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SÉRIES DIVERSES.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Recherche de diverses séries ;

Par M. Frédéric Sarrus, professeur de mathématiques
au collége de Pezenas ;

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. En multipliant membre à membre les formules connues

$\operatorname {Cos} .2z=\operatorname {Cos} .^{2}z-\operatorname {Sin} .^{2}z,\qquad 1=\operatorname {Cos} .^{2}z+\operatorname {Sin} .^{2}z,$

on trouve

$\operatorname {Cos} .2z=\operatorname {Cos} .^{4}z-\operatorname {Sin} .^{4}z=\operatorname {Cos} .^{4}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}z\right)\,;\qquad$(1)

de laquelle on déduira

$\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .2z=\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .^{4}z+\operatorname {Log} .\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}z\right)\,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .2z=$

$4\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .z-M\left(\operatorname {Tang} .^{4}z+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tang} .^{8}z+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{12}z+\ldots \right)\,;$

ou bien encore, en considérant $1-\operatorname {Tang} .^{4}z$ sous la forme ${\frac {1-\operatorname {Tang} .^{4}z}{1}},$

$\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .2z=4\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .z-2M\left\{{\frac {\operatorname {Tang} .^{4}z}{2-\operatorname {Tang} .^{4}z}}\right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}\left({\frac {\operatorname {Tang} .^{4}z}{2-\operatorname {Tang} .^{4}z}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {\operatorname {Tang} .^{4}z}{2-\operatorname {Tang} .^{4}z}}\right)^{5}+\ldots \right\}\,;$