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DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

$dd'd''={\frac {32RT^{3}}{r(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}.\qquad$(4)

Si l’on désigne par $p,p',p''$ les trois hauteurs du triangle, on aura

$2T=cp,\qquad 2T=c'p',\qquad 2T=c''p'',$

d’où

$8T^{3}=cc'c''pp'p''=4pp'p''TR\,;$

substituant donc, dans la dernière expression, elle deviendra

$dd'd''={\frac {16pp'p''TR^{2}}{r(c'+c'')(c''+c)(c+c')}}.\qquad$(5)

En comparant cette dernière formule à la formule (3) ; on en déduit

$(c+c'+c'')rT=pp'p''R\,;$

et par suite

$2T^{2}=Rpp'p''\,;\qquad$(6)

relation remarquable par sa simplicité.

Il est d’ailleurs connu qu’en désignant par $r,r',r'',r'''$ les rayons des quatre cercles qui touchent à la fois les trois côtés du triangle, on a $rr'r''r'''=T^{2}\,;$ substituant donc, dans cette dernière formule, elle deviendra

$2rr'r''r'''=pp'p''R\,;\qquad$(7)

formule également digne d’être remarquée.