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ÉQUATIONS

$\phi \left({\frac {a+x}{b-x}}\right)=a+b\left({\frac {a+x}{b-x}}\right)={\frac {2ab-(a-b)x}{b-x}}.$

On peut appliquer à une même expression algébrique deux ou un plus grand nombre de signes de fonctions ; et si ces fonctions sont définies, on pourra toujours exécuter les opérations qu’elles indiqueront. Soient, par exemple, deux fonctions $\phi$ et $\psi$ définies, ainsi qu’il suit :

$\phi (t)={\frac {a}{a-t}},\qquad \psi (t)={\frac {t+b}{b}}\,;$

l’expression

$\psi \phi \left({\frac {x+a}{x-b}}\right)$

signifiera qu’il faut d’abord diviser la constante $a$ par cette même constante diminuée de la fraction ${\frac {x+a}{x-b}},$ ce qui donnera un premier résultat ; et qu’il faudra ensuite diviser par $b$ ce résultat augmenté de cette même quantité $b\,;$ on aura donc ainsi

$\psi \phi \left({\frac {x+a}{x-b}}\right)=\psi \left\{{\frac {a}{a-\left({\frac {x+a}{x-b}}\right)}}\right\}=\psi \left\{{\frac {a(x-b)}{(a-1)x-a(b+1)}}\right\},$

et par suite

$\psi \phi \left({\frac {x+a}{x-b}}\right)={\frac {{\frac {a(x-b)}{(a-1)x-a(b+1)}}+b}{b}}={\frac {(ab+a-b)x-ab(b+2)}{b\left[(a-1)x-a(b+1)\right]}}.$

On trouverait, à l’inverse,

$\phi \psi \left({\frac {x+a}{x-b}}\right)=\phi \left\{{\frac {{\frac {x+a}{x-b}}+b}{b}}\right\}=\phi \left\{{\frac {(b+1)x-\left(b^{2}-a\right)}{b(x-b)}}\right\}\,;$

et par suite