Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 11
C. F. Patris, (1, p. 268-270).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιά. | PROPROSITIO XI. |
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Εἰς τὸν δοθρέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσοπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράώψαι. |
In dato circulo pentagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere. |
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Εστω ὁ δοθεὶς κύὐκλος ὁ ΑΒΓΔΕ. δεῖ δὴ εἰς τὸν, ὔ 3 λλ ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωγον ἰσόπλευρόν τε καὶ Ισὐ- γώνιον ἐγγρώψαι1. |
Sit datus circeulus ABΓAE ; oportet igitur in ABΓAE circulo pentagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere. |
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Εκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗ͂Θ, διπλα- σίονὰ ἐχὸν ἐκατέραν τὼ πρὸς τοῖς Η͂, ΘΟ γω- γιῶνβἡ τῆς πρὸς τῷ Ζ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔὲῈΕ χὐύκλον τῷ ΖΗΘ τριγῶνῳ ἰσογώνιον τρί- γωνον τὸ ΑΓΔ, ὥστε τη μὲν πρὸς τῷ Ἢ γωνίᾳ ἰσην εἰναι τὴν ὑπὸ ΓΑΔ, ἐκατέραν δὲ τῶν πρὸς τοις ἢ, Θ [σην ἐκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΙΔ, ΓΔΑ9. ὖ χγχαιὶ ἐκατέρα ἀρὰ τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ τῆς υὑπὸ |
Exponatur triangulum isosceles ZHe, duplum habens utrumque ipsorum ad H, & angulorum ipsius ad Z, et inscribatur in ABΓAE circulo, ipsi ZH-9 triangulo æquiangulum triangulum AΓΔ, ita ut ipsi quidem Z angulo zæqualis sit ipse ΓAZ, uterque vero ipsorunm ad H, e æqu- lis uteique ipsorum AΓΔ, ΓAA ; et uterque igitur ipsorum AΓ2, ΓAA ipsius ΓAΔ est duplus. Sece-
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ΓΑΔ ἐστὶ διπλῆ. Τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΓΔ, ΓΔΑ δίχα ὑπὸ ἐκατέρας3 τῶν ΓῊ, ΔΒ εὐ-. θειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΔΕ, ΒΑΊΛ. |
tur autem uterque ipsorum AΓ4q, ΓA4A bifarian ab utràque ipsarum ΓE, AB rectarum, et jun- gantur AB, BΓ, AE, EA. |
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Επεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ὑπὸο ΑΓΔ, ΓΔΑ γωνιῶν διπλασίον ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν ΓΉ. ΔΒ εὐθειῶν. αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὰ ΔΑΓ͂, ΑΓΕ, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεδήκασιν. αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεζαι ὑπο-- τείνουσινἭ αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔἄ ΔΗ, , ΒΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώ. - νιον, Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση5, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ. ὅλη ἄρα ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια ὁλῃ τῇ ΕΔΙΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴσηῦ, Καὶ βέθηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΒΓΔ περιφερείας γωνία ἡ υπὸ ΑΕΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ΕΔΓΒ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΕ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἄραὰ γωνία7 τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἐστὶν ἴσηδι Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΕ γωνιῶν ἐκα- |
Quoniam igitur uterque ipseorum AΓI, ΓfA augulorum duplus est ipsius ΓAΔ ; et secti sunt bifariam à ΓE, ΔB rectis ; quinque igitur anguli AAΓ, ACΓE, , ELΓa2, ΓΔ6B, BΔ] A æquales inter se sunt. Γquales autem anguli æqualibus cireumfe- rentiis insistunt ; quinque igitur circumferentiæ AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EA æbquales interse sunt. Equa- les autem circumferentias æquales rectæ subten- dunt ; quinque igitur rectæ AB, BΓ, Γ^, AE, EA æquales inter se sunt- ; æquilaterum igitur est ABΓAE pentagonum. Dico et æquiangulum. Quo- niam enim AB circumferentia ipsi AE circumfe- rentiæ est æqualis, communis addatur BΓΔ ; tota igitur ABΓΔ circumferentia toti EAΓB circumte- rentiæ est æqualis. Et insistit ipsi quidem ABΓΔ circumferentiæ angulus AEZ, ipsi vero EAΓB cir- cumferentiæ angulus BAE, et BAE igitur angulus ipsi AEA est æqualis. Propter eadem utique et unusquisque ipsorum ABΓ, BΓtZ, ΓAE angulo-
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τέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ, ΔΕΔ ἐστὶν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΒ πενταγωνον. Εδείχθη δὲ καὶ, ὔ ἰσοπλευρον. |
rum utrique ipsorum BAE, AEΔ est æqualis ; quiangulum igitur est ABΓAE pentagonum. tensum est autem et æquilaterum ; |
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Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσό- πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. |
In date igitur circule pentagorum xæquilat- rumque et æquiangulum inscriptum est. Quod oportebat facere. |
Dans un cercle donné, inscrire un pentagone équilatéral et équiangle.
Soit ABΓZE le cercle donné ; il faut inscrire dans le cercle ΑΒΓΔῈ un pentagone équilatéral et équiangle-
Soit posé le triangle isocèle ΖΗΘ, ayant chacun des angles en H, o double de l’angle Ζ (10. 4) ; inscrivons dans le cercle ΑΒΓΔΕ le triangle ΑΓΔ équiangle avec le triangle ΖΗΘ (2. 4) , de manière que l’angle ΓΑΔ soit égal à langle Z, et quê chacun des angles H, Θ soit égal à chacun des angles ΑγΓδ, ΓΔΑ͂ ; chacun des angles ΑΓΔ, ΓΔΑ sera double de l’angle àas. Coupons chacun des angles AT ΓΔΑ en deux parties égales par les droites ΓE, ΔΒ (9. 1) , et joignons ΑΒ, BΓ, ΔΕ, EA.
Puisque chacun des angles AΓΔ, ΓΔΑ est double de l’angle ΓΑΔ, et que ces angles sont coupés en deux parties égales par les droites ΓE, ΔB, les cinq angles ΔΑΓ, ATE, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ sont égaux entr’eux. Mais les angles égaux sont appuyés sur des arcs égaux (26. 3) ; donc les cinq arcs ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔE, EA sont égaux entr’eux. Mais les arcs égaux sont soutendus par des droites égales (29. 3) ; donc les cinq droites ΑΒ, ΒΓγ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ sont égales entr’elles ; donc le pentagone ABΓZE est équilatéral. Je dis aussi qu’il est équiangle. Car puisque l’arc ΑΒ est égal à l’arc ΔΕ, ajoutons l’arc commun ΒΓΔ ; lʼarc entier ABΓΔ sera égal à l’arc entier ΕΔΓΒ. Mais l’angle ΑΕΔ est appuyé sur l’arc ΑΒ ΓΔ, et l’angle BAE-sur l’arc EATB ; donc l’angle BAE est égal à l’angle AEÛ (27. 3) . Par la même raison, chacun des angles ΑΒΓ, BΓA, ΓΔΕ est égal à chacun des angles BAE, ΑΕΔ ; donc le pentagone ABΓΔE est équiangle. Mais il a été démontré qu’il est équilatéral ;
Donc dans un cercle donné, on a inscrit un pentagone équilatéral et équiangle, Ce qu’il fallait faire.