Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 10

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 189-191).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιʹ.	PROPOSITIO X.
Κυκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείογα ση- μεα ἢ δύο1.	Circulus circulum non secat in pluribus punc- tis quam duobus.
Εἰ γὰρ δυνατὸν, κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τἐμνέτὼ κατὰ πλείονα σημεῖα ἡ δύο, τΑ Β, H,	Si enim possibile, circulus ABΓ circulum AEZ secet in pluribus punctis quam duobus, in

Ζ, Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέ- σθωσαν κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα. καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖς ΒΘ, ΒΗ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσα » ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα3.	ipsis B, H, Z, C, et junct » BΘ, BH bifariam secentur in K, ^ punctis ; et ab ipsis K, & ipsis BΘ, BH ad rectos ductæ KΓ ; AM producantur in A, E puncta.
Ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΙ εὐθεία τις ἢ ΑΤ εὐθελοίν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τὲμ- νωὀ, ἐπὶ τῆς ΑΓ ἆροι ἐστι τὸ κέγτρον τοὺ ΑΒΓ κύκλου. Παλων. ἐπεὶ ἐν κυκλῳ τὼ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεία τις ἡ ΝΞ εὐθεῖαν φινα τὴν ΒΗ δῖχα καὶ πρὸς ορθας τέμνει. ἐπὶ τῆς ΝΞ ἀρὰ τὸ κεντρον ἐστὶ τοῦ ΔΈΤʼ κύκλου. Εἆω’χθπ ὃς καὶ πὶ τῆς	Quoniam igitur in circulo ABTʼ recta aliqua AT rectam aliquam BO bifariam et ad rectg, secat, in AT igitur est centrum 1psius ABT circu ; Rursus, quoniam in circulo eodem ABT req aliqua NZ rectam aliquam BH bifariam et aq rectos secat, in NZ igitur centrum estipsius ABp circuli. Ostensum autem ipsum esse etin AT, e

ΑΓ. καὶ καὶ οὐδὲν συμξζαάλλουσιν αἱ ΑΥ. ΝΞ εὐθεῖα, ἀλλήλαιςΐ ἢ κατὰ τὸ Ο" τὸ Ο ἄρα ση- μεῖον κἔʼντρ-ον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, Ομοίως δὴ ἆει’ξομεν, ὁτι καὶ τοῦ ΔῈΖ κύλλου πἕντρον ἐστὶ τὸ Ὁ" ὀΐυ’ᾶἆ’ρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους. τῶν ἌΒΓ. ΔΕΖ, τὸ αὐτὸό ἔστι κέντρον πὸ οὔ, ἶΐᾷτερ ἐστὶν ἀἄδύνωτον. Οὐκ ἄρα κύκλος. καὶ τὰ ἑξῆς.

in nullo puncto conveniunt AT, NZ rectz inter. Se preterquam in O ; ergo O punctum centrum est ipsius ABTʼ circuli. Similiter autem ostende- mus, et ipsius AEZ circuli centrum esse O ; duo- rum igitur circülorum sese secantium ABT, ÀEZ, idem erit centrum O, quod est impos- sibile. Non igitur circulus, etc.

ΑΛΛΩΣ.	ALITER.
Κύχλος γὰρ πάλιν ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τιμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο, τ Β, ῆ, Ζ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου ; τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ, ΚΗ, ΚΖ.	Circulus enim rursus ABΓ circulum AEZ se- cet in pluribus punctis quam duobus, in ipsis B, H, z, et sumatur centrum ipsius ABCΓ circuli, ip- sum K, et jungantur KB, KH, KZ.
Επεὶ οὖν. κὀόκλου τοῦ ΔΕΖ εἴληπταί τι ση- μεὶον ἐντὸς, τὸ K, καὶ ἀπο τοὺυ Κ πρὸς τον	Quoniam igitur intra circuelum AEZ sumptum est aliquod punctum K, et a K in AEZ circu-

ΔΕΖ κύκλον προσπεπτώκασι πλείους ἢ δο εὖ- θεῖαι ἴσαιδ, αἱ ΚΒ, ΚΖ, ΚΗἍ τὸ Κ ἄρα σημεῖον κέντρον ; ἐστὶ7 τοῦ ΔΕΖ κύκλου. Εστι δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κʼ δύο ἄρα κύκλων τε- μνόντων ἀλλήλους τὸδ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ τὸ Κ, ὁπερ ἀδύνατον. Ουκ ἄρα κύκλος, καὶ τὰ ἐξῆς.

lum incidunt plures quam duz rectæ æquales, ipsæ KB, KZ, KH ; ergo K punctum centrum est ipsius AEZ circuli. Ést autem et ipsius ABΓ circuli centrum ipsius K ; duorum igitur cireulorum sese secantium idem centrum est K, quod im- possibile. Non igitur circulus, etc.

PROPOSITION X.

Un cercle ne coupe pas un cercle en plus de deux points.

Car si cela est possible, que le cercle ABΓ coupe le cercle ΔEZz en plus de deux points, aux points B, H, Z, Θ ; joignons les droites ΒΘ, BH ; coupons-les en deux parties égales aux points k, t, et par les points K, Λ, ayant conduit les droites ΚΓ, ΛΜ perpendiculaires à BB, BH, prolongeons -les vers les points Α, E. Puisque dans le cercle ABΓ, la droite ΑΓ coupe la droite BΘ en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle ΑΒΓ est dans la droite AΓ (cor. 1. 3) . De plus, puisque dans le même cercle ΑΒΓ la droite ΝΞ coupe la droite ΒΗ en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle ΑΒΓ est dans la droite NZ. Mais on a démontré qu’il est dans la droite ΑΓ, εἱ les deux droites ΑΓ, NZ ne se rencontrent qu’au point o ; donc le point o est le centre du cercle ΑΒΓ. Nous démontrerons semblablement que le point o est le centre du cercle xrzz ; donc le même point o est le centre des deux cercles ΑΒΓ, ΔΕΖ, qui se coupent mutuellement, ce qui est impossible (5. 3) . Donc ; etc.

AUTREMENT.

Car que le cercle ABΓ coupe encore le cercle ΔEΖ en plus de deux points, aux points B, H, Z ; prenons le centre K du cercle ABΓ, et joignons ΚΒ, KH, KZ.

Puisque dans le cercle ΔEΖ, on a pris un point K, et que plus de deux droites égales κβ, KZ, KH tombent du point & dans 18 cercle ΔΕΖ, le point K est le centre du cercle ΔEΖ (9. 3) - Mais le point est le centre du cercle ÛPT ; donc le même point K est le centre de deux cercles qui se coupent ; ce qui est impossible (5. 3) .