Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 8
C. F. Patris, (1, p. 182-186).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ή. | PROPOSITIO VIII. |
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Εὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτὸς, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαι τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαὶι ὡς ἔτυχε. τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφερειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου. τῶν δὲ ἄλλων, ἀεὶ ἡ ἐγγιον τῆς διὰ τοῦ κέεντρου τίς ἀπώωτερον μείζων ἔσται" τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσωῶν εὐ- θειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου" τῶν δὲ ἀλλων, ἀεὶ ἡ ἐγγιοὸν τῆς ἐλαχίστης τής αἀπωτερὸν ἐστιν ἐλαττων. Δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦν. ταᾶι πρὸς τὸν κύκλον, ἐῷ ἐκατερᾷ τῆς ἐλα- |
Si extra circulum sumatur aliquod punctum, ab ipso autem puncto ad circulum ducantur rectæ8 quedam, quarum una per centrum, re- liquæ autem utcunque ; ipsarum quidem ad con- cavam circumferentiam cadentiurn rectarum ma- xima quidem est quæ per centrum ; aliarum au- tem, semper propinquior ei quæ per centrum re- motiore major erit ; ipsarum vero in convexam circumferentiam ceadentium rectarum, minima quidem est quæ inter et punctum et diame- trum ; aliarum autem, semper propinquior mi- nimæ remotiore est minor. Duæ autem solum æquales a puncto cadent in circulum, ex utri- que parte minimæ. |
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Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ διήχθωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΔΑ, ΔΕ, ΔΖ, ΔΙ ᾳ ἐστω δὲ ἡ ΔΑ δίὰ τοῦ κεντρου. λέγω ὁτι τῶν μὲν πρὸς τὴν |
Sit circelus ABΓ, et extra ipsum ABΓ sums tur aliquod punctum A, et ab eo ducantur recte quædam AA, AE, AZ, A, sit autem ΔAB per centrum ; dico earum quidem in AEZΓ conce-
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ΑΕΖ͂Γ κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μέγίστη μὲν ἐστιν ἡ δἑεὰ τοῦ κέστροῦ ἢ ΔΑ" αεἱ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς δειὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπωτερον μείζων ἔσται, ἡ μὲν ΔῈ τῆσ ΔΖ, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΔΓ. Ψ τῶν δὲ πρὸς τὴν ΘΛΚΗ͂ κυρτῆν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἐλαχίστη μὲν ἡ ΔΗ, ἡ μεταξὸ τοῦ σημείου Δ καὶ τῆς διαμέτρου ΑΗ. ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΔῊ ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ1. |
vam circumferentiam cadentium rectarum ma- ximam quidem esse AΔA qu& per centrum ; semper autem propinquior-ei quæ per centrum remotiore major erit, AE quidem ipsá AZ, et AZ ipsà AΓ ; ipsarum autem in GaAKH con- vexam circumferentiam cadentium rectarum, minima quidem ΔH, qua inter et punctum Δ et diiàmetrum AH ; semper autem propinquior ipsi ΔH minimzæ minor est remotiore, ΔAK qui- dem ipsà Ad Δ, et AΔ ipsà ΔΘ. |
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Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Μο καὶ ἐπεζεύόχθωσαν αἱ ΜΕ, ΜΖ, ΜΓΤ, ΜΚ, ΜΛ, ΜΘ. |
Sumatur enimr centrum ABΓ circuli, et sit M ; etjungantur ME, MZ, MΓr ; MEÉ, MÁ, , KR. |
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Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῦῇ ΒΜ, κοινὴ προυσ-. κείσθω ἡ ΜΔο ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς ΕΜ, ΜΔ. Αἱ δὲΞ ΕΜ, ΜΔ τῆς ΕΔ μεϊζονές εἰσια καὶ ἡ ΑΔ |
Et quoniam æqualis est AM ipsi EM, com- munis addatur MÁj ; ergo AΔ æqualis est ipsis EM, MÁ. Sed EM, M&á ipsá EΔ majores sunt ;
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ἄρα τῆς ΕΔ μείζων ἐστί. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ἘΜ τῦ Μ, κοινὴ προσκείσθωϑ ἡ ΜΔ, αἱΕΜμ, Μὰ ἄρα ταῖς ΖΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΜΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΖΜΔ μείζων ἐστί. Βάσις ἄρὰ ἡ ΕΔ βάσεως τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΖΔ τῆς ΓΔ μείζων ἐστί. μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῆς ἀΔΖ, ἡ σἐὲ ΔΖ τῆς ΔΓ. |
et AΔ igitur ipsà E^& major est. Rursus, quo. niam aqualis est EM ipsi ZM, communis adds. tur MΔ ; ergo EM, MÁ ipsis ZM, MÁ æquales sunt, et angulus EMΔ angulo ZMA major est, Basis igitur EΔ basi ZΔ major est. Siniliter autem ostendemus, et ZΔ ipsá ΓΔ majorem esse ; maxima quidem igitur est AAx ; major vero Ug ipsá AZ, et AZ ipsà AΓ. |
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Καὶ ἐπεὶ αἱ ΜΚ, ΚΔ τῆς ΜΔ μείζονἐές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΜΗ͂ τῇ ΜΚ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΔ χοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων ἐστίνἌ ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΔΚ ἐλάσσων ἐστὶν, ἐλαχίστη ἄρα ἐστί. Καὶ ἐπεὶ τρίι- γώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ, δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν, αἱ ΜΚ, ΚΔ ἄραή τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλαάττονές εἰσιν" ἴση δὲδ ἡ ΜΚ τῆ ΜΛ. ’ λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων |
Et quoniam MÉ, KΔ ipsà M^& majores sunt, æqualis autem MH ipsi ME, reliqua igitur KA reliquà HΔ major est ; quare et AH ipsà AK minor est ; minima igitur est. Et quoniam trian- guli MAΔ super uno laterum M^, duzæ rectæ intus constituuntur ; ME, Kd3 igitur ipsis MΔ, AΔ minores sunt ; æqualis autem MK ipsi MÁ ; re liqua igitur AK reliquà ΔΛ minor est. Similiter
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ἐστίν. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλώττων ἐστίν. : ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ. |
autem ostendemus et AΔ ipsà Ae minorem esse ; minima quidem igitur est AH, minor vero AK ipsá AΔB, et AΔ ipsà. |
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Λέγω ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαιθ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπέσουνταιἽ0 προὸς τὸν χύκλον. ἐφ᾽ ἐκάτερᾳ τῆς ΔΗ ἐλαχίστης. Συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὑ- θείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ, τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἰσή γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ, καὶ ἐπσε- ζεύχθω ἡ ΔΒ. Καὶ ἐπεῖ ἰση ἐστίν ἡ ΜΚ τή ΜΒ. κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δ αἱ ΚΜ, ΜΔ δυσὶ ταῖς ΒΜ. ΜΔ ἴσαι εἰσὶν, ἐκατέρα ἐκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴσηδο βάσις ἀρὰ ἡ ὀΚβασει τῇ ΔΒ ἴση ἐστί. Λέγω δὴ9 ὅτι τῇ ΔΚ εὐθεῖᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου. Εἰγὰρ δυνατὸν, προσπιπτέτω, και ἐστω ἡ ΔΝ. Επεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστὶν ἴση, . ἀλλ ἡ ΔΚ τῃ ΔΒ εστὶν ΙσῊ" » καὶ ἡ ΔΒ ἀρὰ τῇ ΔΝ ἐστὶν ἴση1ο, ἡ ἐγγιὸν τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώ- τερὸν ἐστὶν ἴση, ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. |
Dice et duas solum æquales a ^ puncto ca- dere in circulum, ex utráque parte ipsius AH minimæ. Constituatur ad M&ʼ rectam, et ad punctum in eà M, ipsi KM^ angulo æqualis angulus AMB, et jungatur ΔB. Et quoniam æqualis est MÉ ipsi MB, communis autem Má, duæ utique KM, MáÀ duabus BM, MÁ æquales sunt, utraque utrique, ct angulus KM& angulo BMÁ æqualis ; basis igitur AK basi AB æqualis est. Dico autem ipsi AK rectæ aliam æqualem non cadere in circulum a Δ puncto. Si enim possibile, cadat, et sit ^N. Quoniam igitur AK ipsi AN est æqualis, sed AK ipsi ΔB est æ- qualis ; et ΔB igitur ipsi ΔN est æqualis ; pro- pinquior minimæ ipsius AH remotiori est Équa- lis, quod impossibile ostensum est. |
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Η καὶ ἄλλως. Επεζεύχθω ἥἡ ΜΝ. Επεὶλἶ1 ἴση ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΝ, κοινᾷ δὲ ἡ ΜΔ, καὶ βασις ἡ |
Vel et aliter. Jungatur MN. Quoniam æqualis est KM ipsi MN, communis autem M^, et basis
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ΔΚ βάσει τὴ ΔΝ ἴση" ’γωνι’α, ο’ι’ροι ἥ ἀπὸ ΚΜΔ γω- νίᾳ τῇ ὑπὸ ΝΜΔ ἰσὴ ἐστίν. Αλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΚΜΔ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἐστὶν ἔση15" καὶ ἡ ὑπὸ ΒΜΔ ἄραϊ" τῇ ὑπὸ ΝΜΔ ἐστὶν ἰσηϊή. ἡ ἐλώττων τῇ μείζονι. ὄὅπερ ἔστιν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα πλείους ἢ δύο ἴσαι15 ’πρὄς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὰ τοῦ Δ σʼΜμει’ου ἕφ᾽ ἐκάτερᾷᾳ τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται. Ἐὰν ἄρα κυκλου ; καὶ τὰ εξπ ς- |
AK basi AN scequalis ; angulus igitur KMA angulo NMA aequalis est. Sed KMA ipsi BMA est læ. qualis ; et BMA igitur ipsi NMA est : equalis, minor majori, quod est impossibile. Non igi- tur plures quam duze squales in ABT circulum a À puncto ex utráque parte ipsius AH minima cadent. Si igitur extra circulum, etc. |
Si hors d’un cercle on prend un point quelconque, si de ce point on mène à ce cercle des droites, si une d’elles est menée par le centre, et les autres comme on voudra ; parmi les droites menées à la circonférence concave, la plus grande est celle qui passe par le centre, et parmi les‘ autres celle qui est plus près de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui s’en éloigne davantage ; mais parmi les droites menées à la circonférence convexe, la plus petite est celle qui est entre le point pris hors du cercle et le diamètre, et parmi les : autres celle qui est plus près de la plus petite est toujours plus petite que celle qui s’en éloigne davantage ; et du point pris hors du cercle, on ne peut mener à la circonférence de l’un et l’autre côté de la plus petite, que deux droites égales.
Soit le cercle ABΓ, et hors du cercle ΑΒΓ, prenons un point quelconque 3 ; de ce point menons à ce cercle les droites na, ΔΕ, ΔΖ, ΔΓ, et que ΔΑ passe par le centre ; je dis que de toutes les droites menées à la circonférence concave ABZΓ, la plus grande est la droite ΔΑ, menée par le centre, et que la droite qui est plus près de celle qui passe par le centre sera toujours plus grande que celle qui s’en éloigne davantage ; ° la droite ΔῈ plus grande que az, et la droite ΔΖ plus grande que ÛΓ ; mais parmi les droites menées à la circonférence convexe ÛKH, la droite ÛôH placée entre le point Δ et le dia- mètre AH est la plus petite, et la droite placée plus près de la plus petite ΔΗ est toujours plus petite que celle qui s’en éloigne davantage ; la droite δκ plus petite que δλ, et la droite δλ plus petite que la droite δθ.
Prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 3) , qu’il soit le pointM ; et joignons ME, MZ, ΜΓ᾽, ΜΚ, MA, ΜΘ.
Puisque la droite ΑΜμ est égale à la droite EM, ajoutons la droite commune ΜΔ ; la droite ΑΔ sera égale aux droites EM, MΔ. Mais les droites EM, MΔ sont plus grandes que la droite ΕΔ (20. 1) ; donc la droite ΑΔ est plus grande que la droite ΕΔ. De plus, puisque la droite EM est égale à la droite ZM, ajoutons la droite commune ΜΔ, les droites ΕΜ, ΜΔ seront égales aux droites ZM, Ma ; mais l’angle EMA est plus grand que l’angle ΖΜΔ ; donc la base EX est plus grande que la base ΖΔ (24. 1) . Nous démontrerons semblablement que la droite ΖΔ est plus grande que la droite ΓΔ ; donc la droite ΔΑ est la plus grande, la droite ΔῈ plus grande que ΔΖ, et la droite 3z plus grande que a1.
De plus, puisque les droites MK, ΚΔ sont plus grandes que la droite M3 (20- 1) , et que la droite MH est égale à la droite MK, la droite restante ΚΔ est plus grande que la droite restante HA ; donc la droite ΔΗ est plus petite que la droite nrx ; donc elle est la plus petite. Et puisque sur un des côtés Mz. du triangle ΜΛΔ on a construit intérieurement deux droites, les droites ΜΚ, Ka sont plus petites que les droites mA, ΔΔ (21. 1) ; mais MK est égal à MA ; donc la droite restante ΔΚ est plus petite que la droite restante ñ1. Nous démontrerons semblablement que la droite àÛx est plus petite que la droite ΔΘ ; donc la droite ΔΗ est la plus petite, et la droite δκ est plus petite que la droite δλ, et la droite ΔΛ plus petite que la droité nw.
Je dis aussi que du point Δ, on ne peut mener au cercle que deux droites égales, de l’un et l’autre côté de la plus petite ΔΗ. Construisons sur la droite Mn, et au point M de cette droite, un angle ôMB égal à l’angle ΚΜΔ (23. 1) , et joignons ΔΒ. Puisque la droite MK est égale à MB, et que la droite Ma est com- mune, les deux droites ΚΜ, MÛ sont égales aux deux droites BM, MA, cha- cune à chacune ; mais l’angle ΚΜΔ est égal à l’angle ΒΜΔ ; donc la base ΔΚ est égale à la base nB (4. 1) . Je dis qu’on ne saurait mener du point Δ au cer- cle ΛΒΓ une autre droite égale à nrx. Quʼelle soit menée, s’il est possible, et qu’elle soit ûN. Puisque δκ est égal à δν, et ÛX égal à ΔβΒ, la droite ÛB est égale à ÛN ; donc une droite plus près de la plus petite ÛôH est égale à une droite qui s’en éloigne davantage, ce qui a été démontré impossible.
Ou autrement. Joignons MN. Puisque la droite ΚΜ est égale à MN, que la droite MA est commune et que la base AK est égale à la base AN, l’angle KMA est égal à l’angle NMa (8. 1) . Mais l’angle KMA est égal à l’angle BMa ; donc l’angle BMA est égal à l’angle NMA, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc il est impossible de mener du point A au cerele ABr, de l’un et l’autre côté de la plus petite AH, plus de deux droites égales. Donc, etc.