Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 2

Euclide

Les Éléments - Livre 2

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 135-136).

ΠΡΟΤΎΑΣΙΣ β.	PROPOSITIO II.
Ἐὰν εὐθεία γραμμὴ Ὑμηθη ὡς ετυχε, τὰ ὑποτῆς ὁλῆς καὶ ξπαπρου τῶν τμημώτων περέ- ἐχόμενωα ὀρθογώνια ἐσὰ 3 ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς" ολῆς τετραγῶώνῳ.	Si recta linea secetur utcunque, ipsa sub totá et utroque segmentorum contenta rectangula equalia sunt ipsi ex totá quadrato.
Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ τετμήσθδω ὡς ἐτύχε κατὰ περιεχόμενον ὀρθογῶνεον, μετὰ τοῦ υπτὸ ΤΩΡΊΒΑ, ἐρέεχομενου ὀρθογωνίου χ ἐσὸν ἐστ᾿ὶ τῷ ὥπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῷο	Recta enim 4B secetur utcunque in Iʼ puncto ; dico ipsum sub AB, BT contentum rectangu- jum, cum ipso sub BA, AT contento rectan- gulo, æquale esse ipsi ex 49 quadrato.
Αναγεγρώφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ. καὶ ἤχθω διὰ τοῦ ὖ’ποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΕ ʼπαροἱλλυλὁς ἥἡ ΓΖ.	Describatur enim. ex AP quadratum AAEB ; et : ducatur per P alterutri Ipsarum AΔ, BE parallela ΓΖ.

Iσὸον δή ἐστι5 τὸ ΑE τοῖς ΑΖ, ΓῈ" καὶ ἔστι τὸ μὲν ΑἙ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνογ" τὸ δὲ ΑΖ τὸ υπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ περιεχοίενοῦ ὄρθοὤνιον περιέχεται μὲν γαρ ὑπὸ τῶν ΔΑ. ΑΤ᾿ ἰσὴ δὲ ἢ ΑΔ τῇ ΑΒʼ τὸ δὲ ΤῈ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ, ἰσὴ γαρ ὴ ΒΕ τῇ ΑΒ" τὸ ἀρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ, μετά τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀῆήὸ τῆς ΑΒ τιτράγωνῷ, Ἐὰν ἀρὰ εὐθεῖα. καὶ τὰ εξῆς.

A : quale utique est AE ipsis AZ, TÉ ; et est quidem. AE ipsum ex AL quadratum, AZ vero ipsum sub 8A, AT" conténtum rectan- gulum, continetur etenim sub AA, AT, equalis autem AA ipsi AB ; TlʼE vero ipsum sub AB, BT, equalis enini BE ipsi AB ; ipsum igitur sub BA, AT, cum ipso sub AB, BD, cquale est ipsi cx AD quadrato. Si igitur recta, etc.

PROPOSITION II.

Si une ligne droite est coupée à volonté, les rectangles contenus sous la droite entière et sous l’un et lʼautre segment, sont égaux au quarré de la droite entière.

Que la droite AB soit coupée à volonté en un point r ; je dis que le rectangle contenu sous AB, BT, avec le rectangle contenu sous AB, AT, est égal au quarré de AB. Avec AB décrivons le quarré AAEB (46. 1) , et par le point Fr conduisons r2z parallèle à l’une ou à l’autre des droites 44, BE (31. 1) .

Le quarré AE est égal aux rectangles AZ, TE ; mais 4E est le quarré de 48, Az est le rectangle contenu sous BA ; AT, puisquʼil ést contenu sous A4, AT, et que AA est égal à AB ; . et TE est le rectangle contenu sous AB, Br ; puisque BE est égal à 4B ; donc le rectangle sous BA, AT, avec le rectangle sous AB, Br, est égal au quarré de 4B. Donc, etc.