Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Mémoire sur la Théorie du mouvement des fluides

Joseph-Louis Lagrange

Mémoire sur la Théorie du mouvement des fluides

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome IV (p. 695-748).

MÉMOIRE
SUR LA
THÉORIE DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

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(Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, année 1781.)

Depuis que M. d’Alembert a réduit à des équations analytiques les vraies lois du mouvement des fluides, cette matière est devenue l’objet d’un grand nombre de recherches qui se trouvent répandues dans les Opuscules de M. d’Alembert, et dans les Recueils de cette Académie et de celle de Pétersbourg. La Théorie générale a été beaucoup perfectionnée dans ces différentes recherches ; mais il n’en est pas de même de la partie de cette Théorie qui concerne la manière de l’appliquer aux questions particulières. M. d’Alembert paraît même porté à croire que cette application est impossible dans la plupart des cas, surtout lorsqu’il s’agit du mouvement des fluides qui coulent dans des vases.

Après avoir soigneusement étudié tout ce qui a déjà été écrit sur la Théorie rigoureuse du mouvement des fluides, je me suis appliqué à lever, ou du moins à diminuer les difficultés qui ont retardé les progrès de cette Théorie, et ont obligé les Géomètres à se contenter, pour la solution des Problèmes les plus simples, de méthodes indirectes, ou fondées sur des suppositions précaires. C’est ce qui a occasionné les Recherches dont je vais donner le résultat dans ce Mémoire.

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SECTION PREMIÈRE.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉQUATIONS FONDAMENTALES DU MOUVEMENT DES FLUIDES.

1. Soit une masse quelconque de fluide que l’on considérera comme composée d’une infinité de particules $dm\ ;$ et soient $x,$ $y,$ $z$ les coordonnées rectangles de chaque particule $dm\ ;$ $p,$ $q,$ $r$ les vitesses de cette particule parallèlement aux mêmes coordonnées et dans le sens dans lequel ces coordonnées augmentent ; et enfin $t$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement. Ces quantités $p,$ $q,$ $r,$ devant appartenir, en général, à chaque particule et à chaque instant du mouvement, ne peuvent être que des fonctions des variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ et c’est de la détermination de ces fonctions que dépend celle du mouvement du fluide.

Ces fonctions étant connues, on aura, pour le mouvement de chaque particule, les équations

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt\ ;$

lesquelles, étant intégrées, donneront les valeurs de $x,$ $y,$ $z$ exprimées en $t$ et en trois constantes arbitraires $a,$ $b,$ $c,$ dépendantes du lieu initial de la particule ; ainsi l’on connaîtra le lieu de chaque particule du fluide après un temps quelconque.

Si l’on chasse $dt$ de ces équations, on aura ces deux-ci

$pdy=qdx,\quad pdz=rdx,$

lesquelles expriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut à chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d’un instant à l’autre.

2. Maintenant, à cause de la continuité du fluide, on peut imaginer que chaque particule $dm$ ait la figure d’un parallélépipède rectangle, et que son volume soit par conséquent exprimé par $\delta x\delta y\delta z,$ en supposant que $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z$ soient les côtés du parallélépipède et représentent les variations des coordonnées $x,\,y,\,z,$ pour les particules adjacentes, dans la direction de ces coordonnées.

Si donc on nomme $\Delta$ la densité de chaque particule $dm,$ on aura

$dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,$

et la quantité $\Delta$ devra être pareillement une fonction de $x,\,y,\,z,\,t.$

3. Dans l’instant suivant, le parallélépipède changera à la fois de place et de forme, mais la masse $dm$ demeurera la même. Pour voir ce que devient le volume, ou l’espace $\delta x\delta y\delta z,$ on remarquera que les coordonnées $x,\,y,\,z$ de la particule $dm$ deviennent, par le mouvement de cette particule, $x+pdt,$ $y+qdt,$ $z+rdt$ (1) ; donc, faisant varier successivement dans ces dernières expressions les variables $x,$ $y,$ $z$ de $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z,$ les coordonnées

$x+\delta x,\ y,\ z$

de la particule adjacente dans la direction de la ligne $x$ deviendront

$x+pdt+\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\delta x,\quad y+qdt+{\frac {dq}{dx}}dt\delta x,\quad z+rdt+{\frac {dr}{dx}}dt\delta x\ ;$

ainsi le côté $\delta x,$ lequel joint les angles du parallélépipède relatifs aux coordonnées $x,$ $y,$ $z$ et $x+\delta x,$ $y,$ $z,$ deviendra évidemment

$\delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}=\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),$

en négligeant les quantités infiniment petites du troisième ordre. À l’égard des deux autres côtés égaux et parallèles à $\delta x,$ dont l’un joint les angles relatifs aux coordonnées

$x,\ y+\delta y,\ z,\quad$ et $\quad x+\delta x,\ y+\delta y,\ z,$

et l’autre joint les angles relatifs aux coordonnées

$x,\ y,\ z+\delta z,\quad$ et $\quad x+\delta x,\ y,\ z+\delta z,$

il est visible que, pour savoir ce que deviennent ces côtés, il n’y aura qu’à augmenter, dans l’expression précédente, $y$ de $\delta y$ et ensuite $z$ de $\delta z\ ;$ ainsi ces côtés deviendront

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)+{\frac {d^{2}p}{dx\,dy}}dt\delta x\delta y,\quad \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)+{\frac {d^{2}p}{dx\,dz}}dt\delta x\delta z,$

valeurs qui se réduisent à

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)$

en négligeant les infiniment petits du troisième ordre.

Il s’ensuit de là que les trois côtés parallèles et égaux à $\delta x$ du parallélépipède rectangle $\delta x\delta y\delta z$ deviendront dans l’instant suivant

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),$

et seront par conséquent encore égaux entre eux. On trouvera par une analyse semblable que les trois côtés parallèles et égaux à $\delta y$ se changeront en

$\delta y\left(1+{\frac {dq}{dy}}dt\right),$

et que les trois côtés parallèles et égaux à $\delta z$ se changeront en

$\delta z\left(1+{\frac {dr}{dz}}dt\right),$

de sorte que le parallélépipède rectangle $\delta x\delta y\delta z$ se trouvera changé en un autre parallélépipède dont les côtés seront

$\delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right),\quad \delta y\left(1+{\frac {dq}{dy}}dt\right),\quad \delta z\left(1+{\frac {dr}{dz}}dt\right).$

Or, si ces côtés étaient encore dans la direction des lignes $x,$ $y,$ $z,$ il n’y aurait qu’à les multiplier ensemble pour avoir la capacité du parallélépipède laquelle serait donc, en négligeant ce qu’on doit négliger,

$\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right).$

Mais, quelle que puisse être leur déviation, il est certain qu’elle ne peut être qu’infiniment petite ; en effet le côté $\delta x,$ en devenant

$\delta x{\sqrt {\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dz}}dt\right)^{2}}},$

fera avec la ligne des $x$ un angle dont la tangente sera égale à

$\delta x{\sqrt {\left({\frac {dq}{dx}}dt\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}dt\right)^{2}}}\quad$ divisé par $\quad \delta x\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt\right)\ ;$

de sorte qu’en négligeant les infiniment petits du second ordre on aura

$dt{\sqrt {\left({\frac {dq}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dx}}\right)^{2}}}$

pour l’expression de cet angle ; et ainsi des autres angles de déviation. D’ailleurs, de ce que le parallélépipède rectangle est celui qui a la plus grande capacité parmi tous ceux qui ont les mêmes côtés, il s’ensuit qu’en faisant varier infiniment peu les angles d’un parallélépipède rectangle, sa capacité ne saurait varier que dans une proportion qui ne différera de l’unité que par des quantités infiniment petites du second ordre, celles du premier devant disparaître par la propriété du maximum. Donc la quantité

$1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt,$

que nous avons trouvée pour le rapport entre la capacité du nouveau parallélépipède et celle du parallélépipède primitif $\delta x\delta y\delta z,$ ne pourra varier, en conséquence de la déviation infiniment petite de ses côtés, que de quantités infiniment petites du second ordre, lesquelles devront par conséquent être négligées vis-à-vis des termes du premier ordre ${\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt.$

4. Ainsi la quantité $\delta x\delta y\delta z$ deviendra simplement dans l’instant suivant

$\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right).$

Mais la densité $\Delta$ devient en même temps (en y faisant varier $t,x,y,z$ de $dt,pdt,qdt,rdt$)

$\Delta +{\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt.$

Par conséquent la quantité

$\Delta \delta x\delta y\delta z$

deviendra

${\begin{aligned}\Delta &\delta x\delta y\delta z\left(1+{\frac {dp}{dx}}dt+{\frac {dq}{dy}}dt+{\frac {dr}{dz}}dt\right)\\&+\delta x\delta y\delta z\left({\frac {d\Delta }{dt}}dt+{\frac {d\Delta }{dx}}pdt+{\frac {d\Delta }{dy}}qdt+{\frac {d\Delta }{dz}}rdt\right)\ ;\end{aligned}}$

laquelle devant toujours être égale à

$dm=\Delta \delta x\delta y\delta z,$

on aura, en divisant par $\delta x\delta y\delta zdt,$ l’équation

$\Delta \left({\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}\right)+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r+{\frac {d\Delta }{dt}}=0,$

ou

${\frac {d(\Delta p)}{dx}}+{\frac {d(\Delta q)}{dy}}+{\frac {d(\Delta r)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

C’est la première équation fondamentale de la Théorie du mouvement des fluides ; et comme elle est relative à la densité du fluide, elle peut être nommée en général l’équation de la densité.

5. Lorsque le fluide est incompressible, la densité de chaque particule $dm$ ne varie point d’un instant à l’autre ; ainsi il faudra que l’on ait dans ce cas

${\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0\ ;$

et l’équation précédente se réduira alors à celle-ci

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0.$

Donc pour les fluides incompressibles l’équation de la densité se décompose en deux de cette forme

${\begin{aligned}&{\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d\Delta }{dx}}p+{\frac {d\Delta }{dy}}q+{\frac {d\Delta }{dz}}r=0,\\&{\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,\end{aligned}}$

dont la première sert à déterminer la densité en fonction de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ et la seconde renferme la condition de l’incompressibilité du fluide, et peut être nommée en conséquence équation de l’incompressibilité.

6. Considérons présentement l’effet des forces accélératrices qui agissent sur le fluide.

Soient $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ les forces par lesquelles chaque point du fluide est sollicité parallèlement aux coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ et dans le sens suivant lequel ces coordonnées augmentent. Si l’on suppose d’abord le fluide en repos et en équilibre en vertu de ces forces, il faudra, par les principes connus de l’équilibre des fluides, que la quantité

$\Delta \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right)$

soit une différentielle exacte par rapport à $x,$ $y,$ $z\ ;$ et son intégrale exprimera la pression du fluide sur le point qui répond aux coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ pression qui sera ainsi représentée par une fonction finie de ces mêmes variables.

Si donc on nomme en général cette pression produite par les forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R} ,$ on aura, dans le cas où le fluide doit être en équilibre en vertu de ces forces,

$d\Pi =\Delta \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$

équation qui doit ètre intégrable d’elle-même, et dont les conditions de l’intégrahilité donneront celles auxquelles doivent être soumises les forces données pour l’existence de l’équilibre.

À la surface extérieure la pression $\Pi$ doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force quelconque donnée, il faut que cette force soit balancée par la même pression $\Pi$. Ainsi la valeur de la fonction $\Pi$ sera donnée à la surface du fluide, ce qui fournira une équation entre les variables $x,$ $y,$ $z,$ laquelle déterminera la figure de cette surface dans l’état d’équilibre.

7. Supposons maintenant que le fluide animé des mêmes forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ soit en mouvement, et que chaque particule $dm$ ait les vitesses $p,$ $q,$ $r$ fonctions de $x,$ $y,$ $z,$ $t$ (1). Dans l’instant suivant le temps $t$ devient $t+dt,$ et les coordonnées $x,$ $y,$ $z$ de la particule $dm$ deviennent $x+pdt,$ $y+qdt,$ $z+rdt$ à cause du mouvement de cette particule. Donc les variations des quantités $p,$ $q,$ $r$ seront

${\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dt,\\&\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dt,\\&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dt.\end{aligned}}$

Or, par les principes de la Mécanique, ces variations étant divisées par l’élément $dt$ du temps donnent les forces accélératrices capables de les produire, lesquelles doivent être par conséquent équivalentes aux forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ qui agissent réellement sur le fluide. Donc les premières dirigées en sens contraire doivent faire équilibre à ces dernières ; d’où il s’ensuit que le fluide étant animé dans chaque point par les forces accélératrices

${\begin{aligned}&\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}},\\&\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}},\\&\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}},\end{aligned}}$

dirigées suivant les lignes $x,$ $y,$ $z$ dans le sens où ces lignes augmentent, devra être en équilibre de lui-même.

Ainsi, en nommant la pression qui naît de toutes ces forces dans chaque point du fluide, on aura (6)

${\begin{aligned}d\Pi &=\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)dx\\&+\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\&+\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)dz,\end{aligned}}$

équation qui devra pareillement être intégrable par rapport aux variables $x,$ $y,$ $z,$ le temps $t$ étant regardé comme constant.

C’est la seconde équation fondamentale du mouvement des fluides, et qui peut être nommée équation de la pression.

8. L’intégrabilité de cette équation donne (en regardant $\Pi$ comme une fonction finie de $x,$ $y,$ $z$) ces trois équations partielles

${\begin{aligned}{\frac {d\Pi }{dx}}&=\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right),\\{\frac {d\Pi }{dy}}&=\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right),\\{\frac {d\Pi }{dz}}&=\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right).\end{aligned}}$

Or dans les fluides compressibles la densité $\Delta$ est toujours donnée par une fonction connue de $\Pi ,$ $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Ainsi, combinant les trois équations précédentes avec l’équation générale de la densité (4), on aura quatre équations aux différences partielles entre les quatre inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $\Delta$ et les variables $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ lesquelles équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides compressibles et élastiques.

9. Pour les fluides incompressibles nous avons vu (5) que l’on a deux équations, l’une relative à la loi de la densité, l’autre relative à la condition de l’incompressibilité.

Or, éliminant la quantité $\Pi$ des trois équations du numéro précédent, on a ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dy}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)}{dx}},\\{\frac {d\left[\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)\right]}{dz}}&={\frac {\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)}{dx}},\end{aligned}}$

lesquelles étant combinées avec les deux dont nous venons de parler, on aura de nouveau quatre équations aux différences partielles entre les inconnues $p,q,r,\Delta$ et les variables $x,y,z,t\ ;$ et ces équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides incompressibles.

10. Les équations que nous venons de donner étant aux différences partielles, leurs intégrales renfermeront nécessairement des fonctions arbitraires des variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ et la détermination de ces fonctions dépendra de l’état initial du fluide, c’est-à-dire des valeurs de $p,$ $q,$ $r,$ lorsque $t=0,$ et des conditions particulières auxquelles la surface même du fluide devra être assujettie pendant le mouvement.

On suppose tacitement dans la Théorie du mouvement des fluides que les particules, qui sont une fois à la surface du fluide, y restent toujours pendant tout le mouvement. Cette condition paraît en effet nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, mais forme toujours une masse continue ; cependant nous verrons qu’il y a des cas où elle ne doit pas avoir lieu.

Soit, en général,

$\mathrm {A} =0$

l’équation de la surface du fluide, $\mathrm {A}$ étant une fonction de $x,y,z,t.$ Puisque par le mouvement du fluide les coordonnées $x,y,z$ d’une particule quelconque deviennent $x+pdt,\ y+qdt,\ z+rdt,$ tandis que le temps $t$ devient $t+dt$ (1), pour que les mêmes particules se trouvent encore à la surface après l’instant $dt,$ il faudra que l’équation $\mathrm {A} =0$ ait lieu également en y mettant $x+pdt,$$y+qdt,\ z+rdt,\ t+dt$ à la place

de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$ Mais par ces substitutions il est visible que $\mathrm {A}$ devient

$\mathrm {A} +{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}dt+{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}pdt+{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}qdt+{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}rdt\ ;$

donc on aura, pour la condition dont il s’agit, l’équation

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=0,$

laquelle devra par conséquent avoir lieu en même temps que l’équation $\mathrm {A} =0$ de la surface.

Si le fluide est contenu par des parois d’une figure donnée, il est clair que la partie de la surface du fluide, laquelle sera contiguë à ces parois, devra avoir la même figure que les parois ; ainsi l’équation $\mathrm {A} =0$ devra être celle de la figure donnée des parois.

Mais, dans les endroits où la surface du fluide sera libre, il faudra que la pression $\Pi$ y soit nulle ; et si le fluide y était comprimé à l’extérieur par des forces quelconques données $\mathrm {F} ,$ il faudrait que ces forces fussent égales et de direction contraire aux pressions $\Pi .$ Ainsi on aura dans le premier cas $\Pi =0,$ et dans le second $\Pi =\mathrm {F} ,$ pour l’équation de la surface libre du fluide.

Désignant donc, en général, ces équations par

$\mathrm {B} =0,$

on prendra $\mathrm {B}$ à la place de $\mathrm {A} ,$ et l’on aura, pour la condition que les mêmes particules du fluide soient toujours à la surface, l’équation

${\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {B} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {B} }{dz}}=0,$

laquelle devra subsister en même temps que l’équation $\mathrm {B} =0,$ et par conséquent appartenir à la même surface courbe.

11. L’équation

${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {d\mathrm {A} }{dz}}=0,$

est intégrable par la méthode générale que j’ai donnée pour ces sortes

d’équations dans les Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin de 1779^[1]. Suivant cette méthode il faut intégrer les quatre équations

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,\quad d\mathrm {A} =0,$

et, nommant $a,$ $b,$ $c,$ $h$ les quatre constantes arbitraires, on aura

$h=f(a,b,c)$

pour l’intégrale de la proposée, dans laquelle il faudra mettre pour $h,$ $a,$ $b,$ $c$ leurs valeurs en $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ $\mathrm {A} ,$ la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque de $a,$ $b,$ $c.$ L’équation $d\mathrm {A} =0$ donne d’abord $\mathrm {A} =h\ ;$ ainsi l’on aura

$\mathrm {A} =f(a,b,c),$

les quantités $a,$ $b,$ $c$ étant les trois constantes arbitraires qui entreront dans les intégrales des équations

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt,$

ou plutôt les valeurs de ces constantes en $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ déduites de ces intégrales. Or nous avons vu dans le n^o  1 que ces intégrales servent à déterminer les valeurs des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ de chaque particule pour un temps quelconque $t,$ et que les constantes arbitraires $a,$ $b,$ $c$ dépendent du lieu initial de la particule. Ainsi 1"équation

$\mathrm {A} =f(a,b,c)$

indique que la quantité $\mathrm {A} ,$ regardée comme une fonction de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ doit être telle, que si l’on y substitue pour $x,$ $y,$ $z$ leurs valeurs en $t$ et en $a,$ $b,$ $c,$ elle devienne une fonction de $a,$ $b,$ $c,$ sans $t,$ c’est-à-dire que $t$ s’évanouisse. C’est aussi ce qu’on peut démontrer à priori par le raisonnement suivant.

Puisque $\mathrm {A} =0$ est l’équation de la surface du fluide, $\mathrm {A}$ étant une fonction des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ et du temps $t$ qui est comme le paramètre variable de cette surface ; il s’ensuit que, si l’on y substitue pour $x,$ $y,$ $z$ leurs valeurs en $t$ et $a,$ $b,$ $c,$ et qu’on suppose pour plus de simplicité que $a,$ $b,$ $c$ soient les valeurs de $x,$ $y,$ $z,$ lorsque $t=0,$ c’est-à-dire les coordonnées initiales de chaque particule, il s’ensuit, dis-je, que l’équation $\mathrm {A} =0$ sera entre ces coordonnées $a,$ $b,$ $c$ et le temps $t,$ et représentera par conséquent la surface que formaient dans l’état initial les mêmes particules, qui après le temps $t$ forment la surface représentée par l’équation donnée $\mathrm {A} =0$ entre $x,$ $y,$ $z,$ $t.$ Donc, pour que les particules qui sont une fois à la surface y demeurent toujours, il faudra que l’équation $\mathrm {A} =0$ entre $a,$ $b,$ $c$ représente la surface initiale du fluide, et ne contienne par conséquent point le temps $t.$ Par conséquent, si la surface initiale est connue, en sorte que pour cette surface on ait $c$ exprimé par une fonction donnée de $a$ et $b,$ et qu’on substitue cette valeur de $c$ dans l’équation $\mathrm {A} =0,$ l’équation résultante devra subsister d’elle-même, c’est-à-dire indépendamment d’aucune relation entre $a,$ $b,$ $t\ ;$ donc

${\frac {d\mathrm {A} }{da}}=0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{db}}=0.$

Ce que nous venons de démontrer à l’égard des équations

$\mathrm {A} =0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+\ldots =0,$

doit s’appliquer également aux équations

$\mathrm {B} =0,\quad {\frac {d\mathrm {B} }{dt}}+\ldots =0,$

12. Tels sont les principes et les formules générales de la Théorie des fluides. La difficulté ne consiste que dans leur application ; mais cette difficulté est si grande, que jusqu’à présent, même dans la solution des questions les plus simples, on s’est contenté d’employer des méthodes particulières et fondées sur des hypothèses très-limitées. Pour diminuer autant qu’il est possible cette difficulté, nous allons examiner maintenant comment et dans quel cas les formules générales peuvent être simplifiées ; nous en ferons ensuite l’application au mouvement des fluides dans des vases ou des canaux de figure quelconque.

13. Considérons d’abord l’équation de la densité trouvée dans le n^o 4 pour les fluides compressibles, et supposons

$\Delta p={\frac {d\alpha }{dt}},\quad \Delta q={\frac {d\beta }{dt}},\quad \Delta r={\frac {d\gamma }{dt}},$

en regardant les quantités $\alpha ,$$\beta ,$$\gamma$ comme des fonctions inconnues de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$ Cette équation deviendra par ces substitutions

${\frac {d\Delta }{dt}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dt\,dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dt\,dy}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dt\,dz}}=0,$

laquelle est intégrable relativement à $t,$ et dont l’intégrale donnera

$\Delta =\mathrm {D} -{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}-{\frac {d\gamma }{dz}},$

$\mathrm {D}$ étant une fonction arbitraire de $x,$ $y,$ $z$ sans $t,$ dépendante de la densité initiale du fluide.

Ensuite on aura

$p={\frac {\dfrac {d\alpha }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ q={\frac {\dfrac {d\beta }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}},\ r={\frac {\dfrac {d\gamma }{dt}}{\mathrm {D} -{\dfrac {d\alpha }{dx}}-{\dfrac {d\beta }{dy}}-{\dfrac {d\gamma }{dz}}}}.$

Donc, faisant ces substitutions dans les trois équations du n^o 8, et mettant pour $\Pi$ sa valeur donnée en $\Delta ,$ $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ on n’aura plus à intégrer que trois équations entre les inconnues $\alpha ,$ $\beta ,$$\gamma$ et les variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ mais cette intégration surpassera les forces de l’analyse connue.

Si le fluide est incompressible, on considérera l’équation de l’incompressibilité (5)

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,$

et l’on y fera

$p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},$

ce qui la réduira à la forme

${\frac {d^{2}\alpha }{dx\,dz}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy\,dz}}+{\frac {dr}{dz}}=0,$

laquelle est intégrable relativement à $z$ et donne

$r=-{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}}\ ;$

n’étant point nécessaire d’ajouter ici aucune fonction arbitraire, à cause des valeurs indéterminées de $\alpha$ et $\beta .$ Ainsi l’équation dont il s’agit sera satisfaite par ces valeurs

$p={\frac {d\alpha }{dz}},\quad q={\frac {d\beta }{dz}},\quad r=-{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\beta }{dy}},$

lesquelles étant ensuite substituées dans l’équation de la densité du même n^o 5, ainsi que dans les deux équations du n^o 9, on aura de nouveau trois équations entre les inconnues $\alpha ,$$\beta ,$ $\Delta$ et les variables $x,$ $y,$ $z,$ $t\ ;$ et la Théorie du mouvement des fluides incompressibles sera réduite à l’intégration de ces équations ; mais cette intégration surpasse aussi les forces de l’analyse.

14. Considérons présentement l’équation générale de la pression trouvée dans le n^o 7, et voyons si cette équation n’est pas susceptible en elle-même de quelque simplification.

Nous supposerons ici que la densité $\Delta$ soit ou constante, ou simplement proportionnelle à une fonction, quelconque de la pression $\Pi \ ;$ ce qui est le cas de tous les fluides connus, tant qu’on y fait abstraction de la chaleur.

Nous supposerons de plus que les forces accélératrices $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ du fluide soient telles, que

$\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz$

soit une différentielle complète ; ce qui a lieu, en général, lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances.

De cette manière, si l’on fait

$d\mathrm {V} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,$

l’équation proposée étant divisée par $\Delta$ se réduira à cette forme

${\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dx+\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\+&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\end{aligned}}$

Ainsi le premier membre de cette équation devra être en particulier une différentielle complète relativement à $x,$ $y,$ $z,$ puisque le second en est une.

Qu’on retranche de part et d’autre la différentielle de

${\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}$

prise relativement à $x,$ $y,$ $z,$ laquelle est

${\begin{aligned}\left(p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dq}{dx}}+r{\frac {dr}{dx}}\right)dx&+\left(p{\frac {dp}{dy}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dr}{dy}}\right)dy\\&+\left(p{\frac {dp}{dz}}+q{\frac {dq}{dz}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dz\ ;\end{aligned}}$

on aura, en ordonnant les termes, cette transformée

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}&dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz\\&+\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right)+\left({\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}\right)\left(rdx-pdz\right)\\&+\left({\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\right)\left(rdy-qdz\right)\\&=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}.\end{aligned}}$

Donc le premier membre de cette équation devra être pareillement une différentielle exacte.

15. Il est visible que, si l’on suppose que la quantité

$pdx+qdy+rdz$

soit elle-même la différentielle exacte d’une fonction quelconque $\varphi$ composée de $x,$ $y,$ $z$ et $t,$ on aura

$p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.$

Donc

${\begin{alignedat}{2}&{\frac {dp}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}},\quad &&{\frac {dq}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}},\quad {\frac {dr}{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}},\\&{\frac {dp}{dy}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\quad &&{\frac {dq}{dx}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}},\ldots \end{alignedat}}$

Ainsi l’équation précédente deviendra par ces substitutions

${\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dx}}dx+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dy}}dy+{\frac {d^{2}\varphi }{dt\,dz}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}},$

laquelle est évidemment intégrable par rapport à $x,$ $y,$ $z\ ;$ de sorte qu’en intégrant, on aura

${\frac {d\varphi }{dt}}=\mathrm {V} -\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}-{\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}}.$

On pourrait ajouter à l’un des membres de cette équation intégrale une fonction arbitraire de $t,$ puisque la variable $t$ a été regardée dans l’intégration comme constante. Mais j’observe que cette fonction arbitraire peut être censée renfermée dans la valeur de $\varphi \ ;$ en effet, si l’on augmente d’une fonction quelconque $\mathrm {T}$ de $t,$ le premier membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction arbitraire ${\frac {d\mathrm {T} }{dt}},$ et les valeurs des quantités $p,$ $q,$ $r$ demeureront les mêmes qu’auparavant. Ainsi on peut sans déroger à la généralité de l’équation se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de $t.$

On aura donc, dans la supposition dont il s’agit, l’équation

$\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.$

par laquelle on connaîtra la pression $\Pi ,$ $\Delta$ étant supposée une fonction donnée de $\Pi .$

Et il ne restera plus qu’à satisfaire à la première équation fondamentale du n^o 4, laquelle, en y mettant aussi pour $p,$ $q,$ $r$ leurs valeurs ${\frac {d\varphi }{dx}},$ ${\frac {d\varphi }{dy}},$ ${\frac {d\varphi }{dz}},$ deviendra

${\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dy}}\right)}{dy}}+{\frac {d\left(\Delta {\dfrac {d\varphi }{dz}}\right)}{dz}}+{\frac {d\Delta }{dt}}=0.$

Ainsi, en substituant à $\Delta$ sa valeur donnée par l’équation précédente, on aura une seule équation finale en $\varphi ,$ de l’intégration de laquelle dépendra la détermination du mouvement du fluide.

16. Dans les fluides élastiques connus la densité est toujours proportionnelle à la pression ; de sorte qu’on a pour ces fluides $\Pi =k\Delta ,$ $k$ étant un coefficient constant qu’on déterminera en connaissant la valeur de la pression pour une densité donnée.

Ainsi pour l’air, la pression étant déterminée par la pesanteur de la colonne de mercure dans le baromètre, il est clair que, si l’on nomme $g$ la force accélératrice de la gravité (force qui doit être exprimée, comme on sait, par le double de l’espace qu’un corps grave abandonné à lui-même parcourt dans le vide pendant le temps qu’on prend pour l’unité des temps), $h$ la hauteur du baromètre pour une certaine densité de l’air qu’on prendra pour l’unité des densités, $\rho$ le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l’air, rapport qui est le même que celui des gravités spécifiques de ces deux fluides, il est clair, dis-je, qu’on aura pour cet état de l’air

$\Pi =\rho gh,\quad \Delta =1\ ;$

donc

$k=\rho gh.$

Faisant donc

$\Pi =k\Delta ,$

on aura

$\int {\frac {d\Pi }{\Delta }}=k\log \Delta \ ;$

par conséquent la première équation du numéro précédent sera

$k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.$

Or la seconde équation du même numéro se réduit à cette forme

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\log \Delta }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\log \Delta }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\log \Delta }{dz}}+{\frac {d\log \Delta }{dt}}=0.$

Donc, substituant pour $\log \Delta$ sa valeur donnée par la première, on aura après avoir ordonné les termes

${\begin{aligned}k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\right.&\left.+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\\&-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dx\,dt}}-2{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dy\,dt}}-2{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\varphi ^{2}}{dz\,dt}}\\&-\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}-\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}-\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\\&-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dy}}-2{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d^{2}\varphi }{dx\,dz}}-2{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d^{2}\varphi }{dy\,dz}}=0,\end{aligned}}$

équation qui contient seule la Théorie du mouvement des fluides élastiques dans l’hypothèse dont il s’agit.

Si le fluide est incompressible et la densité $\Delta$ constante, alors la pression sera donnée par l’équation

${\frac {\Pi }{\Delta }}=\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2},$

et l’équation de l’incompressibilité (5) deviendra ${\Bigl (}$par la substitution de ${\frac {d\varphi }{dx}},$${\frac {d\varphi }{dy}},{\frac {d\varphi }{dz}}$ au lieu de $p,q,r{\Bigr )}$

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0,$

laquelle servira à déterminer la quantité $\varphi .$

17. On voit donc que la supposition que

$pdx+qdy+rdz$

soit une différentielle exacte d’une fonction de $x,$ $y,$ $z$ simplifie beaucoup

la Théorie du mouvement des fluides élastiques ou non ; ainsi il est important d’examiner dans quels cas cette supposition peut et doit avoir lieu.

Soit, pour abréger,

$\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}},\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}},\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}\ ;$

le premier membre de l’équation du n^o  14 deviendra de cette forme

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)\ ;$

et la question se réduit à faire en sorte que cette quantité soit une différenitielle exacte, $p,$ $q,$ $r$ étant des fonctions de $x,$ $y,$ $z,$ $t.$

Supposons que $t$ soit une quantité fort petite, il est visible qu’on pourra donner à $p,$ $q,$ $r$ les formes suivantes

${\begin{aligned}p&=p'+p''t+p'''t^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\q&=q'+q''t+q'''t^{2}\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\r&=r'+r''t\,+r'''t^{2}+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $p',p'',p''',\ldots ,q',q'',q''',\ldots ,r',r'',r''',\ldots$ seront des fonctions de $x,y,z$ sans $t.$

Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ elles deviendront

${\begin{aligned}\alpha &=\alpha '+\alpha ''t+\alpha '''t^{2}+\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\beta &=\beta '+\beta ''t\,+\beta '''t^{2}+\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\gamma &=\gamma '\,+\gamma ''t\,+\gamma '''t^{2}+\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{alignedat}{3}\alpha '&={\frac {dp'}{dy}}-{\frac {dq'}{dx}},\quad &\alpha ''&={\frac {dp''}{dy}}-{\frac {dq''}{dx}},\quad &\alpha '''&={\frac {dp'''}{dy}}-{\frac {dq'''}{dx}},\ldots ,\\\beta '&={\frac {dp'}{dz}}-{\frac {dr'}{dx}},&\beta ''&={\frac {dp''}{dz}}-{\frac {dr''}{dx}},&\beta '''&={\frac {dp'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dx}},\ldots ,\\\gamma '&={\frac {dq'}{dz}}-{\frac {dr'}{dy}},&\gamma ''&={\frac {dq''}{dz}}-{\frac {dr''}{dy}},&\gamma '''&={\frac {dq'''}{dz}}-{\frac {dr'''}{dy}},\ldots .\end{alignedat}}$

Ainsi la quantité

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)$

deviendra après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de $t,$

${\begin{aligned}p''&dx+q''dy+r''dz+\alpha '\left(q'dx-p'dy\right)+\beta '\left(r'dx-p'dz\right)+\gamma '\left(r'dy-q'dz\right)\\+&t\ \ \left[2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \left(q''dx-p''dy\right)+\beta '\ \left(r''dx-p''dz\right)+\gamma '\ \left(r''dy-q''dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha ''\left(q'\ dx-p'\ dy\right)+\beta ''\left(r'\ dx-p'\ dz\right)+\gamma ''\left(r'\ dy-q'\ dz\right)\right]\\+&t^{2}\left[3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right)\right.\\&\qquad +\alpha '\ \ \left(q'''dx-p'''dy\right)+\beta '\ \ \left(r'''dx-p'''dz\right)+\gamma '\ \ \left(r'''dy-q'''dz\right)\\&\qquad +\alpha ''\ \left(q''\ dx-p''\ dy\right)+\beta ''\ \left(r''\ dx-p''\ dz\right)+\gamma ''\ \left(r''\ dy-q''\ dz\right)\\&\qquad +\left.\alpha '''\left(q'\ \ dx-p'\ \ dy\right)+\beta '''\left(r'\ \ dx-p'\ \ dz\right)+\gamma '''\left(r'\ \ dy-q'\ \ dz\right)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

et, comme cette quantité doit être une différentielle exacte indépendamment de la valeur de $t,$ il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de $t$ soient chacune en particulier une différentielle exacte.

18. Cela posé, supposons que

$p'dx+q'dy+r'dz$

soit une différentielle exacte, on aura par les Théorèmes connus

${\frac {dp'}{dy}}={\frac {dq'}{dx}},\quad {\frac {dp'}{dz}}={\frac {dr'}{dx}},\quad {\frac {dq'}{dz}}={\frac {dr'}{dy}}\ ;$

donc

$\alpha '=0,\quad \beta '=0,\quad \gamma '=0\ ;$

donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte sera

$p''dx+q''dy+r''dz.$

Il faudra donc que cette quantité soit aussi une différentielle exacte, ce qui donnera les conditions

$\alpha ''=0,\quad \beta ''=0,\quad \gamma ''=0\ ;$

et alors la seconde quantité qui doit être une différentielle exacte se réduira à

$2\left(p'''dx+q'''dy+r'''dz\right).$

Ainsi il faudra que l’on ait aussi

$\alpha '''=0,\quad \beta '''=0,\quad \gamma '''=0\ ;$

de sorte que la troisième quantité qui doit être une diflérentielle exacte sera

$3\left(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz\right).$

On aura donc de même

$\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\quad \beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\quad \gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\ ;$

et ainsi de suite.

Donc, si

$p'dx+q'dy+r'dz$

est une différentielle exacte, il faudra que

${\begin{aligned}{}&p''\ dx+q''\,dy+r''\ dz,\\&p'''dx+q'''dy+r'''dz,\\&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

soient aussi chacune en particulier des différentielles complètes. Par conséquent la quantité

$pdx+qdy+rdz$

sera elle-même une différentielle complète, le temps $t$ étant supposé fort petit.

19. Il s’ensuit de là que, si la quantité

$pdx+qdy+rdz$

est une différentielle exacte lorsque $t=0,$ elle devra l’être aussi lorsque $t$ aura une valeur quelconque très-petite ; d’où l’on peut conclure, en général, que cette quantité devra être toujours une différentielle exacte, quelle que soit la valeur de $t.$ Car puisqu’elle doit l’être depuis $t=0$ jusqu’à $t=\theta$ ($\theta$ étant une quantité quelconque donnée très-petite), si l’on y substitue partout $\theta +t'$ à la place de $t,$ on prouvera de même qu’elle devra être une différentielle exacte depuis $t'=0$ jusqu’à $t'=\theta \ ;$ par conséquent elle le sera depuis $t=0$ jusqu’à $t=2\theta \ ;$ et ainsi de suite.

Donc, en général, comme l’origine des $t$ est arbitraire, et qu’on peut prendre également $t$ positif ou négatif, il s’ensuit que si la quantité

$pdx+qdy+rdz$

est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.

20. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors

$p=0,\quad q=0,\quad r=0$

lorsque $t=0\ ;$ donc

$pdx+qdy+rdz$

sera intégrale pour ce moment, et par conséquent devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.

Mais, s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement du mouvement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles, que

$pdx+qdy+rdz$

soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas la quantité

$pdx+qdy+rdz$

sera toujours intégrable, et dans le second elle ne le sera jamais.

Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, on peut démontrer que

$pdx+qdy+rdz$

doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses $p,$ $q,$ $r,$ que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface, soient telles, que si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse en vertu de l’impulsion appliquée à la surface, et des vitesses ou forces $-p,$ $-q,$ $-r$ appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, suivant la loi connue de l’équilibre des fluides, les quantités $p,$ $q,$ $r$ devront être telles, que

$pdx+qdy+rdz$

soit une différentielle exacte. Ainsi dans ce cas la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.

21. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels

$pdx+qdy+rdz$

ne soit pas une différentielle exacte.

Pour lever ce doute par un exemple très-simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait

$p=gy,\quad q=-gx,\quad r=0,$

$g$ étant une constante quelconque. On voit d’abord que dans ce cas

$pdx+qdy+rdz$

ne sera pas complète, puisqu’elle devient

$g(ydx-xdy)$

qui n’est pas intégrable ; cependant la quantité

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)$

du n^o  16 est intégrable ; car on aura

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}=0,&\quad {\frac {dq}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=0,\\\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}=2g,&\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}=0,\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}=0\ ;\end{aligned}}$

de sorte que la quantité dont il s’agit sera

$-2g^{2}\left(xdx+ydy\right),$

dont l’intégrale est

$-g^{2}(x^{2}+y^{2}).$

À l’égard de l’équation dépendante de l’incompressibilité du fluide, savoir (5)

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0$

elle est aussi satisfaite, puisque

${\frac {dp}{dx}}=0,\quad {\frac {dq}{dy}}=0,\quad {\frac {dr}{dz}}=0.$

Au reste il est visible que la supposition précédente de

$p=gy,\quad q=-gx$

représente le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l’axe fixe des coordonnées $z$ avec une vitesse angulaire constante et égale à $g\ ;$ et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.

Il s’ensuit de là que dans le calcul des oscillations de la mer en vertu de l’attraction du Soleil et de la Lune, on ne peut pas supposer que la quantité

$pdx+qdy+rdz$

soit intégrable, puisqu’elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par

rapport à la Terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle.

En général, si l’on suppose $p$ et $q$ fonctions de $x$ et $y$ sans $z$ ni $t,$ et $r$ constante, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {dp}{dt}}=0,\quad {\frac {dq}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=0,\\&\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}},\quad \beta =0,\quad \gamma =0\ ;\end{aligned}}$

et la quantité qui doit être intégrable (17) sera

$\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right).$

Or par l’incompressibilité du fluide on aura

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}=0,$

${\frac {dr}{dx}}$ étant nul ; donc $pdy-qdx$ devra être intégrable. Soit donc

$pdy-qdx=d\omega \ ;$

on aura

$p={\frac {d\omega }{dy}},\quad q=-{\frac {d\omega }{dx}},$

et la quantité

$\left({\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}\right)\left(qdx-pdy\right)$

deviendra

$-\left({\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\omega }{dy^{2}}}\right)d\omega ,$

laquelle devant être elle-même intégrable, il faudra que l’on ait

${\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\omega }{dy^{2}}}={\text{fonct.}}\ \omega .$

Ainsi, pourvu que $\omega$ soit une fonction de $x,$ $y,$ sans $z$ ni $t,$ laquelle

satisfasse à cette équation, on aura un mouvement possible dans le fluide en prenant

$p={\frac {d\omega }{dy}},\quad q=-{\frac {d\omega }{dx}},\quad r={\text{const.}},$

sans qu’il soit nécessaire que $pdx+qdy$ soit intégrable.

Si l’on fait

$\omega ={\frac {g\left(x^{2}+x^{2}\right)}{2}},$

on aura

${\text{fonct.}}=g,\quad$ et $\quad p=gy,\quad q=-gx$

comme dans l’Exemple précédent.

22. Il y a encore un cas très-étendu dans lequel la quantité

$pdx+qdy+rdz$

doit être une différentielle exacte. C’est celui où l’on suppose que les vitesses $p,$ $q,$ $r$ soient très-petites et qu’on néglige les quantités très-petites du second ordre et des ordres suivants. Car alors l’équation du n^o  14 se réduit à celle-ci

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz=d\mathrm {V} -{\frac {d\Pi }{\Delta }}\ ;$

de sorte que

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz$

doit être intégrable par rapport à $x,$ $y,$ $z,$ et par conséquent aussi la quantité

$pdx+qdy+rdz,$

laquelle étant représentée par $d\varphi ,$ en supposant une fonction très-petite de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ on aura les mêmes formules que dans les n^os 15 et 16, en y négligeant seulement les secondes et les ultérieures dimensions de $\varphi .$

On pourra de plus dans ce cas déterminer les valeurs mêmes des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ pour un temps quelconque. Car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (1)

$dx=pdt,\quad dy=qdt,\quad dz=rdt$

dans lesquelles, à cause que $p,$ $q,$ $r$ sont supposées très-petites et que par conséquent $dx,$ $dy,$ $dz$ sont très-petites vis-à-vis de $dt,$ on pourra regarder $x,$ $y,$ $z$ comme constantes vis-à-vis de $t.$ De sorte qu’en traitant $t$ seule comme variable dans $p,$ $q,$ $r,$ et ajoutant les constantes arbitraires $a,$ $b,$ $c,$ on aura sur-le-champ

$x=a+\int pdt,\quad y=b+\int qdt,\quad z=c+\int rdt.$

Donc si l’on fait, pour abréger,

$\Phi =\int \varphi dt,$

et qu’on y change $x,$ $y,$ $z$ en $a,$ $b,$ $c,$ on aura

$x=a+{\frac {d\Phi }{da}},\quad y=b+{\frac {d\Phi }{db}},\quad z=c+{\frac {d\Phi }{dc}}\ ;$

et les quantités $a,$ $b,$ $c$ seront les valeurs initiales de $x,$ $y,$ $z$ pour chaque particule du fluide, si l’on prend la fonction $\Phi$ de manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0.$

23. Le cas dont nous venons de traiter a lieu surtout dans la Théorie de la propagation du son. En supposant, comme dans le n^o  16, $\Pi =k\Delta ,$ et ne conservant que les premières dimensions de la quantité $\varphi$ supposée très-petite, on aura

$k\log \Delta =\mathrm {V} -{\frac {d\varphi }{dt}},$

et l’équation en $\varphi$ sera

$k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {\mathrm {V} }{dz}}=0.$

Or dans l’état de repos ou d’équilibre on a $\varphi =0,$ donc

$k\log \Delta =\mathrm {V} ,$

et par conséquent

$\Delta =e^{\tfrac {\mathrm {V} }{k}}.$

Supposons donc que la densité naturelle de l’air soit augmentée, lorsque l’air est en vibration, en raison de $1+s$ à $1,$ $s$ étant une quantité fort petite, on aura

$\Delta =e^{\frac {\mathrm {V} }{k}}\left(1+s\right),$

et de là, en négligeant les carrés de $s,$

$\log \Delta ={\frac {\mathrm {V} }{k}}+s\,;$

donc

$s=-{\frac {1}{k}}{\frac {d\varphi }{dt}}.$

Comme (14)

$d\mathrm {V} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz,$

il est clair qu’on aura

${\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=\mathrm {P} ,\quad {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}=\mathrm {R} ,$

$\mathrm {P,Q,R}$ étant les forces accélératrices de chaque particule suivant les lignes $x,y,z$ (6). Donc si l’on prend les ordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas, et qu’on nomme, comme dans le n^o  16, $g$ la force accélératrice de la gravité, on aura

$\mathrm {P} =0,\quad \mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =g,$

et la Théorie de la propagation du son sera renfermée dans l’équation

$k\left({\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}\right)+g{\frac {d\varphi }{dz}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}.$

Ayant déterminé $\varphi$ par cette équation, on aura les vitesses $p,$ $q,$ $r$ et la condensation $s$ de l’air par les formules

$p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}},\quad s=-{\frac {1}{k}}{\frac {d\varphi }{dt}}.$

Le coefficient $k$ est égal à $\rho gh,$ en nommant $h$ la hauteur du baromètre et $\rho$ le rapport de la gravité spécifique du mercure à celle de l’air (16).

24. Au reste, si la masse du fluide était telle, que l’une de ses dimensions fût considérablement plus petite que chacune des deux autres, en sorte que les coordonnées $z,$ par exemple, fussent très-petites vis-à-vis de $x$ et $y,$ cette circonstance pourrait servir aussi à faciliter et simplifier l’intégration des équations principales.

Car il est clair qu’on pourrait alors donner aux inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $\Delta$ la forme suivante

${\begin{aligned}p&=p'\ +p''z\ \,+p'''z^{2}\ +\ldots ,\\q&=q'\ +q''z\ \ +q'''z^{2}\,\ +\ldots ,\\r&=r'\ +r''z\ \ +r'''z^{2}\,\ +\ldots ,\\\Delta &=\Delta '+\Delta ''z+\Delta '''z^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle

$p,\,p'',\,\ldots ,\,q',\,q'',\,\ldots ,\,r',\,r'',\,\ldots ,\,\Delta ',\,\Delta '',\,\ldots$

seraient des fonctions de $x,$ $y,$ $t$ sans $z.$ De sorte qu’en faisant ces substitutions on aurait des équations en séries, lesquelles ne contiendraient que des différences partielles relatives à $x,$ $y,$ $t.$

Pour donner là-dessus un essai de calcul, nous supposerons, pour plus de simplicité, qu’il ne s’agisse que d’un fluide incompressible et homogène dont la densité $\Delta$ soit égale à 1.

Substituant premièrement les valeurs précédentes dans l’équation de l’incompressibilité

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0,$

et ordonnant les termes par rapport à $z,$ on aura

${\frac {dp'}{dx}}+{\frac {dq'}{dy}}+r''+z\left({\frac {dp''}{dx}}+{\frac {dq''}{dy}}+2r'''\right)$

$+z^{2}\left({\frac {dp'''}{dx}}+{\frac {dq'''}{dy}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+\ldots =0.$

De sorte que, comme $p',$ $p'',\,\ldots ,$ $q',$ $q'',\,\ldots$ ne doivent point contenir $z,$ on aura ces équations particulières

${\begin{aligned}&{\frac {dp'\ \ }{dx}}+{\frac {dq'\ \ }{dy}}+r''\ =0,\\&{\frac {dp''\ }{dx}}+{\frac {dq''\ }{dy}}+2r'''=0,\\&{\frac {dp'''}{dx}}+{\frac {dq'''}{dy}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

par lesquelles on déterminera d’abord les quantités $r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\,\ldots \ ;$ et les quantités $r',p',p'',p''',\,\ldots ,q',q'',q''',\,\ldots$ demeureront encore indéterminées.

On fera ensuite les mêmes substitutions dans l’équation de la pression (14), et il est visible qu’elle se réduira à cette forme

${\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi \ ;\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha \ &={\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\ }{dx}}+q'{\frac {dp'}{dy}}\,+r'p'',\\\beta \ &={\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'{\frac {dq'}{dy}}\,+r'q'',\\\gamma \ &={\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'{\frac {dr'}{dy}}\,+r'r'',\\\alpha '&={\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+q'{\frac {dp''}{dy}}+q''{\frac {dp'}{dy}}+2r'p'''+r''p'',\\\beta '&={\frac {dq''}{dt}}+p'{\frac {dq''}{dx}}+p''{\frac {dq'}{dy}}+q'{\frac {dq''}{dy}}\,+q''{\frac {dq'}{dy}}+2r'q'''+r''q'',\\\gamma '&={\frac {dr''}{dt}}+p'{\frac {dr''}{dx}}+p''{\frac {dr'}{dx}}+q'{\frac {dr''}{dy}}\,+q''{\frac {dr'}{dy}}+2r'r'''\,+r''r'',\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, pour que le premier membre de cette équation soit intégrable, il faudra que les quantités

$\alpha dx+\beta dy,\quad \gamma dz+z\left(\alpha 'dx+\beta 'dy\right),\quad \gamma 'zdz+z^{2}\left(\alpha ''dx+\beta ''dy\right),\,\ldots ,$

soient chacune intégrable en particulier.

Si donc on dénote par $\omega$ une fonction de $x,$ $y,$ $t$ sans $z,$ on aura ces conditions

$\alpha ={\frac {d\omega }{dx}},\ \ \beta ={\frac {d\omega }{dy}},\ \ \alpha '={\frac {d\gamma }{dx}},\ \ \beta '={\frac {d\gamma }{dy}},\ \ \alpha ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dx}},\ \ \beta ''={\frac {1}{2}}{\frac {d\gamma '}{dy}},\ldots .$

Alors l’équation intégrée sera

$\omega +\gamma z+{\frac {1}{2}}\gamma 'z^{2}+\ldots =\mathrm {V} -\Pi ,$

et il ne s’agira plus que de satisfaire aux conditions précédentes par le moyen des fonctions indéterminées $\omega ,r',p',p'',\ldots q',q'',\ldots .$

25. Le calcul deviendrait encore plus facile si les deux variables $y$ et $z$ étaient très-petites vis-à-vis de $x\ ;$ car alors on pourrait supposer

${\begin{aligned}p&=p'+p''y+p'''z+p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}+p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\\q&=q'+q''y+q'''z\,+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}+q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\\r&=r'+r''y+r'''z\,+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}\,+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz+\ldots ,\end{aligned}}$

et les quantités $p',p'',\ldots ,q',q'',\ldots ,r',r'',\ldots$ seraient simplement des fonctions de $x$ et $t.$

Ainsi l’équation de l’incompressibilité donnerait d’abord

${\frac {dp'}{dx}}+q''+r'''=0,\quad {\frac {dp''}{dx}}+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\ldots .$

Ensuite l’équation de la pression deviendrait

${\begin{aligned}\alpha dx+\beta dy+\gamma dz&+y\left(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz\right)\\&+z\left(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz\right)+\ldots =d\mathrm {V} -d\Pi ,\end{aligned}}$

dans laquelle

${\begin{aligned}\alpha \ =&{\frac {dp'\ }{dt}}+p'{\frac {dp'\,}{dx}}+q'p''+r'p''',\\\beta \ =&{\frac {dq'\ }{dt}}+p'{\frac {dq'\ }{dx}}+q'q''+r'q''',\\\gamma \ =&{\frac {dr'\ }{dt}}+p'{\frac {dr'\ }{dx}}+q'r''+r'r''',\\\alpha '=&{\frac {dp''}{dt}}+p'{\frac {dp''}{dx}}+p''{\frac {dp'}{dx}}+2q'p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+q''p''+r'p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+r''p''',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Et il faudra, pour que l’équation soit intégrable, que l’on ait ces conditions

$\alpha '={\frac {d\beta }{dx}},\quad \alpha ''={\frac {d\gamma }{dx}},\ldots ,$

moyennant quoi l’équation intégrée sera

$\int \left(\alpha dx+\beta y+\gamma z+\ldots \right)=\mathrm {V} -\Pi .$

26. Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ d’autres variables $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ lesquelles soient des fonctions données de $x,$ $y,$ $z.$

Supposons qu’on ait différentié ces fonctions et qu’on en ait tiré les valeurs $d\xi ,$ $d\eta ,$ $d\zeta ,$ lesquelles seront de cette forme

${\begin{aligned}d\xi &=\lambda \ \ dx+\mu \ \ dy+\nu \ \ dz,\\d\eta &=\lambda '\ dx+\mu '\ dy+\nu '\ dz,\\d\zeta &=\lambda ''dx+\mu ''dy+\nu ''dz,\end{aligned}}$

$\lambda ,\mu ,\nu ,\lambda '\mu ',\ldots$ étant des fonctions données de <math\xi,\eta,\zeta.</math>

En regardant la quantité $p,$ d’abord comme fonction de $x,y,z,$ et ensuite comme fonction de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ on aura

$dp={\frac {dp}{dx}}dx+{\frac {dp}{dy}}{dy}+{\frac {dp}{dz}}dz={\frac {dp}{d\xi }}{d\xi }+{\frac {dp}{d\eta }}d\eta +{\frac {dp}{d\zeta }}d\zeta .$

Donc, substituant à la place de $d\xi ,$ $d\eta ,$ $d\zeta$ les valeurs précédentes, et comparant les termes affectés de $dx,$ $dy,$ $dz,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}&=\lambda {\frac {dp}{d\xi }}+\lambda '{\frac {dp}{d\eta }}+\lambda ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dy}}&=\mu {\frac {dp}{d\xi }}+\mu '{\frac {dp}{d\eta }}+\mu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\\{\frac {dp}{dz}}&=\nu {\frac {dp}{d\xi }}\ +\nu '{\frac {dp}{d\eta }}+\nu ''{\frac {dp}{d\zeta }},\end{aligned}}$

et l’on aura de pareilles formules pour les valeurs de ${\frac {dq}{dx}},$ ${\frac {dq}{dy}},\ldots .$

Faisant ces substitutions dans les équations fondamentales, elles ne contiendront plus que des différences partielles relatives à $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ et $t\ ;$ et si par la nature de la question proposée la variable $\zeta ,$ par exemple, ou les deux variables $\eta$ et $\zeta ,$ sont très-petites vis-à-vis de $\xi ,$ on pourra employer des réductions analogues à celles que nous avons développées dans le numéro précédent.

27. Telles sont les méthodes et les formules principales par lesquelles on peut déterminer rigoureusement les lois du mouvement des fluides. Nous allons maintenant en montrer l’application à quelques cas particuliers.

---

SECTION SECONDE.

DU MOUVEMENT DES FLUIDES PESANTS ET HOMOGÈNES DANS DES VASES
OU DES CANAUX DE FIGURE QUELCONQUE.

28. Nous supposerons d’abord que le fluide parte du repos, ou qu’il soit mis en mouvement par l’impulsion d’un piston appliqué à la surface, moyennant quoi les vitesses $p,$ $q,$ $r$ de chaque particule devront être telles, que

$pdx+qdy+zdz$

soit une différentielle exacte (20) ; de sorte qu’on pourra employer les formules données dans le n^o 16.

29. Soit donc une fonction de $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ dépendante de l’équation

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0\ ;$

on aura d’abord pour les vitesses $p,q,r$ de chaque particule, suivant les directions des coordonnées $x,y,z,$ ces expressions

$p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}},\quad r={\frac {d\varphi }{dz}}.$

Ensuite la pression $\Pi$ dans chaque point du fluide sera (en supposant la densité $\Delta =1$)

$\Pi =\mathrm {V} ={\frac {d\varphi }{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi }{dz}}\right)^{2}.$

La quantité $\mathrm {V}$ est égale à

$\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$

en nommant $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ les forces accélératrices tendantes à augmenter les coordonnées $x,$ $y,$ $z.$ Or nous supposons ici que le fluide n’est animé que par sa gravité naturelle. Donc, prenant $g$ pour exprimer la force accélératrice de la gravité, ainsi que nous l’avons déjà fait plus haut (16), et nommant $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ les angles que la verticale fait avec les axes des coordonnées $x,$ $y,$ $z,$ on aura

$\mathrm {P} =g\cos \xi ,\quad \mathrm {Q} =g\cos \eta ,\quad \mathrm {R} =g\cos \zeta ,$

et par conséquent

$\mathrm {V} =gx\cos \xi +gy\cos \eta +gz\cos \zeta .$

30. Maintenant soit $z=\alpha$ l’équation d’une des parois du vase ou du canal, $\alpha$ étant une fonction donnée de $x,$ $y$ sans $z$ ni $t.$ On aura donc, suivant les formules du n^o  10,

$\mathrm {A} =z-\alpha \ ;$

et les deux équations

$\mathrm {A} =0,\quad {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}+p{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}+q{\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+r{\frac {\mathrm {A} }{dz}}=0$

se réduiront à

$z-\alpha =0,\quad -{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}=0.$

Ces deux équations devant avoir lieu à la fois, il faudra qu’elles donnent l’une et l’autre la même valeur de $z\ ;$ donc, en substituant dans la seconde à la place de $z$ sa valeur $\alpha$ donnée par la première, il faudra que l’équation résultante ait lieu d’elle-même.

Ainsi l’équation

${\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}=0$

devra être satisfaite en faisant $z=\alpha .$ Et chaque paroi fournira une condition semblable à remplir.

31. À la surface extérieure du fluide la pression $\Pi$ doit être nulle, lorsque le fluide est libre ; mais si le fluide est pressé par une force donnée, alors la valeur de $\Pi$ doit être égale à cette force.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, que le fluide se meuve uniquement en vertu de sa gravité ; ainsi la quantité $\Pi$ devra être nulle à sa surface extérieure ; par conséquent $\Pi =0$ sera l’équation de cette surface.

On fera donc dans les formules du n^o  10 $\mathrm {B} =\Pi ,$ et l’on aura ces deux équations

$\Pi =0,\quad {\frac {d\Pi }{dt}}+{\frac {d\varphi }{dx}}{\frac {d\Pi }{dx}}+{\frac {d\varphi }{dy}}{\frac {d\Pi }{dy}}+{\frac {d\varphi }{dz}}{\frac {d\Pi }{dz}}=0,$

lesquelles devant avoir lieu en même temps, il s’ensuit que, si l’on élimine une des variables comme $z,$ l’équation résultante devra subsister d’elle-même.

Au reste, comme la seconde de ces équations résulte de la condition, que les particules du fluide qui sont une fois à la surface y demeurent toujours, elle ne sera pas nécessaire lorsque cette condition cessera d’avoir lieu (numéro cité).

32. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction $\varphi$ au moyen de l’équation

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.$

Mais cette équation n’étant intégrable, en général, par aucune des méthodes connues, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite à l’égard des deux autres, en sorte que les coordonnées $z,$ par exemple, soient très-petites vis-à-vis des coordonnées $x$ et $y.$

Par le moyen de cette supposition, il est visible qu’on pourra représenter la fonction $\varphi$ par une série de cette forme

$\varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

dans laquelle $\varphi ',$ $\varphi '',$ $\varphi ''',\ldots$ seront des fonctions de $x,$ $y,$ $t$ sans $z.$

Faisant cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra

${\begin{aligned}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+2\varphi ''\right)&+z\ \ \left({\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''\ }{dy^{2}}}+2.3.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}+3.4.\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

De sorte qu’en égalant séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de $z,$ on aura

${\begin{aligned}&\varphi '''=-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}},\\&\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dx^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '''}{dy^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ainsi l’expression de $\varphi$ deviendra

${\begin{aligned}\varphi &=\varphi '+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2.3}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi }{dy^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''$ sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est intégrale complète de l’équation proposée.

33. Ayant ainsi l’expression de $\varphi ,$ nous aurons en différentiant

$p={\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {d\varphi '}{dx}}+z{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)$

$-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dxdy^{2}}}\right)+\ldots ,$

$q={\frac {d\varphi }{dy}}={\frac {d\varphi '}{dy}}+z{\frac {d\varphi ''}{dy}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)$

$-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{3}\varphi ''}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi ''}{dy^{3}}}\right)+\ldots ,$

$r={\frac {d\varphi }{dz}}=\varphi ''-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)$

$+{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}\varphi '}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}\varphi '}{dy^{4}}}\right)+\ldots .$

Et, substituant ces valeurs dans l’expression de $\Pi$ du n^o  29, elle deviendra de cette forme

$\Pi =\Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\Pi '\ \ &=g\left(x\cos \xi +y\cos \eta \right)-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\varphi ''^{2},\\\Pi ''\ &=g\cos \zeta -{\frac {d\varphi ''}{dt}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\varphi ''}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\varphi ''}{dy}}+\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right),\\\Pi '''&={\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dtdx^{2}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dtdy^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dx}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi ''}{dy}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi '}{dy}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)^{2}\\&+{\frac {1}{2}}\varphi ''\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

34. Maintenant, si $z=\alpha$ est l’équation des parois, $\alpha$ étant une fonction fort petite de $x,$ $y$ sans $z,$ l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës aux parois sera (30)

${\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}-z\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\alpha }{dy}}\right)\\&-{\frac {z^{2}}{2}}\left[{\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\alpha }{dx}}-\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\alpha }{dy}}\right]\\&+\ldots =0,\end{aligned}}$

laquelle devant avoir lieu en même temps que l’équation $z=\alpha ,$ il faudra qu’elle soit vraie en y mettant $\alpha$ à la place de $z.$

Ainsi l’équation de condition dont il s’agit se réduira à cette forme plus simple

${\begin{aligned}\varphi ''&-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\cfrac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dy}}\right)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right)\right]}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d\left[\alpha ^{3}\left({\cfrac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\cfrac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right)\right]}{dy}}\\&+\ldots =0,\end{aligned}}$

laquelle devra avoir lieu pour tous les points de la paroi donnée.

35. Enfin l’équation de la surface extérieure du fluide sera $\Pi =0,$ savoir

$\Pi '+z\Pi ''+z^{2}\Pi '''+z^{3}\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots =0.$

Et l’équation de condition pour que les mêmes particules demeurent toujours à la surface sera après les substitutions et les réductions (31 et 33)

${\begin{aligned}{\frac {d\Pi '}{dt}}&+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+\varphi ''\Pi ''\\&+z\left[{\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi ''}{dx}}\right.\\&\left.\quad \quad +{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi ''}{dy}}+2\varphi ''\Pi '''-\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)\Pi ''\right]\\&+z^{2}\left[{\frac {d\Pi '''}{dt}}+{\frac {d\varphi ''}{dx}}{\frac {d\Pi ''}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '''}{dx}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{3}}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dxdy^{2}}}\right){\frac {d\Pi '}{dx}}\right.\\&\quad \quad +{\frac {d\varphi ''}{dy}}{\frac {d\Pi ''}{dy}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '''}{dy}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{3}\varphi '}{dx^{2}dy}}+{\frac {d^{3}\varphi '}{dy^{3}}}\right){\frac {d\Pi '}{dy}}\\&\left.\quad \quad -\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)\Pi '''+3\varphi ''\Pi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}\varphi ''}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi ''}{dy^{2}}}\right)\Pi ''\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

Ainsi, chassant $z$ de ces deux équations, on aura une équation sans $z$ qui devra subsister d’elle-même pour tous les points de la surface dont il s’agit.

Du mouvement d’un fluide qui coule dans un vase étroit et presque vertical.

36. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons que les abscisses $x$ soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (29)

$\xi =0,\quad \eta =90^{\circ },\quad \zeta =90^{\circ }\ ;$

donc

$\cos \xi =1,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =0.$

Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées $y$ et $z,$ les premières $y$ soient nulles et les secondes $z$ soient fort petites.

Enfin soient

$z=\alpha ,\quad z=\beta$

les équations des deux parois du vase, $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions de $x$ connues et très-petites. On aura relativement à ces parois les deux équations (34)

lesquelles serviront à déterminer les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''.$

${\begin{aligned}&\varphi ''-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\alpha ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}+\ldots =0,\\&\varphi ''-{\frac {d\left(\beta {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\beta ^{2}{\cfrac {d\varphi ''}{dx}}\right)}{dx}}+\ldots =0,\end{aligned}}$

37. Nous regarderons les quantités $z,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons, du moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci

$\varphi ''-{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}=0,\quad \varphi ''-{\frac {d\left(\beta {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}=0,$

lesquelles étant, retranchées l’une de l’autre donnent celle-ci

${\frac {d\left[\left(\alpha -\beta \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}=0,$

dont l’intégrale est

$\left(\alpha -\beta \right){\frac {d\varphi '}{dx}}=\theta ,$

$\theta$ étant une fonction arbitraire de $t,$ laquelle doit être très-petite du premier ordre.

Or il est visible que $\alpha -\beta$ est la largeur horizontale du vase, que nous représenterons par $\lambda .$ Ainsi l’on aura

${\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},$

et, intégrant de nouveau par rapport à $x,$

$\varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\lambda }}+\vartheta ,$

en désignant par $\vartheta$ une nouvelle fonction arbitraire de $t.$

Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse

${\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}=\mu ,$

on en tirera

$\varphi ''={\frac {d\left(\mu {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}},$

où, en substituant la valeur de ${\frac {d\varphi '}{dx}},$

$\varphi ''=\theta {\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}.$

D’où l’on voit que, puisque $\lambda ,$ $\mu ,$ $\theta$ sont des quantités très-petites du premier ordre, $\varphi ''$ sera aussi très-petite du même ordre.

38. Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules du n^o  33, la vitesse verticale

$p={\frac {d\varphi '}{dx}}={\frac {\theta }{\lambda }},$

la vitesse horizontale

$r=\varphi ''-z{\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}=\theta \left({\frac {d{\cfrac {\mu }{\lambda }}}{dx}}-z{\dfrac {d{\cfrac {1}{\lambda }}}{dx}}\right),$

ou bien

$r={\frac {\theta }{\lambda }}\left[{\frac {d\mu }{dx}}+\left(z-\mu \right){\frac {1}{\lambda }}{\frac {d\lambda }{dx}}\right].$

Ensuite, à cause de $\cos \zeta =0,$ la quantité $\Pi ''$ sera aussi très-petite du premier ordre. Par conséquent la valeur de la pression $\Pi$ se réduira à

$\Pi '=gx-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx}{\lambda }}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ^{2}}}.$

Et cette quantité étant égalée à zéro donnera la figure de la surface du fuide. De sorte que, comme la même quantité ne renferme point l’ordonnée $z,$ mais seulement l’abscisse $x$ et le temps $t,$ il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et horizontale.

Enfin l’équation de condition pour que les mêmes particules du fluide soient toujours à la surface se réduira pareillement à celle-ci (35)

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}=0,$

savoir

${\frac {d\Pi }{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda }}{\frac {d\Pi }{dx}}=0,$

laquelle ne contient pas non plus $z,$ mais seulement $x$ et $t.$

39. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide de celles qui se rapportent à sa surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les autres par deux traits. Ainsi $x',$ $\lambda ',\ldots$ seront l’abscisse, la largeur du vase, etc., pour la surface supérieure, et $x'',$ $\lambda '',\ldots$ seront de même l’abscisse, la largeur du vase, etc., à la surface inférieure. De même $\Pi ',$ $\Pi ''$ dénoteront dans la suite les valeurs de $\Pi$ pour les deux surfaces ; de sorte qu’on aura pour la surface supérieure l’équation

$\Pi '=gx'-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0,$

et, pour la surface inférieure, l’équation semblable

$\Pi ''=gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0.$

Enfin

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0$

sera l’équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours ; et

${\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0$

sera l’équation de condition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide.

Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vase, et chacun de ces cas demande une solution particulière.

40. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas il est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi l’on aura pour ces deux surfaces les équations

$\Pi '=0,\quad \Pi ''=0,$

et de plus les deux équations de condition

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0,\quad {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0\ ;$

et ces quatre équations serviront à déterminer $x',$ $x'',$ $\theta$ et $\vartheta$ en $t\ ;$ moyennant quoi le mouvement du fluide sera connu.

L’équation $\Pi '=0$ étant différentiée donne

${\frac {d\Pi '}{dx'}}dx'+{\frac {d\Pi '}{dt}}dt=0\ ;$

donc

${\frac {d\Pi '}{dt}}=-{\frac {d\Pi '}{dx'}}{\frac {dx'}{dt}}\ ;$

substituant cette valeur dans la première équation de condition et divisant par ${\frac {d\Pi '}{dx}},$ on aura

${\frac {dx'}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda '}}.$

On trouvera de même, en combinant l’autre équation $\Pi ''=0$ avec la seconde équation de condition, celle-ci

${\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\lambda ''}}.$

De sorte qu’on aura

$\theta dt=\lambda 'dx'=\lambda ''dx'',$

équations séparées.

On aura donc en intégrant

$\int \lambda ''dx''-\int \lambda 'dx'=m,$

$m$ étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Ainsi cette équation donnera d’abord $x''$ en $x'.$

Maintenant si l’on substitue, dans la première équation $\Pi '=0,$ pour $dt$ sa valeur ${\tfrac {\lambda 'dx'}{\theta }},$ elle devient

$gx'-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\theta }{dx'}}\int {\frac {dx'}{\lambda '}}-{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\vartheta }{dx'}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda '^{2}}}=0.$

laquelle étant multipliée par $\lambda 'dx'$ donne celle-ci

$g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\lambda '}}=0,$

qu’on voit bien être intégrable, et dont l’intégrale sera

$g\int \lambda 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx^{2}}{\lambda '}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}$

On trouvera de même, en substituant ${\frac {\lambda ''dx''}{\theta }}$ à la place de $dt$ dans l’équation $\Pi ''=0,$ et multipliant par $\lambda ''dx'',$ une nouvelle équation intégrahle, et dont l’intégrale sera

$g\int \lambda ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int \theta d\vartheta ={\text{const.}}$

Donc, retranchant ces deux équations l’une de l’autre pour en éliminer le terme $\textstyle \int \theta d\vartheta ,$ on aura celle-ci

$g\left(\int \lambda ''x''dx''-\int \lambda 'x'dx'\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left(\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)=\mathrm {L}$

dans laquelle les quantités

$\int \lambda ''x''dx''-\int \lambda 'x'dx'\quad$ et $\quad \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}$

expriment les intégrales de $\lambda xdx$ et de ${\frac {dx}{\lambda }}$ prises depuis $x=x'$ jusqu’à $x=x'',$ et où $\mathrm {L}$ est une constante arbitraire.

Cette équation donnera $\theta$ en $x',$ puisque $x''$ est déjà connue en $x'$ par l’équation trouvée plus haut. Ayant ainsi $\theta$ en $x',$ on trouvera aussi $t$ en $x'$ par l’équation

$dt={\frac {\lambda '}{dx'}}{\theta },$

dont l’intégrale est

$t=\int {\frac {\lambda 'dx'}{\theta }}+\mathrm {H} ,$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire.

À l’égard des deux constantes $\mathrm {L}$ et $\mathrm {H} ,$ on les déterminera par l’état initial du fluide. Car, lorsque $t=0,$ la valeur de $x'$ sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase ; et, si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra qu’on ait $\theta =0$ lorsque $t=0$ (38). Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs des pressions $\Pi '$ et $\Pi ''$ seraient données lorsque $t=0.$ Or on a (39)

$\Pi ''-\Pi '=g\left(x''-x'\right)-{\frac {d\theta }{dt}}\left(\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\lambda ''^{2}}}-{\frac {1}{\lambda '^{2}}}\right)\ ;$

donc on aura (en faisant $t=0$) une équation qui servira à déterminer la valeur initiale de $\theta .$

Ainsi le Problème est résolu et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.

41. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas on aura, comme dans le précédent, pour la surface supérieure les deux équations

$\Pi '=0,\quad {\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda '}}{\frac {d\Pi '}{dx'}}=0\ ;$

mais pour la surface inférieure on aura simplement l’équation $\Pi ''=0,$ puisqu’à cause de l’écoulement du fluide il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais d’un autre côté l’abscisse $x''$ pour cette même surface sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura plus que trois inconnues à déterminer, $x',$ $\theta$ et $\vartheta .$

Les deux premières équations donneront d’abord, comme dans le Problème précédent, celles-ci

$dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }},\quad g\lambda 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\lambda '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{\alpha \lambda '}}=0.$

Ensuite l’équation $\Pi ''=0$ donnera (39)

$gx''-{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\lambda ''}}-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\lambda ''^{2}}}=0,$

où l’on remarquera que $x'',$ $\lambda ''$ et $\textstyle \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}$ sont des constantes que nous dénoterons pour plus de simplicité par $f,$ $h,$ $n.$ Ainsi, en substituant à $dt$ sa valeur ${\frac {\lambda 'dx'}{\theta }},$ multipliant ensuite par $\lambda 'dx',$ on aura l’équation

$gf\lambda 'dx'-n\theta d\theta -\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}\lambda 'dx'}{2h^{2}}}=0.$^[2]

Donc, retranchant de celle-ci l’équation précédente pour en éliminer le terme $\theta d\vartheta ,$ on aura

$g\left(f-x'\right)\lambda 'dx'-\left(n-\int {\frac {dx'}{\lambda '}}\right)\theta d\theta -\left({\frac {\lambda '}{2h^{2}}}-{\frac {1}{2\lambda '}}\right)\theta ^{2}dx'=0,$

équation qui ne contient que les deux variables $x'$ et $\theta ,$ et par laquelle on pourra donc déterminer une de ces variables en fonction de l’autre.

Ensuite on aura $t$ exprimé par la même variable en intégrant l’équation

$dt={\frac {\lambda 'dx'}{\theta }}.$

Et l’on déterminera les constantes par l’état initial du fluide, comme dans le Problème précédent.

42. Le troisième cas a lieu lorsqu’un fluide coule dans un vase indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hauteur par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l’inverse du précédent car on aura ici pour la surface inférieure les deux équations

$\Pi ''=0,\quad {\frac {d\Pi ''}{dt}}+{\frac {\theta }{\lambda ''}}{\frac {d\Pi ''}{dx''}}=0,$

et pour la surface supérieure on aura la simple équation $\Pi '=0,$ à cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n’y aura qu’à changer dans les équations du numéro précédent les quantités $x',$ $\lambda '$ en $x'',$ $\lambda '',$ et prendre pour $f,$ $h,$ $n$ les valeurs données de $x',$ $\lambda ',$ $\textstyle \int {\dfrac {dx'}{\lambda '}}.$

Au reste nous supposons ici que l’addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche nouvelle prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l’augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche pendant le premier instant est la même que si le vase n’était pas entretenu plein à la même hauteur durant cet instant.

43. Enfin le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée, et qui est entretenu toujours plein à la même hauteur. Ici les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent continuellement ; par conséquent on aura simplement pour ces deux surfaces les équations

$\Pi '=0,\quad \Pi ''=0\ ;$

mais en même temps les deux abscisses $x'$ et $x''$ seront données et constantes, en sorte qu’il n’y aura que les deux inconnues $\theta$ et $\vartheta$ à déterminer en $t.$

Soient donc

$x'=f,\quad \lambda '=h,\quad \int {\frac {dx'}{\lambda '}}=n,\quad x''=\mathrm {F} ,\quad \lambda ''=\mathrm {H} ,\quad \int {\frac {dx''}{\lambda ''}}=\mathrm {N} \ ;$

les deux équations $\Pi '=0,$ $\Pi ''=0$ deviendront

${\begin{aligned}&gf-{\frac {d\theta }{dt}}n-{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2h^{2}}}=0,\\&g\mathrm {F} -{\frac {d\theta }{dt}}\mathrm {N} -{\frac {d\vartheta }{dt}}-{\frac {\theta ^{2}}{2\mathrm {H} ^{2}}}=0,\end{aligned}}$

d’où chassant ${\frac {d\vartheta }{dt}},$ on aura

$g\left(\mathrm {F} -f\right)-\left(\mathrm {N} -n\right){\frac {d\theta }{dt}}-\left({\frac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\frac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}=0,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {\left(\mathrm {N} -n\right)d\theta }{g\left(\mathrm {F} -f\right)-\left({\dfrac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\dfrac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}}},$

équation séparée et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.

44. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers Auteurs, qui ont écrit sur le mouvement des fluides dans des vases, ont trouvées d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur parallélisme en descendant dans le vase. (Voyez l’Hydrodynamique de M. Daniel Bernoulli, l’Hydraulique de Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de M. d’Alembert.) Notre Théorie fait voir que cette supposition n’est exacte et rigoureuse que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut être employée dans tous les cas pour une première approximation, et que les solutions qui en résultent sont exactes aux quantités du second ordre près, en regardant les largeurs du vase comme des quantités du premier ordre.

Mais le grand avantage de cette Théorie est qu’on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides dans des vases de figure quelconque. Car ayant trouvé, ainsi que nous venons de le faire, les premières valeurs des inconnues, en négligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser l’approximation plus loin en ayant égard successivement aux termes négligés. Comme ceci n’est qu’un essai, nous n’entrerons maintenant dans aucun détail sur cet objet, mais nous pourrons y revenir dans une autre occasion.

Du mouvement d’un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en particulier du mouvement des ondes.

45. Puisqu’on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les ordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas ; les abscisses $x$ et les autres ordonnées $y$ deviendront donc horizontales, et l’on aura (29)

$\cos \xi =0,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =1.$

En prenant les axes des $x$ et $y$ dans le plan horizontal formé par la surface supérieure du fluide dans l’état d’équilibre, soit

$z=\alpha$

l’équation du fond du canal, $\alpha$ étant une fonction donnée de $x$ et $y.$ Nous regarderions les quantités $z$ et $\alpha$ comme très-petites du premier ordre, et nous négligerons les quantités du second ordre et des ordres suivants, c’est-à-dire celles qui contiendront les carrés et les produits de $z$ et $\alpha .$

L’équation de condition relative au fond du canal donnera d’abord (34)

$\varphi ''={\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}},$

d’où l’on voit que $\varphi ''$ est une quantité du premier ordre.

Ensuite la valeur de la pression $\Pi$ se réduira à $\Pi '+\Pi ''z$ (33) ; et il faudra négliger dans l’expression de $\Pi '$ les quantités du second ordre et dans celle de $\Pi ''$ les quantités du premier. Ainsi, à cause de

$\cos \xi =0,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =1,$

on aura par les formules du même numéro

$\Pi '=-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},\quad \Pi ''=g.$

On aura donc (35) pour la surface supérieure du fluide l’équation

$\Pi '+gz=0.$

et ensuite cette équation de condition

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+g\varphi ''-gz\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)=0.$

46. L’équation $\Pi '+gz=0$ donne sur-le-champ

$z=-{\frac {\Pi '}{g}}$

pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant ; et comme l’équation de condition doit avoir lieu relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à $z$ cette même valeur $-{\frac {\Pi '}{g}}.$ Cette équation deviendra donc par là de cette forme

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}+g\varphi ''=0,$

et substituant encore pour $\varphi ''$ sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right]}{dy}}=0,$

dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de $\Pi '$ sa valeur

$-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}\ ;$

et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer la quantité $\varphi '$ en fonction de $t,$ $x,$ $y.$

Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide par l’équation

$z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}}+{\frac {1}{g}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}+{\frac {1}{g}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},$

et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales $p,$ $q$ de chaque particule du fluide, on les aurait (33) par les formules

$p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}.$

47. Le Calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l’intégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit ; et il ne nous reste d’autre ressource que de tâcher de simplifier cette équation par quelque limitation.

Nous supposerons pour cela que le fluide dans son mouvement ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous de son niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées $z$ de la surface supérieure soient toujours très-petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales $p$ et $q$ soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités ${\frac {d\varphi '}{dt}},$ ${\frac {d\varphi '}{dx}},$ ${\frac {d\varphi '}{dy}}$ soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité $\varphi '$ elle-même soit infiniment petite.

Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire

$-{\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+g{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+g{\frac {d\left(\alpha {\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}=0,$

et l’on aura

$z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}.$

Cette équation contiendra donc la Théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et par conséquent la vraie Théorie des ondes formées par les élévations et les abaissements successifs et infiniment petits d’une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La Théorie des ondes que Newton a donnée dans la Proposition 46 du second Livre étant fondée sur la supposition précaire et peu naturelle que les oscillations verticales des ondes soient analogues à celles de l’eau dans un tuyau recourbé, doit être regardée comme absolument insuffisante pour expliquer ce phénomène.

48. Si l’on suppose que le canal ou bassin ait un fond horizontal, alors la quantité $\alpha$

se sera constante et égale à la profondeur de l’eau, et l’équation pour le mouvement des ondes deviendra

$g\alpha \left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}.$

Cette équation est entièrement semblable à celle qui détermine les petites agitations de l’air dans la formation du son, en n’ayant égard qu’aux mouvements des particules parallèlement à l’horizon. En effet, si dans les formules du n^o  23 on suppose les vitesses verticales $r={\frac {d\varphi }{dz}}$ nulles, et par conséquent une fonction de $x,$ $y,$ $t$ sans $z,$ on a l’équation

$k\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)={\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}},$

qui est, comme on voit, tout à fait semblable à la précédente.

Et comme pour les ondes formées à la surface de l’eau, les élévations $z$ au-dessus du niveau et les vitesses horizontales $p,$ $q$ de chaque particule sont données par les formules

$z={\frac {1}{g}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi '}{dx}},\quad q={\frac {d\varphi '}{dy}}\ ;$

ainsi, dans les agitations de l’air ou ondes sonores, les condensations $s$ et les vitesses horizontales $p,$ $q$ sont données par les formules semblables

$-s={\frac {1}{k}}{\frac {d\varphi '}{dt}},\quad p={\frac {d\varphi }{dx}},\quad q={\frac {d\varphi }{dy}}.$

Il y a donc une parfaite analogie entre les ondes formées à la surface d’une eau tranquille par les élévations et les abaissements successifs de l’eau, et les ondes formées dans l’air par les condensations et raréfactions successives de l’air ; analogie que plusieurs Auteurs avaient déjà supposée, mais que personne jusqu’ici n’avait encore rigoureusement démontrée.

49. On pourra donc aussi traiter l’équation des ondes par les méthodes que l’on a déjà employées dans la Théorie de la propagation du son, et l’on expliquera par ces mêmes méthodes les phénomènes singuliers de la propagation uniforme des ondes, de son indépendance des ébranlements primitifs de l’eau, du mélange et de la réflexion des ondes, etc., ainsi que je l’ai fait autrefois à l’égard des ondes sonores dans les deux premiers tomes des Mémoires de l’Académie des Sciences de Turin^[3]. Sur quoi voyez aussi les Mémoires de cette Académie pour les années 1759 et 1765, ainsi que les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t. xvi.

À l’égard de la vitesse des ondes, elle sera exprimée par la racine carrée du coefficient $ga,$ comme celle du son l’est par la racine carrée du coefficient $k=\rho gh$ (23). Or, par ce même numéro, $g$ est égal au double de l’espace qu’un corps grave parcourt librement dans le temps qui est pris pour l’unité des temps ; ainsi, en exprimant le temps en secondes et les espaces en pieds de Paris, on aura, comme on sait par l’expérience, $g=30{,}196.$ Donc, si la profondeur $\alpha$ de l’eau est de $1$ pied, la vitesse des ondes sera de $5{,}495$ pieds par seconde. Et, si la profondeur de l’eau est plus ou moins grande, la vitesse des ondes variera en raison sous-doublée des profondeurs, pourvu qu’elles ne soient pas trop considérables.

50. Au reste, quelles que puissent être la profondeur de l’eau et la figure de son fond, on pourra toujours employer la Théorie précédente, si l’on suppose que dans la formation des ondes l’eau n’est ébranlée et remuée qu’à une profondeur très-petite, supposition qui est très-plausible en elle-même à cause de la ténacité et de l’adhérence mutuelle des particules de l’eau, et qui se trouve d’ailleurs confirmée par l’expérience, même à l’égard des grandes ondes de la mer.

De cette manière donc la vitesse des ondes déterminera elle-même la profondeur $\alpha$ à laquelle l’eau est agitée dans leur formation : car, si cette vitesse est de $n$ pieds par seconde, on aura

$\alpha ={\frac {n^{2}}{g}}={\frac {n^{2}}{30{,}196}}$pieds.

On trouve dans le tome X des anciens Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris des expériences sur la vitesse des ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donné environ $1$ pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exactement $1{,}412$ pieds par seconde. Faisant donc $n=1{,}412,$ on aura la profondeur de ${\frac {66}{1000}}$ de pied, à voir de ${\frac {8}{10}}$ de pouce, ou $10$ lignes à peu près.

fin du tome quatrième.

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 624
2. Lagrange a écrit ici, par inadvertance, $-{\frac {\theta ^{2}dx'}{2h}}$ au lieu de $-{\frac {\theta ^{2}\lambda 'dx'}{2h^{2}}}.$ Cette faute qui rejaillit sur l’équation suivante se retrouve dans les deux dernières éditions de la Mécanique analytique, où l’illustre Auteur a reproduit le présent Mémoire. Nous avons cru devoir rétablir l’exactitude des formules. $\qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)
3. Œuvres de Lagrange, t. i, p. 39 et 151.