Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 1/Proposition 16

Euclide

Les Éléments - Livre 1

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 79-81).

ΠΡΟΤΆΣΙΣ ις.	PROPOSITIO XVI.
Παντὸς τριγῶνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκθλη- θεἰσης ᾽9 ἢ ἐκτὸς γωνία ἐκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γωνιῶν " μείζων ἐστίν.	Omnis trianguli uno laterum producto, exte- rior angulus utroque interiorum et oppositorum angulorum major est.
Ἐστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ προσεπξεξλήσθω αὐτοῦ μία -ʼπλευροἰ ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Δʼ λέγω ὁτι	Sit triangulum ABD, et producatur ipsius unum latus Blʼ ad A5 ; dico exteriorem angulum
ἡ ἐκτὸς γωνία, ἡ ὑπὸ ΑΓΔ. μείζων ἐστὶν ἐκα- τερᾶς τῶν ἐντὸς καὶ ἀἸΓΕΨΑΥΤΙΟΥ, πῶὼν ὑπὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶν.	ATʼA majorem esse utroque interiorum et opposi- torum TBA, BATʼ angulorum.
Ἰετμήσθω ἡ ΑΙ δῖχα κατὰ τὸ Ἐ. καὶ ἐπι- ζευχθεῖσα ἡ ΒῈ ἐκ εξλήσθω ἐπ᾿ εὐθείας ἐπὶ τὸ Z καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ἘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω 3 ZΤ, καὶ διήχθω ἡ ΑΤ ἐπὶ τὸ Η.	Secetur AT bifariam in E, et juncta BE producatur in directum ad Z, et ponatur ipsi BE equalis EZ, et jungatur ZP, et producatur AT ad H,

Ἐπεὶ οὖν ἴσὴ ἐστὶν ἡ μὲν ΔῈ τῇ ΕΓ ; ἢ δῈ ΒΕ τῇ ΕΖ. δὺο δὴ αἱ ΑἙ, ἘΒ δυσὶ ταῖς ΤῈ. ἘΖ ἴσαι εἰσὶν. , ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνίῶ Ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΓ ἰσὴ ἐστὶ. κατὰ κορυφῆν γάρ" βάσις ἄρα ἥ ΑΒ βάσει τῇ 2Γ ἰσὴ ἐστιί. -καὶ τὸ ΑΒῈ τρίγωνον τῷ ΖῈΙ τριγῶνῷῳ ΕΠὄτΤιν ἐσῸν 5 καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσὶν. ἐκατέρα ἐκατερᾷ. υῷ ἂς αἱ ἰσαι σλευραὶ ὑποτείνουσιν" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑῈ τῇ ὑπὸ ΕΓΖ. Μείζων δὲ ἐστιν ἡ ὑπὸ ἘΓΔ τῆς ὑπὸ ἘΓΖ’

Quoniam igitur zqualis est quidem AE ipsi ECT, BE vero ipsi EZ, due AE, EB duabus TE, EZ » quales sunt, utraque utrique, et an- gulus AEB angulo ZET equals est, ad verti- cem enim est ; basis igitur AB basi ZTʼ : qualis est, et ABE triangulàm ZETʼ triangulo aequale est, et reliqui anguli reliquis angulis equales sunt, uterque utrique, quos aequalia latera subtendunt ; equalis igitur est BAE ipsi ETZ. Major autem est ELTA ipso ETZ ; major est

μείζων ἄρα ἢ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ. Ομοιως δὲ, τῆς ΒΓ τετμπμῦνπς ἓιγοι δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΙΓΗ. τουτέστιν ἥ ὑπὸ ΑΙΔ. μειζων καὶ τὴς. ὑπὸ ΑΒΓ. Παντὸς ἄρα, καὶ τὰ ἐξῆς.

igitur ATA 1pso BAE. Similiter autem, BIʼ sectá bifariam, ostendetur et BPFH, hoc est ATA, major et ipso ABT. Omnis igitur, etc.

PROPOSITION XVI.

Ayant prolongé un côté d’un triangle quelconque, l’angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.

Soit le triangle ABr, prolongeons le côte Br vers A ; je dis que langle extérieur ArA est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés TBA, BAT.

Partageons la droite AT en deux parties égales en E (10) ; et ayant joint la droite BE, prolongeons-la vers Z, faisons EZ égal à BE (3) , joignons la droite zr, et prolongeons AT vers H.

Puisque 4E est égal à Er, et BE égal à EZ, les deux droites AE, EB sont égales aux deux droites TE, EZ, chacune à chacune ; mais l’angle ABB est égal à l’angle ZEr (15) , puisquʼils sont au sommet ; donc la base AB est égale à la base zr (4) ; le triangle ABE est égal au triangle ZEr, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, sont égaux chacun à chacun ; donc l’angle BAE est égal à l’angle Erz (not. 9) ; mais l’angle ErA est plus grand que l’angle Erz ; donc l’angle ArA est plus grand que l’angle BAE. Si on partage le côté Br en deux parties égales, on démontrera semblablement que l’angle BrH, c’est-à-dire ArA, est plus grand que lʼangle ΑΒΓ. Donc, etc.