En 1810, j’essayai d’y appliquer la géométrie analitique, toujours pour le cas du cercle ; elle me conduisit à une construction fort simple qui a paru dans les recueils de l’Académie du Gard ; mais on n’y pouvait parvenir qu’à la suite d’un calcul assez laborieux ; et, comme je n’avais pas aperçu que cette construction n’exigeait que l’emploi de la règle, je ne songeai nullement à l’étendre à toutes les sections coniques.
À la page 126 du 1.er volume du présent recueil, je proposai de démontrer géométriquement la solution graphique que j’avais obtenue, sans faire connaître l’analise qui m’y avait conduit. On me fit aussitôt observer que ma construction pouvait s’étendre indistinctement à toutes les lignes du second ordre ; et c’est ce qui me détermina à généraliser mon premier énoncé, comme on le voit à la page 259 du même volume. MM. Servois et Rochat donnèrent l’un et l’autre (pag. 337 et 342) une solution du problème ainsi généralisé.
Mais autre chose est de légitimer par le raisonnement une construction déjà connue ou de parvenir à cette construction. Je me propose donc de faire voir ici comment la géométrie analitique, bien employée, conduit à cette même construction d’une manière pour ainsi dire inévitable.
Comme il est très-aisé de ramener le dernier de nos deux problèmes au premier, c’est d’abord de celui-ci uniquement que je m’occuperai ; et, comme un problème du domaine de la géométrie de la règle est résolu, pour toutes les sections coniques, dès qu’il l’est pour une seule d’entre elles, je supposerai, pour plus de simplicité, que la courbe dont il s’agit est une parabole.
Je réduirai donc le problème au suivant :
PROBLÈME. Inscrire à une parabole un triangle rectiligne dont les côtés, prolongés s’il est nécessaire, passent par trois points donnés sur le plan de cette courbe ?
Solution. Soient les points donnés, et
