L’Algèbre d’Omar Alkhayyami/

Traduction par F. Woepcke.
Benjamin Duprat, 1851 (p. 68-81).

◄ Équations quadrinômes du troisième degré

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Après avoir ainsi terminé la discussion des vingt-cinq espèces des propositions de l’algèbre, après en avoir fait l’examen le plus exact et le plus complet, après avoir fait connaitre les cas particuliers de chacune de ces espèces, après avoir proposé la règle pour distinguer les cas possibles d’avec les impossibles 42dans les espèces qui admettent des problèmes impossibles, et après avoir démontré que la plupart d’entre elles n’en admettent pas (*^[1]), occupons-nous des parties correspondantes (**^[2]).

La partie de la chose est le nombre qui est à l’unité comme l’unité est à cette chose (***^[3]). Donc, si la chose est trois, sa partie est un tiers ; et si la chose est un tiers, sa partie est trois. De même si elle est quatre, sa partie est un quart ; et si elle est un quart, sa partie est quatre. Et en général la partie d’un nombre quelconque est la partie dénommée d’après ce nombre(****^[4]) ; comme le tiers d’après trois, lorsque le nombre est entier, et trois d’après un tiers, lorsque le nombre est fractionnaire. Pareillement la partie du carré est la partie dénommée d’après le nombre égal à ce carré, que ce nombre soit entier ou fractionnaire ; et il en est de même relativement à la partie du cube. Et, pour en rendre l’évidence plus palpable, disposons ces parties en tableau :

Partie du cube.	Partie du carré.	Partie de la racine.
$\textstyle {\tfrac {1}{8}}$	$\textstyle {\tfrac {1}{4}}$	$\textstyle {\tfrac {1}{2}}$

Unité.	Racine.	Carré.	Cube.
1	2	4	8

La partie du cube est à la partie du carré comme la partie du carré à la partie de la racine, comme la partie de la racine à l’unité, comme l’unité à la racine, comme la racine au carré, et comme le carré au cube. Ce sont donc sept degré en proportion continue. Nous, allons traiter exclusivement des équations qui ont lieu entre lesdits degrés. Quant à la partie du 43carré-carré et à la partie du quadrato-cube et à la partie du cubo-cube, et ainsi de suite, elles sont aussi en proportion continue. Mais nous n’avons pas besoin de nous en occuper parce qu’il n’y a pas moyen de résoudre (les équations renfermant) ces autres degrés.

Sache que si tu considères le huitième, qui est partie du cube, comme cube, sa partie sera huit, ce qui est le cube par inversion (*^[5]). Et la même règle s’applique aux autres parties, de sorte que ces quatre degrés, la partie du cube, la partie du carré, la partie de la racine et l’unité, forment une analogie avec le cube, le carré, la racine et l’unité. Par exemple, si l’on dit (**^[6]) : « Une partie de carré est égale à la moitié d’une partie de racine, » c’est la même chose que si l’on avait dit : « Un carré est égal à la moitié d’une racine. » Alors ce carré est un quart, ce qui est en réalité une partie de carré, et le carré cherché sera quatre, la partie (du carré cherché) un quart, et la partie de la racine (du carré cherché) un demi. C’est là la méthode à suivre pour les équations simples

Quant aux équations composées, lorsqu’on dit (***^[7]) : « Une partie de carré et deux parties de racine sont égales à un et un quart, » c’est comme si l’on avait dit : « Un carré et deux racines sont égaux à un et un quart. » Alors, au moyen de la méthode exposée précédemment, on trouve la racine égale à un demi et le carré égal à un quart, si ce n’est que l’énoncé du problème portait « une partie de carré et deux parties de racine. » Donc le quart, qui était d’abord Je carré, sera la partie du carré cherché, et le carré cherché sera quatre.

On suivra le même procédé dans les équations à quatre termes. Lorsqu’on dit (*^[8]) : « Une partie de cube plus trois parties de carré plus cinq parties de racine sont égales à trois et trois huitièmes, » alors c’est comme si l’on avait dit : « Un cube plus trois carrés plus cinq racines sont égaux à trois et trois huitièmes. » Au moyen de la méthode exposée ci-dessus et fondée sur les sections coniques, on déterminera le côté du cube, lequel sera la partie de racine cherchée. Nous poserons donc ce côté à l’unité donnée, comme l’unité donnée à une autre ligne (inconnue). Cette dernière ligne sera le côté du cube cherché. Il est évident qu’il existera entre ces quatre degrés vingt-cinq autres espèces de telles équations, proportionnelles aux vingt-cinq espèces précédentes. Quant à la multiplication de l’un de ces degrés par l’autre, c’est une matière suffisamment connue par les ouvrages des algébristes, facile à comprendre, et sur laquelle, conséquemment, 44nous ne nous étendrons pas (**^[9]). Or, quant aux équations entre ces quatre degrés et les quatre degrés dents (*^[10]), on y procède comme je vais exposer. Lorsqu’on dit (**^[11]) : « Un cube est égal à dix parties de cube, » c’est-à-dire à dix parties de lui-même, alors le cube est le premier des sept degrés, et parties du cube le septième. Multiplie l’un par l’autre, et prends la racine du produit. Le résultat sera (de l’ordre) du degré moyen, c’est-à-dire du quatrième (***^[12]), et égal au cube cherché. Pour plus de précision, nous remarquerons que chaque nombre multiplié en sa partie produit l’unité ; que, multiplié en deux de ses parties, il produit deux ; et que, multiplié en dix de ses parties, il produit dix en nombre (****^[13]). Et c’est comme si dans notre exemple on avait dit : « Quel cube multiplié en lui-même est égal à dix ? » Donc la racine de dix sera le cube cherché. Puis la détermination du côté de ce cube est effectuée de la manière démontrée ci-dessus au moyen des sections coniques. — Et de même lorsqu’on dit (*****^[14]) : « Quel carré est égal à seize des parties dénommées d’après lui ? » alors multiplie l’unité en seize et prends la racine du produit, laquelle est quatre ; ce sera le carré cherché. Et, conformément à la règle précédente, c’est comme si l’on avait dit : « Quel carré multiplié en lui-même est égal à seize ? » — Et de même lorsqu’on dit (******^[15]) : « Quelle racine est égale à quatre de ses parties ? » c’est comme si l’on avait dit : « » Quel multiplié en lui-même produit quatre ? » Or, ce nombre est deux.

Mais si l’on dit (*^[16]) : « Quel carré est égal à un certain nombre de parties du cube de son côté ? » alors la solution de ce problème ne peut pas être effectuée au moyen des méthodes que nous avons exposées, parce qu’elle dépend de la détermination de quatre lignes (moyennes proportionnelles) entre deux lignes données (**^[17]), en sorte que les six lignes soient en proportion continue. C’est ce qui a été démontré par Aboû Ali Ibn Alhaïtham (***^[18]), que Dieu le Très-Haut soit miséricordieux envers lui ! Seulement, cette construction est assez difficile ; de sorte que nous ne pouvons l’ajouter au présent traité (*^[19]). — Et de même lorsqu’on dit (*^[20]) : « Quel cube est égal à un certain nombre de parties du carré de son côté, » on a besoin de la susdite proposition auxiliaire, et il est impossible de résoudre le problème au moyen de nos méthodes. — En général, lorsque le premier de ces sept degrés est multiplié par le sixième (**^[21]), on aura besoin de la détermination de quatre moyennes proportionnelles entre deux lignes données, ainsi que l’a démontré Aboû Ali Ibn Alhaïtham : que Dieu le Très-Haut soit miséricordieux envers lui !

Et si l’on dit (***^[22]) : « Quel cube est égal à seize parties de son côté ? » le premier degré sera multiplié par le (dénominateur du) cinquième, et la racine de la racine du produit sera le côté du cube cherché. Et la même règle s’appliquera toujours lorsqu’un de ces sept degrés est égalé à celui qui, à partir de lui, est le cinquième de la proportion continue (****^[23]).

Quant aux équations composées, par exemple (*^[24]), « Une racine est égale à l’unité plus deux parties de racine, » cela équivaut à « Un carré est égal à une racine plus deux en nombre, » parce que les trois derniers degrés sont proportionnels aux trois précédents. Nous résolvons (l’équation transformée) au moyen de la méthode précédemment exposée, et le carré se trouvera être égal à quatre, et sera, en effet, égal à sa racine plus deux en nombre. La racine de ce carré est donc ce qu’on cherchait ; cette racine est deux, et est effectivement égale à l’unité plus deux parties de cette racine. — Et de même, si l’on dit (**^[25]) : « Un carré et deux de ses racines sont égaux à l’unité plus deux parties de racine, » alors cela équivaut à : « Un cube et deux carrés sont égaux à une racine et deux. » Nous déterminerons le côté du cube, comme nous l’avons démontré, au moyen des sections coniques ; et le carré de ce côté sera le carré cherché. — Et de même, si l’on dit (***^[26]) : « Une racine et deux en nombre et dix parties de racine sont égaux à vingt parties de carré, » cela équivaudra à : « Un cube et deux carrés et dix racines sont égaux à vingt en nombre ; » nous détermineront le côté du cube au moyen de la méthode des coniques, et ce sera la racine cherchée. — Généralement, quatre degrés quelconques de ces sept degrés, se suivant en série continue, peuvent être considérés comme une des vingt-cinq espèces discutées ci-dessus.

Mais lorsque la série s’étend à cinq, six ou sept degrés, il n’y a pas de méthode qui réussisse à résoudre le problème : Par exemple, lorsqu’on dit (*^[27]) : « Un carré et deux racines 46sont égaux à deux en nombre et deux parties de carré, » alors c’est impossible à résoudre, parce que le carré est le second de ces degrés, et que la partie du carré est le sixième ; de sorte que la série s’étend à un intervalle de cinq degrés. Cela servira de règle pour les autres cas.

La totalité des équations simples, ayant lieu entre ces sept degrés, monte à vingt et une, deux desquelles ne peuvent être résolues au moyen de notre méthode, mais exigent la proposition auxiliaire d’Ibn Alhaïtham ; de sorte qu’il en reste dix-neuf espèces résolubles par notre méthode, les unes au moyen des propriétés du cercle, et les autres au moyen des propriétés des sections coniques. La totalité des équations composées à trois termes renfermant trois degrés successifs monte à quinze ; elles sont résolubles au moyen des propriétés du cercle. La totalité des équations composées à trois termes, qui constituent un intervalle de quatre degrés successifs quelconques, monte à vingt-quatre ; elles sont résolubles au moyen des propriétés des coniques. La totalité des équations composées à quatre termes renfermant quatre degrés successifs quelconques monte à vingt-huit, résolubles au moyen des sections coniques (**^[28]).

La totalité des équations ayant lieu entre ces sept degrés, et résolubles au moyen des méthodes exposées par nous, monte

donc à quatre-vingt-six, dont il a été mentionné dans les traités de mes prédécesseurs uniquement six espèces (*^[29]). Pour quiconque a bien approfondi les théorèmes proposés dans ce traité, et en même temps possède une certaine force naturelle de l’intelligence, ainsi que l’habitude de s’occuper de problèmes mathématiques, il n’y aura plus, certes, rien d’obscur dans les problèmes qui offraient de si grandes difficultés aux géomètres des temps précédents.

Nous voilà donc arrivés au terme convenable pour finir ce mémoire en offrant nos louanges au Dieu Très-Haut, et en implorant sa bénédiction sur tous les prophètes.

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↑ *) En effet, parmi les 25 espèces, 7 seulement, à savoir les équations 8, 11, 14, 17, 20, 21, 25, donnent lieu à des cas dans lesquels l’équation n’admet pas des racines réelles et positives.
↑ **) Pour ôter à la terminologie employée par l’auteur dans ce qui suit ce qu’elle peut, au premier abord, avoir de choquant, il suffira de remarquer qu’il entend par « partie de A » la valeur réciproque de A, et par « N parties de A » la fraction $\textstyle {\tfrac {N}{A}}$ . On peut d’ailleurs comparer à ce sujet les définitions du septième livre d’Euclide.
↑ ***) $\textstyle {\tfrac {1}{x}}:1=1/x$ .
↑ ****) C’est-à-dire la fraction ayant pour dénominateur ce nombre, et pour numérateur l’unité.
↑ *) C’est-à-dire que si à ${\frac {1}{x^{3}}}$ on a substitué $z^{3}$ , on trouvera $x^{3}$ , en prenant, après avoir déterminé $z^{3}$ , la valeur réciproque de $z^{3}$ .
↑ **) Équation proposée ${\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{x^{2}}}$ ; on résout $z^{2}={\frac {1}{2}}z$ , ce qui donne $z^{2}={\frac {1}{4}}$ ; donc $x^{2}=4$ , ${\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{4}}$ , ${\frac {1}{x}}={\frac {1}{2}}$ .
↑ ***) Équation proposée : ${\frac {1}{x^{2}}}+2{\frac {1}{x}}=1{\frac {1}{4}}$ ; on résout $z^{2}+2z=1{\frac {1}{4}}$ , ce qui donne $z={\frac {1}{2^{2}}},z^{2}={\frac {1}{4^{2}}}$ , donc $z^{2}=4$ .
↑ *) Équation proposée : $\textstyle {\tfrac {1}{x^{3}}}+3\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+5\textstyle {\tfrac {1}{x}}=3\textstyle {\tfrac {3}{8}}$ ; ayant déterminé la racine $\zeta$ de cette dernière équation, on fait $\zeta :1=1:l$ , et l’on aura $x=l$ .
↑ **) L’auteur appelle ici préalablement l’attention du lecteur sur la multiplication des différentes puissances de l’inconnue l’une par l’autre, parce que c’est le moyen qu’il emploie pour résoudre les équations qu’il va proposer.
↑ *) L’auteur suppose les sept puissances arrangées de la manière suivante :
1) x2 2) x3 3) x 4) 1 5) ${\tfrac {1}{x}}$ 6) ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ 7) ${\tfrac {1}{x^{3}}}$
↑ **) x^2 = 10 . ${\tfrac {1}{x^{3}}}$ , x^2 . x^2 = 10 . \tfrac{1}{x^2}</math> . x^2 = 10, x^3 = $\textstyle {\sqrt {10}}$ .
↑ ***) C’est-à-dire il sera égal à un nombre (entier ou fractionnaire, rationnel ou irrationnel) d'unités.
↑ ****) n . (p . ${\tfrac {1}{n}}$ ) = p
↑ *****) x2 = 16 . ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ , x^2 . x^2 = 16 . ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ = 16, x2 = </math> \textstyle \sqrt{16}</math> = 4.
↑ ******) x = 4 . ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ , x . x = 4 . ${\tfrac {1}{x}}$ = 4, x = </math> \textstyle \sqrt{4}</math> = 2.
↑ *) $x^{2}=a.{\frac {1}{x^{3}}}.$
↑ **) En effet, déterminant quatre lignes $x,\ y,\ v,\ w,$ de sorte que $1:x=x:y=y:v=v:w=w:a,$ on aura $x^{5}=a\ {\text{ou}}\ x^{2}=a.{\frac {1}{x^{3}}}.$
↑ Voir Casiri, t. I, p. 414 sqq. — Aboûl Faradj, pag. 340-342. — Gartz, de Interpretibus et Explanatoribus Euclidia Arabicis ; Halac, 1823, pag. 23-24.

En vertu de la règle donnée par M. de Sacy dans son Anthologiæ grammaticale (pag. 113), j’ai adopté dans le texte la leçon du ms. C ; car j’ai trouvé que le nom complet de ce géomètre était Alhaçan Ben Alhaçan Ben Alhaîtham, de sorte que d’Alhaîtham à lui il n’y a pas de descendance immédiate.

Relativement aux ouvrages d’Ibn Alhatham, et particulièrement à ceux de ses ouvrages qui se rapportent aux sciences mathématiques, j’extrais deux passages du ms. des Biographies des médecins célèbres par Ibn Abi Oçaibiah, que possède la Bibliothèque nationale. Dans le quatorzième chapitre de son ouvrage, Ibn Abî Oçaibiah consacre à la vie et aux écrits d’Ibn Alhaîtham (qu’il nomme Mohammed, tandis que, suivant la Târikh Alhoqamâ, Ibn Alhaîtham s’appelait Alhaçan) un article très-étendu, et renfermant des détails beaucoup plus circonstanciés que n’en offrent les notices données sur ce géomètre par Casiri, et dans le ms. du Târikh Alhoqamâ que possède la Bibliothèque nationale. Voici les deux passages ayant trait plus spécialement à ce qui doit nous intéresser ici :

« Mohammed Ben Alhaçan a dit…… Et de ce que j’ai composé sur les sciences mathématiques, le nombre des ouvrages monte à vingt-cinq : 1^o Commentaire et abrégé des éléments de géométrie et d’arithmétique d’Euclide ; 2^o Recueil des Éléments de géométrie et d’arithmétique, tiré des traités d’Euclide et d’Apollonius ; dans cet ouvrage, j’ai classé et divisé les éléments et en ai donné des démonstrations fondées sur les mathématiques, le calcul et la logique, de sorte que, quant à l’arrangement des matières, j’ai renversé l’ordre suivi par Euclide et Apollonius ; 3^o Commentaire et abrégé de l’Almageste, fondé sur des démonstrations ; je n’y ai rien traité au moyen du calcul, si ce n’est un très-petit nombre de problèmes sans importance ; mais si Dieu me donne la vie et que les circonstances me permettent de l’achever, je commencerai un commentaire très-détaillé du même ouvrage, dans lequel je ramènerai tout à l’arithmétique et au calcul ; 4^o Recueil des éléments du calcul, ouvrage dans lequel j’ai déduit, des principes posés par Euclide dans ses Éléments de géométrie et d’arithmétique, les éléments de toutes les espèces du calcul ; j’y ai établi la méthode de la résolution des problèmes du calcul, par le double moyen de l’analyse géométrique et de la vérification arithmétique, en m’abstenant, en même temps, d’y employer les principes et les termes techniques des algébristes ; 5° Abrégé d’optique, tiré des deux ouvrages d’Euclide et de Ptolémée ; j’y ai complété (restitué) le sujet du premier livre perdu du traité de Ptolémée ; 6° Traité de l’analyse des problèmes géométriques ; 7° Traité de l’analyse des problèmes arithmétiques par la méthode de l’algèbre, avec démonstrations ; 8° Traité complet sur l’analyse des problèmes géométriques et arithmétiques ; toutefois la partie qui se rapporte aux problèmes arithmétiques est sans démonstrations, mais fondée sur les principes de l’algèbre ; 9° Traité de la mesure à la manière des Éléments ; 10° Traité du calcul des opérations commerciales ; 11° Perfection de l’art de creuser et d’édifier, ouvrage dans lequel j’ai fait correspondre à tout ce qui se présente dans ces deux arts toutes les figures géométriques, en allant jusqu’aux figures des trois sections coniques, de la parabole, de l’hyperbole et de l’ellipse ; 12° Abrégé des livres d’Apollonius sur les sections coniques ; 13° Mémoire sur le calcul indien ; 14° Mémoire sur la détermination de l’azimut de la Kibish dans toute la terre habitée, avec des tables que j’ai construites, sans donner les démonstrations des procédés exposés ; 15° De certains problèmes géométriques indispensables pour les rites religieux ; 16° Lettre adressée à plusieurs rois, pour encourager aux observations astronomiques ; 17° Introduction à la géométrie ; 18° Mémoire sur la réfutation de la démonstration que l’hyperbole et ses deux asymptotes s’approchent indéfiniment l’une des autres, sans cependant jamais se rencontrer ; 19° Réponse à sept problèmes mathématiques qu’on m’avait proposé à Bagdâd, puis j’y ai répondu ; 20° Traité sur l’analyse et la synthèse des géomètres, à l’usage des étudiants, recueil de problèmes géométriques et arithmétiques, résolus et arrangés par moi ; 21° Traité de l’instrument universel, abrégé extrait du traité d’Ibrâhim Ben Henân ; 22° Mémoire sur la détermination géométrique de la distance entre deux lieux terrestres ; 23° Mémoire sur les éléments des problèmes arithmétiques et sur leur analyse ; 24° Mémoire pour résoudre un doute sur Euclide, relativement au cinquième livre de son Traité des éléments mathématiques ; 25° Mémoire sur la démonstration du théorème proposé par Archimède, relativement à la trisection de l’angle, qu’il ne démontra pas (c’est probablement une erreur, et il faut lire : relativement à la section de la ligne, etc. ; voir l’addition A du présent opuscule). »

……« Je dis. Et c’est là que finit ce que j’ai trouvé en fait de cela, écrit de la main de Mohammed Ben Alhaçan Ben Alhaitham, l’auteur : que la miséricorde divine repose sur lui ! Et voici encore une liste des ouvrages d’Ibn Alhaïtham que j’ai trouvée, et qui va jusqu’à la fin de l’an 429 : 1° Mémoire sur la configuration du monde ; 2° Commentaire sur les définitions de l’ouvrage d’Euclide (voir Gartz, loc. cit. — C’est probablement l’ouvrage côté n° 1069 du catalogue de la bibliothèque de Leyde de 1716) ; 3° Traité d’optique en sept livres (c’est probablement un commentaire de cet ouvrage, qui est coté n° 1073 du catalogue de la bibliothèque de Leyde) ; 4° Mémoire sur la manière de faire des observations astronomiques ; 5° Mémoire sur les étoiles qui se forment dans l’air ; 6° Mémoire sur la lumière de la lune ; 7° Mémoire sur la détermination de l’azimut de la Kiblah au moyen de calcul ; 8° Mémoire sur l’arc-en-ciel et sur le halo ; 9° Mémoire sur les différences apparentes des hauteurs des étoiles ; 10° Traité du calcul des opérations commerciales ; 11° Mémoire sur la cadran solaire horizontal ; 12° Mémoire sur l’observation des étoiles ; 13° Traité du compas des sections coniques ; 14° Deux livres des centres de continuité ; 15° Mémoire sur les éléments de la mesure ; 16° Mémoire sur la mesure de la sphère ; 17° Mémoire sur la mesure du solide parabolique ; 18° Mémoire sur le miroir ardent circulaire ; 19° Mémoire sur les miroirs ardents courbés suivant des sections coniques (comparer relativement à ces deux ouvrages le catalogue de la bibliothèque de Leyde, n° 1074) ; 20° Abrégé sur les figures de la nouvelle lune ; 21° Mémoire développé sur les figures de la nouvelle lune ; 22° Abrégé sur les compas des grands cercles ; 23° Mémoire développé sur le compas des cercles (sic) ; 24° Mémoire sur l’azimut ; 25° Mémoire pour faire remarquer les parties vicieuses des méthodes d’observations astronomiques ; 26^o Mémoire démontrant que la sphère est la plus grande des figures solides isopérimètres, et le cercle la plus grande des figures planes isopérimètres ; 27^o Mémoire sur l’optique, suivant la méthode de Ptolémée ; 28^o Traité sur le perfectionnement des opérations astronomiques, deux livres ; 29^o Mémoire sur la détermination de quatre lignes (moyennes proportionnelles) entre deux lignes données (c’est l’ouvrage cité par Alkhayyâmî) ; 30^o Mémoire sur la quadrature du cercle ; 31^o Mémoire sur la détermination de la méridienne avec la dernière exactitude ; 32^o Mémoire sur l’addition des fractions ; 33^o Mémoire sur les propriétés de la parabole ; 34^o Mémoire sur les propriétés de l’hyperbole ; 35^o Mémoire sur la relation qui existe entre la (longueur) des heures temporaires et la hauteur correspondante (du pôle — voici cette relation : Désignant la longueur de l’heure temporaire par t, on aura cos | 6 t | = — tg φ • tg δ) ; 36^o Mémoire sur la nature des ombres (gnomoniques — ou bien des tangentes et cotangentes trigonométriques) ; 37^o Mémoire prouvant que la partie visible du ciel est plus grande que la moitié du ciel ; 38^o Mémoire sur la solution d’un doute sur un endroit du premier livre de l’Almageste, qui avait présenté des difficultés à plusieurs savants ; 39^o Mémoire sur la solution d’un doute sur la partie stéréométrique de l’ouvrage d’Euclide ; 40^o Mémoire sur la division des deux quantités de grandeur différente mentionnées dans la première proposition du dixième livre de l’ouvrage d’Euclide (le théorème d’exhaustion) ; 41^o Problèmes sur les changements optiques ; 42^o Mémoire sur la détermination du côté de l’heptagone ; 43^o Mémoire sur la section de la ligne employée par Archimède, dans son Traité de la sphère et du cylindre (voir l’addition A du présent opuscule) ; 44^o Mémoire sur la détermination de la méridienne au moyen d’une seule ombre (l’ombre observée donne la hauteur du soleil, laquelle étant connue, le problème se ramène à la formule $\textstyle \cos A={\frac {\sin h\sin \phi \ -\ \sin \delta }{\cos h\cos \phi }}{\Bigr )}$ ; 45^o Mémoire sur le problème d’inscrire un pentagone à un carré ; 46^o Mémoire sur la voie lactée ; 47^o Mémoire sur la détermination du côté du cube (probablement une construction d’équations cubiques) ; 48^o Mémoire sur la lumière des étoiles ; 49^o Mémoire sur les traces qu’on remarque dans la lune ; 50^o Mémoire sur un problème arithmétique ; 51^o Mémoire sur les nombres harmoniques ; 52^o Mémoire sur le mouvement qui a lieu dans le plan ; 53^o Mémoire sur l’analyse et la synthèse ; 54^o Mémoire sur les connues (c’est l’ouvrage qu’a fait connaitre M. Sédillot) ; 55^o Mémoire sur la solution d’un doute sur le douzième livre de l’ouvrage d’Euclide ; 56^o Mémoire sur la solution des difficultés présentées par le premier livre de l’ouvrage d’Euclide ; 57^o Mémoire sur le calcul des deux fausses positions ; 58^o Réponse à un problème de mesure ; 59^o Abrégé sur l’azimut de la Kiblab ; 60^o Mémoire sur la lumière ; 61^o Mémoire sur le mouvement complexe (?) ; 62^o Mémoire pour réfuter ceux qui étaient d’une opinion contraire au sujet de la voie lactée (comparer le catalogue de la bibliothèque de Leyde, n° 1159) ; 63^o Mémoire sur la solution des doutes sur le mouvement complexe ; 64^o Mémoire sur les doutes sur Ptolémée ; 65^o Mémoire sur l’atome ; 66^o Mémoire sur les lignes horaires ; 67^o Mémoire sur le قرسطن (?) (il faut peut-être lire قنطيون, voir le Recueil de termes techniques donné par M. Sédillot à la fin de son Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes) ; 68^o Mémoire sur l’espace ; 69^o Mémoire sur la détermination des hauteurs perpendiculaires des montagnes ; 70^o Mémoire sur les démonstrations (c’est dans ce sens qu’on trouve employé le mot عاة par Moh. Ben Moûça) du calcul indien ; 71^o Mémoire sur les hauteurs des triangles (traité de trigonométrie plane ?) ; 72^o Mémoire sur les propriétés des cercles ; 73^o Mémoire sur la proposition des Béni Moûça ; 74^o Mémoire sur la construction de l’heptagone inscrit au cercle ; 75^o Mémoire sur la détermination de la hauteur du pôle avec la plus grande exactitude (la bibliothèque de Leyde possède ce mémoire, dont voici les premières lignes : « Traité d’Alhaçan Ben Alhoçaïn Ben Albaïtham sur la détermination de la hauteur du pôle avec la plus grande exactitude. Il n’y a pas une seule des théories astronomiques qui se rapportent à l’observation qui n’ait besoin, dans les observations qu’elle comporte, de la détermination de l’élévation du pôle sur l’horizon du lieu de l’observation, et c’est uniquement au moyen des instruments, et après avoir déterminé exactement la position des instruments relativement à l’horizon, qu’on peut venir à bout de reconnaître les mouvements célestes ; mais on ne peut obtenir cette détermination de la position de l’instrument, relativement à l’horizon, qu’au moyen d’une connaissance exacte de la hauteur du pôle, etc » ) ; 76^o Mémoire sur la construction des clepsydres ; 77^o Mémoire sur la sphère ardente (le ms. d’Ibn Abi Oçaïb porte , le ms. de Târ. Alboq. et Casiri, ; peut-être faudrait-il lire , de Sphæra mota, sujet d’un ouvrage d’Autolycu, traduit par Thâbit Ben Korrah ; comparer le n° 1096 du catalogue de la bibliothèque de Leyde) ; 78^o Mémoire sur un problème arithmétique solide ; 79^o Mémoire sur un problème géométrique ; 80^o Mémoire sur la figure de l’éclipse ; 81^o Mémoire sur la plus grande ligne qu’on peut placer dans un segment de cercle ; 82^o Mémoire sur le mouvement de la lune ; 83^o Mémoire sur les problèmes d’intersection ; 84^o Commentaire sur l’arithmétique en forme de scolies ; 85^o Commentaire du canon (Euclide, sectio canonia ?) en forme de scolies ; 86^o Commentaire sur l’harmonique (d’Euclide ?) en forme de scolies ; 87^o Traité de la section du trapèze en général ; 88^o Mémoire sur l’éthique ; 89^o Mémoire sur les connaissances nécessaires aux gens de bureau ; 90^o Traité de politique, cinq livres ; 91^o Scolies ajoutées par le médecin égyptien Ishâk Ben Toûnis (ce pourrait bien être le célèbre astronome de ce nom, si ce n’est que celui-ci s’appelait Ali et non pas Ishâk) à l’ouvrage d’Ibn Alhaïtham sur le Traité des problèmes d’algèbre de Diophante ; 92^o Mémoire sur la solution d’un problème arithmétique. On doit à M. L. Am. Sédillot la connaissance du Traité des connues géométriques d’Ibn Alhaïtham, mentionné ci-dessus, n° 54. Voir le nouveau Journal asiatique, mai 1834, et l’Aperçu historique, etc., de M. Chasles, pag. 498 sqq. Pour donner une idée de ce qu’étaient les ouvrages du genre de celui mentionné ci-dessus n° 89, voici une indication rapide du contenu d’un ouvrage d’Aboûl Wafâ, dont la bibliothèque de Leyde possède la première moitié (n° 1048 du catalogue) ; il est intitulé Traité d’Aboûl Wafâ Mohammed Ben Mohammed Alboûzdjâni, sur les connaissances nécessaires aux gens de bureau et aux gens d’affaire et autres, en fait de l’art du calcul. Le premier livre traite : Du rapport, des différentes espèces de fractions (comparer le deuxième chapitre, première préparation, du petit traité de Behâ-Eddin), et de la règle des six quantités (comparer Chasles, Aperçu hist., not. VI) ; le deuxième livre : De la multiplication et de la division des nombres entiers et des fractions simples ou composées, de l’addition et de la soustraction des fractions, de la multiplication et de la division abrégées ; le troisième livre : De la mesure des figures planes et de la mesure des distances. C’est jusque-là que va le ms. de la bibliothèque de Leyde. D’après le sommaire, le quatrième livre traite des différents genres d’impôts, de la tenue des registres d’impôts, et des calculs qui s’y rapportent ; le cinquième livre, de l’échange des troupeaux de chameaux, des blés et des terres, particulièrement par rapport au territoire de Baçrah et de Qoufâh et aux contrées environnantes, puis des partages ; le sixième livre, du commerce de change d’or et de pièces monnayées, du payement des troupes, des bijoux, des vêtements, des associations mercantiles ; le septième livre, des calculs que nécessitent les différents genres d’opérations mercantiles. Chaque livre est divisé en sept chapitres, et chaque chapitre en un nombre plus ou moins grand (1 jusqu’à 9) de section.
↑ *) Il serait intéressant de connaître cette construction d’une équation du cinquième degré par un géomètre arabe, à moins que ce ne soit une simple reproduction du procédé imaginé par Ératosthène. (Voir Archimède, éd. d’Oxf., p. 144·146.)
↑ *) $x^{3}=a.{\frac {1}{x^{2}}}$
↑ **) $x^{3}.{\frac {1}{x^{2}}}\ ;$ c’est à quoi conduit, en effet, la méthode employée par l’auteur dans les exemples précédents, lorsqu’elle est appliquée à l’équation $x^{3}=a.{\frac {1}{x^{2}}}\$ ; car, suivant cette méthode, on multipliera les deux membres par $x^{3}$ , ce qui donne $x^{6}=a.x^{3}{\frac {1}{x^{2}}}=a.x$ ou $x^{5}=a.$ Cependant il semble que l’auteur, en se servant de l’expression « le premier degré est multiplié par le sixième, » veut désigner un degré qui est multiplié par le dénominateur de celui qui, à partir du premier, est le sixième dans l’ordre de la proportion continue des sept degrés ; à savoir $x^{3}\ {\text{par}}\ x^{2}$ le dénominateur de ${\frac {1}{x^{2}}}$ , et $x^{2}\ {\text{par}}\ x^{3}$ le dénominateur de ${\frac {1}{x^{3}}}\ ;$ de sorte que l’opération à effectuer sur l’équation proposée sera : 1^o $x^{3}=a{\frac {1}{x^{2}}},$ $x^{3}.x^{2}=a{\frac {1}{x^{2}}}.x^{2}$ ou $x^{5}=a\ ;$ 2^o $x^{2}=a{\frac {1}{x^{3}}},\ x^{2}.x^{3}=a.=a{\frac {1}{x^{3}}}.x^{3}$ ou $x^{5}=a.$ C’est du moins ainsi qu’il faut indubitablement entendre les expressions de l’exemple suivant proposé dans le texte.
↑ ***) $x^{3}=16.{\frac {1}{x}},\ x^{3}.x=16.{\frac {1}{x}}x=16,\ x={\sqrt {\sqrt {16}}}.$
↑ ****) $x^{3}=a{\frac {1}{x}},\ x^{2}=a.{\frac {1}{x^{2}}},\ x=a.{\frac {1}{x^{3}}}.$
↑ *) $x=l+2.\textstyle {\tfrac {1}{x}}$ équivaut à $x=x^{2}+2$ , parce que $x:x^{2}=l:x=\textstyle {\tfrac {1}{x}}:2$ , » c’est-à-dire qu’on multipliera l'équation par le dénominateur de la plus basse puissance qu'elle renferme ; $x^{2}=x+2$ donne $x^{2}=4$ , et $x={\sqrt[{}]{4}}=2$ ; en effet, on aura $2=1+2.\textstyle {\tfrac {1}{2}}$ .
↑ **) $x^{2}+2x=l+2.\textstyle {\tfrac {1}{x}}$ équivaut à $x^{2}+2x^{2}=x+2$ .
↑ ***) $x+2+10.\textstyle {\tfrac {1}{x}}=20.\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}$ équivaut à $x^{2}+2x^{2}+10x=10$ .
↑ *) $x^{2}+2x=2+2.{\tfrac {1}{x^{2}}}$ . C’est, en effet, une équation du quatrième degré ; mais les équations de ce degré du moins pouvaient encore être construites au moyen de deux coniques, ce que d’ailleurs d’autres géomètres arabes ont réellement reconnu (Voir l’addition D, second problème).
↑ **) Voici le tableau complet de toutes ces équations :

i. Équations simples.

Équations à termes entiers, n^o 1 à 6. $a=x$ , $a=x^{2}$ , $a=x^{3}$ , $bx=x^{2}$ , $bx=x^{3}$ , $cx^{2}=x^{2}$ .

Équations à termes fractionnaires.

${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{3}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x}}=a$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax^{2}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}=ax$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax^{2}$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax^{2}$

( ${\tfrac {1}{x^{3}}}=ax^{2}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax^{2}$ ... équations d’Ibn Alhaïtham)

${\tfrac {1}{x^{3}}}=ax^{3}$

Équations composées.

ii. Équations du second degré ( « résolubles au moyen des propriétés du cercle » ).

Équations à termes entiers, n° 7 à 12. $x^{2}+bx=a$ , $x^{2}+a=bx$ , $bx+a=x^{2}$

$x^{3}+cx^{2}=bx$ , $x^{3}+bx=cx^{2}$ , $cx^{2}+bx=x^{3}$ .

Équations à termes fractionnaires. ${\tfrac {1}{x}}+a=bx$ , ${\tfrac {1}{x}}+bx=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=a+bx$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {a}{x}}=b$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+b={\tfrac {a}{x}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {a}{x}}+b$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}={\tfrac {b}{x}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}$ ,

iii. Équations du troisième degré à trois termes ( « rés. au moy. des propr. des coniq. » )
Équations à termes entiers, n° 13 à 18, $x^{2}+bx=a$ , $x^{2}+a=bx$ $bx+a=x^{2}$ ,

$x^{2}+cx^{2}=a$ , $x^{2}+a=cx^{2}$ $cx^{2}+a=x^{2}.$

Équations à termes fractionnaires. ${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x}}=b$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+b={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}={\tfrac {a}{x}}+b$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+a=bx$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+bx^{2}=a$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a+bx$ ,

${\tfrac {1}{x}}+ax=bx^{2}$ , ${\tfrac {1}{x}}+bx^{2}=ax$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax+bx^{2}$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {1}{x^{2}}}=b$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+b={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+b$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {a}{x}}=bx$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+bx={\tfrac {a}{x}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {a}{x}}+bx$ ,

${\tfrac {1}{x}}+a=bx^{2}$ , ${\tfrac {1}{x}}+bx^{2}=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=a+bx^{2}$ .

iv. Équations du troisième degré à quatre termes (« rés. au moy. des propr. des coniq. »)

Équations à termes entiers, n° 19 à 25. $x^{3}+cx^{2}+bx=a$ , $x^{3}+cx^{2}+a=bx$ ,

$x^{3}+bx+a=cx^{2}$ , $cx^{2}+bx+a=x^{2}$ ,

$x^{3}+cx^{2}=bx+a$ , $x^{3}+bx=cx^{2}+a$ $x^{3}+a=cx^{2}+bx$ .

Équations à termes fractionnaires.
${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}=c$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}+c={\tfrac {b}{x}}$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {b}{x}}+c={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}+c$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}={\tfrac {b}{x^{2}}}+c$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {b}{x}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+c$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+c={\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}+b=cx$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}+cx=b$

$\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}=b+cx$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+b=textstyle{\tfrac {a}{x}}+cx$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+cx=textstyle{\tfrac {a}{x}}+b$

$\textstyle {\tfrac {1}{x}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}+bx=cx^{2}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}+a+cx^{2}=bx=$

$\textstyle {\tfrac {1}{x}}+bx+cx^{2}=a$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}=a+bx+cx^{2}$

$\textstyle {\tfrac {1}{x}}+a=bx+cx^{2}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}+bx=a+cx^{2}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}+cx^{2}=a+bx$

Il est remarquable que l’auteur n’ait pas été frappé par la pensée qu’on peut produire un nombre infini d’équations « résolubles par ses méthodes » en multipliant chacune de ses vingt-cinq (ou plutôt en rejetant les équations n^os 4 à 6, et 10 à 12, dix-neuf) équations primitives par $xtextstyle{\tfrac {+}{-}}^{n}$ , $n$ étant un nombre entier quelconque. Ce sont probablement ses théories philosophiques sur la nature des puissances (voir pages 7 et 8) qui l’empêchaient de concevoir cette idée.
↑ *) À savoir, les espèces n^os 1, 2, 4, 7, 8, 9. — Voir les traités de Moh. Ben Moûça et de Behâ Eddtn, et comparer le passage d’Ibn Khaldoun cité par Hadji-Khalfa (éd. de Fluegel, t. ii, page 584).

[1] *) En effet, parmi les 25 espèces, 7 seulement, à savoir les équations 8, 11, 14, 17, 20, 21, 25, donnent lieu à des cas dans lesquels l’équation n’admet pas des racines réelles et positives.

[2] **) Pour ôter à la terminologie employée par l’auteur dans ce qui suit ce qu’elle peut, au premier abord, avoir de choquant, il suffira de remarquer qu’il entend par « partie de A » la valeur réciproque de A, et par « N parties de A » la fraction $\textstyle {\tfrac {N}{A}}$ . On peut d’ailleurs comparer à ce sujet les définitions du septième livre d’Euclide.

[3] ***) $\textstyle {\tfrac {1}{x}}:1=1/x$ .

[4] ****) C’est-à-dire la fraction ayant pour dénominateur ce nombre, et pour numérateur l’unité.

[5] *) C’est-à-dire que si à ${\frac {1}{x^{3}}}$ on a substitué $z^{3}$ , on trouvera $x^{3}$ , en prenant, après avoir déterminé $z^{3}$ , la valeur réciproque de $z^{3}$ .

[6] **) Équation proposée ${\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}.{\frac {1}{x^{2}}}$ ; on résout $z^{2}={\frac {1}{2}}z$ , ce qui donne $z^{2}={\frac {1}{4}}$ ; donc $x^{2}=4$ , ${\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{4}}$ , ${\frac {1}{x}}={\frac {1}{2}}$ .

[7] ***) Équation proposée : ${\frac {1}{x^{2}}}+2{\frac {1}{x}}=1{\frac {1}{4}}$ ; on résout $z^{2}+2z=1{\frac {1}{4}}$ , ce qui donne $z={\frac {1}{2^{2}}},z^{2}={\frac {1}{4^{2}}}$ , donc $z^{2}=4$ .

[8] *) Équation proposée : $\textstyle {\tfrac {1}{x^{3}}}+3\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+5\textstyle {\tfrac {1}{x}}=3\textstyle {\tfrac {3}{8}}$ ; ayant déterminé la racine $\zeta$ de cette dernière équation, on fait $\zeta :1=1:l$ , et l’on aura $x=l$ .

[9] **) L’auteur appelle ici préalablement l’attention du lecteur sur la multiplication des différentes puissances de l’inconnue l’une par l’autre, parce que c’est le moyen qu’il emploie pour résoudre les équations qu’il va proposer.

[10] *) L’auteur suppose les sept puissances arrangées de la manière suivante :
1) x2 2) x3 3) x 4) 1 5) ${\tfrac {1}{x}}$ 6) ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ 7) ${\tfrac {1}{x^{3}}}$

[11] **) x^2 = 10 . ${\tfrac {1}{x^{3}}}$ , x^2 . x^2 = 10 . \tfrac{1}{x^2}</math> . x^2 = 10, x^3 = $\textstyle {\sqrt {10}}$ .

[12] ***) C’est-à-dire il sera égal à un nombre (entier ou fractionnaire, rationnel ou irrationnel) d'unités.

[13] ****) n . (p . ${\tfrac {1}{n}}$ ) = p

[14] *****) x2 = 16 . ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ , x^2 . x^2 = 16 . ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ = 16, x2 = </math> \textstyle \sqrt{16}</math> = 4.

[15] ******) x = 4 . ${\tfrac {1}{x^{2}}}$ , x . x = 4 . ${\tfrac {1}{x}}$ = 4, x = </math> \textstyle \sqrt{4}</math> = 2.

[16] *) $x^{2}=a.{\frac {1}{x^{3}}}.$

[17] **) En effet, déterminant quatre lignes $x,\ y,\ v,\ w,$ de sorte que $1:x=x:y=y:v=v:w=w:a,$ on aura $x^{5}=a\ {\text{ou}}\ x^{2}=a.{\frac {1}{x^{3}}}.$

[p104-18] Voir Casiri, t. I, p. 414 sqq. — Aboûl Faradj, pag. 340-342. — Gartz, de Interpretibus et Explanatoribus Euclidia Arabicis ; Halac, 1823, pag. 23-24.

En vertu de la règle donnée par M. de Sacy dans son Anthologiæ grammaticale (pag. 113), j’ai adopté dans le texte la leçon du ms. C ; car j’ai trouvé que le nom complet de ce géomètre était Alhaçan Ben Alhaçan Ben Alhaîtham, de sorte que d’Alhaîtham à lui il n’y a pas de descendance immédiate.

Relativement aux ouvrages d’Ibn Alhatham, et particulièrement à ceux de ses ouvrages qui se rapportent aux sciences mathématiques, j’extrais deux passages du ms. des Biographies des médecins célèbres par Ibn Abi Oçaibiah, que possède la Bibliothèque nationale. Dans le quatorzième chapitre de son ouvrage, Ibn Abî Oçaibiah consacre à la vie et aux écrits d’Ibn Alhaîtham (qu’il nomme Mohammed, tandis que, suivant la Târikh Alhoqamâ, Ibn Alhaîtham s’appelait Alhaçan) un article très-étendu, et renfermant des détails beaucoup plus circonstanciés que n’en offrent les notices données sur ce géomètre par Casiri, et dans le ms. du Târikh Alhoqamâ que possède la Bibliothèque nationale. Voici les deux passages ayant trait plus spécialement à ce qui doit nous intéresser ici :

« Mohammed Ben Alhaçan a dit…… Et de ce que j’ai composé sur les sciences mathématiques, le nombre des ouvrages monte à vingt-cinq : 1^o Commentaire et abrégé des éléments de géométrie et d’arithmétique d’Euclide ; 2^o Recueil des Éléments de géométrie et d’arithmétique, tiré des traités d’Euclide et d’Apollonius ; dans cet ouvrage, j’ai classé et divisé les éléments et en ai donné des démonstrations fondées sur les mathématiques, le calcul et la logique, de sorte que, quant à l’arrangement des matières, j’ai renversé l’ordre suivi par Euclide et Apollonius ; 3^o Commentaire et abrégé de l’Almageste, fondé sur des démonstrations ; je n’y ai rien traité au moyen du calcul, si ce n’est un très-petit nombre de problèmes sans importance ; mais si Dieu me donne la vie et que les circonstances me permettent de l’achever, je commencerai un commentaire très-détaillé du même ouvrage, dans lequel je ramènerai tout à l’arithmétique et au calcul ; 4^o Recueil des éléments du calcul, ouvrage dans lequel j’ai déduit, des principes posés par Euclide dans ses Éléments de géométrie et d’arithmétique, les éléments de toutes les espèces du calcul ; j’y ai établi la méthode de la résolution des problèmes du calcul, par le double moyen de l’analyse géométrique et de la vérification arithmétique, en m’abstenant, en même temps, d’y employer les principes et les termes techniques des algébristes ; 5° Abrégé d’optique, tiré des deux ouvrages d’Euclide et de Ptolémée ; j’y ai complété (restitué) le sujet du premier livre perdu du traité de Ptolémée ; 6° Traité de l’analyse des problèmes géométriques ; 7° Traité de l’analyse des problèmes arithmétiques par la méthode de l’algèbre, avec démonstrations ; 8° Traité complet sur l’analyse des problèmes géométriques et arithmétiques ; toutefois la partie qui se rapporte aux problèmes arithmétiques est sans démonstrations, mais fondée sur les principes de l’algèbre ; 9° Traité de la mesure à la manière des Éléments ; 10° Traité du calcul des opérations commerciales ; 11° Perfection de l’art de creuser et d’édifier, ouvrage dans lequel j’ai fait correspondre à tout ce qui se présente dans ces deux arts toutes les figures géométriques, en allant jusqu’aux figures des trois sections coniques, de la parabole, de l’hyperbole et de l’ellipse ; 12° Abrégé des livres d’Apollonius sur les sections coniques ; 13° Mémoire sur le calcul indien ; 14° Mémoire sur la détermination de l’azimut de la Kibish dans toute la terre habitée, avec des tables que j’ai construites, sans donner les démonstrations des procédés exposés ; 15° De certains problèmes géométriques indispensables pour les rites religieux ; 16° Lettre adressée à plusieurs rois, pour encourager aux observations astronomiques ; 17° Introduction à la géométrie ; 18° Mémoire sur la réfutation de la démonstration que l’hyperbole et ses deux asymptotes s’approchent indéfiniment l’une des autres, sans cependant jamais se rencontrer ; 19° Réponse à sept problèmes mathématiques qu’on m’avait proposé à Bagdâd, puis j’y ai répondu ; 20° Traité sur l’analyse et la synthèse des géomètres, à l’usage des étudiants, recueil de problèmes géométriques et arithmétiques, résolus et arrangés par moi ; 21° Traité de l’instrument universel, abrégé extrait du traité d’Ibrâhim Ben Henân ; 22° Mémoire sur la détermination géométrique de la distance entre deux lieux terrestres ; 23° Mémoire sur les éléments des problèmes arithmétiques et sur leur analyse ; 24° Mémoire pour résoudre un doute sur Euclide, relativement au cinquième livre de son Traité des éléments mathématiques ; 25° Mémoire sur la démonstration du théorème proposé par Archimède, relativement à la trisection de l’angle, qu’il ne démontra pas (c’est probablement une erreur, et il faut lire : relativement à la section de la ligne, etc. ; voir l’addition A du présent opuscule). »

……« Je dis. Et c’est là que finit ce que j’ai trouvé en fait de cela, écrit de la main de Mohammed Ben Alhaçan Ben Alhaitham, l’auteur : que la miséricorde divine repose sur lui ! Et voici encore une liste des ouvrages d’Ibn Alhaïtham que j’ai trouvée, et qui va jusqu’à la fin de l’an 429 : 1° Mémoire sur la configuration du monde ; 2° Commentaire sur les définitions de l’ouvrage d’Euclide (voir Gartz, loc. cit. — C’est probablement l’ouvrage côté n° 1069 du catalogue de la bibliothèque de Leyde de 1716) ; 3° Traité d’optique en sept livres (c’est probablement un commentaire de cet ouvrage, qui est coté n° 1073 du catalogue de la bibliothèque de Leyde) ; 4° Mémoire sur la manière de faire des observations astronomiques ; 5° Mémoire sur les étoiles qui se forment dans l’air ; 6° Mémoire sur la lumière de la lune ; 7° Mémoire sur la détermination de l’azimut de la Kiblah au moyen de calcul ; 8° Mémoire sur l’arc-en-ciel et sur le halo ; 9° Mémoire sur les différences apparentes des hauteurs des étoiles ; 10° Traité du calcul des opérations commerciales ; 11° Mémoire sur la cadran solaire horizontal ; 12° Mémoire sur l’observation des étoiles ; 13° Traité du compas des sections coniques ; 14° Deux livres des centres de continuité ; 15° Mémoire sur les éléments de la mesure ; 16° Mémoire sur la mesure de la sphère ; 17° Mémoire sur la mesure du solide parabolique ; 18° Mémoire sur le miroir ardent circulaire ; 19° Mémoire sur les miroirs ardents courbés suivant des sections coniques (comparer relativement à ces deux ouvrages le catalogue de la bibliothèque de Leyde, n° 1074) ; 20° Abrégé sur les figures de la nouvelle lune ; 21° Mémoire développé sur les figures de la nouvelle lune ; 22° Abrégé sur les compas des grands cercles ; 23° Mémoire développé sur le compas des cercles (sic) ; 24° Mémoire sur l’azimut ; 25° Mémoire pour faire remarquer les parties vicieuses des méthodes d’observations astronomiques ; 26^o Mémoire démontrant que la sphère est la plus grande des figures solides isopérimètres, et le cercle la plus grande des figures planes isopérimètres ; 27^o Mémoire sur l’optique, suivant la méthode de Ptolémée ; 28^o Traité sur le perfectionnement des opérations astronomiques, deux livres ; 29^o Mémoire sur la détermination de quatre lignes (moyennes proportionnelles) entre deux lignes données (c’est l’ouvrage cité par Alkhayyâmî) ; 30^o Mémoire sur la quadrature du cercle ; 31^o Mémoire sur la détermination de la méridienne avec la dernière exactitude ; 32^o Mémoire sur l’addition des fractions ; 33^o Mémoire sur les propriétés de la parabole ; 34^o Mémoire sur les propriétés de l’hyperbole ; 35^o Mémoire sur la relation qui existe entre la (longueur) des heures temporaires et la hauteur correspondante (du pôle — voici cette relation : Désignant la longueur de l’heure temporaire par t, on aura cos | 6 t | = — tg φ • tg δ) ; 36^o Mémoire sur la nature des ombres (gnomoniques — ou bien des tangentes et cotangentes trigonométriques) ; 37^o Mémoire prouvant que la partie visible du ciel est plus grande que la moitié du ciel ; 38^o Mémoire sur la solution d’un doute sur un endroit du premier livre de l’Almageste, qui avait présenté des difficultés à plusieurs savants ; 39^o Mémoire sur la solution d’un doute sur la partie stéréométrique de l’ouvrage d’Euclide ; 40^o Mémoire sur la division des deux quantités de grandeur différente mentionnées dans la première proposition du dixième livre de l’ouvrage d’Euclide (le théorème d’exhaustion) ; 41^o Problèmes sur les changements optiques ; 42^o Mémoire sur la détermination du côté de l’heptagone ; 43^o Mémoire sur la section de la ligne employée par Archimède, dans son Traité de la sphère et du cylindre (voir l’addition A du présent opuscule) ; 44^o Mémoire sur la détermination de la méridienne au moyen d’une seule ombre (l’ombre observée donne la hauteur du soleil, laquelle étant connue, le problème se ramène à la formule $\textstyle \cos A={\frac {\sin h\sin \phi \ -\ \sin \delta }{\cos h\cos \phi }}{\Bigr )}$ ; 45^o Mémoire sur le problème d’inscrire un pentagone à un carré ; 46^o Mémoire sur la voie lactée ; 47^o Mémoire sur la détermination du côté du cube (probablement une construction d’équations cubiques) ; 48^o Mémoire sur la lumière des étoiles ; 49^o Mémoire sur les traces qu’on remarque dans la lune ; 50^o Mémoire sur un problème arithmétique ; 51^o Mémoire sur les nombres harmoniques ; 52^o Mémoire sur le mouvement qui a lieu dans le plan ; 53^o Mémoire sur l’analyse et la synthèse ; 54^o Mémoire sur les connues (c’est l’ouvrage qu’a fait connaitre M. Sédillot) ; 55^o Mémoire sur la solution d’un doute sur le douzième livre de l’ouvrage d’Euclide ; 56^o Mémoire sur la solution des difficultés présentées par le premier livre de l’ouvrage d’Euclide ; 57^o Mémoire sur le calcul des deux fausses positions ; 58^o Réponse à un problème de mesure ; 59^o Abrégé sur l’azimut de la Kiblab ; 60^o Mémoire sur la lumière ; 61^o Mémoire sur le mouvement complexe (?) ; 62^o Mémoire pour réfuter ceux qui étaient d’une opinion contraire au sujet de la voie lactée (comparer le catalogue de la bibliothèque de Leyde, n° 1159) ; 63^o Mémoire sur la solution des doutes sur le mouvement complexe ; 64^o Mémoire sur les doutes sur Ptolémée ; 65^o Mémoire sur l’atome ; 66^o Mémoire sur les lignes horaires ; 67^o Mémoire sur le قرسطن (?) (il faut peut-être lire قنطيون, voir le Recueil de termes techniques donné par M. Sédillot à la fin de son Mémoire sur les instruments astronomiques des Arabes) ; 68^o Mémoire sur l’espace ; 69^o Mémoire sur la détermination des hauteurs perpendiculaires des montagnes ; 70^o Mémoire sur les démonstrations (c’est dans ce sens qu’on trouve employé le mot عاة par Moh. Ben Moûça) du calcul indien ; 71^o Mémoire sur les hauteurs des triangles (traité de trigonométrie plane ?) ; 72^o Mémoire sur les propriétés des cercles ; 73^o Mémoire sur la proposition des Béni Moûça ; 74^o Mémoire sur la construction de l’heptagone inscrit au cercle ; 75^o Mémoire sur la détermination de la hauteur du pôle avec la plus grande exactitude (la bibliothèque de Leyde possède ce mémoire, dont voici les premières lignes : « Traité d’Alhaçan Ben Alhoçaïn Ben Albaïtham sur la détermination de la hauteur du pôle avec la plus grande exactitude. Il n’y a pas une seule des théories astronomiques qui se rapportent à l’observation qui n’ait besoin, dans les observations qu’elle comporte, de la détermination de l’élévation du pôle sur l’horizon du lieu de l’observation, et c’est uniquement au moyen des instruments, et après avoir déterminé exactement la position des instruments relativement à l’horizon, qu’on peut venir à bout de reconnaître les mouvements célestes ; mais on ne peut obtenir cette détermination de la position de l’instrument, relativement à l’horizon, qu’au moyen d’une connaissance exacte de la hauteur du pôle, etc » ) ; 76^o Mémoire sur la construction des clepsydres ; 77^o Mémoire sur la sphère ardente (le ms. d’Ibn Abi Oçaïb porte , le ms. de Târ. Alboq. et Casiri, ; peut-être faudrait-il lire , de Sphæra mota, sujet d’un ouvrage d’Autolycu, traduit par Thâbit Ben Korrah ; comparer le n° 1096 du catalogue de la bibliothèque de Leyde) ; 78^o Mémoire sur un problème arithmétique solide ; 79^o Mémoire sur un problème géométrique ; 80^o Mémoire sur la figure de l’éclipse ; 81^o Mémoire sur la plus grande ligne qu’on peut placer dans un segment de cercle ; 82^o Mémoire sur le mouvement de la lune ; 83^o Mémoire sur les problèmes d’intersection ; 84^o Commentaire sur l’arithmétique en forme de scolies ; 85^o Commentaire du canon (Euclide, sectio canonia ?) en forme de scolies ; 86^o Commentaire sur l’harmonique (d’Euclide ?) en forme de scolies ; 87^o Traité de la section du trapèze en général ; 88^o Mémoire sur l’éthique ; 89^o Mémoire sur les connaissances nécessaires aux gens de bureau ; 90^o Traité de politique, cinq livres ; 91^o Scolies ajoutées par le médecin égyptien Ishâk Ben Toûnis (ce pourrait bien être le célèbre astronome de ce nom, si ce n’est que celui-ci s’appelait Ali et non pas Ishâk) à l’ouvrage d’Ibn Alhaïtham sur le Traité des problèmes d’algèbre de Diophante ; 92^o Mémoire sur la solution d’un problème arithmétique. On doit à M. L. Am. Sédillot la connaissance du Traité des connues géométriques d’Ibn Alhaïtham, mentionné ci-dessus, n° 54. Voir le nouveau Journal asiatique, mai 1834, et l’Aperçu historique, etc., de M. Chasles, pag. 498 sqq. Pour donner une idée de ce qu’étaient les ouvrages du genre de celui mentionné ci-dessus n° 89, voici une indication rapide du contenu d’un ouvrage d’Aboûl Wafâ, dont la bibliothèque de Leyde possède la première moitié (n° 1048 du catalogue) ; il est intitulé Traité d’Aboûl Wafâ Mohammed Ben Mohammed Alboûzdjâni, sur les connaissances nécessaires aux gens de bureau et aux gens d’affaire et autres, en fait de l’art du calcul. Le premier livre traite : Du rapport, des différentes espèces de fractions (comparer le deuxième chapitre, première préparation, du petit traité de Behâ-Eddin), et de la règle des six quantités (comparer Chasles, Aperçu hist., not. VI) ; le deuxième livre : De la multiplication et de la division des nombres entiers et des fractions simples ou composées, de l’addition et de la soustraction des fractions, de la multiplication et de la division abrégées ; le troisième livre : De la mesure des figures planes et de la mesure des distances. C’est jusque-là que va le ms. de la bibliothèque de Leyde. D’après le sommaire, le quatrième livre traite des différents genres d’impôts, de la tenue des registres d’impôts, et des calculs qui s’y rapportent ; le cinquième livre, de l’échange des troupeaux de chameaux, des blés et des terres, particulièrement par rapport au territoire de Baçrah et de Qoufâh et aux contrées environnantes, puis des partages ; le sixième livre, du commerce de change d’or et de pièces monnayées, du payement des troupes, des bijoux, des vêtements, des associations mercantiles ; le septième livre, des calculs que nécessitent les différents genres d’opérations mercantiles. Chaque livre est divisé en sept chapitres, et chaque chapitre en un nombre plus ou moins grand (1 jusqu’à 9) de section.

[p107-19] *) Il serait intéressant de connaître cette construction d’une équation du cinquième degré par un géomètre arabe, à moins que ce ne soit une simple reproduction du procédé imaginé par Ératosthène. (Voir Archimède, éd. d’Oxf., p. 144·146.)

[20] *) $x^{3}=a.{\frac {1}{x^{2}}}$

[21] **) $x^{3}.{\frac {1}{x^{2}}}\ ;$ c’est à quoi conduit, en effet, la méthode employée par l’auteur dans les exemples précédents, lorsqu’elle est appliquée à l’équation $x^{3}=a.{\frac {1}{x^{2}}}\$ ; car, suivant cette méthode, on multipliera les deux membres par $x^{3}$ , ce qui donne $x^{6}=a.x^{3}{\frac {1}{x^{2}}}=a.x$ ou $x^{5}=a.$ Cependant il semble que l’auteur, en se servant de l’expression « le premier degré est multiplié par le sixième, » veut désigner un degré qui est multiplié par le dénominateur de celui qui, à partir du premier, est le sixième dans l’ordre de la proportion continue des sept degrés ; à savoir $x^{3}\ {\text{par}}\ x^{2}$ le dénominateur de ${\frac {1}{x^{2}}}$ , et $x^{2}\ {\text{par}}\ x^{3}$ le dénominateur de ${\frac {1}{x^{3}}}\ ;$ de sorte que l’opération à effectuer sur l’équation proposée sera : 1^o $x^{3}=a{\frac {1}{x^{2}}},$ $x^{3}.x^{2}=a{\frac {1}{x^{2}}}.x^{2}$ ou $x^{5}=a\ ;$ 2^o $x^{2}=a{\frac {1}{x^{3}}},\ x^{2}.x^{3}=a.=a{\frac {1}{x^{3}}}.x^{3}$ ou $x^{5}=a.$ C’est du moins ainsi qu’il faut indubitablement entendre les expressions de l’exemple suivant proposé dans le texte.

[22] ***) $x^{3}=16.{\frac {1}{x}},\ x^{3}.x=16.{\frac {1}{x}}x=16,\ x={\sqrt {\sqrt {16}}}.$

[23] ****) $x^{3}=a{\frac {1}{x}},\ x^{2}=a.{\frac {1}{x^{2}}},\ x=a.{\frac {1}{x^{3}}}.$

[24] *) $x=l+2.\textstyle {\tfrac {1}{x}}$ équivaut à $x=x^{2}+2$ , parce que $x:x^{2}=l:x=\textstyle {\tfrac {1}{x}}:2$ , » c’est-à-dire qu’on multipliera l'équation par le dénominateur de la plus basse puissance qu'elle renferme ; $x^{2}=x+2$ donne $x^{2}=4$ , et $x={\sqrt[{}]{4}}=2$ ; en effet, on aura $2=1+2.\textstyle {\tfrac {1}{2}}$ .

[25] **) $x^{2}+2x=l+2.\textstyle {\tfrac {1}{x}}$ équivaut à $x^{2}+2x^{2}=x+2$ .

[26] ***) $x+2+10.\textstyle {\tfrac {1}{x}}=20.\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}$ équivaut à $x^{2}+2x^{2}+10x=10$ .

[27] *) $x^{2}+2x=2+2.{\tfrac {1}{x^{2}}}$ . C’est, en effet, une équation du quatrième degré ; mais les équations de ce degré du moins pouvaient encore être construites au moyen de deux coniques, ce que d’ailleurs d’autres géomètres arabes ont réellement reconnu (Voir l’addition D, second problème).

[p110-28] **) Voici le tableau complet de toutes ces équations :

i. Équations simples.

Équations à termes entiers, n^o 1 à 6. $a=x$ , $a=x^{2}$ , $a=x^{3}$ , $bx=x^{2}$ , $bx=x^{3}$ , $cx^{2}=x^{2}$ .

Équations à termes fractionnaires.

${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{3}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x}}=a$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a{\tfrac {1}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}=a$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax^{2}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}=ax$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax^{2}$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax^{2}$

( ${\tfrac {1}{x^{3}}}=ax^{2}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=ax^{2}$ ... équations d’Ibn Alhaïtham)

${\tfrac {1}{x^{3}}}=ax^{3}$

Équations composées.

ii. Équations du second degré ( « résolubles au moyen des propriétés du cercle » ).

Équations à termes entiers, n° 7 à 12. $x^{2}+bx=a$ , $x^{2}+a=bx$ , $bx+a=x^{2}$

$x^{3}+cx^{2}=bx$ , $x^{3}+bx=cx^{2}$ , $cx^{2}+bx=x^{3}$ .

Équations à termes fractionnaires. ${\tfrac {1}{x}}+a=bx$ , ${\tfrac {1}{x}}+bx=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=a+bx$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {a}{x}}=b$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+b={\tfrac {a}{x}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {a}{x}}+b$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}={\tfrac {b}{x}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}$ ,

iii. Équations du troisième degré à trois termes ( « rés. au moy. des propr. des coniq. » )
Équations à termes entiers, n° 13 à 18, $x^{2}+bx=a$ , $x^{2}+a=bx$ $bx+a=x^{2}$ ,

$x^{2}+cx^{2}=a$ , $x^{2}+a=cx^{2}$ $cx^{2}+a=x^{2}.$

Équations à termes fractionnaires. ${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x}}=b$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+b={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}={\tfrac {a}{x}}+b$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+a=bx$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+bx^{2}=a$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}=a+bx$ ,

${\tfrac {1}{x}}+ax=bx^{2}$ , ${\tfrac {1}{x}}+bx^{2}=ax$ , ${\tfrac {1}{x}}=ax+bx^{2}$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {1}{x^{2}}}=b$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+b={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+b$ ,

${\tfrac {1}{x^{2}}}+{\tfrac {a}{x}}=bx$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}+bx={\tfrac {a}{x}}$ , ${\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {a}{x}}+bx$ ,

${\tfrac {1}{x}}+a=bx^{2}$ , ${\tfrac {1}{x}}+bx^{2}=a$ , ${\tfrac {1}{x}}=a+bx^{2}$ .

iv. Équations du troisième degré à quatre termes (« rés. au moy. des propr. des coniq. »)

Équations à termes entiers, n° 19 à 25. $x^{3}+cx^{2}+bx=a$ , $x^{3}+cx^{2}+a=bx$ ,

$x^{3}+bx+a=cx^{2}$ , $cx^{2}+bx+a=x^{2}$ ,

$x^{3}+cx^{2}=bx+a$ , $x^{3}+bx=cx^{2}+a$ $x^{3}+a=cx^{2}+bx$ .

Équations à termes fractionnaires.
${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}=c$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}+c={\tfrac {b}{x}}$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {b}{x}}+c={\tfrac {a}{x^{2}}}$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}+c$ ,

${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {a}{x^{2}}}={\tfrac {b}{x^{2}}}+c$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+{\tfrac {b}{x}}={\tfrac {a}{x^{2}}}+c$ , ${\tfrac {1}{x^{3}}}+c={\tfrac {a}{x^{2}}}+{\tfrac {b}{x}}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}+b=cx$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}+cx=b$

$\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}=b+cx$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+b=textstyle{\tfrac {a}{x}}+cx$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x^{2}}}+cx=textstyle{\tfrac {a}{x}}+b$

$\textstyle {\tfrac {1}{x}}+textstyle{\tfrac {a}{x}}+bx=cx^{2}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}+a+cx^{2}=bx=$

$\textstyle {\tfrac {1}{x}}+bx+cx^{2}=a$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}=a+bx+cx^{2}$

$\textstyle {\tfrac {1}{x}}+a=bx+cx^{2}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}+bx=a+cx^{2}$ , $\textstyle {\tfrac {1}{x}}+cx^{2}=a+bx$

Il est remarquable que l’auteur n’ait pas été frappé par la pensée qu’on peut produire un nombre infini d’équations « résolubles par ses méthodes » en multipliant chacune de ses vingt-cinq (ou plutôt en rejetant les équations n^os 4 à 6, et 10 à 12, dix-neuf) équations primitives par $xtextstyle{\tfrac {+}{-}}^{n}$ , $n$ étant un nombre entier quelconque. Ce sont probablement ses théories philosophiques sur la nature des puissances (voir pages 7 et 8) qui l’empêchaient de concevoir cette idée.

[29] *) À savoir, les espèces n^os 1, 2, 4, 7, 8, 9. — Voir les traités de Moh. Ben Moûça et de Behâ Eddtn, et comparer le passage d’Ibn Khaldoun cité par Hadji-Khalfa (éd. de Fluegel, t. ii, page 584).

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