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INTÉGRALES

seront séparément nuls ; on devra donc avoir séparément

$\left.{\begin{aligned}&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}''-\ldots ,\\\\&\qquad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}'+\ldots ,\quad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{0}-\ldots ,\ldots \\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{1}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{1}''-\ldots ,\\\\&\qquad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{1}'+\ldots ,\quad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)_{1}-\ldots ,\ldots \\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}''-\ldots ,\\\\&\qquad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{0}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}'+\ldots ,\quad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{0}-\ldots ,\ldots \\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}''-\ldots ,\\\\&\qquad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)_{1}-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}'+\ldots ,\quad 0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)_{1}-\ldots ,\ldots \\\\\end{aligned}}\right\}(8)$

équations qui, en général, seront en même nombre que les constantes introduites par l’intégration, et qui serviront à en assigner les valeurs.

64. Si l’une des limites est fixe, la première par exemple ; c’est-à-dire, si les valeurs de $x$ et $y$ à cette limite sont données, il est clair qu’on devra avoir également $X_{0}=0,$ $Y_{0}=0,$ et l’on devrait avoir aussi $X'_{0}=0,$ $Y'_{0}=0,$ $X''_{0}=0,$ $Y''_{0}=0\,;\ldots$ si l’on exigeait qu’à la limite dont il s’agit $x',y',x'',y'',\ldots$ eussent aussi des valeurs données, cela ferait disparaître autant de termes de l’équation (7) ; de sorte que, s’il devait en être de même à l’autre limite, cette équation se trouverait satisfaite d’elle-même ; mais alors les constantes introduites par l’intégration se détermineraient en exprimant qu’à l’une et à l’autre limites $x,x',x'',\ldots$$y,y',y'',\ldots$ ont les valeurs assignées.

65. Enfin, l’une ou l’autre limite peut n’être ni absolument fixe, ni absolument arbitraire. On peut exiger, par exemple, qu’à la première limite, on ait, entre $x$ et $y$ et leurs coefficiens différentiels, une ou plusieurs équations de relation, telles que