Telle est, en substance, la démonstration donnée par MM. Pagani et Querret. M. Durrande, en partant des mêmes préliminaires, emploie, pour parvenir au but, un très-élégant théorème de géométrie élémentaire, démontré par M. Poncelet, à la page 215 du XI.e volume du présent recueil ; lequel consiste en ce que les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle (fig. 18) sur les directions des côtés opposés, les milieux de ces mêmes côtés, et les milieux des distances des sommets au point où se croisent les trois perpendiculaires, sont neuf points appartenant à une même circonférence.
Il en résulte d’abord immédiatement que le cercle circonscrit au triangle l’est également au triangle semblable à et ayant ses côtés moitié des siens ; d’où il suit que le rayon du cercle circonscrit à ce dernier doit être double de celui du cercle circonscrit au triangle
En outre, le même cercle circonscrit à l’est aussi à semblable à et ayant ses côtés moitié des siens ; d’où il résulte que le rayon du cercle circonscrit à ce dernier doit aussi être double de celui du cercle circonscrit à et conséquemment égal à celui du cercle circonscrit à ce qui démontre complètement le théorème.
En renversant le théorème proposé, on obtient le suivant :
THÉORÈME. La circonférence du cercle circonscrit à un triangle est égale à celle de chacun des cercles qui passent par deux de ses sommets et par le point de concours des perpendiculaires abaissées de ces mêmes sommets sur les directions des côtés opposés ; chacune d’elles est double de celle qui passe par les pieds des trois perpendiculaires.
Bien que ce dernier théorème se trouve suffisamment établi par ce qui précède, M. Durrande le démontre aussi directement, par les fonctions circulaires.
