple, et enfin par l’usage des fonctions qu’on appelle fonctions jacobiennes. Le principe de l’inversion sous une forme nouvelle, l’extension de la conception de la périodicité, le type renouvelé des fonctions jacobiennes, ont été transportés d’emblée par Poincaré dans un nouveau domaine, celui des équations différentielles linéaires. C’est en cela que consiste son travail d’analyse sur les fonctions fuchsiennes. Après les quadratures, c’est l’intégration des équations différentielles qui est le grand problème du calcul infinitésimal. Les équations différentielles les plus simples sont les équations linéaires. On conçoit une équation de cette sorte si l’on imagine une relation du premier degré entre le déplacement d’un mobile, sa vitesse et son accélération, les coefficients de l’équation dépendant d’une manière quelconque du temps. L’équation particulière que nous venons de définir est du second ordre, parce que la vitesse est la dérivée première et l’accélération est la dérivée seconde du déplacement, mais on peut imaginer des équations linéaires où paraissent des dérivées d’un ordre quelconque. Lagrange et un grand nombre de mathématiciens avaient étudié ces équations. Mais c’est Gauss qui en avait pénétré à fond une classe spéciale. Il l’avait reliée à sa série, c’est-à-dire à la fonction hypergéométrique. Riemann était allé plus loin dans un mémoire célèbre. On a aussi trouvé dans ses papiers inédits des résultats de la plus grande importance. Il paraît que Weierstrass, sans rien publier, avait aussi découvert bien des choses sur ce sujet. Mais on doit à Fuchs un article paru en 1866, qui a appelé l’attention du monde scientifique sur la nouvelle manière d’envisager les équations différentielles linéaires. Si l’on veut se former une idée du niveau auquel Fuchs avait porté la question, on peut le comparer à celui où se trouvait la théorie des fonctions elliptiques après les travaux de Legendre, et avant ceux d’Abel et de Jacobi. Cependant on avait déjà fait quelques pas dans la nouvelle voie qui allait s’ouvrir, car on connaissait la fonction modulaire et sa théorie. Les intégrales des fonctions algébriques se reproduisent augmentées de constantes, lors-qu’on tourne autour des points singuliers. Cette propriété est la source de la périodicité des fonctions elliptiques. D’une manière analogue, l’ensemble des intégrales fondamentales d’une équation linéaire à coefficients algébriques se reproduit, lorsqu’on tourne autour d’un point singulier, d’après une transformation linéaire. Il fallait chercher dans cette remarquable proposition la clef des propriétés des fonctions qui se déduisent des équations différentielles linéaires par un procédé comparable à celui de l’inversion des intégrales elliptiques. Si l’équation est du second ordre, le rapport de deux intégrales fondamentales subit une substitution linéaire lorsqu’on parcourt un chemin fermé autour d’une singularité. Donc là variable indépendante regardée comme fonction du rapport de deux intégrales doit demeurer invariante par des substitutions linéaires de ce rapport. La propriété qui devait remplacer la périodicité était trouvée et du même coup le principe de l’inversion. Poincaré s’est attaché à cette idée fondamentale et en interprétant d’une manière géométrique ce que nous avons appelé tout à l’heure une substitution linéaire, il a commencé une étude systématique de ces substitutions faisant partie d’un même groupe discontinu, car il est évident que des fonctions monodromes demeurant invariantes par des groupes continus de substitutions ne peuvent être que des constantes. Les substitutions linéaires correspondent au point de vue géométrique à des transformations du plan par des inversions par rayons réciproques composées avec des réflexions. Elles ont un rôle très important dans la géométrie non-euclidienne, ainsi que plusieurs géomètres, entre autres Beltrami, l’ont démontré. Poincaré distingue deux espèces de groupes, ceux qu’il appelle des groupes kleinéens, qui sont les groupes discontinus les plus généraux, et les groupes fuchsiens. Ces derniers interprétés géométriquement laissent fixe l’axe réel, mais par leur composition avec une nouvelle substitution laissent invariable un cercle. C’est le cercle que Poincaré appelle fondamental. La recherche de tous les groupes discontinus est ainsi ramenée aux divisions régulières possibles du plan et de l’espace. Poincaré distingue dans les substitutions fuchsiennes des familles différentes et il obtient tous les groupes correspondants. Il fallait maintenant construire effective-ment les fonctions qui demeurent invariables pour les substitutions de ces groupes. Ce sont les fonctions fuchsiennes. Jacobi était arrivé, en partant des fonctions elliptiques, à la fonction qu’il avait appelée Thêta, c’est-à-dire à la fonction jacobienne. Elle n’est pas périodique, mais elle possède ce qu’on appelle la périodicité de troisième espèce, car en augmentant la variable d’une période, elle se reproduit multipliée par des exponentielles. Jacobi avait montré que la manière la plus simple pour exposer la théorie des fonctions elliptiques consiste à définir d’abord directement la fonction Thêta par une série et à en trouver algébriquement les propriétés ; une fois calculée la fonction Thêta, les fonctions doublement périodiques sont données par des rapports très simples. Poincaré a suivi pour les fonctions fuchsiennes un chemin analogue. Il commence par calculer les Thêta-fuchsiennes sous forme de séries et il remarque les changements qu’elles éprouvent par des substitutions linéaires de la variable d’un groupe fuchsien. Des rapports formés par ces Thêta-fuchsiennes demeurent inaltérés lorsqu’on assujettit la variable aux substitutions du même groupe. C’est ainsi que les nouvelles transcendantes ont été créées. Par leur introduction dans les mathématiques un domaine de l’analyse s’est constitué. Nous n’entrerons pas dans le détail des propriétés de ces nouvelles fonctions et de leurs liaisons avec les fonctions abéliennes et d’autres transcendantes. Nous ne parlerons pas d’une foule de questions d’arithmétique, d’algèbre et d’analyse qui s’y relient. Mais il nous faut dire un mot sur le point d’attache des fonctions fuchsiennes avec les intégrales des équations différentielles linéaires à des coefficients algébriques. La marche suivie par Poincaré à ce propos est analogue à celle qu’on suit pour exprimer les intégrales abéliennes par les fonctions Thêta généralisées par Jacobi ou Thêta-abéliennes. C’est pourquoi il a introduit les fonctions Thêta-fuchsiennes qu’on dérive aussi des fuchsiennes. Ce sont ces transcendantes qui expriment les intégrales qu’il voulait calculer. On a demandé plusieurs fois : les fonctions fuchsiennes ont-elles des applications ? Mais on peut répliquer : qu’est-ce que signifie pour une théorie avoir des applications ? La pierre de touche d’une théorie consiste-t-elle dans son emploi en mécanique et en physique ? La théorie des coniques, que les Grecs ont élevée à un si haut degré de perfection, a-t-elle eu sa place d’honneur dans la géométrie le jour seulement où l’on a cru que ces courbes étaient les orbites des planètes ? Ne constituait-elle pas un monument artistique superbe, même en dehors de toute idée pratique ? Laissant de côté ces questions qui nous dé-tourneraient de notre exposé, il nous faut abandonner l’analyse et passer à d’autres branches des mathématiques. Il y a deux espèces de physique mathématique. Par une ancienne habitude on les regarde comme appartenant à une seule branche et en général on les enseigne dans les mêmes cours, mais leurs types sont bien différents. Dans la plupart des cas, ceux qui s’intéressent beaucoup à l’une, dédaignent un peu l’autre. Une analyse difficile et subtile s’est attachée aux questions physiques. Elle se pose en leur nom des problèmes et elle tâché de les résoudre d’une manière complète et exacte. Elle s’efforce aussi de démontrer par des méthodes rigoureuses des propositions, telles que les théorèmes d’existence, qui sont fondamentales au point de vue mathématique et logique. C’est la physique mathématique de la première espèce. Je crois ne pas me tromper en disant que beaucoup de physiciens regardent cette flore mathématique, comme un ensemble de plantes parasites du grand arbre de la philosophie naturelle. Mais ce dédain est-il justifié ? Dans l’évolution de la physique mathématique ces recherches vont jouer probablement un rôle, toujours plus grand. Exposez à un enfant les premières propositions d’Euclide. Ce ne sont pas les propriétés géométriques qui l’étonnent, mais ce qui le surprend est qu’il faut les démontrer, car son esprit n’est pas encore assez mûr pour en douter. De même certains théorèmes qu’on démontre en physique mathématique produisent dans quelques esprits une surprise analogue. Nous ne connaissons pas assez l’évolution de la géométrie avant Euclide et nous voyons aujourd’hui son œuvre parfaite. Il est bien probable que dans la constitution de la géométrie on est passé par des périodes où des dédains, pareils à ceux auxquels nous avons touché, se sont manifestés et ont peu à peu cessé. Il y a cependant une autre physique mathématique qui forme un ensemble inséparable de la considération des phénomènes. On ne pourrait comprendre aucun progrès dans leur étude sans l’aide que cette analyse mathématique y apporte. Pourrait-on imaginer la théorie électromagnétique de la lumière, les expériences de Hertz et le télégraphe sans fil, sans l’analyse mathématique de Maxwell qui les a engendrés ? Poincaré a dominé ces deux espèces de physique mathématique. Il était un analyste hors ligne et il avait aussi l’esprit d’un physicien. Nous allons chercher parmi ses travaux la preuve de ce que nous venons de dire. Le mémoire de Poincaré paru en 1894 dans les Rendiconti di Palermo, est un de ses plus intéressants ouvrages. Il a pour titre : « Sur les équations de la physique mathématique. » L’auteur présente la question qu’il va traiter dans une courte introduction où il rappelle les travaux de quelques-uns de ceux qui l’ont précédé. Mais la question a une longue histoire, dont je dirai quelques mots. Je commence par remarquer que le travail a un caractère essentiellement analytique et qu’il appartient à la physique mathématique de la première espèce. D’où vient en effet l’intérêt de la recherche à laquelle un si grand nombre de mathématiciens se sont attachés ? Nul physicien. ne pourrait douter, par exemple, qu’une membrane élastique doit donner une infinité de sons, ayant des hauteurs différentes que l’on peut disposer dans une échelle infinie, discontinue, qui va du ton le plus grave aux tons les plus aigus. L’exemple des sons produits par une corde élastique ou par une verge était suffisant pour induire ce qui devait arriver lorsqu’on passe du cas d’une seule dimension à celui de deux dimensions, et même ce qu’on doit trouver lorsqu’on envisage un corps vibrant à trois dimensions. Mais pour les mathématiciens il fallait donner une preuve rigoureuse de ces vérités, et la démonstration en était très difficile et très cachée. On ne doit pas soupçonner que la recherche analytique avait pour but de calculer effectivement les hauteurs des sons. Toute application pratique de ce calcul était en général éloignée de la pensée des mathématiciens. Ce n’était que le point de vue logique pur qui donnait de l’importance à la question. Sa difficulté en augmentait l’intérêt et elle devenait par suite une question passionnante. On pouvait se rendre compte d’une manière intuitive du résultat, non seulement par l’analogie que j’ai indiquée tout à l’heure, mais aussi par un procédé d’induction qui a une importance philosophique de premier ordre. Lagrange avait consacré un chapitre de sa mécanique analytique à la théorie des petits mouvements. Ce chapitre est un des plus beaux de son ouvrage et l’auteur, dans le cas qu’il a envisagé, a pu conduire jusqu’au bout les intégrations et obtenir des formules très simples et très intéressantes. Les périodes de vibration d’un ensemble de molécules en nombre fini, unies entre elles par des liaisons quelconques et qui oscillent autour d’une position d’équilibre stable, sont obtenues par Lagrange, au moyen des racines d’une équation algébrique. Tout système peut être conçu évidemment comme un ensemble de molécules disposées dans un espace à une, deux ou trois dimensions, selon que l’on envisage une corde, une membrane ou un corps solide. Il suffit donc de remplacer le nombre fini des molécules de Lagrange par l’ensemble que nous venons de considérer, pour étendre son résultat aux différents cas. Ce procédé donne pi aperçu très clair et très suggestif de l’allure du phénomène. Mais il ne constituait pas, tout seul, sans d’autres développements, une démonstration suffisante pour des mathématiciens. La question que nous venons de considérer au point de vue de la théorie du son se pose aussi, tantôt d’une manière identique, tantôt sous une forme analogue, dans plusieurs autres questions de physique mathématique. C’est ainsi qu’on la rencontre lorsqu’on envisage d’autres vibrations qui ne sont pas des vibrations sonores, par exemple les vibrations électromagnétiques. On la rencontre aussi dans quelques problèmes d’une autre nature, tels que ceux de la théorie de la chaleur. Un résultat était assuré depuis 1885 d’une manière certaine et qui satisfaisait complètement tout mathématicien. C’était la démonstration analytique de l’existence du son fondamental, c’est-à-dire de la première harmonique, qui correspond à l’absence de tout nœud et de toute ligne nodale dans la membrane vibrante. M. Schwarz y était arrivé en étudiant des questions d’une nature différente. Il approfondissait depuis longtemps la théorie des surfaces minima, c’est-à-dire des surfaces dans lesquelles se dispose en équilibre une couche liquide très mince ayant une tension superficielle, par exemple une couche d’eau où l’on a dissous du savon. Dans le problème du calcul des variations auquel on était amené, il fallait distinguer les maxima des minima. On était par là conduit à envisager la question suivante : une fonction de deux variables s’annule à la frontière d’un domaine à deux. dimensions. Le rapport de son paramètre du second ordre à sa valeur est une constante négative dans tous les points du domaine. Quelle est la plus petite valeur absolue de ce rapport ? Or, le problème des sons dus aux vibrations d’une membrane consiste à trouver toutes les valeurs de ce rapport. C’est pourquoi le problème de Schwarz n’était qu’un cas particulier de celui-ci. Il s’agissait donc d’aller en avant et de trouver toutes les autres valeurs au delà du minimum de Schwarz. M. Picard avait découvert des propriétés de la plus grande importance et démontré l’existence de la seconde harmonique. Poincaré avait déjà attaqué le problème dans un travail publié dans l’American Journal of Mathematics. Mais il faut avouer que dans ce travail il était encore éloigné de la solution générale. Il a pris sa revanche dans celui que nous allons examiner. On devait soupçonner d’après le théorème de Lagrange que les différents sons seraient ressortis comme correspondant aux racines d’une fonction transcendant. C’est à la construction d’une de ces fonctions plus spécialement à la preuve de son existence que Poincaré s’est attaché. Voyons de quelle manière. On a commencé par ajouter un terme à son équation, c’est-à-dire que l’équation qu’il envisage d’abord est composée de trois termes. Le premier est le paramètre différentiel du second ordre, le second terme est la fonction inconnue multipliée par une nouvelle variable indépendante et le dernier est une fonction qu’il suppose arbitraire. Nous appellerons cette équation l’équation auxiliaire. L’équation primitive qui manquait justement du dernier terme. Poincaré construit la fonction arbitraire en composant linéairement les fonctions par des coefficients constants indéterminés. Cela posé, il développe la fonction inconnue, qu’il suppose nulle à la frontière, en une série de puissances de la nouvelle variable qu’il a introduite. Ce résultat est atteint par l’emploi des fonctions de Green. Il obtient ainsi une fonction analytique, dont le développement est valable à l’intérieur d’un certain cercle et qu’on peut représenter aussi par le rapport de deux fonctions, le dénominateur étant indépendant des variables d’intégration. Par des procédés d’une extrême pénétration il montre que l’on peut choisir les coefficients indéterminés, dont nous avons parlé tout à l’heure, de manière que ces deux fonctions soient des fonctions entières. Alors, remplaçons dans l’équation auxiliaire la fonction inconnue par le rapport de ces fonctions et donnons à l’équation une forme entière en multipliant par le dénominateur. On voit immédiatement que lorsque celui-ci s’annule l’équation auxiliaire se réduit à l’équation primitive. C’est ainsi que toutes les racines de la fonction entière, qui forme le dénominateur, donnent les valeurs que l’on cherche. Rien n’est plus simple que ce procédé que l’on a pu résumer en si peu de mots, mais il renferme un ensemble de pensées d’une finesse et d’une fécondité merveilleuses. Ce que j’ai exposé n’est que la première partie du mémoire de Poincaré. L’étude des racines, celle des fonctions qui résolvent l’équation primitive, leurs propriétés, les développements qui en suivent, les applications effectives aux problèmes acoustiques et à ceux de la théorie de la chaleur, donnent un ensemble de résultats fondamentaux. Ils ont été appliqués à bien des cas analogues. Maintenant, ce mémoire classique reste comme un des plus beaux monuments construits par Poincaré, mais c’est par d’autres voies, celles des équations intégrales, qu’on étudie ces problèmes. Nous n’entrerons pas clans ces considérations, qui d’autre part sont devenues aujourd’hui très courantes. Nous allons envisager d’autres : questions et d’autres travaux. Il y a peu d’années, à un certain moment on a pu soupçonner que les théories atomiques et corpusculaires perdaient du terrain. On pensait que tout pourrait être expliqué par le continu. En physique mathématique les équations différentielles aux dérivées partielles étaient obtenues en abandonnant toute hypothèse moléculaire. En chimie aussi on chuchotait que peut-être les atomes allaient devenir inutiles. Mais un souffle soudain a dispersé les légers nuages qui semblaient obscurcir les théories corpusculaires. Elles sont maintenant victorieuses et elles éclairent les différents domaines de la philosophie naturelle. Par nécessité on a développé les vieilles théories atomiques. L’électricité a été reconnue d’abord de nature corpusculaire et peu à peu dans chaque branche ont surgi des atomes nouveaux. Les faits qu’on a trouvés se sont accordés avec les nouvelles théories. Elles sont devenues même la source plus riche et plus féconde d’autres découvertes. C’est à cause de cela que leur crédit est augmenté de jour en jour. Il est devenu tellement solide que, lorsque des contradictions se sont fatalement présentées, on n’a pas songé à se délivrer des nouvelles conceptions, mais au contraire on n’a pas hésité à sacrifier d’anciens principes qu’on ne discutait même plus. Peu à peu ce sont les théories classiques, qui semblaient assises sur des bases inébranlables, qui ont été secouées. La mécanique que depuis Galilée et Newton on regardait comme la plus solide des sciences, a été bouleversée. Une mécanique récente s’est formée, celle de la relativité. Mais il est probable qu’elle est dès aujourd’hui une mécanique vieillie. En effet n’en surgira-t-il pas une toute nouvelle en vertu du concept d’atomes d’énergie ? Et n’envisage-t-on pas dans la théorie de la relativité, une partie déjà arriérée à côté d’une autre plus avancée ? Poincaré a été mêlé aux transformations de l’ancienne physique, à la création de la nouvelle. Sa critique et son analyse ont pénétré les modernes conceptions de tous les côtés. Il s’est passionné pour ces questions jusqu’à ses derniers jours et il a consacré plusieurs de ses articles et de ses dernières conférences à les exposer. C’est à cause de cela que Poincaré, comme il a été maître dans la première espèce de physique mathématique, été aussi dans la seconde. L’électrodynamique des corps en repos, après les découvertes de Maxwell et les développements de Hertz, n’a pas présenté de difficultés. Mais celle des corps en mouvement a donné lieu à bien des discussions. Hertz avait proposé une hypothèse spéciale pour passer du cas du repos à celui du mouvement, mais elle a été repoussée par l’expérience. C’est la théorie de Lorentz qui domine maintenant le cas des corps en mouvement. La découverte célèbre de Zeeman a été le plus beau triomphe de conceptions et des hypothèses de Lorentz, car celles-ci faisaient prévoir le dédoublement des raies du spectre dans un champ magnétique et ce résultat a été vérifié par l’expérience que l’on vient de rappeler. La théorie de Lorentz a été la source d’un nouvel ordre de conceptions et de ce que j’ai appelé ci-dessus la mécanique récente de la relativité. En effet une question fondamentale s’est présentée au premier abord. Est-il possible de mettre en évidence le mouvement absolu des corps, ou plutôt leur mouvement relatif à l’éther au moyen des phénomènes optiques ou électromagnétiques ? Si nous voulons préciser davantage on peut se demander : Des phénomènes optiques ou électromagnétiques peuvent-ils servir à déterminer le mouvement absolu de la terre ? Si l’on ne tient compte que de la première puissance de l’aberration, le mouvement de la terre n’a pas d’influence sur les phénomènes qu’on vient de rappeler. L’expérience l’a vérifié et la théorie de Lorentz a parfaitement expliqué ce résultat négatif. Mais une expérience célèbre a été exécutée par MM. Michelson et Morley où l’on pouvait tenir compte aussi des termes dépendant du carré de l’aberration. Cette expérience elle-même, comme il est bien connu, a été négative. Dans un mémoire classique de 1904, Lorentz a montré qu’on pouvait expliquer ce résultat en introduisant l’hypothèse que tous les corps sont assujettis à une contraction dans le sens du mouvement terrestre. Ce mémoire a été le point de départ des recherches ultérieures. Les travaux de Poincaré, d’Einstein et de Minkowski ont suivi de près celui de Lorentz. Poincaré en 1905 a publié un aperçu idées dans les Comptes rendus de l’Académie des sciences. Un mémoire étendu sur le même sujet est paru peu après dans les Rendiconti di Palermo. La pensée fondamentale de tout cet ensemble de recherches est qu’aucune expérience ne peut mettre en évidence le mouvement absolu de la terre. C’est ce qu’on appelle le Postulat de la Relativité. Lorentz avait montré que certaines transformations, auxquelles on a donné son nom, n’altèrent pas les équations d’un milieu électromagnétique. Deux systèmes, l’un immobile, l’autre en translation, sont ainsi l’image exacte l’un de l’autre, de sorte que l’on peut imprimer à tout système un mouvement de translation sans qu’aucun des phénomènes apparents soit modifié. Dans la théorie de Lorentz un électron sphérique en mouvement prend la forme d’un ellipsoïde aplati, deux des axes demeurant constants. Poincaré a trouvé la force spéciale qui explique à la fois la contraction de l’un des axes et la constance des deux autres. C’est une pression extérieure constante agissant sur l’électron déformable et compressible. Le travail de cette force est proportionnel aux variations de volume de l’électron. De cette manière si l’inertie et toutes les forces étaient d’origine électromagnétique, le postulat de la relativité pourrait être établi en pleine rigueur. Mais d’après Lorentz toutes les forces, quelle qu’en soit l’origine, sont affectées par sa transformation de la même manière que les forces électromagnétiques. Quelles sont les modifications à apporter aux lois de la gravitation en vertu de cette hypothèse ? Poincaré trouve que la propagation de la gravitation doit se faire avec la vitesse de la lumière. On pouvait croire, d’après la théorie classique de Laplace, que cela était en contradiction avec les observations astronomiques. Mais ce n’est pas ainsi. Il y a une compensation qui supprime toute contradiction. Poincaré a été ainsi conduit à se proposer et à résoudre la question suivante. Trouver une loi qui satisfait à la condition de Lorentz et se réduit à la loi de Newton lorsque les carrés des vitesses des astres sont négligeables par rap-port au carré de là vitesse de la lumière. Voilà les concepts fondamentaux de Poincaré qui ont frappé dès le premier abord le monde scientifique par leur profondeur et leur intérêt. Dans son mémoire il emploie le principe de la moindre action et la théorie des groupes de transformations, car les transformations de Lorentz forment un groupe au sen où Lie prend ce mot. Il nous suffit d’avoir rappelé ces concepts. Ils ont formé le sujet d’un si grand nombre de travaux scientifiques et de conférences populaires que tout le monde aujourd’hui les connaît et chacun peut en apprécier l’importance. Nous terminerons en parlant des travaux de mécanique de Poincaré. C’est la partie la plus difficile à analyser de son œuvre. Il s’est occupé en effet de presque toutes les branches de la mécanique analytique : des problèmes de stabilité, de la mécanique céleste, de l’hydrodynamique, du potentiel. Le problème des trois corps a fourni le sujet d’un grand nombre de ses recherches devenues célèbres, car elles ont contribué à révolutionner les méthodes classiques. Comme il est bien connu, c’est le mémoire de Poincaré sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique qui a été couronné du prix fondé en 1889 par le roi Oscar de Suède. De grands ouvrages de Poincaré ont suivi ce mémoire : les trois volumes sur les méthodes nouvelles de la mécanique céleste et les leçons professées à la Sorbonne. Enfin le dernier ouvrage didactique de Poincaré a été consacré à la discussion des différentes hypothèses cosmogoniques. Les idées fondamentales qui ont guidé Poincaré dans les problèmes de l’astronomie mathématique ont été la considération des solutions périodiques, l’étude des séries qui donnent les solutions du problème des trois corps, l’introduction des invariants intégraux. Les solutions périodiques du problème des trois corps se présentent lorsque les distances mutuelles sont des fonctions périodiques du temps. Au bout d’une période, les trois corps se retrouvent dans les mêmes conditions initiales relatives, tout le système ayant seule-ment tourné d’un certain angle. Poincaré est amené en considérant les excentricités et les inclinaisons à distinguer trois sortes de ces solutions. Il considère aussi les solutions asymptotiques se rapprochant indéfiniment des solutions périodiques pour des valeurs infiniment grandes positives on négatives du temps. Les études sur les solutions périodiques ont un intérêt théorique très élevé, mais elles ont aussi des applications pratiques considérables. Dès le premier abord on comprend qu’il est infiniment peu probable que, dans un cas pratique quelconque, les conditions initiales du mouvement soient telles qu’elles correspondent à une solution périodique, cependant on peut prendre une de ces solutions comme point de départ d’une série d’approximations successives et étudier ainsi celles qui en diffèrent très peu. Il est bien connu qu’une très belle application de cette méthode a été faite originairement par M. Hill à la théorie de la lune. La question de la divergence des séries de la mécanique céleste a une grande importance. C’est une des questions les plus intéressantes qui se sont présentées dans les mathématiques. Peut-on se servir de séries divergentes et peut-on, au moyen de séries de cette nature, parvenir à des approximations dans des problèmes pratiques ? L’exemple de la série de Stirling fait répondre affirmativement. Des séries de la même sorte se présentent en mécanique céleste. Elles peuvent aussi fournir des approximations suffisantes pour les besoins de la pratique. Voilà ce que Poincaré a remarqué et développé. Le théorème célèbre sur la non-existence d’intégrales uniformes, c’est-à-dire que le problème des trois corps n’a pas d’intégrales uniformes, outre celles déjà connues, est un des résultats les plus frappants de la théorie de Poincaré. Les invariants intégraux jouent un rôle essentiel dans les recherches dont nous parlons. Ce sont des expressions qu’on calcule par des quadratures appliquées aux variables des équations différentielles. Elles demeurent constantes. Ces invariants se rattachent intimement au problème fondamental de la stabilité. Mais il serait impossible de présenter toutes ces théories sous une forme condensée et de les exposer d’une manière succincte et serrée. D’autre part de trop grands développements nous mèneraient trop loin. De même que nous avons fait pour l’ana-lyse et pour la physique mathématique nous allons envisager en mécanique une recherche spéciale de Poincaré qui est capable de nous dévoiler la portée de son génie et sa puissante originalité. Elle se rattache d’un côté à l’hydrodynamique et de l’autre côté aux questions classiques de mécanique céleste, et, comme Sir George Darwin l’a montré, aux théories cosmogoniques les plus intéressantes et les plus modernes. C’est la question de l’équilibre d’une masse fluide en rotation. Elle s’est présentée comme un des premiers problèmes, dès que la théorie de la gravitation a été fondée. Mac Laurin en a donné une solution par les ellipsoïdes de révolution qui est peut-être le plus beau des résultats acquis à la science par ce grand géo-mètre. La solution obtenue par Jacobi à l’aide des ellipsoïdes à trois axes inégaux a été un heureux trait de génie de ce mathématicien illustre. Jacobi a été, en effet, le premier à douter de ce qu’on considérait comme évident a priori, c’est-à-dire que toute figure d’équilibre d’une masse fluide homogène en rotation est symétrique par rapport à l’axe de rotation. Mais les solutions de Mac Laurin et Jacobi ne sont que des solutions particulières du problème général. Il y en a une infinité d’autres. Il faut aussi remarquer que ces solutions ne s’obtiennent pas d’une manière directe. On vérifie que, certaines conditions étant données, des ellipsoïdes satisfont aux lois de l’équilibre. Avant d’arriver aux recherches de Poincaré, il faut rappeler que Thomson et Tait dans leur ouvrage sur la philosophie naturelle avaient reconnu qu’il y a des formes annulaires d’équilibre outre les ellipsoïdes. Ils avaient aussi étudié la stabilité, soit en imposant à la masse fluide certaines conditions, par exemple celle d’être de révolution ou d’être ellipsoïdale, soit en supprimant toute liaison. L’idée féconde dont Poincaré a fait usage est celle des équilibres de bifurcation. Considérons un système dont l’état dépend d’un certain paramètre. Si l’on a par exemple une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, ce paramètre sera la vitesse angulaire de rotation. Supposons que plusieurs états différents d’équilibre du système correspondent à une même valeur du paramètre. Changeons cette valeur. Les configurations ou les figures d’équilibre changent, Il peut arriver qu’en s’approchant d’une certaine limite, deux figures d’équilibre viennent se confondre entre elles. En dépassant la valeur limite, deux cas se présentent. Les figures d’équilibre disparaissent ;. c’est ce qu’on exprime en langage algébrique en disant qu’elles deviennent imaginaires. C’est le premier cas. On dit alors que la forme où se sont confondues les deux figures d’équilibre est une forme limite. Mais il peut arriver qu’en dépassant la valeur limite les deux figures distinctes reparaissent. C’est le second cas. Alors la forme où se sont con-fondues les deux figures d’équilibre s’appelle une forme de bifurcation. Supposons que l’on puisse représenter chaque figure d’équilibre par un point d’un plan dont les coordonnées sont la valeur du paramètre et une variable qui individualise la figure. En faisant varier le paramètre on aura une courbe. Dans le second cas, cette courbe est formée de deux branches qui se croisent en correspondance de la forme de bifurcation. Or Poincaré a établi un théorème de la plus grande importance en envisageant la stabilité des figures correspondant aux différents points des deux branches. Soit O la valeur du paramètre qui se rapporte au point de croisement. Si pour les valeurs négatives du paramètre il y a stabilité sur la première branche et instabilité sur la seconde, ce sera l’inverse pour les valeurs positives du paramètre, c’est-à-dire qu’il y aura instabilité sur la première branche et stabilité sur l’autre. En d’autres termes, il y a échange des stabilités entre les deux branches au moment où elles se croisent. Cette proposition est celle que Poincaré a appelée le théorème de l’échange des stabilités. Appliquons maintenant ces résultats à la question de la rotation des masses fluides homogènes. Supposons que les solutions de Mac Laurin et de Jacobi soient connues. L’axe de rotation est toujours le petit axe de l’ellipsoïde, c’est pourquoi si nous considérons ses rapports avec les autres axes, ils sont plus petits que l’unité. Ces rapports sont égaux pour l’ellipsoïde de Mac Laurin et sont différents pour celui de Jacobi. Si nous prenons rapports comme coordonnées d’un point du plan, chaque ellipsoïde est individualisé par un point, et leur ensemble par une ligne. La bissectrice OA des axes sera la ligne représentative des ellipsoïdes de Mac Laurin. A correspondra à une forme sphérique et par suite à une vitesse angulaire nulle. La ligne BCD représentera les ellipsoïdes de Jacobi. Mais Poincaré a trouvé des nouvelles figures d’équilibre qu’on obtient en déformant ces ellipsoïdes. On en calcule la forme exacte par les fonctions de Lamé. Les plus simples ont la forme d’une poire. L’on démontre qu’il existe une infinité d’ellipsoïdes de Mac Laurin correspondant aux points de la droite CO tels qu’une figure de Poincaré infiniment voisine soit aussi une figure d’équilibre. De même il existe une infinité de points M, M1, M2,… M’, M’1, M’2… de la courbe tels qu’une figure de Poincaré voisine soit aussi une figure d’équilibre. Examinons maintenant la stabilité. Les ellipsoïdes de Mac Laurin sont stables dans la partie AC et instables de C en O. Les ellipsoïdes de Jacobi sont stables depuis C jusqu’au premier point M ou M’où l’on rencontre pour la première fois une figure de Poincaré : instables après avoir dépassé les points M et M’. Cela posé, venons à une application de cette théorie. J’emprunte les mots à Poincaré même. « Considérons une masse fluide homogène animée originairement d’un mouvement de rotation et se refroidissant lentement. Si le refroidissement est assez lent, le frottement interne détermine la révolution de l’ensemble dans toutes ses parties avec la même vitesse angulaire. Le moment de rotation demeurera d’ailleurs constant. Au début, la densité étant très faible, la figure de la masse est un ellipsoïde de révolution peu différent d’une sphère. Le refroidissement a d’abord pour effet d’augmenter l’aplatissement de l’ellipsoïde qui restera cependant de révolution. Le point représentatif décrira la portion de droite AC qui correspond aux ellipsoïdes de Mac Laurin, et cela jusqu’en C où les ellipsoïdes de Mac Laurin cessent d’être stables. Le point représentatif ne pouvant pas prendre le chemin CO, prendra alors, par exemple, la direction CM ; l’ellipsoïde deviendra à trois axes inégaux, et cela jusqu.en M où les ellipsoïdes de Jacobi cessent d’être stables. A partir de là, la masse ne peut plus conserver la forme ellipsoïdale puisque celle-ci est devenue instable ; elle prendra alors la seule forme possible, celle de la surface voisine de l’ellipsoïde. Cette surface présente une figure piriforme, offrant comme un étranglement dans la région marquée 3, tandis que les régions 2 et 4 tendent à se renfler aux dépens des régions 1 et 3, comme si la masse cherchait à se diviser en deux masses inégales. « Il est difficile d’annoncer ce qui arrivera ensuite. On peut penser que la masse ira en se creusant de plus en plus dans la région 3 et finira par se partager en deux corps isolés. » Les résultats que nous venons de présenter sont d’une extrême élégance et d’un grand intérêt. Sir George Darwin a pensé que le processus que nous avons suivi peut avoir joué un rôle dans l’évolution des systèmes célestes, et cette théorie semble se confirmer d’après les formes observées dans beaucoup de nébuleuses. Certains satellites ont pu se former de cette façon aux dépens de leur planète. Cela aurait pu arriver notamment pour le système terre-lune dans lequel les grandeurs des deux masses sont comparables. Par ces vues grandioses où les théories les plus subtiles et les plus ingénieuses de la mécanique se fondent aux hypothèses les plus hardies de la cosmogonie, nous terminons l’analyse des travaux de Poincaré. Je n’ai pu donner qu’une idée incomplète de l’œuvre immense qu’il a accomplie, des problèmes qu’il a traités et qu’il faudra approfondir, des domaines qu’il a découverts, où plusieurs générations de mathématiciens auront à travailler. Ses travaux ne font que pousser à de nouveaux travaux. C’est la destinée des œuvres des grands génies. Ils ont donné la clef pour résoudre des problèmes et ont satisfait la curiosité scientifique en dévoilant des secrets de la nature, mais ils n’ont fait au fond qu’augmenter cette curiosité en ouvrant des horizons nouveaux et en éloignant le but des aspirations scientifiques.