Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 4

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 175-176).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ δʼ.	PROPOSITIO IV.
Εὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέἐμνωσιν ἀλλήλας, μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὐσαιοὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.	Si in circulo duæ rect ? sese secent, non per centrum ductz, non sese secabunt bifariam.
Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ὁ ση- μεῖονι, μὴ δία τοῦ κέντρου οὖσαι λέεγὼ ὅτι οὐυ τέμνουσιν ἀλήλας δέχα.	Sit circulus ABΓZ, et in ipso duæ rectæ AΓ, BΔ sest secent in E puncto, non per centrum ductæ ; dico non eas sese secare bifariam.

Εἰ γὰρ δυνατον, τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίῖχα, ὥστε ἴσην εἰναι τήν μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, τῆν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον του ΑΒΓΔ κυκλου. καὶ ἐστὼ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖE	Si enim possibile, sese secent bifariam, ita ut æqualis sit AE quidem ipsi EΓ, et BE ipsi EΔ, ; et sumatur centrum ABΓAX circuli, et sit Z, et jungatur ZE.
Επεὶ οὐν εὐθεζὰ τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐ- θειαν τινὰ μὴ διὰ τοῦ κέντρουῷξ τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὲς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνεῖ » ὀρθὴ ἄρα	Quoniam igitur recta aliqua ZE per cen- trum rectem aliquam AΓ non per centrum bifariam secat, et ad rectos ipsam secat ;
ἐστ ὶνά ἡ ὑπὲ ΖΕΑ. Παλιν, ἐπεὶ εὐθεία τις ἡ ΖΕ εὐθελξαν τινα τὴν ΒΔ μὲ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αυτὴν τέμνεῖ. ορθὴ ἄρα	rectus igitur est ZEA. Rursus, quoniam recta aliqua ZE rectam aliquam BΔ non per centrum, bifariam secat, et ad rectos ipsam secat ; rectus

ἡ ὑπ. Ζ͵ΕὨβ1, Εδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθη ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ, ἡ6 ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν7 ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα. Εὰν ἄρα ἐν κύκλχῳ, καὶ τὰ ἑξῆς.

igitur est ZEB. Ostensus est autem et ZEA rec- tus ; æqualis igitur ZEA ipsi ZEB, minor ma- jori, qued est impossibile. Non igitur AΓ, BΔ sese secant bifariam. Si igitur in circulo, etc.

PROPOSITION IV.

Si dans un cercle deux droites non menées-par le centre se coupent, elles ne se coupent point en deux parties égales.

Soit le cercle ΑΒΓΔ, et que dans ce cercle les deux droites AΓ, BA, non menées par le centre, se coupent au point E ; je dis qu’elles ne se coupent point en deux parties égales.

Car si cela est possible, qu’elles se coupent en deux parties égales, de manière que AE soit égal à EΓ, et BB égal à EA ; prenons le centre du cercle ABΓn (. 3) , qu ? il soit le point Z, et joignons ΖΕ.

Puisque la droite ZE, menée par le centre, coupe en deux parties égales la droite AΓ non menée par le centre, elle la coupera à angles droits (3. 3) ; donc l’angle ΖΕΑ est droit. De plus, puisque la droite ΖΕ coupe en deux parties égales la droite ΒΔ non menée par le centre, elle la coupera à angles droits ; donc l’angle ΖΕΒ est’ droit. Mais on a démontré que ’angle ZEA est droit ; donc l’angie ΖΕΑ est égal à l’angle zEB, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc les droites AΓ, ΒΔ ne se coupent point en deux parties égales. Donc, etc.