Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 3

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 172-174).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ γ'.	PROPROSITIO III.
ἘΕὰν ἐν κύκλῳ εὐθελά τις διὰ τοῦ κέντρού εὐ. ιθεῖαν τινα μὴ διὰ τοῦ κεντρου δῖχα τέμνῃ, καὶ	Si in circulo recta aliqua per centrum rec- tam aliquam noii per centrum bifariam secet,
πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει. καὶ ἐὰν πρὰς ὀρθὰς αὐ. τὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτηὴν τέμνει.	et ad rectos ipsam : seccat ; et si eam ad rec- tos secet, et bifariam ipsam secat.
Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ εν αὐτῷ εὐθεῖα τις διὰ τοῦ κέντῤου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινὰ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τήν ΑΒ δῖχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. λέγω ὁτι καὶ πρὸς ορθὰς αὐτὴν τέμνει.	Sit circulus ABΓ, et in ipso recta aliqua ΓΔ per centrum, rectam aliquam AB non per cen- trum bifariam secet in Z puneto ; dico et ad rectes ipsam secace.
Εἰληήφθω γαρ το χέεντρὸν τοὺ ΑΒΓ κυκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕΑ, ΕΒ.	Sumatur enim centrum ABHΓ circuli, et sit E, et jungantur EΔ, EB.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ Ζβ, κοιγὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ1 δυσὶν ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΕΑ, βασει τῃ ΕΒ ἴση, γωνία ἄρα3 ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γω- νίᾳα τῇ ὑπὸ ΕΖΒ ἴση ἐστίν. Οταν δὲ εὐθεῖα ἐπ θυθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήη- λαις ποιΐ, ὀρθή ἐκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστίν. ὀρθη ἀρὰ ἐστίν ἐκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ. ΒΖΕΊ. Η͂ ΓΔ ἀρὰ διεὰ τοῦ κέντρου οὖσα3 τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὐσαν δίχα τέμνουσα, καὶ πρὸς ὀρ- θὰς αὐτὴνϑ τέμνει.	Et quoniam æqualis est AZ ipsi ZB, commu- nis autem ZE, duæ utique duabus æquales sunt, et basis EA basi EB æqualis ; angulus igitur AZE angulo EZB æqualis est. Quando autem recta super rectam insistens deinceps angulos æ- quales inter se facit, rectus ulerque æqualium angulorum est ; rectus igitur est uterque ipsorum AZE, BZE. Ergo ΓAΔ per centrum ducta ip- sam AB non per centrum ductam bifariam se- canus, et ad rectos ipsam secat.
Αλλὰ δὴ καιη ΓΔ τήν ᾿ΑΒ προς ὀ ρθὰς τεμ. νέτω λέγω ὁτι καὶ δίχα αὐτὴην τέμνει, τοῦτ ἔστιν, ὦτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῃ ΖΒ.	Sed et ΓΔ ipsam AB ad rectos secet ; dico et bifarram ipsam secare, hoc est, æqualem esse AZ ipsi ZB.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡδ8 ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ἘΒΖ. Εστι δὲ καὶ ὀρθὴή ἡ ὑπὸ	Eisdem enim constructis, quoniam ? qualis est EA ipsi EB, æqualis est et angulus EAZ ipsi EBZ. Est autem et rectus AZE recio BZE dqua-

ΑΖΕ ὀρθ) ῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση » δύο ἀραϑ τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ, ΕΖΒ τὰς δώο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἐσας ὀχοντα, καὶ μίὰαν πλευραν μιᾳρ σπλευρᾷ ἔσην, κοινήν αὐτῶὼν τὴν ἘΔ. υποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν. καὶ -τὰς λοιπὰς ἄρὰ σλευρὰς ταις λοιπαις πλευραιῖς ἰΙσὰς ἐξειῊ ἴση ἀρὰ ἡ ΑΖ τῃ Ζ28. Βὰν ἀρὰ ἐν κύυκλῳ, καὶ τὰ ἐξῆς.

lis ; duo igitur triangula sunt EAZ, EZB duo ; angulos duobus angulis æquales habentia, et unum latus uni lateri æquale, commune ipsis EZ, subtendens unum æqualium angulorum ; et reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt ; æqualis igitur est AZ ipsi ZB. Gi igi- tur in circulo, etc.

PROPOSITION III.

Si dans un cercle une droite menée par le centre coupe en deux parties égales une droite non menée par le centre, elle la coupera à angles droits ; et si elle la coupe à angles droits, elle-la coupera en deux parties égales.

Soit le cercle ABΓ ; que dans ce cercle, la droite ΓΔ menée par le centre coupe en deux parties égales au point z la droite ΑΒ non monée par le centre ; je dis qu’elle la coupe à angles droits.

Prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 3) ; qu’il soit B, et joignons EA, EB.

Puisque ΑΖ est égal à ΖΒ, et que la droite ZB est commune, deux droites sont égales à deux droitès ; mais la base ΕΑ est égale à la base EB ; donc l’angle AZE est égal à l’angle ΕΖΒ (3. 1) . Mais lorsqu’une droite tombant sur une autre droite fait les angles de suite égaux entreux, chacun des angles égaux est droit ; donc chacun des angles ΑΖΕ, ΒΖΕ est droit. Donc la droite ΓΔ, menée par le centre, et qui coupe en deux parties égales la droite ΑΒ non menée par le centre, coupe aussi cette droite à angles droits. Mais que la droite ΓΔ coupe la droite ΑΒ à angles droits ; je dis qu’elle la coupe en deux parties égales, c’est-à-dire que AZ est égal à ZB.

Faisons la même construction ; puisque ΒΕΑ est égal à EB, l’angle E4Z est égal à l’angle EFZ (5. 1) . Mais l’angle droit AZE est égal à l’angle droit BZE ; donc EAZ, EZB sont deux triangles qui ont deux angles égaux à deux angles, et un côté égal à un côté, c’est-à-dire leur côté commun Ez, qui soutend un des angles égaux ; donc ces deux triangles auront les côtés restants égaux aux côtés restants (26. 1) ; donc az est égal à ZB. Donc, etc.