Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 11

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 192-193).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ια.	PROPOSITIO XI.
Εὰν δύο κύκλοι ἐράπτωνται ἀλλήλων ἐντὸς, καὶ ληφθῃ αὐτῶν τὰ κἐντρὰ, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶϊ ἐκζαλλομένη ἐπὶ τήν συναφῷην πέσειται τὼν κὐυκλων.	Si duo circuli sese contingant intus, et g. mantur eorum cerira, centra eorum conjun. gens recta producta in eontactum cadet circu. lorum.
Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτεέσθωσαν3 ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεεῖΖον, καὶ εἰλέφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου" κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η" λέγω 9τι ἡ ἀπὸ τοὺυ Η ἐπὶ το Ζ ἐπι- ζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκααλλομένη ἐπὶ τὸ ΑἸ πεσεῖται.	Duo enim circuli ABΓm, AAE sese contingant intus in A puncto, et sumatur quidem ipsius ABΓ circuli centrum Z, ipsius autem AAE ipsum H ; dico ab H ad Z conjungentem rectam pro- ducetam in A cadere,

Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ, ζαὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.	Non enim, sed si possibile, eadat ut ZHe, et jungantur AZ, AH.
Επεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆς ΖΑ τουτʼ ἔστι τῆς ΖΘ", μείζονές εἰσι, κοινηΗη ἀφηῃρησθω ἡ Ζ7Η͂. λοιπὴ ἄρα ΛἡΓΑΗ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν. Ιση δὲ ἡ ΑΗ τζ ΔΗ͂ !  : καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν,	Quoniam igitur AH, HZ ipsà ZA, hoc est ipsá Ze majores sunt, communis auferatur ZH ; reliqua igitur AH reliquà HO major est. Jqua- lis autem AH ipsi AH ; et HΔ igitur ipsá HΘ
ἡ ἐλαττων τῆς μείζονος, ὅσπεέερ ἐστιν" ἀσδυνατον. Οὐκ ἄρὰ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ἢ ἐπιζευγνυμένη εὐθεία ἐκτὸς τῆς κατὰ Τὸ Α συναφῆς πεσεῖται" κατὰ τὸ Α ἀρὰ ἐῆ᾽τ τῆς συναφῆς πέσειται7, Ἐὰν ἄρα δώο κύκλοι, καὶ τὰ ἐξῆς.	major est, minor majore, quod est impossi- bile. Non igitur aZ ad H conjuncta recta extra contactum ad A cadet. Ergo in contactum ad A cadet. Si igitur duo circuli, etc.

ΑΛΛΩΣΖ.	ALITER.
Αλλὰ δὴ πιπτέτω ὡς ἡ ΗΖΓ, καὶ ἐκἼεῦλχη σθωδ ἐπ εὐθιειίας ἡ ΗΖΓ ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπε- ζύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΑΖ.	Sed etiam cadat ut HZT, et producatur in directum ipsa HTʼZ ad 6 punctum, et jungan- tur AH, AZ.
Επεὶ οὖὐν αἱι ΑΗ, ΗΖ μείζους εἰσὶ τῆς ΑΖ, ἀλλὰ ἡ ΖΑ ἴση ἐστὶ τῇ Ζ2ΖΓ, τοῦτ ἐστι τὴῃῇ ΖΘ, κοινή ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ. λοιπή ἄρα ἡ ΑἩ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν, τοῦτʼ ἔστιν ἡ ΗΔ τῆς ΗΘ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Ομοίως, κἀν ἐκτὸς ἦ τοῦ μικροῦ τὸ κέντρον τοῦ μείζονος κύελου, δείξομεν τὸ αὐτὸ ἀτοπον9.	Quoniam igitur AH, HZ majores sunt ipsá AZ, sed ZA zqualis est ipsi ZP, hoc est Ipsi ZO, communis auferatur ZH ; reliqua igitur AH re- liquáà HO major est, hoc est HA Ipsá HO, mi- nor majore, quod est impossibile. Similiter, et si extra parvum sit centrum majoris circuli, ostendemus hoc idem absurdum.

PROPOSITION XI.

Si deux cercles se touchent intérieurement, et si on prend leurs centres, la droite qui joint leurs centres étant prolongée tombera au contact de ces cercles.

Que les deux cercles ABΓ, ΑΔE se touchent intérieurement au point A ; prenons le centre Z du cercle ΑΒΓ, et le centre H du cercle ΑΔE ; je dis que la droite menée du point H au point Ζ, étant prolongée, tombera en Α.

Que cela ne soit point, mais s’il est possible, qu’elle tombe comme ΖΗΘ ; et joignons 4Z, AH.

Puisque les droites AH, HZ sont plus grandes que ΖΑ (20. 1) , c’est-à-dire que ΖΘ, retranchons la droite commune 7H ; la droite restante ΑΗ sera plus grande que la droite restante ΗΘ. Mais AH est égal à ΔΗ ; donc ΗΔ est plus grand que oH, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc la droite menée du point z au point H ne tombera pas hors du contact en Α ; donc elle tombera dans le contact en Α. Donc, etc.

AUTREMENT.

Mais qu’elle tombe comme T, prolongeons Hc directement vers le point, et joignons AH, ΗΖ.

Puisque les droites AH, HZ sont plus grandes que 4z, et que z est égal à7T, c’est-à-dire à ΖΘ, retranchons la droite commune ΖΗ ; la droite restante ΑΗ͂ sera plus grande que la droite restante ΗΘ, c’est-à-dire, Hn plus grand que H®, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Si le centre du grand cercle était hors du petit cercle, nous démontrerons semblablement qu’il s’en suivrait une absurdité.