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cet Ouvrage, que non-seulement ce prétendu principe est encore inutile dans ce cas, mais que l’application en est insuffisante & pourroit même être fautive.

Remarque II.

23. Il n’est pas inutile de remarquer que quand on a d’abord l’équation entre $e\,\!$ & $t\,\!$ en termes finis, & qu’on en tire par la différentiation à l’ordinaire l’équation $dde=\varphi dt^{2}\,\!$, la valeur de $dde\,\!$ qu’on trouve par ce calcul est précisément celle de $OE\,\!$, véritable différence seconde de $BD\,\!$; on pourroit d’abord douter^[1],

1. Il suffit pour former ce doute de se rappeller le principe d’après lequel on trouve les différences secondes. Supposant $AM=t\,\!$ (Pl. V. fig. 2) & $MP=\,\!$ une fonction de $t\,\!$ que je représente par $\phi (t)\,\!$; pour avoir $ID\,\!$ on suppose que $t\,\!$ devienne $t+dt\,\!$, & alors $BD\,\!$ étant $=\phi (t+dt)\,\!$, on a $ID=\phi (t+dt)-\phi (t)\,\!$ en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre & des ordres ultérieurs. Ensuite pour avoir $EO\,\!$ on suppose dans la valeur de $ID\,\!$ que $t\,\!$ devienne $t+dt\,\!$, & on néglige dans ce calcul les quantités infiniment petites du troisieme ordre & des ordres ultérieurs pour avoir la valeur de $RE\,\!$, ensorte qu’on prend pour $dde\,\!$ la différence entre cette valeur de $RE\,\!$, & celle qu’on a trouvé pour $ID\,\!$. Mais il faut remarquer que puisque dans la valeur de $ID\,\!$ on a négligé les quantités du second ordre, cette omission peut influer sur la différence cherchée des lignes $ID\,\!$, $RE\,\!$, laquelle différence est infiniment petite du second ordre, par conséquent on n’est en droit de conclure que $OE\,\!$ est égal à la valeur de $dde\,\!$, qu’autant qu’on aura fait voir que l’omission dont il s’agit, ne produit dans le calcul qu’une erreur infiniment petite au-dessous du second ordre.

   

   Fig. V-2

   Pour y parvenir nous allons d’abord démontrer une proposition que notre Auteur a donnée dans ses recherches sur le systême du monde. Soit $\phi (z+\xi )\,\!$ une fonction de $z+\xi \,\!$, $\xi \,\!$ étant une quantité très-petite dont on suppose que $z\,\!$ augmente, on aura. $\phi (z+\xi )=\phi (z)+\xi \Delta (z)+{\frac {\xi ^{2}\Gamma (z)}{2}}+\,\!$ &c. $\Delta (z)\,\!$ étant le coefficient de $dz\,\!$ dans la différentiation de $\phi (z)\,\!$, & $\Gamma (z)\,\!$ celui de $dz\,\!$ dans la différentiation de $\Delta (z)\,\!$. Car si on suppose $\phi (z+\xi )=\phi (z)+u\,\!$ & qu’on différentie en supposant $z\,\!$ constant (ce qui est permis ici, puisqu’on suppose que $z\,\!$ ne croît actuellement que de la quantité $\xi \,\!$) on aura $d\xi \Delta (z+\xi )=du\,\!$; soit $\Delta (z+\xi )=\Delta (z)+r\,\!$, on aura $d\xi \Gamma (z+\xi )=dr\,\!$; soit $\Gamma (z+\xi )=\Gamma (z)+s\,\!$, on aura $d\xi \Pi (z+\xi )=ds\,\!$, donc en continuant de la même maniere, on aura $\phi (z+\xi )=\phi (z)+\int d\xi \Delta (z)+\int d\xi \int d\xi \Gamma (z)+\int d\xi \int d\xi \int d\xi \Pi (z)\,\!$ &c. $=\phi (z)+\xi \Delta (z){\frac {\xi ^{2}\Gamma (z)}{2}}+{\frac {\xi ^{3}\Pi (z)}{2\cdot 3}}+\,\!$ &c.

   Cela posé, $MP\,\!$ étant $=\phi (t)\,\!$ on a

   $BD=\phi (t+dt)=\phi (t)+dt\Delta (t)+{\frac {dt^{2}\Gamma (t)}{2}}+\,\!$ &c.

   $CE=\phi (t+2dt)=\phi (t)+2dt\Delta (t)+2dt^{2}\Gamma (t)+\,\!$ &c.

   Donc $ID=dt\Delta (t)+{\frac {dt^{2}\Gamma (t)}{2}}\,\!$

   $RE=dt\Delta (t)+{\frac {3}{2}}dt^{2}\Gamma (t)\,\!$

   $RE-ID\,\!$ ou $-OE\,\!$ ou $-dde=dt^{2}\Gamma (t)\,\!$.

   Mais par les méthodes ordinaires du calcul différentiel, on auroit

   $ID=dt\Delta (t)\,\!$

   $RE=dt\Delta (t+dt)=dt\Delta (t)+dt^{2}\Gamma (t)\,\!$

   donc $RE-ID\,\!$ ou $-OE\,\!$ ou $-dde=dt^{2}\Gamma (t)\,\!$.

   Donc le $dde\,\!$ que donne le calcul différentiel est en effet la vraie valeur de $OE\,\!$.