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DES COLLÉGES ROYAUX DE PARIS.

énoncé ; mais si, au lieu d’un angle trièdre, on considère trois plans indéfinis passant par un même point, et formant $8$ angles trièdres autour de ce point, le problème pourra être indistinctement résolu par toutes les nappes de cette surface, lesquelles sont au nombre de quatre, et tellement disposées entre elles, que deux ne se trouvent jamais situées dans deux angles opposés aux sommets. Les angles où elles se trouvent sont, 1.^o l’angle des $x,y,z$ positifs ; 2.^o les trois angles pour lesquels une seule des trois coordonnées $x,y,z$ est positive.

On peut donner à l’équation de cette surface une forme symétrique, en y introduisant les angles $\alpha ,\beta$ que forme l’arête $\mathrm {SA}$ avec les arêtes $\mathrm {AB,AC} \,;$ il suffit pour cela de remarquer que, suivant les notes de la Géométrie de M. Legendre, on a

$\operatorname {Sin} .\theta \operatorname {Sin} .\phi =$

$2{\sqrt {\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\phi )\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta -\phi )\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(\beta +\phi -\alpha )\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}(\phi +\alpha -\beta )}}\,;$

et d’introduire cette valeur dans l’équation ci-dessus.

Autres solutions des mêmes problèmes ;

Par M. Gergonne.

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PROBLÈME I. Par un point donné dans un angle donné, et également distant de ses deux côtés, mener une droite terminée aux deux côtés de l’angle, de telle sorte que ce point la divise en deux segmens dont la somme des quarrés soit équivalente à une surface donnée ?

Solution. On voit d’abord que si la droite cherchée n’est point