Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 9
C. F. Patris, (1, p. 186-189).
| ΠΡΟIΤΑΣΙΣ θ'. | PROPOSITIO IX. |
|---|---|
|
Ἐὰν κύκλου ληφθὴ τι σημεῖον ἐντὸς. ἄπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι σιλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθείαιι. τὸ ληφθεν σημεῖον κοντρὸν ἐστιί τοῦ κυκλους. |
Si intra circulum sumatur aliquod punctum, ab eo autem puncto in circulum cadant plures quam duz æqualbs recie, sumptum punctum centrum est circuli. |
|
Ἔστω κύκλος ὁ ἌΒΓ, ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δπροςτον ΑΒΓ κυκλον προσπιπτε- |
Sit circulus ABP, intra autem ipsum punc. tum A, et a À in AET circulum cadant plureg |
|
τωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι ευθεῖαι. αἱ ΔΑ. ΔΒ. ΔΙ" λεγω ὁτι τοδσήμειον κέντρον ἐστίτου ΑΒΓ κυκλους |
quam dus zquales recte, ipse AA, AB, AF ; dico A punctum centrum esse ABTʼ circuli.
|
|
Επεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ τετμησθω- σαν δίχα κατὰ τὰ, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθείσαι αἱ ΕΔ. Κ0Ζ0Δ διήχθωσαν ἐπὶ ταάΚ. Η. Δ, Θ σμεία. |
Jungantur enim AB, BΓ, et secentur bifa- riam in E, Z punctis, et junctæ EΔ, ZΔ pro- ducantur ad E, H, 4, epuncta. |
|
Επεὶ οὖν. ἐστὶν ἴσηβ ἡ ΑΒ τή ΕΒ. κοινγὴ δὲ ἡ ΕΔ. δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δυσὶ ταὶς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίʼ καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴσηά. γω- νιὰ ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΔΒΔ γωνίᾳᾷ τῇ υπὸ ΒὲΔ Ισὴ ἐστίν ὀρθή ἄρα ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ ; ΒΕΔ γωνιῶν ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς3, Καὶ ἐπεὶ, ἐὰν ἐν κύὐκλῳ τις εὐθεῖα εὐθεῖαν τινὰ δίχα τε καὶ πρὸς ὀὑρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τίϊς τεμνούσης ἐστιὶ τὸ κέντρον τοῦ κυκλου ἐπὶ τῆς ΗΚ ἀρὰ ἐστί τὸ κεντρὸν του ΑΒΓ κύκλου. Διὰ τὰ αυτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύ- κλου7. Καὶ οὐδὲν ἐτερὸν κοινὸν ἐχουύσιν αἱ ΗΚ, ΘΛ εὐθεῖαι, ἢ τὸ Δ σημεῖον" τὸ Δ ἀρὰ σημεῖον κεν-- τρὸν ἐστί του ΑΒΓ κύκλου. Ἐὰν ἄρὰ κυκλου, καὶ τὰ ἐξῆς. |
Quoniam igitur æÉqualis est AE ipsi EB, com- munis autem EΔ, duæ utique AE, E^ duabus BE, EΔ^ æquales sunt ; et basis AΔ ipsi AB æqualis ; angulus igitur AEM angulo BEA æqualis est ; rectus igitur uterquep AEΔ, BEX angulorum. HK igitur ipsam AB secat Lbifa- riam et ad rectos. Et quoniam, si in circulo aliqua recta rectam aliquam bifariam et ad rectos secet, in secante est centrum circuli ; in HKE igitus est centrum ipsius ABΓ circuli. Propter eadem utique et in ΘlAd estcentrum ipsius ABΓ circuli. Et nullum aliud commune habent HE, ΘA rectH quam Δ purictum ; ^ igitur punc- tum centrum est ABΓ circuli. Si igitur cir- culi, etc. |
| ΑΛΔΛΩΣ. | ALITER. |
|
Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐντὸς τὸ Δ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσ. πιπτέτωσαν πλείους͵ ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι. αἱ ΔΑ. ΔΒ, ΔΓ. λέγω ὅτι τὸ ληφθὲν σημεῖον τὸ Δ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. |
Intra enim circulum ABΓ sumatur aliquod punctum ^á, a Aautem in ABΓ circulum cadant piures quam duæ æquales rectæ, ipsæ AA, AB, AΓ ; dice sumptum punctum A centrum esse ipsius ABΓ circuli. |
|
Μμη γαρ, αλλ εἰ δυνατὸν, ἐστὼ τοὸ Ἐ, και ἐπι- ζευχθεῖσα ἡ ΔΕ διήχθω ἐπὶ τὰ Ζ, Η σημεῖα. ἡ ΖΗ ἀραϑ διαμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Επεὶ οὐὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς ΖΗ σδιαμέτρου εἰληπταί τι σημεῖον τὸ Δ, ὃ μή ἐστι κέντρον, τοῦ κύκλουθ, μεγίστη μὲν ἔσται ἡ ΔΗ͂, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῆς ΔΒ, ἡ δὲ ΔΒ τῆς ΔΑ. Αλλὰ καὶ ἰση, ὑπὲρ ἐστὶν ἀδυνατον. οὐκ ἀρὰ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ομοίως δὴ δείζομεν, ὅτι |
Non enim, sed si possibile, sit E, et juncta AE producatur in Z, H puncta ; ergo ZH diame- ter est ipsius ABΓ circuli. Quoniam igitur circuli ABΓ in ZH diametro sumptum est aliquod punctum ^4, quod non est centrum circuli, ma- xima quidem erit AH, major vero A ipsi AB, et AB ipsá AMB, . SGed et æqualis, quod est impossibile ; non igitur E centrum est ipsius ABΓ circuli. Similiter autem ostendemus, neque aliud
|
|
οὐδὲ ἀλλὸ τι πλήν τοῦ Δ" τὸ Δ ἀρὰ σημεῖον κεέ. Τρον ἐστί τοῦ ΑΒΓ κυκλουϊοι. |
præter Δ ; ergo Δ punctum centrum est ipsius ABΓ circuli. |
Si dans un cercle, lon prend un point quelconque, et si plus de deux droites menées de ce ‘point à la circonférence sont égales entrelles, le point qu’on aura pris sera le centre du cercle.
Soit le cercle ÜŒBΓ, et le point intérieur Δ, et que plus de deux droites ΔΑ, ΔΒι ΔΡ menées du point Δ à la circonférence soient égales entre elles, je dis que le point ñ est le centre du cercle ABT. Joignons les droites AB, BΓ, coupons ; les en deux parties égales aux points Ε, Ζ (I0. 1) , et ayant joint les droitesE4, ΖΔ, prolongeons-les vers les points K, H, Δ, Θ.
Puisque ΑΕ est égal à EB, et que la droite ΕΔ est commune, les deux droites AÆE, ΒΕΔ sont égales aux deux droites BEB, EBA ; mais la base ΔΑ est égale à la base ΔΒ ; donc l’angle AXBÛ est égal à l’angle BEÛ (3. 1) ; donc chacun des angles ΑΕΔ, ΒΕΔ est droit ; donc la droite HkK coupe la droite ΑΒ en deux parties égales et à angles droits. Mais lorsque, dans un cercle, une droite coupe une autre droite en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle est dans la sécante (cor. 1. 3) ; donc le centre du cercle ABΓ est dans Hk. Par la même raison, le centre du cercle ΑΒΓ est dans n. Mais les droites ΗΚ, ΘΛ n’ont d’autre point commun que le point Δ ; donc le point Δ est le centre du cercle ABΓ. Donc, etc.
Dans le cercle ΑΒΓ soit pris un point quelconque δ, et que plus de deux droites égales tombent du point δ dans le cercle ABΓ, les droites ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ ; je dis que le point Δ est le centre du cercle ABT.
Qu’il ne le soit point, mais s’il est possible, que ce soit le point E ; ayant joint ΔΕ, prolongeons cette droite vers les points Z, H ; la droite ZH sera le diamètre du cercle ΑΒγ. Puisque l’on a pris dans le diamètre ΖΗ du cercle ΑΒγ un point Δ, qui n’est pas le centre de ce cercle, la droite ûH sera la plus grande, la droite ÛΓ plus grande que la droite ôB, et la droite δΔΒ plus grande que la droite ñA (7. 3) - Mais elle lui est égale, ce qui est impossible ; donc le point Ε n’est pas le centre du cercle ΑΒΓ. Nous démontrerons semblablement qu‘aucun autre point, excepté Δ, ne peut l’être ; donc le point Δ est le centre du cercle ΑBΓ.