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${\begin{aligned}&C_{1}C_{6}-C_{2}C_{5}=\left(A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}\right)\left(A_{2}B_{4}-A_{4}B_{2}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\left(A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}\right)\left(A_{1}B_{4}-A_{4}B_{1}\right)\\\\&C_{1}C_{7}-C_{3}C_{5}=\left(A_{0}B_{1}-A_{1}B_{0}\right)\left(A_{3}B_{4}-A_{4}B_{3}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\left(A_{0}B_{3}-A_{3}B_{0}\right)\left(A_{1}B_{4}-A_{4}B_{1}\right),\\\\&C_{2}C_{7}-C_{3}C_{6}=\left(A_{0}B_{2}-A_{2}B_{0}\right)\left(A_{3}B_{4}-A_{4}B_{3}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\left(A_{0}B_{3}-A_{3}B_{0}\right)\left(A_{2}B_{4}-A_{4}B_{2}\right)\end{aligned}}$

ou, en développant, réduisant et décomposant,

${\begin{aligned}&C_{1}C_{6}-C_{2}C_{5}=-\left(A_{0}B_{4}-A_{4}B_{0}\right)\left(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\right)=-C_{4}D_{3},\\\\&C_{1}C_{7}-C_{3}C_{5}=-\left(A_{0}B_{4}-A_{4}B_{0}\right)\left(A_{1}B_{3}-A_{3}B_{1}\right)=-C_{4}D_{4},\\\\&C_{2}C_{7}-C_{3}C_{6}=-\left(A_{0}B_{4}-A_{4}B_{0}\right)\left(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2}\right)=-C_{4}D_{5}\,;\end{aligned}}$

elles deviendront précisément les équations (20), avec les conditions (23) ; on obtiendra donc la double valeur de $x$ et l’équation en $y$ en mettant les valeurs (26) dans les formules (21) et (24) ; et l’on voit que l’équation en $y$ ne sera que du seizième degré seulement.

À l’exemple d’Euler, nous ne pousserons pas plus loin ces recherches qui n’exigent, comme on le voit, que la peine d’écrire. En comparant notre marche à la sienne, on verra aisément combien il aurait pu s’épargner de calculs.

Comme l’équation en $y$ se complique de plus en plus, à mesure que le degré des proposées devient plus élevé, il en devient d’autant plus facile aussi qu’il s’y glisse des erreurs ; et c’est un motif pour désirer d’obtenir, sur les diverses conditions auxquelles cette équation doit satisfaire, quelques lumières qui puissent aider lt découvrir les méprises qu’on aurait pu commettre en l’écrivant. C’est un sujet sur lequel nous nous arrêterons d’autant plus volontiers que les auteurs d’élémens ne s’en sont guère occupés, bien qu’il soit d’une assez haute importance pour qui aspire à exécuter sûrement des calculs tant soit peu compliqués.