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LES COORDONNÉES DE GAUSS

SURFACE COURBE, NON EUCLIDIENNE

UNIVERS NON EUCLIDIEN

Deux dimensions. Décomposition en mailles bidimensionnelles arbitraires.

Quatre dimensions. Décomposition en cellules quadridimensionnelles arbitraires.

Dans une étendue infiniment petite autour de chaque point, la surface peut être remplacée par son plan tangent.

Dans un domaine quadridimensionnel infiniment petit autour de chaque point-événement, l’Univers peut être remplacé par son Univers euclidien tangent, qui est un Univers de Minkowski.

Cet Univers tangent est (dans une étendue suffisamment petite) l’Univers de tout observateur en chute libre, rapportant les événements à un système de référence qui lui est lié.

Dans le plan tangent, la géométrie euclidienne du plan est applicable, par suite :

Dans l’Univers euclidien tangent, la relativité restreinte est applicable, par suite :

La distance élémentaire $dl$ de deux points infiniment voisins ne dépend pas du système de coordonnées (est un invariant).

L’intervalle élémentaire $ds$ entre deux événements infiniment voisins ne dépend pas du système de coordonnées (est un invariant).

Cette distance s’exprime par la formule :

Cet intervalle s’exprime par la formule :

$dl^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}$

$+g_{21}dx_{2}dx_{1}+g_{22}dx_{2}^{2}$

$ds^{2}=g_{11}dx_{1}^{2}+g_{12}dx_{1}dx_{2}$

$+g_{13}dx_{1}dx_{3}+\ldots +g_{44}dx_{4}^{2}$

avec

$g_{21}=g_{12}$

de sorte que les quatre $g$ se réduisent à trois.

avec

$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$

de sorte que les seize $g$ se réduisent à dix.

La géométrie euclidienne est caractérisée par le fait qu’on peut trouver des systèmes de coordonnées dans lesquels les $g$ ont les valeurs constantes

$g_{11}=g_{22}=1,\quad g_{12}=0$

en tout point.
(coordonnées cartésiennes rectangulaires).

La relativité restreinte (Univers euclidien) est caractérisée par le fait qu’on peut trouver des systèmes de coordonnées dans lesquels les $g$ ont les valeurs constantes.

${\begin{aligned}g_{11}&=g_{22}=g_{33}=-1,\quad g_{44}=1\\g_{\mu \nu }&=0,\;{\text{si}}\;\mu \neq \nu \;(\mu ,\nu =1,2,3,4)\end{aligned}}$

en tout événement.
(coordonnées galiléennes).

Il existe des lignes de plus courte distance (telles que $\textstyle \int dl$ soit minimum) appelées géodésiques.

Il existe des lignes d’Univers de plus grande longueur (telles que $\textstyle \int ds$ soit maximum) appelées géodésiques.

La courbure totale s’exprime en fonction des $g$ et de leurs dérivées premières et secondes ; cette courbure est un invariant.

Il existe un invariant qui s’exprime en fonction des $g$ et de leurs dérivées premières et secondes. On l’appelle courbure totale d’Univers en chaque point-événement.