Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 11
C. F. Patris, (1, p. 159-161).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιαʹ. | PROPOSITIO XI. |
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Τὴν δυθείσων εὐθεῖαν τεμεῖν, ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ἑλῆς καὶ τοῦ ΕΤἔΡαΟ τῶν τμπμ ἵτῶν ʼπεριε ; γο- βέενον ο͵ ςθο“͵ων : ον ἰσον εἰναι τῷ ἄπο τοῦ λοιποῦ τμᾗματος τετραγὧνω. |
Datam rectam secare, ita ut sub totá et al- tero segmentorum coutentum rectangulum æquale sit ipsi ex reliquo segmento quadrato. |
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Ἑστὼω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ὶ ΑΒ" δὲῖ δὴ τεμων, ωσʼτε τὸ υπο τῆς ολῆς παὶ τοῦυ ἐτέρου τῶν τρήῆματων περιεχομενον ορθογωνιον ινον ἰνα. τῷ ἄπο τὸῦ ληίπου τμήματος τετραγῶνῷ. |
Sit data recta AB ; oportet 1gitàr ipsam AB se- care, 1ta ul sub totà et altero segmentorum con- lentum rectangulum « quale sit ipsi ex reliquo segmento quadrato. |
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Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΙ, καὶ τετμήσθω ἢ ΑΤ δίχα κατὰ τὸ Ἑ σημεῖον, καὶ ὑπεζεύχθω ἡ ΒΕ. καὶ διήχθω ἡ ΤΑ ἐπὶ τὸ 2. καὶ κείσθω τῇ ΒῈ ἰσὴ ἡ ΕΖ, καὶ ἀνα- γεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ. καὶ |
Describatur enim ex AB quadratum ABAT, et secetur ATʼ bifariam 1n E puncto, ct jungatur BE, et producatur lʼÀ in Z, et ponatur ipsi BE equalis EZ, et describatur ex AZ quadratum ZO, et producatur HO ad K ; dico AB sectam
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διηχθω ἡ ἨΘ ἐπὶ τὸ ΚΚʼ λέγω ὁτι ἡ ΑΒ τέτμηται κατο τὸ Θ. ὠστὲ τὸ υὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΘ ’περιεχο’- μένον ορθογῶνεον ἐσὸν “τόμειν τῷ απὸ τῆς ΑΘ τετραγῶνῷ. |
esse in O, ita ut sub AB, BO contentum rcectan. gulum æquale faciat ipsi ex AO quadrato. |
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Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΤʼ τέτμητωι δίχω κατὰ τὸ Ἐ- πρόσχείται δὲ αυτῇ ἡ ΑΖ2" τὸ ἀρα ὑπὸ τῶν, ΓΖ, ΖΑ περιέχοίμενον ὀρθογωνιον μετῶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑἙῈ τετραγῴνου ἔσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἘΖ |
Quoniam enim recta AT secatur bifariam in E, adjicitur autem ci ipsa AZ ; ergo sub IZ, ZA contentum rectangulum cum ex AE qua- drato aequale est ipsi ex EZ quadrato. JÉqua- |
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τετραγῶνῳ, Ἰσὴ δὲ ἡ ΕΖ, τῇ ἘΒʼ τὸ ἄρο ; ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔῈ τετραγὧνου ἵσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἘΒ τετραγώνῳλ, Αλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς" ἘΒ ἔσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΕ, ὗρθᾖ γοἶρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία" τὸ ο’ἔρα ὑπὸ τῶν ΓΖ. ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΕ. Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ᾿ λοιπὸν ἀρα τὸ ὑπὸ τῶν ΤΖ, ΖΑ περιεχόμενον ορθογνμονΈ ἔσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Τῆς ΑΒ τετραγώνῷ. Καὶ ἐστί τὸ μιὲν υπὸ τῶν ἴΖ5 ΖΑ |
lis autem EZ ipsi EB ; ergo sub TZ, ZA con- lentum rectangulum cum ex AE quadrato z- quale est ipsi ex EB quadrato. Sed ipsi ex EB zqualia suntipsa ex BA, AE, rectus enim est ad A angulus ; ipsum igitur sub lʼZ, ZA cum ipso ex AE equale est ipsis ex BA, AE. Commune aufera- tur ipsum ex AE ; rcliquum igitur sub TZ, ZA contentum rectangulum. : equale est ipsi ex AB quadrato. Et est ipsum quidem sub TZ, ZA ip- sum ZK, equalis enum est AZ 1psi ZH ; ipsum
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τὸ ZΚ, ἴσὴ γὰρ ἡ ΑΖ τῇ 2Η τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ τὸ ΑΔʼ τὸ ἄρα 2Κ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. Κοινὸν ἀφ- ηρήσθω τὸ ΑΚ᾿ λοιπὸν ἄρα τὸ 26 τῷ ΘΔ ἴσον ἐστί. Καὶ ἔστι τὸ μὲν ΖΘ τὸ ἀπὸ τὴς ΑΘʼ τὸ δὲ ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΘ" τὸ ἆἶρσι ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΕΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆςῦ ΘΑ πτῤοιγὤνῳ. |
vero ex AD ipsum A4 ; ipsum igitur ZK aequale est ipsi AA. Commune auferatur AK ; reliquum igitur ZO ipsi OA zquale est. Et est quidem Zo ipsum ex A9 ; ipsum vero OA ipsum sub AB, BO ; ipsum 1gitur sub AB, BO contentum rec- taugulum aequale est psi ex OA qu adrato. |
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Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ. ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΛΒ, ΒΘ περμεέχόμενον ὀρθογωνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγῶνῳ. Οπερ ἐδει πιοίῆσαι. |
Ergo data recta AB secla est in O, ita ut ipsum sub AB, B9 contentum rcctangulum zquale fa- ciat ipsi ex ΘA quadrato. Quod oportebat facerc. |
Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l’un des segments, soit égal au quarré du segment restant.
Soit AB la droite donnée ; il faut couper AB de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l’un des segments, soit égal au quarré du segment restant.
Avec la droite 4B décrivons le quarré ABAT {46. 1) ; coupons AT en deux parties égales au point E (10. 1) ; joignons BE, prolongeons rA vers Z ; faisons EZ égal à BE (3. 1) ; décrivons avec 4z le quarré Z® ; et prolongeons H© vers Kk ; je dis que la droite AB est coupée en Θ, de manière que le rectangle compris sous AB, BΘ est égal au quarré de 40.
Puisque la droite AT est coupée en deux parties égales en E, que AZ lui est ajoutée ; le rectangle compris sous les droites rz, ZA avec le quarré de AE est égal au quarré dé Ez (6. 2) . Mais Ez est égal à EB ; donc le rectangle compris sous TZ, ZA avec le quarré de AE, est égal au quarré de EB. Mais les quarrés des droites B4, AE sont égaux au quarré de EB (47. 1) , car lʼangle en A est droit ; donc le rectangle sous TZ, ZA avec le quarré de 4E est égal aux quarrés des droites BA, AE, Retranchons le quarré commun de AE ; le rectangle restant compris sous TZ, ZA sera égal au quarré de 48. Mais le rectangle sous les droites rZ, ZA est le rectangle ZK, parce que AZ est égal à ZH, et le quarré de AB est le quarré 44 ; donc le rectangle ZK est égal au quarré AA. Retranchons le rectangle commun AK ; le quarré restant Ze sera égal au rectangle ΘΔ. Mais z® est le quarré de 40, et Θ4 est, le rectangle sous AB, BΘ ; donc le rectangle compris sous AB, BΘ est égal au quarré de ΘA.
Donc la droite AB est coupée Θ, de manière que le rectangle compris sous AB, BΘ est égal au quarré de ΘA ; ce qu’il fallait faire.