Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 13
C. F. Patris, (1, p. 195-197).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγʹ | PROPROSITIO XIII. |
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Κυκλος κυκλοῦ οὐκ ἐφαπτέται κατὰα σπλειονὰα σημεῖα ἢ καθ ἐν, ἐάν τε ἐντὸς ἐφάπτηται ἐὰν τε ἐκτὸςϊ, |
Circulus cirenlum non contingit in pluribus punctis quam in uno, sive intus contingat, sive extra. |
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Εἰ γὰρ δυνατὸν, μύκλος ὁ ΑΒΔΓ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτεέσθω : προτερον ἐντὸς κατὰ πλείοναὰ σημεια ἡ ἐν, τα Β, Δ. |
Si enim possibile, circulus ABΔΓ circulum EBZ^ contingat primum intus in pluribus punctr quam in uno, in B, Δ. |
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Καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΔΙ κύκλου κέντρον. τὸ Η τοῦ δὲ ΕΒΖΔ. τὸ Θ. |
Et sumatur ipsius quidcm ABAT circuli cea- trum H ; ipsius autem EBZA, ipsum O.
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Η ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ͂. ἐπιζευγνυμένη ἐῸ θεῖ. 9 πὶ τὰ Β, Δ πεσεῖται. Γἡπτετω ὡς ἡ ΒΗΘΔ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΔΓ, κύελου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ͂ τῇ ΗΔ. μείζων αρᾶ Ἡ ΒΗ τῆς. ΘΔ᾽ πολλῳῷ ἀρὰ μεἰζὼν ἡ ΒΘ τῆς ΘάΑ. Πάλιν, ἐπὲὶ τὸ Θ σημέιον πέντρην ἐστι τοὺυ ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ. Ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων, ὁπερί ἀδὐύνατον". οὐκ ἀρὰ κυκλος κὐυκλου ἐφάπστεται ἐντος κατὰ πλείονὰ σημεριὰ ἡ ἐν. |
Ipsa igitur ab H ducla recta ad Θ in puncti B, A cadet. Cadat ut BHΘ^M. Et quoniam H punc. tum centrum estipsius ABAΓ circuli, æqualis est BH ipsi EΔ ; major igitur BH ipsà eG ; ergo multo major BΘ ? ipsá e^. Rursus, quoniam e pünctum centrum est ipsius EBZA circuli, æqua- lis est B& ipsi Θa. Ofstensa est autem ipsà et multo major, quod impossibile ; non igitur circulus circulum contiugit intus in pluribu ; puncetis quam in uno. |
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Λέγω δὴ ὅὁτι οὐδε ἐκτός. ἘΪ γὰρ δυνατὸν, κύ- κλος ὁ ΑΓΚ κύκ : ου τοῦ ΑΒΔΓ ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατα πλείΖορονα σημέια ἡ ἐν, τα, Γι ζκαι ἐΖσεεέι- ζεύχθω η ΑΓ. |
Dico etiam neque extra. Si enim possilile, circulus AΓK circulum ABΓΔ contingat extra in pluribus punctis quam in uno, in A, Γ, et jungatur AΓ. |
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Εσπεὶ οὐν κυκλωὼν τῶν ΑΒΔΓ, ΑΓΚ εἰλήσπται ἐπὶ της περιφερείας ἐκατέρου ὄνο τυχοντὰ σημειά τὰ Α, Γ, ἡ ἄραῦ ἐΠῚ1 τὰ αυταἹ σημειὰ ἐπιζευγνυμένη |
Quoniam igitur circulorum ABΔΓ, AΓK sumpta sunt in circumferentiis ulriusque duo quilibet puneta. a, Γ, hec utique punela conjungens recta
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εὐθεία ἐντὸς ἐκατέρου πΡόσειται, Αλλὰ τοὐ μεν ΑΙὗ͂ΔΙ εντὸς ἐπέσε, του ὅς ΑΓΚ ἐκτὸς, οΠεέρ εἰτο- πὰνΨ αὐκ ἀρὰ κύκλος κὐυκλου ἐῷαπτεται ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεία ἡ ἐν. Εδείχῇηυη δὲ, ὁτι οὐδὲ ἐντος ϑξἔἴά υκλος ἀρὰ, καὶ τὰ ἐξῆς. |
intra uttumque cadét. Sed quidem intra ipsuni ABAΔΓ cadit, extra vero ipsum AΓÉ, quod ab- surdum. Non igitur circulus circulum contin- git extra in pluribus punctis quam in uno. Osten- sum estautem neque intus. Circulaus igitur, etc. |
Un cercle ne touche point un cercle en plus d’un point, soit qu’il le touche intérieurement, ou extérieurement.
Car si cela est possible, que le cercle ABΔΓ touche d’abord intérieurement le cercle ΕΒΖΔ en plus d’un point, aux points B, Δ.
Prenons le centre H du cercle ABΔΓ, et le centre Θ du cercle EBZΔ. La droite menée du point H au point Θ passera par les points B, Δ (r1. 3) . Qu’elle tombe comme BHΘΔ. Puisque le point H est le centre du cercle çBar, la droite ΒΗ est égale à ΗΔ ; donc BH est plus grand que os ; donc ΒΘ est beaucoup plus grand queé os De plus, puisque le point Θ est le centre du cercle ΕΒΖΔ, la droite ΒΘ est égale à on. Mais on a démontré qu’elle est beaucoup
plus grande, ce qui est impossible ; donc un cercle ne touche pas intérieurement un cercle en plus d’un point.
Je dis aussi qu’il ne le touche pas extérieurement en plus d’un point. Car, s’il est possible, que le cercle AΓK touche extérieurement le cercle ΑΒΔΓ en. plus d’un point, aux points Α. , Γ ; joignons ΑΓ.
Puisque dans la circonférence des cercles ΑΒΔΡ, ATX, on : a pris deux points. quelconques 4, Γ ; . la droite qui joindra ces deux points tombera dans lʼun et l’autre cercle (2. 3) . Mais elle tombe dans le cercle aBar, et hors du cercle αγκ (déf. 3. 3) , ce qui est absurde ; donc un cercle ne touche pas extérieurement un cercle en plus d’un point. Mais on a démontré qu’il ne le touche pas intérieurement en plus d’un point. Donc etc.