Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 4/Proposition 8
C. F. Patris, (1, p. 261-263).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ηʹ. | PROPROSITIO VIII. |
|---|---|
|
Εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι. Εστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ⋅ δὲῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἰγγράψαι, |
In dato quadrato circulum inscribere. Sit datum quadratum ABΓΔ ; oportet igitur in ABΓΔ quadrato circulum inscribere. |
|
Ττετμήησθω εκατέρα τῶν ΑΒ, Αὰ, δίχα κατὰ τὰ Ζ, Ε σημεῖα, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ Ζ2Κ’ παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἐκαστον τῶν ΑΚ, |
Secetur uiráque ipsarum AB, AA bifariam in E, Z punctis, et per E quidem alterutri ip- sarum AB, ΓA parallela ducatur EΘ ; per Z vero allerutri ipsarum AΔ, BΓ parallela ducatur ZE ; parallelogramum igitur est uuumquodque ipso-
|
|
ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, Η͂Γ, ΒΗ͂, ΗΔ, καὶ αἱ ἀπε- ναντίον αὐτῶν πλευραὶ δηλονότι ἴσαι εἰσί1. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ 4Β, καὶ ἐστὶ τῆς μὲν ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΑΖʼ ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον ἴσαι εἰσίν", ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ͂ τῇ ΗΒ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ ἐκατέρᾳ τῶν ΖΗ͂, Ηἶ ἐστὶν ἴση. Αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ ἴσωι ἀλλύλαις εἰσίνλ, Ο ἄρα κέν-. |
rum AK, KB, AΘ, Θ^, AH, HΓ, BH, Hj u opposita ipsorum latera utique æqualia sunt, Et quoniam æqualis est AΔ ipsi AB, et est ip- sius quidem AΔ dimidia AE, ipsius vero AB dimidia AZ, æqualis igitur et AE ipsi AZ ; quare etopposita æqualia sunt, æqualis igitur et ZH ipsi HE. Similiter utique ostendemus et utramque ip- sarum HΘ, HÉ utrique ipsarum ZH, HE esse æqua- lem. Quatuor igitur HE, HZ, H, HÉ æquile |
|
τρῷ μὲν τῷΗ, διαστήματι δε ἑνὶ τῶν ΗΕ ; ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων. καὶ ἐρφράψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθειῶν, διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ἐ, Ζ, Θ, Κ γωνίας. εἰ γὰρ τεμεῖ ὁ κύκλος τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ’ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοὺ κυκλοῦ, ὁπερ ἄτοπον ἐδείχθηή. Οὐκ ἄρα ὁ |
inter sesunt. Ipse igitur centro quidem H, inter- vallo vero unà ipsarum HE, HZ, H^, HBK cir- culus descriptus transibit et per reliqua puncta ; et continget AB, BΓb, ΓT, AA rectas, prop- terea quod recti sunt ad E, Z, e, K anguli ; si enim secat circulus ipsas AB, BΓ, ΓD, Ad, Ipsa. diametro circuli ad rectos ab extremitate duct intra cadet circulum, quod absurdum osten-
|
|
κέντρῷ μὲν5 τῷ Η, διαστήματι δὲ ενὶ τῶν ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ κύκλος γραφόμενας τέμνει τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθείας. Εφάψεται ἀρὰα αὐτῶν καὶ ἴσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, |
sum est. Non igitur centro quidem H, intervalle vero unâ ipsaram HE, HZ, H8, BHK circulus descriptus secat AB BΓ, ΓΔ, AQMΔ rectas. Con- tinget igitur ipsas et erit inscriptus in ABΓA quadrato. |
|
Ἡἰς ἄρα τὸ δοθὲνθ τετράγωνον κύκλος ἐγγέ- γρασται. Οσερ ἔδει ποιῆσαι. |
In dato igitur quadrato circulus inscriptus est. Quod oportebat facere. |
Inscrire un cercle dans un quarré donné. Soit ΑΒΓΔ le quarré donné ; il faut inscrire un cercle dans le quarré ΑΒΓΔ. Coupons en deux parties égales l’une et l’autre des droites ΑΒ, ΑΔ auX points Z, E (10. 1) , et par le point E menons ΕΘ parallèle à l’une ou à l’autre des droites ΑΒ, ΓΔ (31. 1) , et par le point Z menons aussi la droite ΖΚ parallèle à l’une ou à l’autre des droites AH, BΓ ; donc chacune des figures ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, ΗΓ, BH, ΗΔ est un parallélogramme, et leurs côtés opposés sont égaux (34. 1) Et puisque ΑΔ est égal à ΑΒ, que ΑΒ est la moitié de ΑΔ, et ΑΖ la moitié de ÛrB, la droite ΑΒ est égale à 4Z ; donc les côtés op- posés sont égaux ; donc ZzH est égal à HE. Nous démontrerons semblablement que l’une et l’autre des droites ΗΘ, HK est égale à l’une et à Jl’autre des droites ΖΗ, HE. Donc les quatre droites HE, HZ, ΗΘ, ΗΚ sont égales entr’elles. Donc le cercle décrit du centre H, et d’un intervalle égal à une des droites HE, HZ, Η͂Θ, ΗΚ passera par les autres points, et sera tangent aux droites AB, . BΓ, ἴΙΔ, ΔΑ, parce que les angles sont droits en E, Z, , K ; car si ce cercle coupait les droites ΑΒ, BΓ, ΓΔ, ΔΑ, la perpendiculaire au diamètre du cercle, et menée de l’une de ses extrémités tomberait dans le cercle ; ce qui a été démontré absurde (16. 3) . Donc le cercle décrit du centre H, et d’un intervalle égal à des droites HE, HZ, ΗΘ, BK ne coupe point les droites AB. , BΓ, Γn, ΔΑ. Donc il sera tangent à ces droites, et il sera inscrit dans le quarré ΑΒΓΔ (déf. 5. 4) -
Donc on a inscrit un cercle dans un quarré donné. Ce qu’il fallait faire.