Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 12

Euclide

Les Éléments - Livre 2

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 161-163).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβʹ.	PROPOSITIO XII.
Ἐν τοῖς ἀμξλυγωνίοις τρίγῶνοις τὸ απὸ τὴς τὴν ἀμίξλείαν γωνίαν ὑποτεινουσῆς πλευρὰς τε- τραγῶνον μειζον ἐστι Των εοὗὺ Τῶὼν τὴῆν ὧἂμ λείῶν γῶνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγωνῶν. τῷ σπτεριεγομέγῳ δὲς ὕπὸ τε μιοις τῶν ʼπερι τὴν ἀμ- ἔλεῖαν γωιίαν ἐῷ᾽ ἣν εκξληθεῦσαν ! ἡ καθέτος σπίπτει. καὶ τῆς « απολαμξανομενης ἔπτος ὑπὸ τῆς καύϑετου πρὸς τῇ αμζλειᾳ γῶν ! ῷ.	In obtnsangulis triangulis quadratum ex la- lere obtusiun. angelum subtendente majus est quam quadrata ex lateribus obtusum angulum conünenlibus, contento bis sub uno ipsorum circa. obtusum angulum in quod productum perpendicularis cadit, et assumptá extra a per- pendiculari ad obtusum angulum.
Ἔστω ἀμέλυγωνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀμόλεῖαν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΤ γωνίαν". , καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημεῖου ἐπὶ τὴν ΤᾺ εκόληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ’ λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΤ τετράγῶνον μεῖζον ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ. ΑΓ τετραγωνωνʼ. τῷ δὶς ὑπὸ » ῸὉ, ’ τῶν ΓΑ. ΑΔ περμέχομένῳ ορθογωνίῳ.	Sit obtusangulum triangulum AB ? obtusum habens BAT angulum, et ducatur a B puncto ad LIA productam perpendicularis BA ; dico ex BI quadratum majus esse quam ex BA, AT quadrata, 1pso bis sub lʼA, AA contento rec- taugule.
Ἐπεὶ γὰρ εὐϑεῖα ἡΤΔ τετμήῆται ὡς ἐτυχὲ κατὰ ΤΟᾺΑ σημείον" τὸ ἀρὰα ἀπὸ τῆς ΤΔ Ισὸν ἐστιί τοίς ἀπὸ τῶν ΤΑ. ΑΔ τετραγῶώνγοις καὶ Τῷ δὶς ὑπὸ	Quoniam enimrecta TʼAÀ secatur utcunque in A puncto ; ipsumigitur ex ʼA quale est ipsis ex PA, AA quadraüs, et ipsi bis sub TA, AA contento

πῶν ΤΑ ΑΔ περιἐχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Κοινὸν προσπείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒʼ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ. ΔΒ ἔσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περίεχο- μένῳ ὑρθογωνίῳ", Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΤΒ. ὗρθὖ γαἶρ ἣ στρὄς τῶι Δ γωνία" τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἔγσον" τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒʼ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΤΒ τετρἑγωνονδ ἔσον ἐστι τοῖς τε σπο Τ ΓΑ, ΑΒ τετραγωνοις καὶ τῷ

rectangulo. Commune addatur ipsum ex AB ; ipsa igitur ex DA, AB : equalia sunt 1psis ex ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ quadratis et ipsi bissub lʼA, AA contento rectangulo. Sed ipsis quidem ex lʼA, AB equale est ipsum ex FB, rectus enim est ad A angulus ; ipsis vero ex AA, AB cquale est ipsum ex AB ; ergo ex DB quadratum equale est ipsis ex ʼA, AB quadratis et ipsi bis sub TA, AA contento rectan- gulo ; quare ex ʼBquadratum quam ipsa ex IʼA, AB

δις ὑπὸ τῶνΤΆ. ΑΔ περμεχομεένῳ ὀρθογωνίῳ" ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΤΒ τέτραγωνγον τῶν ἀπὸ τῶν ΤΑ 9 ΔΒ τετραγῶνων μεῖζον ἐστι. τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΤΑ. ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἐν ἄρα τοῆς αμξλυγωνίοις, καὶ τὰ εξῆς.

quadrata majus est, ipso bis sub TÀ, AA con- tento rectangulo. In obtusangulis igitur, etc.

PROPOSITION XII.

Dans les triangles obtusangles, le quarré du côté qui soutend lʼangle obtus est plus grand que les quarrés des côtés qui comprènent lʼangle obtus, de deux fois le rectangle compris sous celui des côtés de l’angle obtus sur le prolongement duquel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise extérieurement de la perpendiculaire à lʼangle obtus. Soit le triangle obtusangle ABr, ayant lʼangle B4r obtus ; du point B conduisons BA perpendiculaire sur TA prolongé ; je dis que le quarré de Br est plus grand que les quarrés des côtés BA, AT, de deux fois le rectangle compris sous TA, AA.

Car puisque la droite rA est coupée d’une manière quelconque au point 4, le quarré de rA est égal aux quarrés des droites rA, Aa, et à deux fois le rectangle compris sous TA, AA (4. 2) . Ajoutons le quarré commun de 48 ; les quarrés de TA, AB Seront égaux aux quarrés des droites ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, et à deux fois le rectangle compris sous TA, AA. Mais le quarré de re est égal aux quarrés des droites ΓA, 4B (47. ) car l’angle en 4 est droit, et le quarré de AB est égal aux quarrés des droites ΑΔ, ΔΒ ; donc le quarré de rB est égal aux quarrés des droites rA, 4B, et à deux fois le rectangle compris sous rA, 44 ; donc le quarré de 18 est plus grand que les quarrés des droites rA, AB de deux fois le rectangle sous rA, AA. Donc, etc.