Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 6
C. F. Patris, (1, p. 145-147).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ϛʹ. | PROPOSITIO VI. |
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Ἐὰν εὐθεῖα γραμμπ τμηθῇ ὢχοι, προστεθξἷ δὲ τις αὐτῇ ευθειω ἐπὶ εὐθείας" τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης περιε- χόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετρωγῶνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ, μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγωνῳ΄. |
Si recta linea secetur bifariam, adjiciatur autem aliqua ipsi recta in directum ; ipsum sub totá cum adJectá, et sub adjectá contentum pa-rallelogrammum cum ipso ex dimidià quadrato equale est ipsi ex compositá ex dimidiá et ad- jectà tanquam ex unà descripto quadrato. |
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Εὐϑεῖα γάρ τις ἤ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Τ σημεῖον. προσκείσθω δὲ τις αὐτῇ εὐθεῖα |
Recta enim aliqua AB secetur bifariam ad T punctum, adjiciatur autem aliqua ipsi recta in |
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ἐπ εὐθείας ἡ ΒΔ λέγω ὁτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογωνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ πῆς ΤΒ τετραγωῶνοῦυ ἰσὸν ἐστί τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετρᾶγωνῷ. |
directum BÀ ; dico ipsum sub AAʼ, AB conten- tum rectangulum cum ipso ex IʼB quadrato æquale esse ipsi ex ΓΔ quadrato.
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Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον τὸ ΓΕΖΔ. καὶ ἐπεζεύχθω καὶ ΔῈ. καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὑποτέρᾳ τῶν ΤῈ Δ2 παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ᾽ δυὰ δὲ τοῦ Θ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ. , ΕΖ ’παρ : ἱλλπλος ἷι’χθω ἡ ΚΜ’ καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὑποτέρᾳ τῶν ΤΛ, ΔΜ παράλληλος ἤχϑω ἡ ΑΚ. |
Describatur enum ex FA quadratum TEZA, et jungatum AE, et per B quidem punctum 4. terutri ipsarum TlʼE, AZ parallela ducatur 3n ; per 9 vero punctum alterutr1 ipsarum AA, zz parallela ducatur KM ; et adhuc per A alterutrj ipsarum TʼA, AM parallela ducatur AK. |
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Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐφτὶν" ἡ ΑΥ τῇ Β. ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ Αλ τῷ ΤΘ. Αλλὰὔ τὸ ΓΘ ἄρα τῷ 6Ζ ἔσον ἐστί" καὶ τὸ ΛΑ ἄρα τῷ ΘΖ ἐστὶν ἴσονῇ, Κοινὸν προσπεἷσθω τὸ ΤΜ" ὑλον ἐἔροι τὸ ΑΜ τῷ ΝΞῸ γνώμωνί ἐστιν ἴσον. Αλλὰ τὸ ΑΜ ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ. ΔΒ. ἴση γάρ ἐδστιν ἡ ΔΜ τῇ ΔΒ" καὶ ὃ ΝΞO ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὗρθογωνἱῳὄ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τὴς ΤΒ τετραγώνῳ" τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογῶνιον ετά τοῦ απὸ τῆς ΤΒ τετραγῶνου ἰσὸν ἐστί τῷ |
Quoniam igitur 2qualis est AT ipsi FB, a- quale est et AA ipsi TO. Sed TʼO ipsi OZ æquale est ; et AA igitur ipsl OZ est z : quale. Commune addatur PM ; totum igitur AM ipsi ΝΞO guomoni est equale. Sed AM est ipsum sub AA, AB, z. qualis enim est AM ipsi AB ; et igitur NzO gno- mon equalis est ipsi sub AA, AB contento rectan- gulo. Commune addatur AH, quod cst : equale ipsi ex B quadrato ; ipsum igitur sub ΑΔ, ΔΒ conten- tum rectangulum cum ex IʼB quadrato æquale est ipsi ΝΞO gnomoni et ipsi AH. Sed ΝΞO gno-
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ΞΟ γνῶώμονι καὶ τᾷ ΔΗ, Αλλὰ ὁ ΝΞΟ γνω- μῶὼν καὶ τὸ ΛΗ ὁλον ἐστί τὸ ΓEΖΔ τετραγῶνον, ὁέστιν ἀπὸ τὴς ΤΔʼ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περεεχόμενον οΡθογωμον μέτα τὸυ απὸ τῆς ΤΒ τετραγωνου ἐσὸν ἐστί τῷ απτὸ τῆς ΓᾺΔ τετράγωνῳς Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα, , καὶ τῷ εξῆς. |
mon et AH totum sunt lʼEZA quadratum, quod est ex lʼÀ ; ergo sub AA, AB contentum rec-. tangulum cum ex TʼB quadrato equale est ipsi ex IʼA quadrato. Si igitur recta, etc. |
Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le rectangle compris sous la droite entière avec la droite ajoutée, et sous la droite ajoutée, avec le quarré de la moitié de la droite entière, est égal au quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.
Qu’une ligne droite AB soit coupée en deux parties égales au point Tr ; qu’on lui ajoute directement une autre droite BA ; je dis que le rectangle compris Sous ΑΔ, ΔΒ, avec le quarré de TB, est égal au quarré de ΓΔ. Avec la droite ΓΔ décrivons le quarré ΓEZΔ (46. 1) ; joignons AE ; par le point B conduisons BH parallèle à l’une ou à l’autre des droites TE, 4Z (31. 1) ; par le point ©, conduisons KM parallèle à l’une ou à l’autre des droites AA, Ez, et enfin par le point A conduisons AK parallèle à lʼune ou à l’autre des droites TA, AM.
Puisque AT est égal à rB, le rectangle AA est égal au rectangle re (36. 1) . Mais le rectangle TΘ est égal au rectangle Θz (45. 1) ; douc le rectangle AA est égal au rectangle Θz ; ajoutons le rectangle commun rM, le rectangle entier AM sera égal au gnomon ΝΞO. Mais AM est le rectangle sous ΑΔ, ΔΒ, car ΔM est égal à AB (4. 2) ; donc le gnomon ΝΞO est égal au rectangle compris sous ΑΔ, ΔΒ. Ajoutons le quarré AH qui est égal au quarré de rB, le rectangle compris sous ΑΔ, ΔΒ avec le quarré de TB sera égal au gnomon ΝΞO et au quarré ΛH. Mais le gnomon ΝΞΟ, et le quarré AH sont le quarré entier rEZA, qui est le quarré de ΓΔ ; donc le rectangle compris sous AΔ, ΔB avec le quarré de TB est égal au quarré de ΓΔ. Donc, etc.