Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 9
C. F. Patris, (1, p. 152-155).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ θʹ. | PROPOSITIO IX. |
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Εαν εὐϑεία γραμμῆ τμηθϑῃ εἰς ἰσὼ καὶ ἀνεσαιν τῶ ἀπὸ τῶν αἀὐίσων τὴς ὁλῆς τμήματων τέτρα- γῶτα διπλασια εστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τὸῦ ἀπὸ τῆς μετοιξυ τῶν τόμῶν τετραηώνου. |
Si recta linea. secetur in æqualia et inæqua- lia, ex inæqualibus totius segmenüs quadrata dupla sunt et ipsius ex dimidiáà et ipsius cx Jpsá inter sectiones quadrati. |
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Εὐθεῖῆα γὰρ τις ἢ ΑΒ τετμησθω εἰς μὲν ἔταὰ κατὰ τόΥ. εἰς δὲ ἀνισαὰ κατὰ τὸ δΔʼ λέγω ὅτι τα ἁπὸ τῶν ΑΔ. ΔΒ τετραγῶνα διπλώσια ἐστι τῶν ἁπὸ τῶν ΑΤ9 ΤΔ τετραγῶνων. |
Recta enim aliquia AB secla sit in. æqualia quidem ad D, ʼim inaequalia vero ad A ; dico ex AA, AB quadrata dupla esse ex AT, IʼA qua- dratorum. |
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Ἤχθω γὰρ ἀπῷ τοῦ Γ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθᾶς ἢ ΤῈ, καὶ κείσθω ἰσὴ ἐκατέρᾷᾳ τῶν ΑΤ΄. ΤΒ. 5 καὶ ἐστ- |
Ducatur enim a P ipsi AB ad rectos TE, et ponatur equalis utrique ipsarum ATʼ, TB, et jun-
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εζεύχθωσαν αἱ ΑἙ. ΕΒ. καὶ δια μὲν τοῦ Δ τῇ ἘΡ ποιραλλήλο ς Μχθυο ἡ Δ2Ζ. διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ ταρωλλπλος ηχθω ἡ ΖΉ. καὶ εʼπέζευʼνθω ἢ ΑΖ. |
gantur AE, EB, ct per A quidem ipsi EF pa- rallela ducatur AZ, per Z vcro ipsi AB parallelaʼ ducatur ZH, et jungatur AZ. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΤ τῃ ΓΕ. ς ισʼῃ ἐστὶ καὶ ἢ ὡπὸ ἘΑΓ γωνία τὴ ὑπὸ ΑἘῈΓ. Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Τ, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ἘΑΙΓ- ΑῈΓ μερ ὀρθῇ ἔσαι εἰσίν, καὶ εἰσὶν ἴσαι3 » ἡμίσεια ἀρα ὀρθῆς ᾽στιν ἐεκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ ; ΤΑΕ. Διώ τὰ αὐτὰ |
Et quoniam æqualis est AT ipsi E, oqualis est et EAT angulus ipsi AET. Et quoniam rectus est ad T ; reliqui igilur EAT, AET uni recto. aquales sunt, ct Sunt aquales ; dimidius igitur recti est uterque ipsorum lʼEA, lʼAE. Propter eadem utique et |
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δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΤΈΒ. ἘΒΓ ἡμίσειά ἔστιν ὗρθυςʼ Ὁλή ἄρα ἡ ὑπὸ ΔῈΒ ορθπ ἐστῳ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΠῈΖ ἡμισειὼ ςστιν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ, ὑπὸ ἘΗΖ. Π γὰρ ἐστί τῇ ἐντὸς καὶ ὠπειαντίον τῇ υπὸ ἘΓΒʼ λοιπή ἄρω ἢ ὑπὸ ἘΖῊ ἡμισεία ἐστιν ορθη φ Θ ἄραὰ ἐσπὴν" ἡ ὑπὸ ΠῈΖ γωνίω πτῇ υπὸο ἘΖΗ’ ὠστε καὶ πλευρῶ ἢ ἘΗ πσλέυρᾳ τηΐ ΗΖ. ἐστιν 5ῆ. ἸΙαλιν ἐπὲὶ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία ἡμι- σειοὶ ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ. ἴσὴ |
uterque ipsorum TʼEB, EBT dimidius est recti ; totus igitur AEB rectus est, Ei quoniam HEZ dunidius est recti, rectus autem EHZ, oqualis enim est intcrion et opposito ELTB ; rcliquus igitur EZH dimidius est recti ; squalis 1gitur est HEZ angulus ipsi EZH ; quare et latus EH lateri HZ est æquale, Rursus quoniam ad 5B angulus dimidius est recli, rectus autem ZAB, equalis enim est rursus interiori et opposito
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γὰρ ἐστί παλιν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντιίον τῆῇ ὑπὸ ἘΠΒ" λοιπῆ ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΔΖ2Β ἡμμίσεια ἐστιν ορθυςʼ ἰσὴ ἀρῶῷ ἢ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ υπὸ Δ2ΖΒ" ὥστε καὶ πλευρῶ ἢἡ ΖΔ πλευρᾷῷ τῇ ΔΒ ἐστι ! ἐσῆ. Καὶ ἐσπεῖ ἰσὴ ἐστὶν Ἡ ΑΤ τῇ ΤῈ- ἐσῸν ἰστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆςϑ ΑΤ τῷ ἀπὸ τῆς7 ΤῈ" τα ἄρω ἀπὸ τῶν ΑΓ ΤΕ τετρωγωνα διπλάσιά ἔστι τοῦ ἀπὸ τῆς" ΑΤ. Τοὺς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΤ. ΤῈ ἴσον ἐστὶ τὸ ἅπὸ τῆς ΔΑῈ τέτρώγωνοῦ. ορθη γὰρ ἢ |
EPB ; reliquus igitur AZB dimidius est recti ; equalis, igitur ad. B angulus ipsi AZB ; quar, et latus ZA lateri AB est equale. Et quoniam equalis est AP ipsi PE, quale est et Ipsum ex AT Ipsi ex ʼE ; ergo ex AT, lʼE quadrata dupla sunl ipsius cx ATʼ. Ipsis autem ex AT, lʼE i æquale est ex AE quadratum, recius enim est ATE angulus ; ipsum igitur ex AE duplum est ip- sius ex AI, hursus quoniam equalis est EH |
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ὑπὸ ΑΤῈ γωτία" τὸ ἆ’ροι ἀπὸ τῆς ΔῈ : Ῥι’πλοἷωὄν. ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆςϑ9 ΑΤ΄ Πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ἘΗ τῇ ΗΖ, ἴσον ἐστὶὴϊ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗῈ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖʼ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ἘΗ. ΗΖ τετράγωνα διπλά- σια ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραφὧε’ου. Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ἘΗ͂, ΗΖ τετραγῶνοις ἰσὸν ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τξ’τμἱγωνονʼ ὑ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ἘΖ διπλάτσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ πῆἧς ΗΖ. Αλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τὴς ΓΔʼ"" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ἘΖ δυπλεί- σίον ἐστί τοῦυ ἀστὸ τῆς ΓΤΔ. Ἐστιὶ δὲ οοὶ τὸ ὥπὸ τῆς |
ipsi HZ, xquale est et ipsum ex EH ipsi ex HZ ; ergo. ex EH, HZ quadrata dupla sunt ipsius ex HZ quadrati. Ipsis autem ex EH, HZ quadra- lis equale est ipsum ex EZ ; ergo ex EZ quadra- ium duplur est ipsius ex HZ. Sed equale Ipsum est HZ ipsi ex A ; ipsum igitur ex EZ duplum est ipsius ex LʼA. Est autem ipsum ex EA duplum ipsius ex AL ; ergo éx AE, EZ quadrata dupla sunt ex AD, LA quadratorum ; ipsis vero ex AE, EZ s « quale est ex EZ quadratum,
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ἘΑ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΤ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ. ΕΖ τετραγωνω διπλάσιά ἔστι πῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ. ΓΔ τστραγωνων Τοῆς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΑῈ ἘΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετρωγωνον. ὑρθὴ γὰρ ἐστὶν"" ἡ ὑπὸ ΑἘΖ γωνιοιʼ τὸ αρω ὑπὸ τῆς ΑΖ τετρα, ’ ; -ωνον δυπλάσιόν ἔστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΤ ΓΤΔ. Τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΖ, ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΖ διπλάσια ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ. ΓΔ τετραγῶνων. ἸσῊ δὲ ἢ ΔΖ τῇ ΔΒʼ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΒ τετράγωνα δηπλά- σιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓᾺ τετραγώνων, Ἐὰν ἄρω εὐθεῖα, καὶ τὰ εξῆς- |
rectus cnim est AEZ augulus ; ergo AZ quadratum) duplum est ipsorum ex ATL, LA. Ipsi vcro ex AZ : squalia sunt ipsa ex AA, AZ, rectus enin est ad A angulus ; ipsa igitur ex AA, AZ dupla sunt ex AT, TʼA quadratorum. JEqualis autem. AZ ipsi AB ; ergo ex AA, AB quadrata dupla sunt ex AT, lʼA quadratorum. Si igitur recta, etc. |
Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, les quarrés des segments inégaux de la droite entière sont doubles du quarré de la moitié de cette droite et du quarré de la droite placée entre les sections.
Que la droite AB soit coupée en parties égales enr, et “en parties inégales en A ; je dis que les quarrés des droits AA, AB sont doubles des quarrés des droites AT, TA.
Du point Tr conduisons TE perpendiculaire à AB (11. 1) ; faisons la droite E égale à l’une ou à l’autre des droites AT, TB, et joignons EA, EB ; par le point A conduisons AZ parallèle à Er (31. 1) , et par le point Z conduisons ZH parallèle à AB, et joignons AZ.
Puisque AT est égal à TE, lʼangle EAT est égal à l’angle AEr (5. 1) . Et puis- que l’angle enr est droit, les angles restants BAT, AET sont égaux à un droit (32. 1) ; mais ils sont égaux ; donc chacun des angles TEA, TAE est la moitié d’un droit. Par la même raison, chacun des angles TEB, EBr est la moitié d’un droit ; donc l’angle entier AE3 est droit. Et puisque l’angle HEZ est la moitié d’un droit, et que l’angle EXZ est droit, car il est égal à l’angle intérieur et opposé ErB (29. 1) , l’angle EZH est la moitié d’un droit ; donc lʼangle HEZ est égal à l’angle EZH ; donc le côté EH est égal au côté Hz (6. 1) . De plus, puisque lʼangle en B est la moitié d’un droit, et que l’angle ZAaB est droit, car il égal à l’angle intérieur et opposé ETB (20. 1) , lʼangle restant AZB est la moitié d’un droit ; donc l’angle en 8 est égal à l’angle azB ; donc le côté ZA est égal au côté AB (6. 1) . Et puisque Ar est égal à TE, le quarré de Ar est égal au quarré de TE ; donc les quarrés des droites AT, TE sont doubles du quarré de Ar. Mais le quarré de EA est égal aux quarrés des droites AT, TE (47, 4) , car lʼangle ATE est droit ; donc le quarré de AE est double du quarré de Ar. De plus, puisque EH est égal à HZ, le quarré de EH est égal au quarré de Hz ; donc les quarrés des droites EH, HZ sont doubles du quarré de Hz. Mais le quarré de EZ est égal aux quarrés des droites EH, HZ (47. 1) ; donc le quarré de Ez est double du quarré de Hz. Mais HZ est égal à TA (34. 1) ; donc le quarré de Ez est double du quarré de HZ. Mais le quarré de EA est double du quarré de Ar ; donc les quarrés des droites AE, EZ sont doubles des quarrés des droites AT, T4. Mais le quarré de 4Z est égal aux quarrés des droites AE, EZ (47. 1) , car l’angle AEZ est droit ; donc le quarré £z est double des quarrés des droites Ar, TA. Mais les quarrés des droites AA, AZ sont égaux au quarré de AZ (47. 1) , car l’angle en 4 est droit ; donc les quarrés des droites AA, AZ sont doubles des quarrés des droites Ar, ra. Mais AZ est égal à 48 ; donc les quarrés des droites AA, 4B sont doubles des quarrés des droites AT, TA. Donc, etc.