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QUESTIONS

cube ; l’expression trouvée sera celle d’une surface terminée aux deux faces latérales du cube, et passant par les deux diagonales inverses des bases opposées.

Il est aisé de s’assurer que cette surface sera un minimum car il faut pour cela que

${\tfrac {1}{2}}\omega '^{2}\operatorname {f''} (y')+\omega '\zeta '\operatorname {f''} (y',z')+{\tfrac {1}{2}}\zeta '^{2}\operatorname {f''} (z'),$

soit essentiellement positive pour le minimum, et négative pour le maximum (Voyez la Théorie des fonctions analitiques, deuxième édition, page 291). Or, dans le cas que nous examinons présentement, cette expression se réduit à

${\frac {\omega '^{2}+\zeta '^{2}+\left(\omega 'z'-\zeta 'y'\right)^{2}}{\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}$

qui sera toujours positive, soit que l’on prenne les accroissemens $\omega '$ et $\zeta '\,;$ en plus, soit qu’on prenne ces mêmes accroissemens en moins^[1].

Reprenons les équations

1. Il est ici essentiellement nécessaire de bien s’entendre. Puisque l’équation $y=x\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi z}{4a}},$ trouvée par M. Tédenat, satisfait à l’équation différentielle
   $(1+q^{2})r-2pqs+(1+p^{2})t=0\,;$

   il est hors de doute que la surface qu’elle exprime jouit de la propriété du minimum, en ce sens qu’elle est telle que si l’on trace sur elle un polygone