Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 15

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 78-79).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ίεʹ.	PROPOSITIO XV.
Ἐὰν δύο εὐθεῖχι τέμνωσιν αλλήλας, τὰς κατὰ πορυφὖν ᾳωνἰαςʼισας αλλήλαις ποιησουσὶς	Si duz recte sese secent, ad verticem angulos equales inter se facient.

Δυο γαρ εὐϑεῖαι αἱ ΑΒ. ΤΔ τεμνέτωσαν αλ- λήλας κατὰ τὸ Ἐ σημεῖον" λέγω ὅτι ἰσὴ Ἔστὶν ἢ. μὲν ὑπὸ ΑἘΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ. ἅ] δὲ υπὸ ΓΕΒ τᾗ’ ὑπὸ ΑἘΔ.

Due enim recte AB, TA sese secent in E puncto ; dico aequalem esse « juidem AET an- gulum ipsi AEB, , TʼEB vero ipsi AEA.

Ἐπεὶ γαρ εὐθεῖα ἥ ΔΑΕ ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΤΓΔ εφῦοʼτῃγέ, γωνιοις σγοιοῦσα ’τοις υπὸ ΓΕΑ ΑἘΕΔ" αἱ αρα ὑπὸ ΤΈΑ 9 ΑΕΔ ʼγωνιοω δυσὶν ὀρθαῖς 1 ἴσαι εἰσί. Πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖα ἣ ΔῈ ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε. ’γωνιας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ ΑἘΔ. ΔΕΒ" αἱ ο’ι’ροι ὑπὸ ΔΕΔ. ΔΕΒ γωνίαι δυσὶν ὗρθαΐς ἴσαι εἰσίν. Ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΤΕΑ, ΑΕΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΕΑ. ΑΕΔ ταῖς ὑπὸ ΔΕΔ. ΔΕΒ ἴσαι εἰσί. Κοινὴ ἀφηρήσθω ἣ ὑπὸ ΑΕΔ. λοιπὴ αροι ἡ ὑπὸ ΤΈΑ λοιπῃ τςι ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν. Ομοίως δὴ δειχθήσεται. ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΤῈΒ. ΔΕΑ ἴσαι εἰσίν. Ἐὰν ἄρα δύο, καὶ τὰ εξῆς

Quoniam enim recta AE in rectam LʼA in- sistit angulos faciens TEA, AEA ; ipsi TEA, AEA anguli duobus rectis equales sunt. Rursus, quoniam recta : AE in rectam AB insistit, angulos faciens AEA, AEB ; ipsi AEA, AEB anguli duobus rectis zquales sunt, Ostensi sunt aulem et lʼEA, AEA duobus rectis zquales ; ergo TEA, AEA ipsis AEA, AEB cquales sunt. Communis auferatur AEA, reliquus igitur TEA reliquo BEA zqualis est. Similiter autem os- tendemus e TEB, AEA esse equales. $i igitur, duo, etc.

PROPOSITION XV.

Si deux droites se coupent mutuellement, elles font les angles au sommet égaux entre eux. |

Que les droites AB, TA se coupent mutuellement au point E ; je dis que l’angle AEr est égal à l’angle 4ëB, et lʼangle TEB égal à l’angle AFA : Car puisque la droite AE est placée sur la droite TA, faisant les angles TEA, AEA, les angles TEA, AEA sont égaux à deux droits. De plus puisque a droite AE est placée sur la droite AB, faisant les angles AEA, AEB, les angles AFA, AEB sont égaux à deux droits. Mais on a démontré que les angles TEA, AEA sont égaux à deux droits ; donc les angles TEA, AEA sont égaux aux angles AEA, AEB. Retranchons l’angle commun AEA ; lʼangle restant TEA sera égal à l’angle restant BEA. On démontrera semblablement que les angles TEB, AFA Sont égaux. Donc, etc.