Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 10/QUESTIONS PROPOSÉES/Par combien de systèmes de valeurs de x et y peut-on

Par combien de systèmes de valeurs de x et y peut-on…

Annales de mathématiques pures et appliquées, 10, 1820 (p. 388).

QUESTIONS PROPOSÉES.

Problème d’analise indéterminée.

Par combien de systèmes de valeurs de $x$ et $y$ peut-on rendre la fonction ${\frac {xy}{x+y}}$ égale au nombre entier $N=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ dans lequel $a,b,c,\ldots$ sont des nombres premiers inégaux, différens de l’unité ?

Problème d’analise transcendante.

On propose de démontrer la série suivante :

${\frac {1}{\varpi }}={\frac {1}{4}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{4}}+{\frac {1}{8}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{8}}+{\frac {1}{16}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{16}}+{\frac {1}{32}}\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{32}}+\ldots ,$

laquelle tend sans cesse à devenir une progression géométrique décroissante ayant pour raison ${\frac {1}{4}}\,?$