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APPENDICE

Tout groupe de quatre quantités $\mathrm {B} _{\nu }$ (indice en bas) qui se transforment suivant la loi

(11-3)

$\mathrm {B} _{\sigma }^{\prime }=\sum _{\nu }{\frac {\partial {x_{\nu }}}{\partial {x_{\sigma }^{\prime }}}}\mathrm {B} _{\nu }$

constitue un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre covariant.

On voit facilement que

(11-4)

$\sum _{\nu }\mathrm {A} ^{\nu }\mathrm {B} _{\nu }=\sum _{\sigma }\mathrm {A} ^{\prime _{\sigma }}\mathrm {B} _{\sigma }^{\prime }=$ invariant.

Un invariant, appelé aussi scalaire, est un tenseur d’ordre nul.

Remarque. — La sommation est faite par rapport à l’indice qui figure deux fois sous le signe $\textstyle \sum .$ Cet indice n’a pas de signification propre puisque dans l’expression complète d’une même composante on lui donne successivement les valeurs 1, 2, 3, 4 : on l’appelle indice muet. La lettre qui le désigne peut être à volonté remplacée par une autre pourvu que la nouvelle lettre ne figure pas déjà dans le terme considéré. Dans la suite nous supprimerons le $\textstyle \sum$ ; il sera sous-entendu qu’on doit toujours sommer par rapport aux indices muets, faciles à reconnaître d’après ce qui vient d’être dit.

3^o TENSEURS D’ORDRE SUPÉRIEUR. — Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

(11-5)

$\mathrm {A} ^{\prime _{\sigma \tau }}={\frac {\partial {x_{\sigma }^{\prime }}}{\partial {x_{\mu }}}}{\frac {\partial {x_{\tau }^{\prime }}}{\partial {x_{\nu }}}}\mathrm {A} ^{\mu \nu }\quad$ $(\textstyle \sum \limits _{\mu }\sum \limits _{\nu }$ sous-entendu$)$

sont les composantes d’un tenseur du second ordre contrevariant.