Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 7

Euclide

Les Éléments - Livre 2

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 147-149).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζʹ.	PROPOSITIO VII.
Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηϑῇ ὡς ἔτυχε. τὸ ἀπὸ τῆς ὑλῆς καὶ τὸ ἀφ᾽ ἑνὸς τῶν τμημάτων. τὰ συναμφότερα τετράγωνα. ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὴς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περι- ἐχομένῳ δρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγῶνῷ.	Si recta linea secetur utcunque, ipsa ex totá ct ex uno segmentorum, simul sumpta quadrata equalia sunt et ipsi bis sub totà et dicto segmento contento rectangulo, et ipsi ex reli- quo segmento quadrato.
Εὐθεῖα γάώρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω ὡς ἔτυχε κατὰα τὸ Γ σημεῖον" λέγω ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ,	Becta enim aliqua AB secta sit utcunque in Γ puncto ; dico ex AB, BT quadrata zqualia

ΒΓ τετράγωνα ἰσὰα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΤΑ τετραγώνῳ.	esse et ipsi bis sub AB, BTIʼ contento rectan- guio et ipsi ex ʼA quadrato.
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ᾽ καὶ π : εταʼγεγροὗφθω τὸ σχἥμκα.	Describatur enim ex AB quadratum AAEB ; et construatur figura.
᾿Ἐπεὶ οὖμ ! ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗῈ κοινὸν προσχείσθω τὸ ΤΖ" ὅλον ο’ἔρξε τὸ ΑΖ ὅλῷ τῷ ΤΕ ἴσον εἐστίν" τὰ ἆ’ροι ΑΖ. ΤῈ διπλάσιώ ἐστιε τοῦ ΑΖ. Αλλὰ τὰ ΑΖ. ΤῈ ὁ ΚΛΜ εἐστὶ γγώμων καὶ τὸ ΤΖ τετροἔγωνονʼ ὃ ΚΛΜ ο’ἔρ : ι γνώμων καὶ τὸ ΓΖ διπλάσιωώ ἐστι τοῦ ΑΖ. Ἐστι δὲ τοῦ ΑΖ δὲ- πλάσιον καὶ τὸ δὲς υπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ. ΙσῊ γαρ	Quoniam igitur cquale cst AH ipsi HE, com. mune addatur TZ ; totum igitur AZ toli TE equale est ; ergo AZ, FE dupla sunt ipsius Az, Sed AZ, TE ipse KAM, sunt gnomon ct TZ quadratum ; KAM igitur gnomon et TZ dupla sunt ipsius AZ. Est autem ipsius AZ duplum et ipsum bis sub AB, BT, zqualis enim 3z

ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ᾽ ὁ ἄρα ΚΛΜ γνώμων καὶ τὸ ΤΓΖ τε- τρώγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ, Κοινὸν προσκείσϑω τὸ ΘΝ. ὁὃ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΤ τετρἆγωνονʼ ὃ ο’ἔροι ΚΛΜ γνὧμων καὶ τὰ ΓΖ. ΘΝ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὴς ὑπὸ τῶν ΔΒ. ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΤ τετραγὧνῳ. Αλλὰ ὃ ΚΛΜ γνὧμων καἶ τὰ ΓΖ. ΘΝ τετράγωνα ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔῈΒ καὶ τὸ ΓΖ, α ἐστιν ἀπὸ τῶν ΑΒ. ΒΓ τετραγωνα" τὰ ἀρὰ αττὸ	lpsi Bl ; ergo KAM gnomon ct TZ quadratum aequalia sunt ipsi bis sub AB, BP. Commune ad- datur ON, quod est ex ATʼ quadratum ; ergo KAM gnomon et lZ, ON quadrata zqualia sunt et ipsi bis sub AB, BT contento rectangulo ct ipsi ex AT quadrato. Sed KAM gnomon. et IZ, ON uadrata totum sunt AAEB ct LZ MU sunt ex AB, BI quadrata ; ergo ex AB, BI qua drata equalia sunt ipsi bis sub AB, BI con
ῶν ΑΒ. ΒΓ τετραγῶνα ἰσὰὰ εττὶ, τῳ3 δὶς ὑπὸ τῶν ἈΒ. ΒΓ Ζερηεχομευῦὸ ορθογωε : ιῳ μέτω τῊυ απὸ τῆς ΔΓ τετραγώγου. Ἐὰν ἀραὰ εὐθεία, . καὶ τὰ εξπς.	tento rectangulo cum ex ATʼ quadrato. Si igi- tur recta, etc.

PROPOSITION VII.

Si une ligne droite est coupée d’une manière quelconque, le quarré de la droite entière et le quarré de l’un des segments, pris ensemble, sont égaux à deux fois le rectangle compris sous la droite entière et ledit segment, et au quarré du segment restant.

Qu’une droite AB soit coupée d’une manière quelconque au point Γ ; je dis que les quarrés des droites AB, BΓ sont égaux à deux fois le rectangle compris sous AB, ΒΓ, et au quarré de ΓA. Avec AB décrivons le quarré 4AEB (46. 1) ; et construisons la figure.

Puisque le rectangle AH est égal au rectangle HE (43. 1) , ajoutons le quarré commun IZ ; le rectangle entier AZ sera égal au rectangle entier TE ; donc les rectangles AZ, TE sont doubles du rectangle AZ. Mais les rectangles AZ, TE sont le gnomon KAM et le quarré rz ; donc le gnomon KAM et je quarré rz sont doubles du rectangle AZ. Mais deux fois le rectangle sous AB, Br est double du rectangle AZ, car BZ est égal à Br (cor. 4. 2} ; donc le gnomon KAM : et le quarré TZ sont égaux à deux fois le rectangle sous AB, Br. Ajoutons le quarré commun ON, qui est le quarré de AT ; le gnomon KAMet les quarrés 1Z, ΘN seront égaux à deux fois le rectangle sous AB, Br, et au quarré de Ar. Mais le gnomon KAM et les quarrés TZ, ΘN sont les quarrés entiers AAEB, TZ, qui sont les quarrés des droites AB, Br ; donc les quarrés des droites AB, ET sont égaux à deux fois le rectangle compris sous 4B, Br, et au quarré de Ar. Donc, etc.