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ET DES SURFACES COURBES.

les formules (34), et y changeant $x,y,z$ en $x-x',$ $y-y',$ $z-z',$ on aura la position du centre de courbure.^[1]

Si, par le centre de courbure, on conçoit une droite perpendiculaire au plan osculateur, cette droite sera l’axe de courbure, pour le point $(x',y',z'),$ si, entre les équations de cet axe et les équations qui expriment que le point est sur la courbe, on élimine $x',y',z',$ l’équation résultante en $x,y,z$ sera celle de la surface développable lieu des axes de courbures.^[2]

↑ Si l’on mène une sécante à une courbe à double courbure par deux quelconques de ces points dont l’un soit fixe, et que l’autre se rapproche peu à peu de celui-là en suivant le cours de la courbe, et en entraînant avec lui la sécante, qui tournera ainsi autour du premier de ces deux points, lorsque ces deux points se confondront en un seul, la sécante sera alors une tangente.
Par trois points pris arbitrairement sur une courbe à double courbure, et dont un est supposé fixe, soit fait passer un plan, et sur ce plan soit décrit un cercle, par ces trois points ; si l’on conçoit que l’un des points mobiles se rapproche peu à peu du point fixe, en suivant le cours de la courbe et en entraînant avec lui le plan, ainsi que le cercle qui, sans quitter ce plan, variera sans cesse de grandeur et de situation ; lorsque les deux points se confondront, le plan et le cercle seront tangens à la courbe. Si le troisième point vient joindre les deux autres, sous les mêmes conditions, lorsqu’il les aura atteints, le plan et le cercle se trouveront osculateurs de la courbe.

Voilà pourquoi on a coutume de considérer la tangente et le plan tangent à une courbe à double courbure, comme ayant avec cette courbe deux points communs qui se confondent en un seul ; et c’est pour cela aussi que l’on considère le plan et le cercle osculateurs de la même courbe comme ayant avec elle trois points communs qui se confondent également en un seul.

Cela revient évidemment à considérer la courbe comme un polygone gauche d’une infinité de côtés : le prolongement de l’un d’eux est la tangente ; le plan qui passe par cette tangente est un plan tangent ; et le plan et le cercle qui passent par trois sommets consécutifs sont le plan et le cercle osculateurs.
↑ Si la courbe est plane, cette surface sera cylindrique ; si la courbe est tracée sur une sphère, cette surface sera conique et aura pour centre le centre même de la sphère ; généralement parlant, son arête de rebroussement sera le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe ; c’est-à-dire, des

[1] Si l’on mène une sécante à une courbe à double courbure par deux quelconques de ces points dont l’un soit fixe, et que l’autre se rapproche peu à peu de celui-là en suivant le cours de la courbe, et en entraînant avec lui la sécante, qui tournera ainsi autour du premier de ces deux points, lorsque ces deux points se confondront en un seul, la sécante sera alors une tangente.
Par trois points pris arbitrairement sur une courbe à double courbure, et dont un est supposé fixe, soit fait passer un plan, et sur ce plan soit décrit un cercle, par ces trois points ; si l’on conçoit que l’un des points mobiles se rapproche peu à peu du point fixe, en suivant le cours de la courbe et en entraînant avec lui le plan, ainsi que le cercle qui, sans quitter ce plan, variera sans cesse de grandeur et de situation ; lorsque les deux points se confondront, le plan et le cercle seront tangens à la courbe. Si le troisième point vient joindre les deux autres, sous les mêmes conditions, lorsqu’il les aura atteints, le plan et le cercle se trouveront osculateurs de la courbe.

Voilà pourquoi on a coutume de considérer la tangente et le plan tangent à une courbe à double courbure, comme ayant avec cette courbe deux points communs qui se confondent en un seul ; et c’est pour cela aussi que l’on considère le plan et le cercle osculateurs de la même courbe comme ayant avec elle trois points communs qui se confondent également en un seul.

Cela revient évidemment à considérer la courbe comme un polygone gauche d’une infinité de côtés : le prolongement de l’un d’eux est la tangente ; le plan qui passe par cette tangente est un plan tangent ; et le plan et le cercle qui passent par trois sommets consécutifs sont le plan et le cercle osculateurs.

[p177-2] Si la courbe est plane, cette surface sera cylindrique ; si la courbe est tracée sur une sphère, cette surface sera conique et aura pour centre le centre même de la sphère ; généralement parlant, son arête de rebroussement sera le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe ; c’est-à-dire, des

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