Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 14
C. F. Patris, (1, p. 197-199).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδʹ. | PROPOSITIO XIV. |
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Εν κὐυκλῳ αι ἴσαι εὐθεῖαι ἴσον αἀπεχουσιν ἀπὸ τοὺ κέντρου, καὶ αἱι ἰσὸν ἀπέχουσαι ἁπὸὰ τοὺυ κέν- τρου ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίιν. |
In circulo zquales rectze equaliter distant a ceniro, et qui zqualiter distant a centro - quales inter se suut. |
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Εστω κυκλος ὁ ΑΒΔΓ, καὶ ἐν αὐτῷ ἴσαι ευ. θεῖαι ἐστωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ. λέγω ὅτι αἱ AΒ, ΓΔϊ ἰἔσὸὼν ἀπέγχουζιν ἀπὸ του κέντρου. |
Sit circulus ABAT, etin eo aquales rectz sint AB, TʼA ; dico ipsäs AB, TʼA xqualiter distare. a ceniro. |
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Εἰληφθω γὰρ τὸ κένστρον τοῦ ΑΒΔΓ κύκλου, καὶ. ἐστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ κάθεται ἡ χθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΓΕ. |
Sumatur enim centrum ʼipsius ABAT circuli, et sit E, et ab Ead AB, A perpendiculares du- cantur EZ, EH, et jungantür AE, IlʼE.
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Επεὶ οὖν εὐθει τις διὰ τοῦ κεντρου ἡ θΖ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κένγτρου τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει. Ιση ἄρα 1 ΑΖ τη Β2. διπλῆ ἄρα ἡ Αδ τῆς ΑΖ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΓΗ ἐστὶ διπλῆ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ2 ΑΒ τῇ ΓΔ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΤΗῆ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῃ ᾿Γ ἰσὸν καὶι Τὸ α΄σὸὺ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ἔΓ. Αλλὰ τῷ μὲγ ἀπὸ τῆς ΑΕ |
Quoniam itaque recta aliqua EZ per centrum rectam aliquam AB non per centrum ad recto ; secat, etbifariam ipsam secat. Jqualis igitur AZ ipsi BZ ; dupla igitur AB ipsius AZ. Propter eadem utique et ΓΔ, ipsius ΓH est duplafet est ; qualis AB ipsi ΓΔ ; æqualis igitur et AZ ipsi ΓH. Et quoenium æqualis est AE ipsi EΓ æquale et ipsumra ex AE ipsi ex EΓ. Bed ipsi quidem |
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ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ, ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνίαΖ τῷ δὲ ἀαπὸ τῆς ἘΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΕΗ, ΗΓ, ὄρθή γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η͂ γωνίαι. τὰ ἄρὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΤῊ, ΗΕ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΤΗ͂, ἴση γαάρ. ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ. λοιπὸν ἀρὰ τὸ ἀπο Τῆς, ΖῈ λοιπῳ τῷ απὸ τῆς ΒΕΠ ἴσον ἐστιν. ἰσὴ ἄρα3 ἡ ΖΕ τῇ ΕΗ. ἔν δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ, κεέγτρου εὐθεέα. αι λέγονται, ὁταν αἱ ἀπὸ τΤοὺ κέν- |
ex AE æTqualia ipsa ex AZ, ZE, rectus enim ad Z angulus ; ipsi vero ex EΓ æmqualia ipsa ex EH, HΓ, rectus enim ad H angulus ; ipsa igitur ex AZ, ZE æqualia sunt ipsis ex ΓH, HE, quorum ipsum ex AZ æquale est ipsi ex ΓHl, æqualis enim est AZ ipsi ΓH ; reliquum igitu ipsum ex ZE rfliquo ex EH ; æquale est, æqualis igitur ZE ipsi EH. In circulo autem zæqualiter distare à ceutro rectæ dicuntur, quando a cen-
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τρου ἐπὶ αὐτὰς κάθετοι ἀγύμε : αι ἴσαι ὦσιν αἱ ἄρα ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου. |
tro ad ipsas perpeudiculares ductæ ; Équales su : t jbPrgo AB, ΓW æqualiter distaut a ceniro. |
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Αλλὰ δὴ αἱ ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖαι ἴσον ἀπεχέετωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τοῦτ ἐστιν, ἰσὴη ἐστὼ ἡ ΕΖ τὴη ΕΗ͂ὄ λέγω ὑτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ. |
Sed demum æqualiter AB, ΓAA distent a centro, hoc est, æqualis sit EZ ipsi EH ; dico æqualem esse et. AB ipsi ΓA. |
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Τῶν γὰρ αυὐτῶν κατασπευασθεντων, ομοίως δὴ δείξομεν, ὁτι διπλὴ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΑΖ, ἡ δὲεὶ ΓΔ τῆς ΓΗ καὶ ἐπεὶ ἰση ἐστὶν ἡ ΛΕ τῇ ΓΕ. ἰσον ἐστὶΔζ τὸ απὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ » ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΕ ἰσὰ ἐστί τὰ ατ΄ὸ τὼν ΕΖ, 2ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ἘΠῆ͂, ΗΤς, τὰ ἀρὰ ἀποὸ τῶν ΕΖ, 2ΖΛ ἴσὰ ἐστι τοις απὸ τῶν ΕΗ͂, ΗΓ, ὧν τὸ ἀαἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ἀα΄ὸο τῆς ΒΠ εστὶίν ἴσονα, ἴση γὰρ ἡ ΕΖ τῇ ΕΗ͂. λοιπὸν ἀρὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ ἴσον ἐστίνὦ. ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΗ διπλὴῆ ἡ ΓΔ. ἴση ἄρα ἡ ΑΒ τηή ΓΔ. Εν κὐύκλῳ ἄρα, καὶ τὰ ἐξῆς. |
Etenim iisdem constructis, similiter utique ostendemus duplam esse quidem AB ipsius AZ, et ΓΔ ipsius ΓH ; et quoniam æqualis est AE ipsi ΓE, æquale est ipsum ex AE ipsi ex ΓE ; sed ipsi quidem ex AE æqualia sunt ipsa ex EZ, ZA, ipsi vero ex ΓE ipsa ex EH, HΓ ; ipsa igitur ex EZ, ZA æqualia sunt ipsis ex EH, HΓ, quorum ipsum ex EZ ipsi ex EH est æquale, æqualis enim EZ ipsi EH ; reliquum igitur ex AZ reliquo ex ΓH est æquale ; æqualis igitur AZ ipsi ΓH, et est ipsius quidem AZ dapla AB, ipsius vero ΓH dupla Γ^. æqualis igitur AB ipsi ΓΔ8. In circulo igitur, etc. |
Dans un cercle les droites égales sont également éloignées du centre, et les droites également éloignées du centre β8οπϊ égales entrelles.
Soit le cercle ÛBaΓ, et que dans ce cercle les droites : AB, ΓΔ soient égales ; je dis que les droites ΑΒ, ΓΔ sont également éloignées du centre.
Prenons le centre du cercle ΑΒΔΓ, qu’il soit le point E, du point E menons les droites EZ, EH perpendiculaires aux droites aB, ΓΔ, et joignons XE, TE. Puisque/la droite EZ menée par le centre, coupe à angles droits la droite ΑΒ, non menée par le centre, elle la coupe en deux parties égales (3. 3) . Donc Αἴ est égal à BZz ; donc ΑΒ est double de ΑΖ. Par la même raison Γ est double de ΤῊ ; mais ΑΒ est égal à ΓΔ ; donc az est égal a ΓH. Et puisque ΑΕ est égal àET, le quarré de ΑΒ est égal au quarré de ΕΓ. Mais les quarrés des droites ΑΖ, 7E sont égaux au quarré de ΑΕ (47- 1) , car lʼangle en Z est droit ; et les quarrés des droites EH, , HΓ sont égaux au quarré de ET, , car l’angle enH est droit ; donc les quarrés des droites AZ, ZE sont égaux aux quarrés des droites TH ! , HE ; mais le quarré de ΑΖ est égal au quarré de ΓH, car 4z est égal à ΓH ; donc le quarré restant de ZE est égal au quarré restant de EH ; donc ZzE est égal à EH. Mais dans un cercle les droites sont dites également éloignées du centre, lorsque les perpendiculaires menées du centre sur ces droites sont égales (déf. j. ä) ; donc les droites ΑΒ, ΓΔ sont également éloignées du centre.
Mais que les droites AB, Γ— soient également éloignées du centre, c’est-à-dire, que ZE soit égal à EH ; je dis que AB est égal à ΓΔ.
Les mêmes constructions étant faites, nous démontrerons semblablement que AB est double de 4z, et Γ ; double de Γη. Ετ puisque ΑΒ est égal à TE, le quarré de ΑῈ est égal au quarré de ΓΕ. Mais les quarrés des droites EZ, ZA sont égaux au quarré de ÆE (47. 1) , et ies quarrés des droites EH, HΓ égaux au quarré de zE ; donc les quarrés des droites 8Ζ, ZA sont égaux aux quarrés des droites EH, ἫΓ ; mais le quarré de EZ est égal an quarré de EH, car EZ est égal à ΒΗ ; donc le quarré restant de ΑΖ est égal au quarré restant de ΓΗ͂ donc 4z est égal à ΓB ; mais AB est double de la droite z, et çn double de à°€° ; donc ΑΒ est égal à