Mais, si l’on conçoit une ellipse qui ait l’axe transverse de l’hyperbole pour grand axe, et dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers, son équation sera
![{\displaystyle l^{2}+2y^{2}=a^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ba2006312063bff57338311e3471689509390c)
elle sera donc semblable à la précédente, et le rapport de leurs lignes homologues sera celui de
à
en représentant donc par
le quart du périmètre de cette nouvelle courbe, on aura
![{\displaystyle Q'=Q{\sqrt {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23303458410b78fcc72772ee377ac1a8957095e3)
et, par suite,
![{\displaystyle D+q=Q{\sqrt {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9eaed85d0675c64e58c0f6f6eeb53cbcc3ae580)
ce qui démontre déjà la première partie du théorème.
Présentement, dans la théorie des intégrales définies de la forme
donnée par Euler[1], on rencontre l’équation suivante
- ↑ Voyez le Traité des différences et des séries de M. Lacroix, dernière édition, page 426. On parviendrait également au but à l’aide des formules de la page 430 du même ouvrage, en y faisant
Le même résultat se présente aussi à la page 413 de ce traité ; mais il nous a paru que la démonstration n’était point exacte.
On sait que
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2r}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}.\int {\frac {x^{2r+1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\frac {1}{2r+1}}.{\frac {\varpi }{2}},\qquad \left[{\begin{aligned}&x=0\\&x=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b997e2d7e1285a97c278b1629d6a04c2112ac6)
du moins en supposant
entier et positif. Si donc l’on pose
étant supposé positif, auquel cas les limites de
seront les mêmes que celles de
on aura
![{\displaystyle n^{2}\int {\frac {z^{2rn+n-1}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}.\int {\frac {z^{2rn+2n-1}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}={\frac {1}{2r+1}}.{\frac {\varpi }{2}},\qquad \left[{\begin{aligned}&z=0\\&z=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd3e4f1f4fb74fa7a706504ac29647fca801a48)
d’où, en posant
il viendra