Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 7

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 178-181).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζʹ.	PROPOSITIO VII.
Εὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι ση- μεῖον ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί	Si circuli in diametro sumatur aliquod punc- tum quod non sit centrum circuli, ab ipso autem puncto in circulum cadant reciæ qui-
τινεςῖ1 μεγίστη μὲν ἔσται ἐφ, ἥς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπήΆΨ τῶν δὲ ἄλλων, ἀεὶ ἡ ἐγ. γιον. τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίΖ δύο δὲ μόνον2"Σ ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπέσουνται πρὸς τὸν ηύκλον, ἐῷ, ἐκατερζ Τῆςὦ ἐλαχίστης.	dam, maxima quidem erit in quà centrum, minima vero reliqua ; aliarum autem, sem- per propinquior ei quæ per centrum remo- tiore major est ; dueque solum æquales ah eodem puncto cadent in circulum, ex utráque parte minimæ.
Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάώμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὁ μη ἐστι πέντρον τοὺῦ κύκλου, κεέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἐστω τὸ Εαᾳ καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς. τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινες	Sit circulus ABΓΔ, diameter autem ipsius sit AB, , et in ipsà AΔ sumatur aliquod punctum Z, quod non sit centrum circuli, centrum au- tem circuli sit E, et 3 Z in ABΓΔ circulum cadant rect ? ü quedam ZB, ZΓ, ZH ; dico ma-

αἱ ΖΒ, ΖΣ, ΖΗ͂2 λέγω ὁτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ Ζ2Δ » τῶν δὲ ἄλλων, ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.	ximam quidem esse ZA, minimam vero Z4 ; aliarznam autem, ZB quidem majorem ipsà ZΓ ; et ZΓ ipsà ZH.
Επεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, Η.	Jungantur enim BE, ΓEE, HE.
Καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές : εἰσιν, αἱ ΕΒ, ΕΖ ἄραϑ τῆς ΒΖμεί-	Et quoniam omnis trianguli duo latera reli- quo majora sunt, ipsæ EB, EZ igitur ipsá BZ
ζονές εἰσιν. Ιση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ, αἱ ἄρα ΒΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΑΖʼ μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ. ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΓΉ, ΒΖ ἴσαι εἰσίν. Αλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ͂ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζῳν" βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς ΓΖ μείζων ἐστί. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΗΖ μείζων ἐστί3.	majores sunt. Jqualis autem AE ipsi BE ; ergo BE, EZ æquales sunt ipsi AZ ; major igitur es AZ ipsá BZ. Rursus, quoniamn æqualis est Bg ipsi ΓE, communis autem ZE, duæ utique BE, EZ duabus ΓE, EZ æquales sunt. Sed et jn. gulus BEZ angulo ΓEZ major ; basis igitur B basi ΓZ major est. Propter eadem utique et rz ipsà HZ major est.

Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΗ͂ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΕΔ. αἱ ἄρα ΗΖ, Ε τῆς ΕΔ μεί- ζονές εἰσι. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς 2Δ μείζων ἐστί. Μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ 2Δ. μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ 1Γ τῆς ZΗ.	Rursus, quoniam HZ, ZE ipsá EH majore sunt, æqualis autem EH ipsi EΔ ; ergo HZ, ZE ipsá EΔ^ majores sunt. Communis auferatur EZ ; reliqua igitur HZ reliquá Zé mqajor est Maxima quidem igitur ZA, minima vero Z4 ; major autem ZB quidem ipsà ZΓ, et Zz ipsà ZH.
Λέγω ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἰσαιῦ προσπεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον,	Dico et a Z puncto duas solum æquales cc dere in ABΓΔ circulum, ex utráque parte ip-
ἐφ᾽ ἐκάτερᾳ τῆς ΖΔ ἐλαχίστης. Συνιστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθεῖᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημεί Τῷ Ε, τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση. βάσις ἄρα ἡ ΖΉ βάσει τῇ 2Θ ἴση ἐστί. ΔΛέγω δὲ ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῦῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου. Εἰ γὰρ δυνατὸν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἐστὶν ἴση7, ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗδ. καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΘΖ ἐστὶν ἴσηϑ, ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῇ 1 ἀπώτερον ἴση, ὅπερ ἀδύνατον.	sius Za minimæ. Constituatur enim ad EZ rec- tam, et ad punctum in eà E, ipsi HEZ an- gulo æqualis ZEB, et jungatur Ze. Quoniam igitur æqualis : est HE ipsi EG, communis au- tem EZ, duæ utique HE, EZ duabus Θb, EZ æquales sunt ; et angulus HEZ angulo GEZ æ- qualis ; basis igitur ZH basi Ze æqualis est. Dico autem ipsi ZH aliam æqualem non cadere in circulum a Z puncto. Si enim possibile, cadat ZK. Et quoniam ZK ipsi ZH est æqualis, sed quidem et Z& ipsi ZH ; et ZK igitur ipsi ez est æqualis, propinquior ei quæ per cen- trum remotiori æqualis, quod impossibile.
Η καὶ οὕτως. Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΚ. Καὶὲ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΚ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, καὶ βασις ἡ ΖΗ βάσει τῇ 2Κ ἴση. γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΖ͂ γω- νίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΕΖ ἴση ἐστίν. Αλλ ἡ ὑπὸ ΗξΖΙΙ τῇ ὑπὸ Ζ2ΕΘ ἐστὶν ἴση- καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΡΖ͂ ἐστὶν ἴση, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν12 ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖʼ μία ἀρὰα μόνη. Εὰν ἄρὰ κύκλου, καὶ τὰ ἐξῆς.	Vel et hoc modo. Jungatur EK. Et quoniam æqualis est HE ipsi EK, communis autem EZ, et basis ZH basi ZK æqualis ; angulus igitur HEZ angulo KEZ æqualis est. Sed HEZ ipsi ZEΘ est æqualis ; et ZEΘ igitur ipsi KEZ est æqua- lis, minor majori, quod est impossibile. Non igitur a Z puncto alia aliqua cadet in circu- lum æqualis ipsi HZ ; una igitur sola. Si igitur circuli, etce.

PROPOSITION VII.

Si dans le diamètre d’un cercle on prend un point qui ne soit pas le centre de ce cercle, et si de ce point on conduit des droites à la circonférence ; la plus grande sera celle dans laquelle est le centre, et la plus petite la droite restante ; quant aux autres droites, la droite qui est plus près de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui en est plus éloignée ; et du même point on ne peut mener à la circonférence que deux droites égales de l’un et l’autre côté de la plus petite.

Soit le cercle ABΓΔ, que ΑΔ soit son diamètre, prenons dans ΑΔ un point quelconque qui ne soit pas le centre de ce cercle, que le centre du cercle soit le point B, du point Z menons à la circonférence ΑΒΓΔ les droites ZB, 7T, 7H ; je dis que z4 est la plus grande, et Ζὰ la plus petite ; et que parmi les autres, la droite ΖΒ est plus grande que ZΓ, et la droite ZΓ plus grandeque ΖΗ.

Joignons BE, ΓE, HE.

Puisque deux côtés d’un triangle sont plus grands que le côté restant (21. 1) , les droites EB, EZ sont plus grandes que la droite Bz. Mais la droite AE est égale à la droite BE ; donc les droites BE, EZ sont égales à la droite ΑΖ ; donc la droite ΑΖ est plus grande que la droite Bz. —e plus, puisque BE est égal à TE, et que la droite ΖΕ est commune, les deux droites BE, EZ sont égales aux deux droites ΓΕ, ΕΖ. Mais l’angle BEZ est plus grand que l’angle ΓΕΖ ; donc la base ΒΖ est plus grande que la base ΓΖ (24- 1) . Par la même raison la droite ΓΖ est plus grande que la droite Hz.

De plus, puisque les droites HZ, ZE sont plus grandes que I£ droite EH, et que EH est égal à EA, les droites HZ, ZE sont plus grandes que ΕΔ. Retranchons la droite commune Ez ; la droite restante HZ sera plus grande que la droite restante ZA. Donc la droite ΖΑ est la plus grande, et la droite za la plus petite ; donc la droite ZB est plus grande que la droite ΖΓ, et la droite 1 plus grande que la droite ZzH.

Je dis que du point Ζ, on ne peut mener à la circonférence ΑΒΓΔ que deux droites égales, de l’un et l’autre côté de la plus petite ΖΔ. Car sur la droite EZ et au point B de cette droite, faisons l’angle ΖΕΘ égal à l’angle HEZ (23. 1) , et joignons ΖΘ. Puisque la droite HE est égale à la droite EΘ, et que la droite EZ est commune, les deux droites HE, EZ sont égales aux deux droites |EB, EZ ; mais l’angle HEZ est égal à l’angle ΘΕΖ ; donc la base ZH est égale à la base ΖΘ (4- 1) Je dis que du point Ζ on ne peut mener à la circonférence une autre droite égale à ZH. Car si cela est possible, menons ΖΚ. Puisque ZK est égal à ZH, et ΖΘ égal à ZH, la droite ΖΚ est égale à la droite Z, une droite plus près de celle qui passe par le centre, égale aune droite qui en est plus éloignée, ce qui est impossible.

Ou d’une autre manière. Joignons EK. Ë£t puisque HE est égal à EK, que la droite EZ est commune, et que la base ΖΗ est égale à la base ZK, l’angle HEZ est égal à l’angle KEZ (8. 1) . Mais l’angle HEZ est égal à l’angle ΖΕΘ ; donc l’angle ΖΕΘ est égal à l’angle ΚΕΖ, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc du point Ζ, on ne peut pas mener à la circonférence une autre droite qui soit égale à HZ ; donc on n’en peut mener qu’une seule. Donc, etc.