Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 2/Proposition 8
C. F. Patris, (1, p. 149-152).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ηʹ. | PROPOSITIO VIII. |
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Ἐὰν εὐθεῖα ἢ τμηθῇ ὡς ἔτυχε. τὸ τ Ἐαὰν εὐθεία γραμμὴ τμηθῆ ὡς ἐτυχες ἐ περεχόμενον ορθογωνέον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ" λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἰσὸν ἐστὶ τῷ τε απὸ τῆς ὑλής καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγῶνῳ. |
S1 recta linea secetur utcunque, quater sub totáà et uno segmentorum contentum rectangu- lum cum ipso ex reliquo segmento quadrato æquale est ipsi ex totá et. dicto segmento tan- quam ex unà descripto quadrato. |
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Ευθεια γὰρ τις. ΑΒ τετμήσθω ὡς ἐτυχε κατὰ ΤΟΙ σήημκέιον" λέγω ὁτι τὸ τέτρακις ὕὑπὸ τῶν ΑΒ, |
Recta enim aliqua AB secta sit utcunque in LT puncto ; dico et quater sub AB, BIʼconten- |
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ΒΓ περιεχο’μενογ (; Ρθο’γωνιον, ἐβίτοα τοῦυ ὠπτὸ τῆς ΑΙ τετραάγωνου, ἰσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ΒΓὼς ἀπὸ μμᾶς ἀγαγραφέντι τετραγωγῳ. |
tum rectangulum cum ipso ex AT quadrato æquale esse ipsi ex 1psá AB, BT tanquam ex uná descripto quadrato.
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Ἐκξεξλησθω γὰρ ἐπ᾿ εὐθείας τῇ ΑΒ εὐθεῖα ἡὶ ΒΔ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΤΒ ἡ ΒΔ, καὶ ἀναγε- γράφθω ἀπὸ τῆς ΑΔ τετρώγωνον τὸ ΑΕΖΔ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα, |
Producatur enim in directum ipsi AB recls BA, et ponatur æqualis 1ps1i IʼB ipsa BA, et descr. batur ex AA quadratum AEZA, et construatur dupla figura. |
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Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ. ἀλλὰ ἡ μὲν ΓΒ τῇ ΗΚέἐστὶν ἔση. ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΝ, καὶ ἡ ΗΚ ἄραϑ τῇ ΚΝ ἐστὶν ἴση. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ ΡΟ ἐστὴν ἔση. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲνί ΓΒ τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ἨΚ τὴ ΚΝ᾽ ἰσὸν ἄρα ἐστὶ καὶ" τὸ μὲνγδ ΤΚ |
Quoniam igitur equalis est BI ipsi BA, sed IB quidem ipsi HK est equalis, et BA ipsi KN ; et HK igitur 1psi KN est equalis. Propter eadem utique et IIP ipsi PO est equalis. . Et quoniam equalis est PB quidem ipsi BA, et HK 1psi KN ; |
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τῷ ΒΝ, τὸ δὲ Ρ τῷ ΚΟ. Αλλὰ τὸ ΓΚ τῷ ΡΝ ἐστιν ἰσον. παραπληρωμάτα γὰάρ τοῦ ΤΟ παρ- αλληλογραμμου" καὶ τ ΒΝ ἄρα τῷ Ρ Ίσον ἐστίνδ᾽ τὰ τἐσσαρα α’ρα τὰ ΤΚ, ΚΔ. ΗΡΙῬΝ, 2σὰ ἀλλήλοις ἐστ ! " τὰ τέσσαρα ἀρὼὰ τετραπλασια ἐστι τοῦ ΤΚ. Πάλιν ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἡ ΤΒ τῇ ΒΔ. ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τοῦτʼ᾽ ἐστι τῇ ΤῊ ἐστὴνθ Ισὴ, ἡ δὲ ΤΒ τῇ ΗΚ, τοῦτʼ ἐστʼ τῇ ἨΠ ἐστὶὴὶν |
equale igitur est PK quidem ipsi BN, et HP ipsi KO. Sed rK Ipsi PN est equale, complementa enim sunt ipsius ʼO parallelogrammi ; et BN igi- tur 1psi HP æquale cst ; quatuor igitur TK, KA, HP, TN æqualia inter se suut ; quatuor igitur quadrupla suut ipsius ʼK. Rursus, quoniam zequa- lis est PB ipsi BA, sed BA quidem ipsi BK, hoc est, ipsi H est aequalis, B vero 1ps1 HK, hoc est,
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ἴση ! 95 καὶ ἡ ΤῊ ἄρα τῇ ΗΠ ἔση ἐστίν τἴ, Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μέν Η͂ τῇ ΗΠ. ἡ δὲ ΠΡ τῇ ΡΟ’ ἔσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν" ΑΗ τῷ ΜΠ, τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ. Αλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστὶν ἔσον" παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛπαραλληλογράμμου" καὶ τὸ ΑΗ ἄρα τῷ ΡΖ ἔσον ἐστίνʼ" τὰ τἑοʼοʼοεροι ἆ’ροι τὰ ΑΗ. ΜΗ. ΠΔ. ΡΖ ἔτω ἀλλήλοις ἐστίν" τὰ τέσσαρα ἀρα τοῦ ΑἩ τε- τραπλάσιά ἐστινʼ", Ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τἕὁʼσʼαροι τὰ ΤΚ. Κὰ, ΗΡ, ΡΝ τοῦ ΤΚ τετραπλάσια" τὰ ἄρα οὐτῶ ὦ πεέριέχει τὸν ΣῚΥ γνωώμονα τετραπλάσια ἐστι τοῦ ΑΚ΄“. Καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΚ᾽ʼτὄ ὑπὸ τῶν ΔΒ. ΒΔ ἐστὶν. ᾿σή γὲρη ἡ ΚΒ τῇ ΒΔ- τὸ ἆ’ροι τετροἔ ; : ις ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΔ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΚ. Ἐδείχθη δὲ τοῦ ΑΚ τετραπλάσιος καὶ ὃ ΣΤΥ͂ γνώμων" τὸ ἄρῶ τέτρακιὶς υπὸ τῶν ΑΒ. ΒΔ ἰσὸν « ὅΤι « τῷ ΣΤΥ γιώμον ! . Κοινὸν προἆ ; ιεἵσθω τὸ ΞΘ. ὃ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τὴς ΑΤ τετραγώνῳ" τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΔ ’περιεχὄμεὐον ὀρθογωώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ" τῆς ΑΥ τετραγῶώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ΣῚΥ γνώμον ! καὶ τῷ ΞΘ. Αλλὰ ὃ ΣΤΥ γεώμων καὶ τὸ ΞΘ ὕλον ἰστὶ τὸ ΑἘῈΖΔ τετρεἱγωνον. ὃ ἐστιν ἄπὸ τῆς ΑΔʼ τὸ οαρα τετρακὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ. |
ipsi HII est equalis ; et IH igitur ipsi HII qualis est. Et quoniam equalis est IʼH quidein ipsi HII, et HP ipsi PO ; æquale est et. AH quidem ipsi MII, et IIA ipsi TZ. Sed MH ipsi HA est equale, complementa enim sunt ipsius MA pa- rallelogrammi ; et AH igitur ipsi PZ zauale est ; quatuor igitur AH, MII, IA, PZ equalia inter se sunt ; quatuor igitur ipsius AH quadru- pla sunt. Ostensa sunt autem et quatuor IK, KA, HP, PN ipsius FK quadrupla ; ergo octo quie continet ZTY gnomonon quadrupla sunt Ipsius AK. Et quoniam AK ipsum sub AB, BA est, equals cnim est KB ipsi BA ; ergo ip- sum quater sub AB, BA quadruplum cest ip- sius AK. Ostensus est aulem ipsius AK qua- druplus et ZTY gnomon. lpsum igitur quatec sub AB, BA mcquale est ipsi ETY gnomoni. Commune addatur £O, quod æquale est ipsi ex AT quadrato ; ipsum ʼigitur. quater sub AB, BA contentum rectangujgm cum ex AT quadrato æquale est ipsi zTY gnomoni ct ipsi EO. Sed ZTY gnomon ct £O totum sunt AEZA
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ΒΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς 7 ΑΤ ἰσον ἐστὶ τῷ ἀπο τῆς 18 ΑΔ πτμαιʼ) ιωνῳ. Ἰσὴ δὲ ἡ ΒΔ τʼῃ ΒΓἾΘ. τὸ αρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΙσεριεχόμενον ὀρθογω- νιον μέετῶ τοῦ ἀπὸ τῆς“ ΑΤ τετραγωνοῦ σὸν εστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τοῦτ ἔστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ BΓ ὡς ἀαἀπὸ μμεᾶς ανοαγραφεντε τετραγῶνῷ. Ἐὰν ἄρα ευὔε : α. καὶ τὰ εξῆς. |
quadratum, qucd est ex ΑΔ ; ipsum igitur quater sub AB, BA cum ipso ex AT : quale est Ipsi cx AA quadrato. /Equalis autem est BA Ipsi Br ; ergo qualer sub AB, BIʼ contentum rectangu. lum cum Ipso ex AT quadrato æquale est Ipsi ex ΑΔ quadrato, hoc est, ex ipsà AB et Bl tanquam ex unà descripto quadrato. Siigitur recta, etc, |
Si une droite est coupée d’une manière quelconque, quatre fois le rectangle compris sous la droite entière et l’un des segments, avec le quarré du segment restant, est égal au quarré décrit avec la droite entière et ledit segment, comme avec une seule droite.
Qu’une droite AB soit coupée dʼune manière quelconque au point Tr ; je dis que quatre fois le rectangle compris sous les droites £B, Br, avec le quarré de AT, est égal au quarré décrit avec les droites AB, ET, comme avec une seule droite. Conduisons la droite BA dans la direction de 48 ; faisons BA égal à Br ; décrivons avec A4 le quarré AEZA (46. 2) , et construisons une double figure.
Puisque Br est égal à BA, que TB est égal à HK (34. 1) , et BA égal à KN, la droite HK est égale à la droite kN. La droite TP est égale à la droite PO, par la même raison. Et puisque Br est égal à BA, et Hk égal à KN, le rectangle TK est égal au rectangle BN, et le rectangle HP égal au rectangle KO (36. 1) . Mais le rectangle rK est égal au rectangle PN (43. 1) , car ils sont les compléments du parallélogramme ro ; done le rectangle EN est égal au rectangle HP ; donc les quatre rectangles TK, KA, HP, PN sont égaux entr’eux ; donc ces quatre rectangles sont le quadruple du rectangle rx. De plus, puisque TB est égal à BA, et BA égal à BK, c’est-à-dire à TH (54. 1) , et que rB est égal à HK, c’est-à-dire à Hni, la droite TH est égale à la droite Hn, Et puisque rH est égal à HIT, et que HP est égal à PO, le rectangle AH est égal au rectangle Mn, et le rectangle TA égal au rectangle PZ (56. 1) . Mais le rectangle Mr est égal au rectangle HA (43. 1) , car ils sont les compléments du parallélogramme M4 ; donc le rectangle AH est égal au rectangle Pz ; donc les quatre rectangles AH, MIT, HA, PZ sont égaux entrʼeux ; donc ces quatre rectangles sont quadruples du rectangle AH. Mais on a démontré que les quatre quarrés TK, KA, HP, PN sont quadruples du quarré rK ; j donc les huit figures qui composent le gnomon TY sont quadguples du rectangle AK. Mais le rec- tangle AK est sous AB, BA ; car KB est égal à BA (cor. 4. 2) ; donc quatre fois le rectangle sous AB, BA est quadruple du rectangle AK. Mais on a démontré que le gnomon 3TY est quadruple du rectangle AK ; donc quatre fois le rectangle sous AB, BA est égal au gnomon xTY. Ajoutons le quarré commun ©, qui est égal au quarré de Ar (cor. 4. 2) ; quatre fois le rectangle compris sous AB, BA, avec le quarré de Ar sera égal au gnomon XTY et au quarré ΞΘ Mais le gnomon zTY et le quarré ΞΘ sont le quarré entier AEZA, qui est décrit avec AΔ ; donc quatre fois le rectangle sous AB, BA avec le quarré de Br est égal au quarré de 44. Mais BA est égal à Br ; donc quatre fois le rectangle com- pris sous AB, Br avec le quarré de AT est égal au quarré de 44, c’est-à-dire au quarré décrit avec AB et Br comme avec une seule droite. Donc, etc.